NS方程的非结构化网格方法及其差分格式

西安交通大学学报
JOURNAL OF XI'AN JIAOTONG
UNIVERSITY
1999年　第33卷　第9期　Vol.33　No.9
　1999
NS方程的非结构化网格方法及其差分格式
张楚华，　谷传纲，　苗永淼
摘要：　采用同位非结构化网格上的有限体积法，对Navier-Stokes方程的SIMPLE算法及差分格式进行了研究．提出了适用于非结构化网格的不用求解单元顶点变量值的二阶混合差分格式．该格式的优点在于：1)减少了计算工作量；2)避免了普通混合差分格式因使用简单的一阶迎风差分格式所引起的网格界面方向相关性的问题．最后，采用三角形网格，利用提出的方法及差分格式，对方腔内的驱动层流及绕翼型湍流进行了数值计算，计算结果与基准解或实验值的符合程度优于普通混合差分格式．
关键词：　非结构化网格；差分格式；有限体积法
中国图书资料分类法分类号：　O357
Unstructured Grid Method and Its Differential Schemes for NS Equations
Zhang Chuhua,　Gu Chuangang,　Miao Yongmiao
（Xi′an　Jiaotong　University，　Xi′an 710049，　China）Abstract：　The SIMPLE algorithm and differential schemes are used for solving Navier-Stokes equations through finite volume method with collocated unstructured grid. A two order hybrid scheme without the necessity of computing the variables at elements vertices is presented. Compared with the ordinary hybrid scheme, the advantages are :1)computation is reduced; 2) grid dependency problem, which is resulted from one order upwind interpolation in ordinary hybrid scheme on unstructured grid, can be avoided. Finally, the proposed method and schemes are used to calculate laminar flow in a lid-driven cavity and turbulent flow around an airfoil. The numerical results fit benchmark solutions and experiments better than those calculated through ordinary hybrid scheme.
Keywords：　unstructured grid;differential scheme;finite volume method
长期以来，人们一直认为有限差分法(包括有限体积法)对复杂形状流动问题的处理能力不如有限元法，近年来发展起来的非结构化网格方法［1，2］正逐步改变这一看法．在非结构化网格上利用有限体积法来求解流动方程， 既能提高有限体积法处理复杂形状流动问题的能力，又能保持离散方程的局部守恒特性，而后者对数值求解非线性偏微分方程的收敛过程有时是至关重要的．
在非结构化网格上采用有限体积法求解流场，是计算流体动力学中很有发展前途的研究方向．当然这一领域仍然有一些棘手的问题亟待解决和完善，其中主要包括：
1)高质量的非结构化网格生成问题；2)非结构化网格方法的计算工作量问题；3)非结构化网格上高精度差分格式的实现问题；4)快速稳定的非结构化代数方程组的求解问题；5)在高伸展比的非结构化网格单元上实现稳定性、经济性俱佳的计算格式；6)自适应问题．本文对2)、3)、4)的问题进行了研究，提出了一种适合于在非结构网格上计算的差分格式，并对驱动方腔内的流动及孤立翼型绕流进行了数值模拟，得到了满意的数值结果．
1　控制方程
本文研究的问题为二维、定常、不可压缩流动，控制方程可写成如下通用方程 （1）
其中： U m为沿着坐标方向x m的速度分量； Φ为求解变量； ΓΦ为广义扩散系数；
为广义源项．式(1)的具体形式见文献［3］．
2　计算方法
2．1　通用方程的离散
利用Gauss定理，将控制方程(1)在任一边数为n的非结构化网格单元上离散为
（2）
其中： ΔV为网格单元的体积．式(2)左端的第1部分为对流部分
（ρVΦ.A）f＝m fΦf （3）
式(2)左端的第2部分为扩散部分，文献［2，4］分别利用局部非正交坐标系及Gauss定理推导出的扩散部分的离散形式为
（4）
式(4)中的第1项为正交扩散项，第2项为非正交扩散项．式中出现了单元顶点处的变量值．其中下标f为界面；下标il、ir、ist、iend分别表示边f的左单元、右单元、起点、终点；σV为界面积分体积；n f为单位法向矢量；　n i end为左、右单元连线的单位法向
矢量．
式(3)与(4)中的m f为通过界面f的质量流量，引入Peclet准则，PΔ＝m f／D f，其中D f 为通过界面的扩导，，则PΔ数表示输运量Φ通过界面f的对流和扩散能力的相对大小．这与结构化网格上的研究结果是相同的，因此可以借用结构化网格的思想来进一步得出通用方程在非结构化网格上的离散形式．然而，它们之间也存在很大的差异，主要表现在：1)界面上Φf的计算；2)非正交扩散项的计算．这两项的计算方式对非结构化网格方法的精确性及计算工作量的影响都很大．
在计算Φf时，由于非结构化网格拓扑结构的无规律性，在较粗的非结构化网格上应用简单的一阶迎风格式容易出现网格相关性问题，而一些在结构化网格上行之有效的高阶差分格式，如高阶迎风格式、QUICK格式、MUSCL格式等很难在非结构化网格上实施．这是因为在采用这些格式确定界面上的对流项时，需要知道远上游结点处的变量值，而在非结构化网格拓扑结构中，远上游结点属于“游荡结点”［2］，无法从网格的拓扑结构中直接确定这些点的位置，只能在流场计算中，根据局部流动方向计算出远上游结点的位置，这给非结构化网格方法进一步增加了计算负担．本文根据线性重组建梯度方法及限制因子方法，提出了适合于非结构化网格上计算的二阶混合差分格式，界面上的变量计算公式为
（5）
其中限制因子α根据文献［3］的方法计算，当α＝0时，上式就退化为普通混合差分格式．
式(4)中，非正交扩散项出现单元顶点处的变量值，这些值一般由相邻单元中心处的变量值插值而来．常用的插值方法有面积加权插值、距离负幂次函数加权插值、最小二乘插值方法．前两种方法实现简单，计算速度快，但计算精度低；后一种方法具有二阶精度，但实现复杂，可能出现奇性问题，计算速度慢，数值计算表明，在每轮迭代计算中，约有一半时间花在利用最小二乘法插值各类变量在单元顶点值的计算上．本文利用界面梯度近似关系式(Φ）f＝，其中表示线性插值运算，对式(4)中的非正交扩散项进行如下变换
（6）
这样在非正交扩散项中不再出现单元顶点处的变量值，从而极大地减少了计算工作
量，同时仍可以采用与结构化网格相同的处理方法，将正交项隐式处理，而将非正交项显式处理．
将式(3)、(5)、(6)代入式(2)，即得
（7）
对于任一单元P，可将式(7)归纳为
（8）
A P＝∑A nb
A（PΔ）＝A（｜PΔ｜）＋［｜－PΔ，　0｜］
B（PΔ）＝A（PΔ）＋PΔ
A（｜PΔ｜）＝［｜0，　1－0．5｜PΔ｜｜］
其中　［｜，｜］表示求最大值运算；　Δr为左、右单元之间的长度矢量；　f1表示线性插值因子．
2．2　压力修正方程
本文采用SIMPLE算法求解压力，压力修正量p′的方程在形式上与式(8)完全相同，相应的系数为
为了进一步减少非结构化网格的计算工作量，本文采用以界面序号为循环变量而不是直接以单元序号为循环变量来离散流动方程；采用预条件矩阵共轭梯度平方法［5］来加速离散代数方程组的收敛速度．
3　计算结果
3．1　方腔内的驱动流动
对Re＝1000时方腔内的驱动流动进行计算，与文献［6］相同，按层流计算．图1为计算网格，在方腔的每条边上布置21个结点，网格结点数Nn＝504，边数Nl＝1　429，单元数Ne＝926，网格疏密程度相当于31×31的结构化四边形网格．图2为通过方腔几何中线上的流动速度分布．图3为方腔内流动的速度矢量图．从图2可以看出，在相同疏密程度的网格上，利用本文所提出的不用求解单元顶点处变量值的二阶混合差分格式比一阶混合格式更接近于基准解．
图1　方腔内的计算网格
（a）水平向速度
(b)竖直向速度
－.－：一阶格式；　——：二阶格式；　.：文献［6］
图2　Re＝1　000时方腔几何中心线上的流动速度
图3　速度矢量(Re＝1　000）
3．2　孤立翼型绕流
对某大型轴流压缩机进口级动叶片中间截面的孤立翼型绕流进行了湍流数值计算．文献［7］给出了此翼型详细的几何尺寸及翼型表面压力的测量值，其中翼型弦长l＝0．0824m，自由来流速度U∞＝39.8m／s，翼弦雷诺数Re＝2×105．图4为计算网格在翼型附近的局部放大图．计算区域为翼型上、下游与上、下区域分别延长5倍长的范围，计算区域为双连通区域，网格节点数N n＝3061，边数N l＝9041，单元数N e＝5980．图5与图6分别为翼弦攻角为0°时翼型表面压力系数与翼型附近压力分布等值线图．由图可知，计算结果与实验值吻合很好．
图4　孤立翼型绕流局部网格
图5　翼型表面压力系数(i＝0°）
图6　翼型附近等压线(i＝0°）
4　结　论
（1）推导了同位非结构化网格上的SIMPLE算法，发现在非结构化网格上，Peclet 准则仍然是构造差分格式的基本出发点，这与结构化网格方法是一致的．
（2）提出了一种适合于非结构化网格计算的不用求解单元顶点处变量值的二阶混合差分格式，该格式避免了普通混合差分格式在非结构化网格上容易出现网格相关性的问题，同时减少了计算工作量．
（3）计算结果表明，本文提出的差分格式对数值解的准确性有所改善．
作者简介： 张楚华，男，1967年10月生，能源与动力工程学院流体机械研究所，讲师．
作者单位：张楚华，　谷传纲，　苗永淼 （西安交通大学，　710049，　西安)
参考文献：
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［3］　张楚华.三维湍流流动的非结构化网格的数值解法及其在离心风机内的应用研究：［博士学位论文］．西安：西安交通大学能源与动力工程学院，　1999．
［4］　Davidson L. A pressure correction method for unstructured meshes with arbitrary control volumes. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 1996, 22(4):　265～281．
［5］　Sonneveld P. CGS, a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems. SIAM J Sci Stat Comput, 1989, 10(1): 36～52．
［6］　Ghia U, Chia K N, Shin C T. High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method. J of Comp Phys, 1982，　48（3）：　387～411．
［7］　钱泽球.大型轴流压缩机组性能预测及设计方法的研究：［硕士学位论文］．西安：西安交通大学能源与动力工程学院， 1993．
收稿日期： 1999－01－08．
（编辑　蒋慧姝)
NS方程的非结构化网格方法及其差分格式
作者：张楚华， 谷传纲， 苗永淼， Zhang Chuhua， Gu Chuangang， Miao Yongmiao
作者单位：西安交通大学,710049,西安
刊名：
西安交通大学学报
英文刊名：JOURNAL OF XI'AN JIAOTONG UNIVERSITY
年，卷(期)：1999,33(9)
被引用次数：12次
1.Ghia U;Chia K N;Shin C T High-Re solutions for incompressible flow using the Navier-Stokes equations and a multigrid method 1982(03)
2.Sonneveld P CGS,a fast Lanczos-type solver for nonsymmetric linear systems 1989(01)
3.Davidson L A pressure correction method for unstructured meshes with arbitrary control volumes[外文期刊] 1996(04)
4.钱泽球大型轴流压缩机组性能预测及设计方法的研究[学位论文] 1993
5.张楚华三维湍流流动的非结构化网格的数值解法及其在离心风机内的应用研究[学位论文] 1999
6.Sheng H M;Chen Y S An unstructured grid method for flow computations at all speeds 1995
7.Jameson A;Mavriplis D Finite volume solution of two dimensional Euler equations on a regular triangular mesh[外文期刊] 1986(04)
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本文链接：/Periodical_xajtdxxb199909015.aspx。