折叠问题解题探究

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折叠问题解题探究

问题的提出：折叠即产生对称，是初中数学重要知识之一。也是近几年中考的命题热点，是高频

问题。而学生往往对折叠中隐含的不变量“不识庐山真面目”而忽视隐含的已知，致使解题陷入绝境，导致失分；或者问题复杂化，舍近取远，浪费时间。

问题1：如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，你能得到什么结论？

（学生口答）

此图中，若AB=8cm ，AD=10cm ，求EC 的长。

师：解决此问题依据是轴对称中确定不变量，采用方程思

想，运用勾股定理、相似基本策略解决问题。

比较简单的折叠问题，不变量及隐含条件还比较直观，

易寻找判断。

问题2：如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸

片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕纸

片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片展平，求AFE 的度数.

师：不变量的确定，寻求隐含条件可以降低问题难度，找到解决问题的突破口。 解决问题的依据：轴对称

解决问题的策略：寻求不变量、勾股定理、相似、中垂线、平行线性质

例： 在一张长方形ABCD 纸片中， AB ＝20cm ． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分

别求折痕的长．

(1) 如图1, 折痕为AE;

(2) 如图2, P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 若AD ＝25cm, 折痕为EF ．

A

C D A

D

D

F

图①

图②

图③

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(分析时一题多解，不同角度不同方法解题)

练习：

1． 如图①，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ．

(1)试判断△MEF 的形状，并证明你的结论；

(2)如图②，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并证明你的结论； (3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．

2.如图，矩形纸片ABCD 中，8cm AB =，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交

DC 于点F ，若25

cm 4AF =

，则AD 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm

3.把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长为 .

课后问题再探索：折折叠叠中找巧门

1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展

开，得到的图形是（ ）

2.如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的

点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形

ADA E '是菱形，则下列说法正确的是 （ ）

A ． DE 是△ABC 的中位线

B ． AA '是B

C 边上的中线

A ．

B ．

C ．

D ．

A B

C E

F

D 第2题图 A (第1题图②)

B C E F D A ’ B ’ A

B C E F D A ’ B ’ D ’ C ’ M M N (第1题图①) F E D

C

A M A

B

D

E

A '

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C ． AA '是BC 边上的高

D ． AA '是△ABC 的角平分线

3.将一张纸第一次翻折，折痕为AB （如图1），第二次翻折，折痕为PQ （如图2），第三次翻折使PA 与PQ 重合，折痕为PC （如图3），第四次翻折使PB 与PA 重合，折痕为PD （如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则CPD ∠的大小是（ ）

A ．120

B ．90

C ．60

D ．45

4.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O （0，0），A （6，0），C （0，3）。动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）。

（1）用含t 的代数式表示OP ，OQ ；

（2）当t=1时，如图1，将△OPQ 沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；

（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．

图1

O

P A x

B

D

C Q y （第4题图） O

P

A x

B

C Q y

E