预应力箱型梁截面特性值的计算

预应力箱型梁截面特性值的计算
北京迈达斯技术有限公司
2004.12
1. 概要
目前许多设计程序在计算预应力箱梁的特性值时，或仅提供部分特性值，或省略加腋承托部分和悬臂部分，按封闭截面的公式计算特性值。

但是对于非对称截面或风荷载容易引起较大扭矩的桥梁结构中，抗扭惯性矩是抵抗扭矩作用的一个比较重要的参数，因此提供准确的抗扭特性值在结构分析中是非常重要的。

同样剪切面积作为抵抗剪切变形的特性值，在预应力箱梁的分析中也是重要的参数之一，而目前许多设计程序不提供预应力箱梁和任意截面的有效剪切面积。

另外，一般的通用的有限元程序，虽然能给出上述截面特性值，并给输出预应力箱梁由轴力、剪力、弯矩引起的应力值，但很少有软件提供扭矩引起的剪应力。

在MIDAS/Civil Ver.6.7.0中，程序采用了新的计算方式，可以提供考虑预应力箱梁加腋承托部分和悬臂部分的较为准确的抗扭惯性矩(Ixx)和有效剪切面积(Asy、Asz)，并提供弯矩、轴力、剪力和扭矩引起的应力。

下面简单介绍程序中提供的截面特性值的四种计算方法，并通过将程序计算的截面特性值与其他两个通用程序结果的比较，以及通过与用实体单元建立的模型精密分析的结果的比较，验证其精确性。

2. MIDAS/Civil中截面刚度计算方法
如下图1的①所示，MIDAS/Civil中提供数据库标准截面、用户自定义截面、SRC截面、型钢组合截面、PSC预应力截面、变截面、联合截面等多种样式的截面。

定义截面的特性值可在“显示截面特性值”中查看。

图1中的②显示的是抵抗内力的刚度(Stiffness)值，③中显示的是用于计算中和轴和应力的特性值。

①
②
图1. 预应力箱梁截面特性值
MIDAS/Civil中提供的截面特性值有下列四种。

用户自定义截面的特性值
标准截面的特性值
任意截面的特性值
桥梁结构中的预应力箱型截面的特性值
1) 用户自定义截面的特性值
图2显示的是有加劲肋的箱型截面的截面特性值，如图所示用户只需输入基本的几何数据，程序就会自动计算其特性值，其中有效剪切面积(Asy、Asz)和抗扭惯性矩(Ixx)是按图6~图11中的公式计算的。

图2. 用户定义截面对话框
2) 标准截面的特性值
图3显示的是标准H型钢的数据库截面的特性值，像H型钢这样有工厂轧制成型的标准截面，程序中提供了14个国家和地区的数据库，其中的截面特性值，包括有效剪切面积(Asy、Asz)和抗扭惯性矩(Ixx)均采用的是各国标准型钢库中值。

图3. 标准型钢库截面对话框
3) 任意截面的特性值
对于MIDAS/Civil的截面数据中未提供的截面，程序提供了截面特性值计算器SPC(Section Property Calculator)。

图4显示的是使用SPC计算的钢混叠合梁的截面特性。

目前SPC仅提供截面的面积、抗弯惯性矩、抗扭惯性矩、中和轴位置、有效抗剪面积等特性值参数。

图4. 使用SPC计算截面特性
4) 预应力箱型截面
很多程序使用图5中的封闭截面的公式，不考虑悬臂和加腋部分简化计算预应力箱型截面的特性值。

MIDAS/Civil Ver.6.7.0内涵了可考虑悬臂和加腋部分精确计算特性值的计算内核。

.
图5. 预应力箱型截面形状
封闭截面加腋
3. 有效剪切面积和抗扭惯性矩
3.1 有效剪切面积(A sy、A sz : Effective Shear Area)
有效剪切面积用于抵抗计算截面剪力引起剪切变形，所以当不输入该值时，则程序不计算相应方向的剪切变形。

图6为标准形式截面的有效剪切面积计算公式。

A sy : 抵抗沿单元坐标轴y轴作用的剪力的有效剪切面积
A sz : 抵抗沿单元坐标轴z轴作用的剪力的有效剪切面积
图6. 各种标准截面的有效剪切面积
3.2 抗扭惯性矩(I XX : Torsional Constant)
抗扭惯性矩是抵抗扭矩的刚度，按下列公式表示。

x T I =
φ
, xx
x GI I L
=
(1)
在此 I x : 抗扭刚度(Torsional Resistance)
I xx : 抗扭惯性矩(Torsional Constant) T : 扭矩(Torsional Moment or Torque)
φ: 扭转角度(Angle of Twist)
如上面公式所示，抗扭惯性矩是抵抗扭转的刚度参数，与计算由扭矩引起的剪切应力所使用的极惯性弯矩(Polar Moment of Inertia)是不同的概念。

但是圆形截面或壁厚较大的圆管截面二者的数值相等。

如公式(1)所示，抗扭刚度与构件长度成反比，与剪变模量和抗扭惯性矩成正比。

抗扭惯性矩是计算抗扭刚度的重要参数，开口截面和封闭截面的计算方法不同，壁厚较厚和壁厚较薄截面的抗扭惯性矩的计算方法也是相差较大，能适用于所有截面形式的通用计算公式是不存在的。

厚壁开口截面的抗扭惯性矩一般是将截面分割成许多的矩形后使用下列公式计算。

xx xx I i =∑
43xx 416b b i ab 3.3613a 12a ⎡⎤
⎛⎞=−−⎢⎜⎢⎥⎝⎠⎣
⎦⎥⎟ 且 a ≥ b (2)
在此 i xx : 矩形分割截面的抗扭惯性矩
2a : 分割截面长边边长 2b : 分割截面短边边长
薄壁闭合截面的抗扭惯性矩的计算公式如下(参见图7)。

2
xx s 4A I d /t
=
∫v (3)
在此 A : 闭合截面中心线围成的截面面积。

d S : 任意位置闭合截面中心线段。

t : 任意位置的壁厚
抗扭惯性矩 : 2
4/xx s s
A I d t =
∫
任意点的应力 : 2T s
T At τ=
s t :
图7. 薄壁闭合截面的抗扭惯性矩和剪应力
因为预应力箱梁大部分属于厚壁闭合截面(翼缘厚大于腹板间距的1/10，腹板厚大于腹板高度的1/10)，上面两种方法均不能适用，也有一些用户综合考虑两种方法计算抗扭刚度，但不能说是精密的计算方法。

在MIDAS/Civil 6.7.0版本中，通过内部细部分析的方法，通过确定抗扭刚度计算抗扭惯性矩。

下面是一些标准截面形式的抗扭惯性矩的计算公式。

图8. 实心截面的抗扭惯性矩
图9. 薄壁闭合截面的抗扭惯性矩
图10. 厚壁开口截面的抗扭惯性矩
图11. 薄壁开口截面的抗扭惯性矩
由两个及以上标准截面组合而成的截面，抗扭惯性矩可取各部分的抗扭惯性矩之和。

如图12(a)所示截面可取中间闭合截面的抗扭惯性矩和四个开口截面的抗扭惯性矩之和。

(a) 由闭合截面和开口截面组成的截面
(b) 由两个闭合截面组成的截面
图12. 由两个以上截面构成的截面的抗扭惯性矩
- 图12(a)的闭合部分(阴影部分)的抗扭惯性矩
2
11C 11f w 2(b h )I b h t t ×=
⎛⎞+⎜⎟⎝⎠
(4)
- 图12(a)的开口部分(悬臂翼缘)的抗扭惯性矩
()3O 1w 1I 22b b t t 3⎡⎤
=−−×⎢⎥⎣⎦
(5)
w - 图12(a)的抗扭惯性矩
(6)
xx C O I I I =+
如图12所示有两个闭合截面组成的截面的抗扭惯性矩的计算方法如下。

当外部悬臂翼缘的抗扭惯性矩相对于全体截面的抗扭惯性矩较小可忽略不计时，可按外部闭合截面考虑，按下面公式计算抗扭惯性矩。

2
11xx 11f w 2(b h )I b h t t ×=⎛⎞+⎜⎟⎝⎠
(7)
当外部悬臂翼缘的抗扭惯性矩相对于全体截面的抗扭惯性矩较大不能忽略时，应考虑开口部分的截面惯性矩。

4. 截面特性值和扭转应力计算例题
薄壁闭合截面可通过手工计算其截面特性值，但像预应力箱梁这样有悬臂和加腋的厚壁闭合截面，不能通过简单的手工计算或简化了的公式准确计算其抗扭惯性矩。

下面通过薄壁闭合截面和厚壁闭合截面的例题，比较其它通用有限元程序的结果、实体模型精密分析结果以及MIDAS/Civil 6.7.0版本的计算结果。

4.1 抗扭惯性矩和有效剪切面积的比较 1) 薄壁闭合截面例题
如图13所示薄壁闭合截面的抗扭惯性矩和有效剪切面积，可通过上面图6~图11的公式计算。

下面是公式结果和MIDAS/Civil的计算结果，可看出图14的截面特性值的Asy、Asz、Ixx与公式结
果一致。

2.0H m =1.5B m =0.2f t m
=0.2w t m
=图13. 薄壁矩形管
公式计算结果
2
0.6m , 2
22 2.00.20.8sz w A H t
m =××=×
×=
MIDAS/Civil中提供的截面特性值
图14. MIDAS/Civil的计算结果
2) 预应力箱型截面例题
通过本例题比较有无加腋的箱梁截面的刚度值，提出计算截面刚度较为适宜的网格尺寸，并且与其它两个通用有限元程序计算的截面刚度值进行比较。

a.无加腋的截面
图15是无加腋的箱型截面的几何尺寸和MIDAS/Civil提供的截面特性值结果。

与其他两个通用有限元程序的比较结果见表1，互相之间的误差在4%以内。

图15. 使用MIDAS/Civil计算的箱型截面的特性值
表1. 截面特性值的比较
截面特性值 单位 MIDAS/Civil 通用有限元程序 A 通用有限元程序 B A sy m 217.454 17.235(1.27%)
17.588(0.76%) A sz
m 2 6.843 6.601(3.66%) 6.682(2.41%) I xx
m 4
167.607
163.238(2.67%)
163.814(2.32%)
注: 1. 括号内数字为同MIDAS/Civil的值的误差。

2. 通用有限元程序的程序名称隐去。

b. 有加腋的截面
图16显示的是有加腋的箱型截面的几何尺寸和用MIDAS/Civil计算的截面特性，可看出与无加腋截面的差异。

表2中列出的是与其他通用有限元程序计算结果的比较，可看出误差彼此之间的误差在4%以内。

图16. 使用MIDAS/Civil计算的箱型截面的特性值
表2. 截面特性值的比较
截面特性值 单位 MIDAS/Civil通用有限元程序 A通用有限元程序 B
A sy m218.410 18.119(1.61%)
18.516(0.57%)
A sz m27.557 7.283(3.76%) 7.388(2.29%)
I xx m4175.251 171.060(2.45%) 172.083(1.84%)
注: 1. 括号内数字为同MIDAS/Civil的值的误差。

c.截面网格细分对截面特性值的影响
程序内部对箱型截面细分后再计算截面特性，因此细分的精度会多少影响到特性值的结果。

表3为各细分尺寸计算结果的比较，虽然说细分的尺寸越小，特性值精度越高，但细分和计算特性值所需时间也会长一些。

在MIDAS/Civil中为了既保持精度又节省时间，程序内部将截面网格细分数量默认设置为300个，如果用户想自定义细分尺寸，可在PSC截面定义对话框中勾选“计算截面特性值网格尺寸”选项，并输入尺寸即可(参见图17)。

因为像悬臂法桥梁的箱型截面那样变截面较多时，如果过于细分网格尺寸，将会需要较多的计算时间，一般来说输入翼缘厚度的1/5~1/2值即可。

图17. 用户输入截面细分网格尺寸
表3. 各细分尺寸的截面特性值结果比较
网格尺寸 网格数 A sy A sz I xx计算时间备 注 100cm 85 18.810 7.871 182.72 0.3 sec
60cm 185 18.453 7.618 176.47 0.5 sec
50cm 272 18.410 7.557 175.25 0.7 sec
40cm 418 18.370 7.509 174.30 1.1sec 30cm 729 18.222 7.397 172.82 2.7 sec 20cm 1753 18.170 7.340 171.91 7.0 sec 10cm 7108 18.127 7.291 171.23 135sec 箱梁截面上部翼缘厚度为100cm
4.2 扭矩引起的剪切应力计算结果的比较
当梁单元受扭时，程序将利用3.1中计算的截面特性(抗扭惯性矩和有效剪切面积)计算剪切应力。

将实体单元模型分析结果(以下简称精密分析)视为精确解，将其与MIDAS/Civil和其他通用有限元程序结果进行比较。

1) 用户定义的薄壁方管例题
如图8所示矩形方管上作用扭矩大小为100kN ·m，下面是分别用理论计算公式计算的结果、精密分析的结果、使用MIDAS/Civil和其他通用分析程序的计算结果。

1.1H m = 1.1B m = 0.1f t m = 0.1w t m =
图18. 薄壁矩形方管
① 理论计算公式结果 (参考书籍: Mechanics of Materials, Gere & Timoshenko )
2
100
500kN/m 220.1 1.0
w T tA τ−=××=
在此 T : 扭矩 (100kN ·m)
t : 方管壁厚
m A : 中心线围成的面积( 1.0 1.0=×)
② 精密计算结果
为了计算精确的剪切应力的分布，使用了如图19所示的实体单元模型，单元网格尺寸划分为纵、横向各88个，总单元数量为2816个。

图19. 使用实体单元建立的模型
图20为剪应力的精密分析结果，最大剪应力在A区域为-888.15kN/m2，B区域为-596.42kN/m2。

A B
A
图20. 剪切应力的精密计算结果
③ MIDAS/Civil的计算结果
图21是使用MIDAS/Civil中的梁单元计算的剪切应力的梁单元细部分析结果。

最大剪切应力在A点为-828.208kN/m2，在B区域为的各位置(①、②、③)的剪应力结果分别为-601.82 kN/m2、-495. 2kN/m2、-388.57kN/m2 。

可看出在B区域的剪应力有外向里逐渐减小。

①
②
③
B구역플랜지의
전단응력분포
A B
图21. 使用MIDAS/Civil计算的扭矩引起的剪应力
④ 其他通用分析程序的计算结果
表4是使用其他通用程序(简称A)计算的上面各位置的剪应力结果，在B区域的应力分布的样式虽然与 MIDAS/Civil基本接近，但在A区域没能反映出应力集中的现象。

即程序A在应力集中A区域的最大剪应力为-500 kN/m2，比B区域的最大剪应力-590.72kN/m2还要小一些。

B区域的应力分布分别为-590.72kN/m2、-459.45kN/m2、-328.12kN/m2与MIDAS/Civil相同，表现出由外向里逐渐减少的趋势。

表4. 各区域的剪应力 单位: kN/m2项 目 A区域 B区域的 ① B区域的 ② B区域的 ③ 备 注 剪应力 590.72 590.72 459.45 328.12
注: A和B区域的具体位置参照图21。

⑤ 结果的整理
表5为上面各种计算方法的结果整理表格。

薄壁封闭截面的理论计算公式在所有位置的剪应力均相同,为-500 kN/m2。

但是从精密分析中可以看出截面内各位置的剪应力是不同的，精密计算结果中壁厚中央位置的剪应力与理论计算公式的基本相同。

MIDAS/Civil与程序A均能反映剪应力沿壁厚方向的变化倾向，从数值上看MIDAS/Civil的结果比程序A的结果更接近于精密分析结果的值。

表5. 剪应力计算结果比较 单位: kN/m2项 目 理论计算公式 精密分析 MIDAS/Civil程序 A 备 注
-596.42
-
601.82(0.90%)
-590.72(0.96%) B 구역의 ①
-495.40
-
495.20(0.04%)
-459.45(7.80%) B 구역의 ②
剪应力 500
-394.43
-
388.57(1.50%)
-328.12(20.2%) B 구역의 ③
最大剪应力 500 888.15 828.21(6.75%)590.72(33.49%) A 구역注: 括号内数值为与精密分析结果的比较误差。

(2) 箱型梁截面例题
下面使用具有加腋的箱型截面(参见图22，作用扭矩为1000tonf·m)，比较扭矩作用下剪应力的精密分析结果、MIDAS/Civil结果和程序A的结果。

图22. 考虑加腋的箱型梁截面
a．精密分析的剪应力计算结果
图23为实体单元沿横截面的网格划分。

图23. 精密分析截面横向网格划分
图24和图25为精密分析结果，单元坐标系x-z平面内剪应力(Sig_xz)的最大值为26.531tonf/m2, 最小值为–17.276 tonf/m2；单元坐标系y-z平面剪应力(Sig_yz)的最大值为 27.712tonf/m2，最小值为-27.708 tf/m2。

图24. 单元坐标系x-z平面内剪应力(Sig_xz)
图25. 单元坐标系y-z平面内剪应力(Sig_yz)
b. MIDAS/Civil的剪应力计算结果
图26是MIDAS/Civil的梁截面细部分析剪应力结果。

单元坐标轴y方向的剪应力(τxy)的最大值为26.377tonf/m2，最小值为–17.189tonf/m2；单元坐标系z轴的剪应力(τxz)的最大值为27.590 tonf /m2，最小值为–27.585 tonf/m2。

图26. 单元坐标系y轴方向的剪应力(τxy)
图27. 单元坐标系z轴方向的剪应力(τxz)
c. 程序A的剪应力计算结果
程序A的计算结果参见表6。

单元坐标系x-z平面内的剪应力(SXZ)的最大值为27.800tonf/m2，最小值为–17.779tonf/m2 ；单元坐标系x-y平面内的剪应力(SXY)的最大值为28.141tonf/m2，最小值为–27.384tonf/m2。

表6. 程序A的剪应力计算结果 单位: tonf/m2单元坐标系x-z平面的剪应力 单元坐标系x-y平面的剪应力 备 注 项目
最大值 最小值 最大值 最小值 剪应力 27.800 -17.779 28.141 -27.384
d. 结果的整理
表7为精密分析结果、MIDAS/Civil的分析结果、通用程序A在扭矩作用下的剪应力计算结果比较表格。

与精密分析结果比较，程序A的的最大误差为4.78%，MIDAS/Civil的最大误差为0.58%，MIDAS/ Civil的结果接近精密分析的结果。

表7. 剪应力计算结果的比较 单位: tonf/m2剪应力 精密分析 MIDAS/Civil 程序A
单元坐标轴y轴方向
最大值 26.531 26.377(0.58%)27.800(4.78%) 剪应力(τxy) 最小值 -17.276 -17.189(0.50%)-17.779(2.91%)
最大值 27.712 27.590(0.44%)28.141(1.54%) 单元坐标轴z轴方向
剪应力(τxz) 最小值 -27.708 -27.585(0.44%)-27.384(1.17%) 注: 括号内数值为与精密分析结果的比较误差。