安庆师范大学

第1章 随机事件与概率
§1.1 随机事件 §1.2 随机事件的关系与运算 §1.3 概率的定义及确定方法 §1.4 条件概率及其三大公式 §1.5 事件的独立性
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
1. 确定性现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象 • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？
事件间运算与关系的图示
事件的运算律：与集合的运算律相似
交换律 ；结合律；分配律；对偶律
A U B A I B, A I B A U B
n
n
Ai Ai,
i 1
i 1
n
n
Ai Ai;
i 1
i 1
例1.1.1 设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算式 表示下列事件：
（1）A发生而B与C都不发生：
“取出的个产品中恰有n个次品 ）
解： 1）
M N M
P( Am )
m
nm
N
n
2）
P( Am )
n
m
M N
m
1
M N
nm
例题1.2.3（抽签的公平性）设袋中有形状和质感完全 相同的 a只黑球和 b只白球，现随机地不放回取球，求 “第k次取出的球为黑球”的概率.
解 (法一）将这a+b只球看成各不相同, 编号后一一取出排成 一排，则每一个不同的排法对应着不同的取法也即一个样
例1.2.2 （抽样模型）一批产品共有 N 个，其中有是M个不
合格品，N - M个是合格品. 现按如下两种方式抽取个产品：
1）（无放回抽样）每次抽取产品后不放回，再接着抽取下
一个产品；
2）（有放回抽样）每次抽取产品后再把该产品放回，然后
再抽取下一个产品.
试的问概在率两”种（方n 式N下, m事件MAm
（1）A发生而B与C都不发生：
（2）A，B都发生而C不发生：
（3）A,B,C 至少有一个事件发生： （4） A,B,C至少有两个事件发生 （5）A,B,C 恰好有两个事件发生： （6） A,B,C恰好有一个事件发生： （7） A,B至少有一个发生而C不发生 （8） A,B,C都不发生：
解：（1） ABC 或 A-B-C 或 A （B UC） （2）ABC 或 AB C . （3）AUB UC. （4）AB U AC UBC （5）AB U AC U BC （6）ABC U B AC U C AB （7）(A UB) C . （8）A B C 或 ABC .
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合,
Ω的子集，常用A、B、C…表示.
2. 基本事件 —— Ω的单点集.
3. 必然事件 (Ω)
4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
5. 随机变量 表示随机现象结果的变量.
常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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1.1.3 随机事件间的关系与运算
P( An ) P( An )
n 1
n 1
1.2.2 概率的统计定义（频率方法）
随机试验可大量重复进行.
进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数，
称 fn ( A)
n( A) n
fn ( A)
n为(A)事 件k A的频率.
nn
频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). 用频率的稳定值作为该事件的概率.
直观定义 ：事件A 出现的可能性大小. 统计定义 ：事件A 在大量重复试验下出现的
频率的稳定值称为该事件的概率. 古典定义； 几何定义： 公理化定义：
1.2.1 概率的公理化定义
非负性公理： P(A)0;
正则性公理： P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……互不
相容，则
• 一天内进入某超市的顾客数;
某种型号电视机的寿命;
随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
特点： 1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果
会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.
1.1.2 随机试验与样本空间
例1.1.2 在数学系的学生中任选一名学生.
若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该 生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员.
（1） 叙述 ABC 的意义.
（2） 在什么条件下 ABC=C 成立？
（3） 在什么条件下 A B 成立？
1.1.5* 事件域
§1.2 概率的定义及计算
概率论发展中出现的几种概率定义
（1）包含与相等
包含关系：A B, A 发生必然导致 B 发生. 相等关系: A = B A B 而且 B A.
（2）互不相容
互不相容（互斥）：A 和 B不可能同时发生.
（3）和
A 与 B的和（并）： A 与 B 至少有一发生 ，
记为： A B
n
A=
Ai
i 1
表示“A1, A2,… An中至少有一个事件发
生”这一事件.
（4）交
A 与 B的交（积） ： A 和 B同时发生.记作
AB
n
B= Bi
件. i1
表示“B1, B2,… Bn同时发生”这一事
（5）差： A发生且B不发生，记为 A-B
（6）对立： A不发生，记为 B A
对立事件间关系： A U A , A I A . 对立事件必为互不相容事件，反之，互不相容 事件未必为对立事件.
1.2.4 确定概率的古典方法
古典定义 设 为样本空间，若 ① 只含有限个样本点（有限性）; ② 每个样本点出现的可能性相等（等可能性） 则事件A的概率（古典概率）为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
例1.2.1 （随机取数）在自然数1,2,…,120中任取 一数，求这个数能被3整除的概率.
（2）A，B都发生而C不发生：
（3）A,B,C 至少有一个事件发生： （4） A,B,C至少有两个事件发生 （5）A,B,C 恰好有两个事件发生： （6） A,B,C恰好有一个事件发生： （7） A,B至少有一个发生而C不发生 （8） A,B,C都不发生：
例1.1.1 设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算式 表示下列事件：
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察.
它具有两个特点：随机性、重复性.
2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) ——
随机试验的所有样本点构成的集合. *4. 两类样本空间：
离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.