线性代数—101二阶、三阶行列式

当 a11a22 a12a21 0 时， 方程组的解为
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21 x1 ， x2 . a11a22 a12a21 a11a22 a12a21 （3）
由方程组的四个系数确定.
定义
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
a11 a12 a21 a22
若记
D1 b2 b3 a11 b1 b2 D a21 b Baidu Nhomakorabeaa31 3
或
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
33
（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.
a11 D a21 a31
a12 a22 a32 a12 a22 a32

a13 a23 .列标 a33 行标 a13 a23 a33
三阶行列式的计算
a11
a11 a21 a31
a12 a22 a32

沙路法
D a21 a31

D a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 .
2.三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 利用三阶行列式求解三元线性方程组 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , 如果三元线性方程组 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
D1
b1 b2
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D2
a11 a21
b1 b2
.
则二元线性方程组的解为
b1 a12 a11 b1
D1 b2 a22 x1 , D a11 a12 a21 a22
D2 a21 b2 x2 . D a11 a12 a21 a22
三、小结
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算
a11 a21
a11 a21 a31
对角线法则
a12 a22
a12 a22 a32
a11a22 a12 a21 .
a13
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a33
a21
a12
a22
a11 x1 a12 x2 b1 , 对于二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2 .
若记 系数行列式
D
a11 a21
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D
a11 a21
记
D1 b2 b3 b1
即
D1 b2 b3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
注意
分母都为原方程组的系数行列式.
二、三阶行列式
定义
设有9个数排成3行 3列的数表 a11 a21 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ( 5)
记 a11 a21 a31
a31
a12 a22 a32 a13
a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (6) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
a12 a22 a32 a12 a22 a32
a13 a23 a33 b1 b2 . b3
b1 D1 b2 b3 a11 D2 a21 a31
a12 a22 a32 b1 b2 b3
a13 a23 , a33 a13 a23 , a33
则三元线性方程组的解为:
D1 x1 , D D2 x2 , D D3 x3 . D
第一章 行列式
本章主要内容 n阶行列式的定义 行列式的主要性质 行列式按行（列）展开
一、二阶行列式的引入
用消元法解二元线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
1 2
1 a22 : 2 a12 :
a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , a12a21 x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2，得
（a11a22 a12a21）x1 b1a22 a12b2 ;
类似地，消去 x1，得 （a11a22 a12a21）x2 a11b2 b1a21 ,
a11 a21 a12 a22
称列）的数表
( 4)
表达式 a11a22 a12a21称为数表（4）所确定的二阶 行列式，并记作 ( 5)
即
D
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21 .
二阶行列式的计算
主对角线 副对角线
对角线法则
a11a22 a12a21 .
a11
得
D2 a21 a31
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 a11 b1 b2 b3 a13 a23 , a33 a12 a22 a32 b1 b2 . b3
得
D2 a21 a31
a11 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , D3 a21 a x a x a x b ; a31 31 1 32 2 33 3 3
a11 D a21 a31 a11 D3 a21 a31
a11 a12 a22 a32 a13 a23 0, a33
的系数行列式 D a21 a31
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 , a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 , a x a x a x b ; 31 1 32 2 33 3 3 b1 a12 a22 a32 a12 a22 a32 a13 a23 , a33 a13 a23 a33
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D1
b1 b2
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .
D
a11 a21
a12 a22
,
a11 x1 a12 x2 b1 , a21 x1 a22 x2 b2 .