勾股定理单元检测题
《勾股定理》单元检测三
《勾股定理》单元检测（3）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、直角三角形一直角边长为12，另两边长均为自然数，则其周长为（ ）A 、36B 、28C 、56D 、不能确定 2、直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高是( )A 、3.5B 、2.4C 、1.2D 、53、下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2+n 2, m 2–n 2, 2mn(m,n 均为正整数,m >n)；④2a ,1a 2+,2a 2+。
其中能组成直角三角形的三边长的是 ( )A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④ 4、三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是 ( )A 、等边三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、锐角三角形5、等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )A 、13B 、8C 、25D 、646、小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( ) A 、2m B 、2.5m C 、2.25m D 、3m 二、 填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7、如图，AC ⊥CE ，AD=BE=13，BC=5，DE=7，则AC= 。
8、已知0)10z (8y 6x 2=-+-+-,则由此z ,y ,x 为三边的三角形是 三角形。
A BCDE9、在ΔABC 中，若AB=30，AC=26，BC 上的高为24，则此三角形的周长为 。
10、如图，一直角梯形，∠B=902，AD ∥BC ，AB=BC=8，CD=10，则梯形的面积是 。
11、一直角三角形三边长分别为5,12,13,斜边延长x ,较长的直角边的长x +2,所得的仍是直角三角形,则x = 。
12、在ΔABC 中,若AB 2+BC 2=AC 2,则∠A+∠C= 0。
勾股定理单元测试题(内含答案)
勾股定理测试题一、相信你的选择1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A．16πB．12πC．10πD．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm二、试试你的身手5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元．三、挑战你的技能如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A 的仰角为30°，已知侧角仪高DC ＝， BC ＝30米，请帮助小明计算出树高AB ．（3取，结果保留 三个有效数字）参考答案与提示一、相信你的选择 150o 20米30米1、D （提示：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2－BC 2＝172－152＝82，∴AB ＝8．∴S 半圆＝21πR 2＝21π×（28）2＝8π．故选D ）；2、C （提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，故选C ）；3、A （提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt △AOB 和Rt △A ′OB ′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B ′O 2＝22＋72，B ′O ＝44，6＜B ′O ＜7，则O ＜BB ′＜1．故应选A ）；4、D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm≤h ≤16cm ，故选D ）．二、试试你的身手5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有 （3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝．故AD ＝226.36-＝）；8、150a ．三、挑战你的技能10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D作DE⊥AB于点E，则ED＝BC＝30米，EB＝DC＝米．设AE＝x 米，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，则AD＝2x．由勾股定理得：AE2＋ED2＝AD2，即x2＋302＝（2x）2，解得x＝103≈．∴AB＝AE＋EB≈＋≈（米）．答：树高AB约为米．。
勾股定理单元测试卷
勾股定理单元测试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列命题的逆命题成立的是()A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两条直线平行，同位角相等D．对顶角相等2．观察下列几组数据：①3，4，5；②4，5，6；③6，8，10；④7，24，25．其中能作为直角三角形三边长的有()A．1组B．2组C．3组D．4组3．如图，点C所表示的数是()A B．C．1D．4．如图，ABC∆中，90ACB∠=︒，4AC=，3BC=，将ADE∆沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为()A．78B．3 C．254D．2585．如图，大正方形是由边长为1的小正方形拼成的，A，B，C，D四个点是小正方形的顶点，以其中三个点为顶点，可以构成直角三角形的个数是()A ．2B ．1C ．4D ．36．已知ABC ∆的三边分别为a 、b 、c 2(12)|13|0b c -+-=，则ABC ∆的面积为( )A ．30B ．60C ．65D ．无法计算7．如图所示的24⨯的正方形网格中，ABC ∆的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A 到BC 的距离等于( )A B ．CD8．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是( )A ．16B ．25C ．144D ．1699．如图，一棵大树被台风挂断，若树在离地面3m 处折断，树顶端落在离树底部4m 处，则树折断之前高( )A ．5mB ．7mC ．8mD ．10m10．如图，长方体的高为9dm ，底面是边长为6dm 的正方形．一只蚂蚁从顶点A 开始爬向顶点B ，那么它爬行的最短路程为( )A ．10dmB ．12dmC ．15dmD ．20dm二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要 m ．12．如图，在ABC ∆中，10AB cm =，6AC cm =，8BC cm =，若将AC 沿AE 折叠，使得点C 与AB 上的点D 重合，则AEB ∆的面积为 2cm ．13．如图，1OP =，过点P 作1PP OP ⊥，且11PP =，得1OP ；再过点1P 作121PP OP ⊥且121PP =，得2OP =；又过点2P 作232P P OP ⊥且231P P =，得32OP =⋯，依此法继续作下去，得2022OP = ．14．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AB =，分别以AC 和BC 为边，向外作等腰直角三角形ACD ∆和BCE ∆，则图中的阴影部分的面积是 ．15．已知ABCAC=，BC边上的高8AD=．则边BC的长为．AB=，10∆中，17三、解答题（共8小题，共75分）16．如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部（B）着地，离旗杆底部（A）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？17．如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点25B m，结果他在水中实际划了65m，求该河流的宽度．18．如图，在ABCBD=．==，1AB AC∆中，CD AB⊥，垂足为D，13（1）求CD的长；（2）求BC的长．19．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点．（1）求AB 和BC ；（2）求ABC ∠的度数．20．如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数叫做勾股数组．我国清代数学家罗士琳对勾股数组进行了深入研究，提出了各种有关公式400多个．他提出：当m ，n 为正整数，且m n >时，22m n -，2mn ，22m n +为一组勾股数组，直到现在，人们都普遍采用他的这一公式．（1）除勾股数3，4，5外，请再写出两组勾股数组 ， ；（2）若令22x m n =-，2y mn =，22z m n =+，请你证明x ，y ，z 为一组勾股数．21．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点A ，B ，其中AB AC =，由于某种原因，由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点(H A 、H 、B 在同一条直线上），并新修一条路CH ，测得 1.5CB =千米， 1.2CH =千米，0.9HB =千米．（1）问CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH 比原路CA 少多少千米？22．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．23．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ，45CBE ∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．。
人教版八年级下册数学 第十七章 勾股定理 单元测试
人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理 单元测试一.单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，则222AB BC AC ++的值为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．92．已知点M 的坐标为()3,4-，则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在第二象限内B ．点M 到x 轴的距离为3C ．点M 关于y 轴对称的点的坐标为()3,4D ．点M 到原点的距离为53．如图，八年级一班的同学准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿AB 竖直插到水底，此时竹竿AB 离岸边点C 处的距离0.8CD =米．竹竿高出水面的部分AD 长0.2米，如果把竹竿的顶端A 拉向岸边点C 处，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则人工湖的深度BD 为（ ）A ．1.5米B ．1.7米C ．1.8米D ．0.6米4．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（ ）A ．4 cmB ．4.75 cmC ．6 cmD ．5cm5．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x 尺，则下面所列方程正确的是（ ）A ．2223(1)x x +=-B ．222(1)3x x +-=C ．222(10)3x x +-=D ．2223(10x)x +=-6．如图，x 轴、y 轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A 为圆心，AB 为半径的弧交x 轴负半轴于点C ，则点C 的坐标为（ ）A ．(﹣1，0)B ．(20) C ．3，0) D ．(30)7．如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE V 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．748．如图，Rt ABC 中，8,6,90AB BC B ==∠=︒，M ，N 分别是边,AC AB 上的两个动点．将ABC 沿直线MN 折叠，使得点A 的对应点D 落在BC 边的三等分点处，则线段BN 的长为（ ）A ．3B ．53C ．3或53D ．3或1549．△ABC 的三边长a ，b ，c（b ﹣12）2+|c ﹣13|＝0，则△ABC 的面积是（ ）A ．65B ．60C ．30D ．2610．如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB ＝10m ，BC ＝6m ，若A 端沿垂直于地面的方向AC 下移2m ，则B 端将沿CB 方向移动的距离是（ ）米．A ．1.6B ．1.8C ．2D ．2.211．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c 2为“整弦数”，则c 不可能为正整数；④若m ＝a 12+b 12，n ＝a 22+b 22，11a b ≠22a b ，且m ，n ，a 1，a 2，b 1，b 2均为正整数，则m 与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图所示，ABCD 是长方形地面，长20AB =，宽10AD =，中间整有一堵砖墙高2MN =，一只蚂蚁从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26二.填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．一根直立于水中的芦节（BD ）高出水面（AC ）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D 恰好到达水面的C 处，且C 到BD 的距离AC ＝6米，水的深度（AB ）为________米14．如图，在ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B 和C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；②作直线MN 交边AB 于点E ．若5AC =，4BE =，45B ∠=︒，则AB 的长为_________．15．如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，DE ⊥AC 于E ，DE ＝3，S △DAC ＝6，则∠ACB 的度数等于 _____．16．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了 _____步路．（假设2步为1米）17．观察下列几组勾股数，并填空：①6，8，10，②8，15，17，③10，24，26，④12，35，37，则第⑥组勾股数为______．18．如图，AB ⊥BC 于点B ，AB ⊥AD 于点A ，点E 是CD 中点，若BC ＝5，AD ＝10，BE ＝132，则AB 的长是 _____．19．如图，Rt △ABC ≌Rt △FDE ，∠ABC ＝∠FDE ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝4，将Rt△FDE 沿直线l 向右平移，连接BD 、BE ，则BD+BE 的最小值为___．20．如图所示的是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长为5，小正方形的边长为1．（1）如图1，若用a ，b 表示直角三角形的两条直角边（a<b ），则ab=______．（2）如图2，若拼成的大正方形为正方形ABCD ，中间的小正方形为正方形EFGH ，连接AC ，交BG 于点P ，交DE 于点M ，AFP CGP S S -△△=______．三.解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．在ABC 中，90C =∠，3AC =，4CB =，CD 是斜边AB 上高．(1)求ABC 的面积；(2)求斜边AB ；(3)求高CD ．22．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，边AC 的垂直平分线分别交边BC 、AC 于点D 、E ，DC ＝6．求AB 的长．23．琪琪与婷婷进行遥控赛车游戏，终点为点A ，琪琪的赛车从点C 出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时婷婷的赛车从点B 出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，40AC =米，30AB =米，（1）出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？（2）当两赛车距A 点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？24．先阅读下列一段文字，再解答问题：已知在平面内有两点111222(,),(,)P x y P x y ，其两点间的距离公式为12PP 同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为21x x -或21y y -(1)已知点M （2，4），N （3，8），试求M ，N 两点间的距离；(2)已知点(0,6)(3,2),(3,,2)A B C -，判断线段AB ，BC ，AC 中哪两条是相等的？并说明理由．25．在平面直角坐标系xOy中，对于点A，规定点A的α变换和β变换．α变换：将点A向左平移一个单位长度，再向上平移两个单位长度；β变换：将点A向右平移三个单位长度，再向下平移一个单位长度(1)若对点B进行α变换，得到点（1，1），则对点B进行β变换后得到的点的坐标为．=，求m的值．(2)若对点C（m，0）进行α变换得到点P，对点C（m，0）进行β变换得到点Q，OP OQ(3)点D为y轴的正半轴上的一个定点，对点D进行α变换后得到点E，点F为x轴上的一个动点，对点+的最小值为D的坐标．F进行β变换之后得到点G，若DG EF。
八年级数学《勾股定理》单元测试题(B卷)
八年级数学《勾股定理》单元测试题（B 卷）一．选择题（共10小题）1．已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c 下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ） A ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5 B ．a ＝5，b ＝12，c ＝13 C ．∠A ﹣∠B ＝∠CD ．a 2＝b 2﹣c 22．以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ） A ．3k ，4k ，5k （k ＞0） B ．32，42，52 C ．13，14，15D ．√3，√4，√53．已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．b 2＝a 2﹣c 2B ．∠A ＝∠B +∠C C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a 2：b 2：c 2＝1：2：34．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ．26B ．18C ．20D ．215．如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．27D ．5√26．小明从家出发向正北方向走了60m ，接着向正东方向走到离家100m 远的地方，小明向正东方向走了（ ） A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．160 m7．如图，长方形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，AB 在数轴上，若以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 表示的数为（ ）A．√5B．√5−1C．√10D．√10−18．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三边长之比为3：4：5B．三内角之比为3：4：5C．三内角之比为1：2：3D．三边长的平方之比为1：2：39．“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是（）A．121B．144C．169D．19610．如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共5小题）11．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为．12．已知直角坐标平面内两点A（6，4）和B（2，1），则线段AB的长为．13．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，若AC＝2cm，AD=52cm，则BD的长度为cm．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，CB＝12，BD平分∠ABC，则AD的长是．15．如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为米．三．解答题（共8小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AD＝CD，求CD的长．17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．（1）求证：△AEF是等边三角形；（2）若EF＝2，求CF的长．18．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．19．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.3米，将秋千AD往前推送BC＝1.5米，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为0.8米，秋千的绳索始终保持拉直的状态．（1）求秋千的长度；（2）如果想要踏板离地的垂直高度为1.8米时，需要将秋千AD往前推送米．20．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．（1）请用文字语言叙述勾股定理的内容：；（2）请从下列3种常见的证明图形中任选一种来证明该定理．（下图中的图形均满足证明勾股定理所需的条件）21．为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°，AB＝26m，BC＝24m．求出该空地的面积．22．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：测量示意图测量数据边的长度①测得水平距离BC的长为15米．②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？23．每周一我们都会举行升旗仪式，看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．。
八年级数学《勾股定理》单元测试题(A卷)
八年级数学《勾股定理》单元测试题（A 卷）一．选择题（共10小题）1．满足下列条件中的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．a 2＝b 2﹣c 2B ．∠A ﹣∠B ＝∠C C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a ：b ：c ＝7：24：252．下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（ ）A ．4，8，4√3B ．4，8，4√5C ．7，24，25D ．7，14，153．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ ）A ．10B ．13C ．7D ．144．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC ，则△ABC 中BC 边上的高是（ ）A ．25√10B ．√2C ．2√2D ．35√105．下列几组数，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．5，12，13B ．2，3，4C ．3，4，5D ．7，24，256．如图，数轴上的点A 表示的数是﹣1，点B 表示的数是1，CB ⊥AB 于点B ，且BC ＝2，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧交数轴正半轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．√2B ．2√2C ．2√2−1D ．2√2+17．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝5，CD ＝3，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°，则BD 的长为（ ）A．√34B．√41C．√43D．√598．下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（）A．1，2，3B．6，7，8C．1，1，√3D．5，12，13 9．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．√5B．√13C．4D．510．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．（b+c）（b﹣c）＝a2D．a＝7，b＝24，c＝25二．填空题（共5小题）11．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为．12．如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为10，18，则正方形C的面积是．13．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，在AC上截取CD＝CB．在AB上截取AP＝AD，则AP＝．14．如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为．15．小明在小区放风筝时，风筝意外挂在了树的顶端，热爱思考的他制定了一个测量树高的方案．如图，在地面A处测得手中剩下的风筝线为4米．后退6米后，在地面B处风筝线恰好用完（点N在点M的正下方，A、B、N在同一条直线上）．已知风筝线总长为8米．则这棵树的高度MN为．三．解答题（共8小题）16．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为AC＝15km，与公路上另一停靠站B的距离为BC＝20km，停靠站A、B之间的距离为AB ＝25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD ⊥AB．（1）请判断△ABC的形状？（2）求修建的公路CD的长．17．面积、体积探究．如图，三角形ABC为直角三角形，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大19平方厘米，求BC的长．（取π＝3）18．如图，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，试判断△ABC的形状，并说明理由．19．八年级二班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为15米．（注：BD⊥CE）（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米．（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且AB＝15，AD＝12，CD＝16．求证：△ABC是直角三角形．21．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，且a+b＝7，c＝5，求Rt△ABC的面积．22．已知：如图，△ABC中，D是AB中点，若AC＝12，BC＝5，CD＝6.5，求证：△ABC 是直角三角形．23．已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13．求证：△ACD是直角三角形．。
勾股定理单元测试卷
第一章勾股定理(时间：60分钟满分100分)一、填空题：（每题4分，共28分）题号 1 2 3 4 5 6 7 得分答案1、.如右图：正方形A的面积为36,正方形B的面积为64,则正方形C的面积为A.49B.100C.144D.812、以下各组数中不能作为直角三角形的三边长的是A、3、6、8;B、5、12、13;C、6、8、10;D、8、17、15.3、在三角形ABC中，====∠BCACABC则,6,10,900A、4B、8C、16D、1364、将直角三角形的三条边长同时扩大或缩小2倍, 得到的三角形是A、钝角三角形;B、锐角三角形;C、直角三角形;D、等腰三角形5、如右图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是A、25B、12.5C、9D、8.56、小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机,以下对29英寸的说法中准确的是A. 小丰认为指的是屏幕的长度;B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长;D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度.7、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为A、65B、60C、120D、130二、填空题：（每题4分，共20分）8、已知甲往东走了8km，乙往南走了15km，这时甲、乙俩人相距。
9、⊿ABC中，若AC2＋AB2= BC2，则∠B＋∠C= 。
10、在⊿ABC中，∠C=90°，若c=10，a﹕b=3﹕4，则a= ，b= 。
11、正方形的面积为100平方厘米，则该正方形的对角线长的平方为12、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是16的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到高的中点处B点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
三、解答题：（共44分）13、（5分）求图中阴影部分半圆的面积.(圆周率用π表示)AB 第12题图Caaaabbbbcccc14.（5分）4个直角三角形拼成右边图形，你能根据图形面积得到勾股定理吗？15. （5分）在图中，∠B=∠FAC= 90°BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，AF 为12cm ，求正方形CDEF 的面积。
勾股定理单元检测
勾股定理单元检测：一、选择题（每小题4分，共32分）1．如果直角三角形的一条直角边和斜边的长分别4，6，那么以另一条直角边 为边的正方形的面积是 （ ）2．如果直角三角形的三条边长都是整数，且一条直角边长为4，周长为12，那么三角形的面积为 （ ）3．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为（ ）4．正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于O ，OE ,FG ,HM 都垂直 于AD ，EF ,GH ,MN 都垂直于AC ，若ΔAMN 的面积等于1，那么正方形ABCD 的边长为（ ）5．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ）． A ．12米 B ．13 米 C ．14米 D ．15米6．△ABC 中，AD 是高，AB =17，BD =15，CD =6，则AC 的长是（ ）． A ．8 B ．10 C ．12 D ．137．一个木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．A ．13，12，12B ．12，12，8C ．13，10，12D ．5，8，48．如果直角三角形有一直角边是11，另外两边长是连续自然数，那么它的周长是（ ）． A ．121 B ．132 C ．120 D ．110 二、填空题（每小题4分，共36分.把答案填在横线上）1．如果直角三角形的两条直角边的长分别为5cm ，和12cm ，那么它的斜边长 为________cm .2．为了装货方便，将一块5米长的木板AB 斜搭在货车车厢一端,已知车厢离开地 面的高度为AC =1.4米，小明说木板的接地端离车厢的水平距离BC 为4.8米．他说 了（填“对”或“错”）3．已知一个直角三角形的两边长是3cm 和4cm ，第三边的平方= cm 2 4在直线l 上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方形的面积分别是2，3，4，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++= ．(A)2 (B)20 (C)32 (D)52 (A)6 (B)8 (C)10 (A)4π㎝2 (B) 6π㎝2 (C) 12π㎝2(D)24π㎝2 (A)8 (B) 16 (C) 24(D) 325．如图1，小明将一张长为20cm ，宽为15cm 的长方形纸减去了一角，量得AB =3cm ，CD =4cm ，则剪去的直角三角形的斜边长为_______．图1 图2 图36．王师傅在操场上安装一副单杠，要求单杠与地面平行，杠与两撑脚垂直，如图2所示，撑脚长AB 、DC 为3m ，两撑脚间的距离BC 为4m ，则AC =____m 就符合要求．7．如图2，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_____米．8图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
八年级上勾股定理单元测试4份及解答题
一，选择题( 本大题共8小题, 每小题3分,共24分)1. 如图：,,a b cA. 222a b c += B. ab c = C. a b c += D. 2a b c += 2. 下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A 、2,3,4a b c === B 、7,24,25a b c === C 、6,8,10a b c ===D 、3,4,5a b c ===3．小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸最有可能是 ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米) 4. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )A. 25B. 12.5C. 9D.8.55．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 26．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里7.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )A. 2m;B. 2.5m;C. 2.25m;D. 3m. 第5题图北南 A东第6题图基础训练1．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，则梯脚与墙角的距离应为 米．5．如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 ．（ 不取近似值）6．底边长为16cm ，底边上的高为6cm 的等腰三角形的腰长为 cm ．7．一艘轮船以16km/h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h 的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 Km ；8．如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，AD=12，AC=13，BC=14. 则AB=_____.9．如图是一个育苗棚，棚宽a=6m ， 棚高b=2.5m ，棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m 2．10．在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m ． 11．若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 ( ) A. 48 cm 2 B. 36 cm 2 C. 24 cm 2 D.12 cm 2A. 1.5mB. 0.9mC. 0.8mD. 0.5m14．一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地12． 若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ） A.18 cm B.20 cmC.24 cmD.25 cm13．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯脚移动的距离是（）ABCD (第8题)(第9题)5m(10题)257A.440 mB.460 mC.480 mD. 500 m 15.分别以下列四组为一个三角形的三边的长①6、8、10；②5、12、13； ③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）. A.4组 B.3组 C.2组 D.1组16．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）． （A ）24cm 2 （B ）36cm 2 （C ）48cm 2 （D ）60cm 217．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3之间的关系是（ ）． （A ）321S S S >+ （B ）321S S S =+（C ）321S S S <+ （D ）无法确定321S S S八年级上勾股定理单元测试（三）一、选择题（每题3分,共18分）1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ） （A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,62．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个直角三角形的面积是（ ） （A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）603．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米 二、填空题（每题3分,共24分）4. 如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.5. 在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.6. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.7. 如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S =8.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm =,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把AED ∆折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF ∆的面积为230cm ,那么折叠AED ∆的面积为_____.图610．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。
勾股定理单元测试题
勾股定理单元测试题# 勾股定理单元测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 82. 勾股定理适用于：A. 所有三角形B. 只有直角三角形C. 等边三角形D. 等腰三角形3. 一个三角形的三边长分别为5、12和13，这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 都不是4. 下列哪组数不能构成直角三角形的三边长？A. 3, 4, 5B. 6, 8, 10C. 7, 24, 25D. 9, 12, 155. 如果一个三角形的两边长分别为8和15，斜边长为17，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 都不是二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是_________。
7. 如果一个三角形的三边长分别是a, b, c，并且满足a² + b² =c²，那么这个三角形是_________三角形。
8. 勾股定理的公式为_________² + b² = c²，其中c是_________。
9. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度为20，一条直角边的长度为15，那么另一条直角边的长度是_________。
10. 勾股数是指满足a² + b² = c²的三个正整数，例如3, 4, 5。
请写出另一组勾股数：_________，_________，_________。
三、计算题（每题10分，共20分）11. 已知直角三角形的两条直角边分别为9和12，求斜边的长度。
12. 在一个直角三角形的地面上，如果斜边的长度是10米，一条直角边的长度是6米，求另一条直角边的长度。
四、证明题（每题15分，共15分）13. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，并且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。
八年级数学下册《第十七章 勾股定理》 单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学下册《第十七章勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)一、单选题1．我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深______尺，葭长_____尺.解：根据题意，设水深OB＝x尺，则葭长OA'＝（x+1）尺.可列方程正确的是（）A．x2+52 ＝（x+1）2B．x2+52 ＝（x﹣1）2C．x2+（x+1）2 ＝102D．x2+（x﹣1）2＝522．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E为BC边上两点，∠DAE=45°，过A 点作AF⊥AE，且AF=AE，连接DF、BF.下列结论：①△ABF≌△ACE，②AD平分∠EDF；③若BD=4，CE=3，则AB=6√2；④若AB=BE，S△ABD=12S△ADE，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．在△ABC中，AB=10，AC=17，BC边上的高AD=8，则△ABC的面积为（）A．72B．84C．36或84D．72或844．如图，在△ABC中，△C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．55．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为8m，则BB′的长为（）A．1m B．2m C．3m D．4m6．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）……如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2020C．2021D．20227．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（）A．26B．49C．52D．648．要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（）A．(3√5+7)m B．(5√3+7)m C．(7√5+3)m D．(3√7+5)m9．如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门铃5m及5m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如②图所示，一个身高1.5m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为（）A．3米B．4米C．5米D．7米10．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC 绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（）A．√2B．√2+1C．1﹣√2D．﹣√2二、填空题11．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为AB中点，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，BE=2，CD=5，则DE=．12．如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=．13．如图，已知Rt△ABC，△C=90°，BD是角平分线，BD=5，BC=4，则D点到AB的距离是。
勾股定理单元测试题及答案
勾股定理单元测试题一、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A：4，5，6 B：1，1，C：6，8，11 D：5，12，232、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A：26 B：18 C：20 D：213、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A：3 B：4 C：5 D：4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（）A：5 B：C：D：5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A、B、C、D、36、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（）A、6B、7C、8D、97、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A、3cmB、4cmC、6cmD、12cm8、若△ABC中，，高AD=12,则BC的长为（）A、14B、4C、14或41. 下列说法正确的是（）A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a＋b＝c；B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a＋b＝c；C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a＋b＝c；D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a＋b＝c．2. Rt△ABC的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是（）A． B. C. D.3．如果Rt△的两直角边长分别为k－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（）A、2kB、k+1C、k－1D、k+14. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 337.直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（）（A）（B）（C）（D）8、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A：3 B：4 C：5 D：9．若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（）A．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对二、填空题1、若一个三角形的三边满足，则这个三角形是。
勾股定理单元测试(北师版)(含答案)
勾股定理单元测试（北师版）一、单选题(共7道，每道10分)1.暑假中，小明到某海岛探宝，如图，他到达海岛登陆点后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅1km就找到宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离是( )km．A. B.C.10D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理2.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长作为第③个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为( )厘米．A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理3.将一个含60°角的三角板的直角顶点C放在一张宽为5cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上（∠ABC=60°），测得∠DBC=45°，则三角板的最大边长为( )A.5cmB.10cmC. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质和判定4.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形5.两个三角形按如图所示放置，其中，∠ACB=∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠ABD=45°，点E是AB的中点，连接CE，DE，CD．若AB=4，则的值为( )A. B.1C. D.2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形6.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，且EH=EB．小马虎在研究时得到四个结论：①∠ABC=45°；②AH=BC；③AE-BE=CH；④△AEC 是等腰直角三角形．你认为其中正确的是( )A.①②③④B.②③④C.①②③D.②③答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形的性质和判定7.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D，E为BC上两点，∠DAE=45°，F为△ABC 外一点，且FB⊥BC，FA⊥AE，则下列结论：①CE=BF；②；③，其中正确的是( )A.①②③B.①②C.②③D.①③答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股弦图二、填空题(共3道，每道10分)8.如图，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向外作正方形AXZF，正方形BCYX，正方形DEZY，若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF的面积为____.答案：14 解题思路：试题难度：知识点：赵爽弦图9.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则____．答案：7解题思路：试题难度：知识点：勾股定理10.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且∠B=90°．则四边形ABCD的面积为____．答案：36解题思路：试题难度：知识点：勾股定理的应用。
勾股定理单元测试卷
勾股定理单元测试卷一、选择题1.勾股定理适用于哪种三角形？A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形答案：B2.勾股定理中的两个直角边的平方和等于斜边的平方，斜边被称为：A. 勾B. 股C. 斜边D. 高答案：C3.在直角三角形中，若直角边的长度分别为3和4，则斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4.勾股定理的发现者是谁？A. 毕达哥拉斯B. 欧几里得C. 阿基米德D. 哥白尼答案：A5.下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是：A. 1.5，2，2.5B. 3，4，5C. 5，12，13D. 20，30，40答案：D二、填空题6.勾股定理的公式是：__________。
答案：a²+b²=c²（其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边）7.在直角三角形中，若直角边的长度分别为5和12，则斜边的长度是__________。
答案：13（根据勾股定理，斜边c=√(a²+b²)=√(5²+12²)=13）8.勾股定理在中国被称为__________。
答案：勾三股四弦五（这是一种形象的称呼，用于描述直角三角形三边之间的比例关系）9.勾股定理的发现时间大约在公元前__________年。
答案：500（毕达哥拉斯在公元前6世纪提出了勾股定理）10.勾股定理的发现者毕达哥拉斯是__________国人。
答案：希腊三、解答题11.已知直角三角形的两个直角边长度分别为8和15，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，斜边c=√(a²+b²)=√(8²+15²)=17。
12.在直角三角形中，若斜边的长度为17，且一个直角边的长度为8，求另一个直角边的长度。
答案：设另一个直角边的长度为x，则根据勾股定理有8²+x²=17²，解得x=15。
13.简述勾股定理的一种证明方法。
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案
华师大版八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在平面直角坐标系中，点()1,2P 到原点的距离是( ) A.1 B.13 C.5 D.22.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A 到电线杆底部B 的距离AB 是( )米. A.6 B.7 C.8 D.93.如图，已知正方形A 的面积为3，正方形B 的面积为4，则正方形C 的面积为( )A.7B.5C.25D.14.如图，点C 所表示的数是( )A.5B.3-C.5-D.55.已知钓鱼杆AC 的长为10米，露在水上的鱼线BC 长为6m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC '的位置，此时露在水面上的鱼线B C ''长度为8米，则BB '的长为( )A.4米B.3米C.2米D.1米6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ，A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为( )A.20dmB.25dmC.30dmD.35dm 7.已知ABC △的三边分别为a ，b ，c ，且()2724250a b c --+-=，则ABC △的面积为( )A.30B.84C.168D.无法计算8.如图，在Rt ABC △中90C ∠=︒，AB=5，BC=3，以点A 为圆心，适当长为半径作弧，分别交，AC 于点E ，F ，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，则BD 的长为( )A.35B.34C.43D.539.如图，线段AB 是某小区的一条主干道，计划在绿化区域的点C 处安装一个监控装置，对主干道AB 进行监控，已知30m AC = 40m BC = AC BC ⊥监控的半径为30m ，路段AD 在监控范围内，路段BD 为监控盲区，则BD 的长为( )ABA. B. C.16mD.20m10.如图，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB=5，AC=12，BD 平分ABC ∠交边AC 于点D ，点E 、F 分别是边BD 、AB 上的动点，当AE EF +的值最小时，最小值为( )A.6B.125C.6013D.12013二、填空题（每小题4分，共20分）11.在ABC △中90C ∠=︒ A ∠ B ∠ C ∠对应的边分别为a ，b ，c ，若3c =，则²²²a b c ++=____________.12.如图5AB AC ==，BC=6，AD BC ⊥于D ，则AD =_____.13.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺.问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B 离原处竹子C 的距离BC 为3尺，则原处还有竹子AC =______尺.(请直接写出答案，注：1丈10=尺.) 12m 14m14.如图,在四边形ABCD 中 已知3AB = 4AD = 12BC = 13CD = 90A ∠=︒ 则四边形ABCD 面积是______.15.如图,在ABC 中,点D 为BC 的中点 5AB = 3AC = 2AD = 则ABC 边BC 上的高为______.三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（8分）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度1m DE =，将它往前推送4m （水平距离4m BC =）时，秋千的踏板离地的垂直高度3m BF =，若秋干的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.17.（8分）已知如图：AB BC ⊥ DC BC ⊥ AE DE ⊥ 且12AE = 3CD = 4CE = 求：AD 的长.18.（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地且距离旗杆底部A处4m.(1)求旗杆在距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？=，点D是边BC上的一点，连接AD. 19.（10分）如图，ABC是等腰三角形，AB AC(1)若ABC的周长是32，CD=6，点D是BC的中点，求AD的长；BD=，AD=12，AB=15，求ABC的面积.(2)若920.（12分）为迎接六十周年校庆，重庆外国语学校准备将一块三角形空地ABC进行新的规划，BD=米如图，过点D作垂直于AC的小路DE，点E在AC边上.经测量，24AD=米，10△的面积；（1）求ABD（2）求小路DE的长.21.（12分）如图，ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC =（1）设点P 在AB 上，若 PAC PCA ∠=∠.求AP 的长；（2）设点M 在AC 上.若MBC △为等腰三角形，求AM 的长.参考答案及解析1.答案：C解析：点(1,2P 到原点的距离是22125+=.故选：C.2.答案：C解析：∵钢缆是电线杆，钢缆，线段AB 构成的直角三角形的斜边又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米∴221068AB =-=米故选：C.3.答案：A解析：正方体A 的面积为3，正方体B 的面积为4∴正方体C 的面积347=+=故选：A.4.答案：C解析：根据勾股定理得：2222125AB OA OB =+=+=5AC AB ∴==∴点C 表示的数是15-.故选：C.5.答案：C解析：在Rt ABC △中10m AC = 6m BC =22221068(m)AB AC BC ∴=-=-=在Rt AB C ''△中10m AC '= 8m B C ''=226(m)AB AC B C ''∴=-=862(m)BB AB AB ''∴=-=-=故选:C.6.答案：B解析：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x dm由勾股定理得：()22222023325x =++⨯⎦=⎡⎤⎣ 解得.故选B.7.答案：B解析:()2724250a b c -+-+-=70a ∴-= 240b -= 250c -=7a ∴= 24b = 25c =()233dm +⨯25x =2222724625a b +=+= 2225625c ==222a b c ∴+=ABC ∴△是直角三角形ABC ∴△的面积12ab = 1724842=⨯⨯= 故选:B.8.答案：D解析：作DM AB ⊥于M由题意知AD 平分BAC ∠DC AC ⊥CD DM ∴= 90C ∠=︒ 5AB = 3BC =224AC AB BC ∴=-=ABC △的面积ACD =△的面积ABD +△的面积111222AC BC AC CD AB MD ∴⋅=⋅+⋅4345CD CD ∴⨯=+43CD ∴=45333BD BC CD ∴=-=-=. 故选：D.9.答案：B解析：如图，过点C 作CE AB ⊥于E∵AC BC ⊥∴90ACB ∠=︒ ∴()2222304050m AB AC BC =+=+=∵∴∵监控的半径为∴∴∵ ∴∴∴在中，由勾股定理，得()2222302418m AE AC CE =-=-=∴236m AD AE ==∴()503614m BD AB AD =-=-=.故选：B.10.答案：C解析：如图所示，在BC 边上截取BG BF =，连接EG ，过点A 做AH BC ⊥交于点HCE AB ⊥90AEC BEC ∠=∠=︒30m 30m AC DC ==2AD AE =Rt 1122ABC S AC BC AB CE =⋅=⋅△304050CE ⨯=304050CE ⨯=24m CE =Rt ACE △∵BD 平分ABC ∠∴FBE GBE ∠=∠∵BG BF = BE BE =∴BGE BFE ≌△△∴EF EG =∴AE EF AE EG +=+当且仅当A 、E 、G 共线，且与BC 垂直时，AE EF +的值最小，即BC 边上的垂线段AH ∵5AB = 12AC = 90BAC ∠=︒ ∴2213BC AB AC =+= ∵1122ABC S AB AC BC AH =⋅=⋅△ ∴. ∴当的值最小时，最小值为. 故选：C.11.答案：18解析：90C ∠=︒ 3c =2229a b c +==2²²²218a b c c ++==故答案为：18.12.答案：4解析：∵5AB AC == AD BC ⊥ 6BC = ∴132BD CD BC === ∴224AD AB BD =-=.故答案为：4.13.答案：9120解析：设折断后的竹子AC 为x 尺，则斜边AB 为(10)x -尺 512601313AB AC AH BC ⋅⨯===AE +6013在Rt ABC △中，根据勾股定理得:2223(10),x x +=-解得:9120x = 故答案为:9120. 14.答案：36解析：如图，连接BD由勾股定理得225BD AB AD =+=∵22251216913+==∴222BD BC CD +=∴BCD △是直角三角形90CBD ∠=︒∴11345123622ABD BCD ABCD S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=四边形△△故答案为：36.15.答案：61313 解析：如图，延长AD 到E ，使得2DE AD ==，连接BE ，作AF BC ⊥于点F 则24AE AD ==.∵点D 为BC 的中点∴CD BD =在ADC △和EDB △中AD ED ADC EDBCD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴ADC EDB ≌∴3BE CA ==∴22223425BE AE +=+=∵22525AB ==∴222BE AE AB +=∴90E ∠=︒ ∴132BDE SBD DE =⋅= 22223213BD BE DE =+=+=∴3ADC BDE S S == 13CD BD ==∵AF BC ⊥ ∴12ADC AF S ⋅= 即1332AF = ∴61313AF =. 故答案为：61313 16.答案：5m 解析：3m CE BF == 1m DE =312m CD CE DE ∴=-=-=在Rt ACB △中222AC BC AB += 4m BC =设秋千的绳索长为m x ，则()2mAC x =-故2224(2)x x =+-解得：5x =答：绳索AD 的长度是5m.17.答案：13AD =解析：∵DC BC ⊥，∴90C ∠=︒∴在Rt DCE △中，根据勾股定理得：2222345DE DC CE =+=+=∵AE DE ⊥∴90AED ∠=︒∴在Rt ADE △中，根据勾股定理得：222251213AD DE AE =+=+=.18.答案：(1)旗杆在距地面3米处折断(2)距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险解析：(1)由题意可知，8m AC BC +=，设m AC x =，则()8m BC x =-. 90A ∠=︒ 4m AB =222AB AC BC ∴+= 即2224(8)x x +=-，解得3x =3m AC ∴= 5m BC =故旗杆在距地面3米处折断.(2)如图，若大风将旗杆从点D 处吹断，旗杆顶部B 落到B '处. D 点距地面的高度为()3 1.25 1.75m AD =-=()8 1.75 6.25m B D ∴=-='()226m AB B D AD ∴-'==' ∴距离旗杆底部周围6m 范围内有被砸伤的危险.19.答案：(1)8(2)108解析：（1）因为点D 是BC 的中点，CD=6，所以12BC =. 因为ABC 的周长是32，AB=AC ，所以()132102AB AC BC ==-=. 因为ABC 是等腰三角形，AB=AC ，点D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥. 在Rt ACD 中，AC=10，CD=6，所以228AD AC CD =-=.（2）因为BD=9，AD=12，AB=15所以22291215+=，即222BD AD AB +=，所以90ADB ∠=︒. 因为AB AC =，所以9BD CD ==所以18BC = 所以112181082ABC S =⨯⨯=△. 20.答案：（1）()2120米（2）小路的长为725米 解析：（1）26AB =米，24AD =米222AB BD AD ∴=+90ADB ∴∠=︒ABD S ∴△12BD AD =⋅⋅210242=⨯⨯()2120=米. 答：ABD △的面积是()2120米.（2）由（1）知，90ADB ADC ∠=∠=︒AC 比DC 长12米12AC CD ∴=+.由勾股定理知：222CD AD AC +=，即()2222412CD CD +=+. 18CD ∴=米.30AC ∴=米DE AC ⊥1722ADC S AD CD ∴=⋅=△241872305AD DC DE AC ⋅⨯∴===（米）. 答：小路的长为725米. 21.答案：（1）1258 （2）10，7 252 解析：（1）ABC △中90ABC ∠=︒ 25cm AC = 15cm BC = ∴2222251520AB AC BC =-=-=PAC PCA ∠=∠PA PC ∴=设PA PC x == 则20PB x =-在Rt PBC △中222PB BC PC +=即()2222015x x -+= 解得1258x =即1258PA =.（2）MBC △为等腰三角形 ∴①当BC CM =时，此时有：∴251510AM AC CM =-=-=；②当BC BM =时，此时： 如下图过B 作BN AC ⊥1122ABC S AC BN AB BC ∴=⋅=⋅⋅△∴12BN =∴222BN CN BC +=即2221215CN +=∴9CN =∴218CM CN ==∴25187AM =-=；③当BM CM =时 ∴MBC MCB ∠=∠又90MBC ABM ∠+∠=︒ 90MCB BAC ∠+∠=︒ ∴BAC ABM ∠=∠ ∴AM BM = ∴12522AC AM CM ===.。
数学勾股定理单元测试及解析
数学勾股定理单元测试及解析一、选择题1．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．121B ．110C ．100D ．902．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=，8AD =，6BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A ．42B ．6C ．210D ．83．如图，已知ABC 中，10,86,AB AC BC AB ===,的垂直平分线分别交,AC AB 于,,D E 连接BD ，则CD 的长为（ ）A ．1B ．54C ．74D ．2544．△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或335．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ）A ．5B ．8C ．254D ．2586．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，3BC =．设AB 长是m ，下列关于m 的四种说法：①m 是无理数；②m 可以用数轴上的一个点来表示；③m 是13的算术平方根；④23m <<．其中所有正确说法的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②③④ 7．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A ．30,40,60B ．7,12,13C ．6,8,10D ．3,4,6 8．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ） A ．a =3，b =4，c =6B ．a =5，b =6，c =7C ．a =6，b =8，c =9D ．a =7，b =24，c =25 9．下列各组数据，是三角形的三边长能构成直角三角形的是（ ）A ．2,3,4B ．4,5,6C ．2223,4,5D ．6,8,10 10．已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点B 重合，则BE 的长是（ ）A ．72B ．74C ．254D ．154二、填空题11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．12．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．13．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.14．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.15．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2，BC=AC ，D 为AB 的中点，E 为BC 上一点，将△BDE 沿DE 翻折，得到△FDE ，EF 交AC 于点G ，则△ECG 的周长是___________．16．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BPA ，连接PQ ，则以下结论中正确有_____________ (填序号)①△BPQ 是等边三角形 ②△PCQ 是直角三角形 ③∠APB=150° ④∠APC=135°17．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5．①线段OA 的取值范围是______________；②若BD -AC =1，则AC •BD = _________．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM 的值为______________．20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.三、解答题21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．22．（1）计算：1312248233⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪⎝； （2）已知a 、b 、c 满足2|23|32(30)0a b c +-+--=．判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，说明此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．23．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．24．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．25．Rt ABC ∆中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =，求ABD ∆的面积.(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.27．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ =成立，求v 关于t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围.28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．29．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2＝2AD2；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD 的长．30．已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是．（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，则四边形OALP 是矩形． 90CBF ∠=︒，90ABC OBF ∴∠+∠=︒， 又直角ABC ∆中，90ABC ACB ∠+∠=︒，OBF ACB ∴∠=∠，在OBF ∆和ACB ∆中，BAC BOF ACB OBF BC BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OBF ACB AAS ∴∆≅∆，AC OB =∴，同理：ACB PGC ∆≅∆，PC AB ∴=，OA AP ∴=，所以，矩形AOLP 是正方形，边长347AO AB AC =+=+=，所以，3710KL =+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110⨯=，故选B ．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．2．A解析：A【分析】连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出AF =FC ．再根据ASA 证明△FOA ≌△BOC ，那么AF =BC =3，等量代换得到FC =AF =3，利用线段的和差关系求出FD =AD -AF =1．然后在直角△FDC 中利用勾股定理求出CD 的长．解：如图，连接FC ，∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ，∴AF =FC ．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OCAOF COB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =6，∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+22=62，∴CD =42故选：A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF 与DF 是解题的关键．3．C解析：C【分析】先根据勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，根据垂直平分线的性质证得AD=BD ，由此根据勾股定理求出CD.【详解】∵AB=10，AC=8，BC=6，∴2222228610AC BC AB +=+==,∴△ABC 是直角三角形，且∠C=90°，∵DE 垂直平分AB ，在Rt △BCD 中，222BD BC CD =+ ,∴222(8)6CD CD -=+,解得CD=74， 故选：C. 【点睛】此题考查勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，题中证得△ABC 是直角三角形，且∠C=90°是解题的关键，再利用勾股定理求解.4．C解析：C【分析】存在2种情况，△ABC 是锐角三角形和钝角三角形时，高AD 分别在△ABC 的内部和外部【详解】情况一：如下图，△ABC 是锐角三角形∵AD 是高，∴AD ⊥BC∵AB=15，AD=12∴在Rt△ABD 中，BD=9∵AC =13，AD=12∴在Rt△ACD 中，DC=5∴△ABC 的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，△ABC 是钝角三角形在Rt△ADC 中，AD=12，AC=13，∴DC=5在Rt△ABD 中，AD=12，AB=15，∴DB=9∴BC=4∴△ABC 的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.5．C解析：C【分析】根据ABP △为等腰三角形，分三种情况进行讨论，分别求出BP 的长度，从而求出t 值即可．【详解】在Rt ABC 中，222225316BC AB AC =-=-=，4BC cm ∴=，①如图，当AB BP =时， 5 ,5BP cm t ==；②如图，当AB AP =时，∵AC BP ⊥，∴28 BP BC cm ==，8t =；③如图，当BP AP =时，设AP BP xcm ==，则4,3( )CP x cm AC cm =-=，∵在Rt ACP 中，222AP AC CP =+，∴()22234x x =+-， 解得：258x =， ∴258t =， 综上所述，当ABP △为等腰三角形时，5t =或8t =或258t =．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，注意分类讨论．6．C解析：C【分析】根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∴在Rt ABC 中，m ＝AB故①②③正确，∵m 2＝13，9＜13＜16，∴3＜m ＜4，故④错误，故选：C ．【点睛】本题考查勾股定理及算术平方根、无理数的估算，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 7．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【详解】A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；故选：C .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.8．D解析：D【解析】A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．9．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C 、∵222222(3)(4)337(5)+=≠，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、∵62+82=100=102，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．10．C解析：C【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE ，设AE=x ，则BE=x ，CE=8-x ，再在Rt △BCE 中利用勾股定理即可求出BE 的长度．【详解】解：∵△ADE 翻折后与△BDE 完全重合，∴AE ＝BE ，设AE ＝x ，则BE ＝x ，CE ＝8﹣x ，在Rt △BCE 中，BE 2＝BC 2+CE 2，即x 2＝62+（8﹣x ）2，解得，x ＝254， ∴BE ＝254． 故选：C ．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．二、填空题11．【分析】利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .【详解】在Rt △ACD 中，CD=AD=∴6=，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴22216()2AB AB +=,解得AB=故答案为：【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键.12．6或2.【分析】由于已知没有图形，当Rt △ABC 固定后，根据“以BC 为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCE ，证明A 、C 、E 三点共线，在等腰Rt △ADE 中，利用勾股定理可求AD 长；②当D 点在BC 下方时，如图2，把△BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到△CED ，证明过程类似于①求解．【详解】解：分两种情况讨论：①当D 点在BC 上方时，如图1所示，把△ABD 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCE ，则∠ABD=∠ECD ，，AD=DE ，且∠ADE=90°在四边形ACDB 中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A 、C 、E 三点共线．∴在等腰Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即2AD 2=（）2，解得AD=6②当D 点在BC 下方时，如图2所示，把△BAD 绕点D 顺时针旋转90°得到△CED ，则CE=AB=22，∠BAD=∠CED ，AD=AE 且∠ADE=90°，所以∠EAD=∠AED=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，∴∠CED+∠AED=180°，即A 、E 、C 三点共线．∴AE=AC-CE=42-22=22在等腰Rt △ADE 中，2AD 2=AE 2=8，解得AD=2．故答案为：6或2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．13．1425+或825+【分析】分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．【详解】解：分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++=+综合上述，△ABC 的周长为：145+85+故答案为：145+825+【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 14．5【分析】设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值【详解】如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10设绳索x 尺，则OA=OB=x∴OC=x+1-5=x-4在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2∴222(4)10x x =-+得x=14.5（尺）,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.15．2【分析】连接CE．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、等腰三角形的性质以及折叠的性质推知EG+CG=EG+GF=EF=BE，【详解】解：（1）如图，连接CD、CF.∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，∴BD=CD=1．2 ,∵由翻折可知BD=DF，∴CD=BD=DF=1，∠DFE=∠B=∠DCA=45°,∴∠DCF=∠DFC，∴∠DCF-∠DCA=∠DFC-∠DFE，即∠GCF=∠GFC，∴GC=GF，∴EG+CG=EG+GF=EF=BE，∴△ECG的周长2,2.【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理、直角三角形的性质，能将三角形的周长转移到已知线段上是解题的关键.．16．①②③【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠BPA =∠BQC ，BP =BQ =4，QC =PA =3，∠ABP =∠QBC ，60PBQ PBC CBQ PBC ABP ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=，∴△BPQ 是等边三角形，①正确.∴PQ =BP =4，2222224325,525PQ QC PC +=+===，222PQ QC PC ∴+=，90PQC ∴∠=，即△PQC 是直角三角形，②正确.∵△BPQ 是等边三角形，60PBQ BQP ∴∠=∠=，∵△BQC ≌△BPA ，∴∠APB =∠B QC ，6090150BPA BQC ∴∠=∠=+=，③正确.36015060150APC QPC QPC ∴∠=---∠=-∠，90PQC PQ QC ∠=≠，，45QPC ∴∠≠，即135APC ∠≠，④错误.故答案为①②③.17．①1＜OA ＜4． ②672． 【解析】(1)由三角形边的性质5-3<2OA <5+3,1＜OA ＜4.(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE ,由题意知，22BD DE =+()2BC CE +=2DE +()24CE +， ()()222225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-，2AC ∴+ 2BD=2DE +()()22245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68，BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC •BD =1，∴AC •BD =672.18．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.19．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得()22322x x x -=， 所以MN 2=()()2222312x x x x +-=，BM 2=()()22232x x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 20．4913【解析】【分析】如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．【详解】如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线1123,52B CG BC ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒390B ∴∠+∠=︒230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==7512AG AD DG ∴=+=+=在Rt ACG ∆中，13AC ===13CE AB AC ==∴= 由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅，解得12013CF = 12049131313EF CE CF ∴=-=-= 故答案为：4913．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．三、解答题21．（132）150°；（313【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．【详解】解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE ＝BD 3（2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE ===， ∴DE 2+AE 2＝222237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，∵∠DEC ＝60°，∴∠AEC ＝150°，∵△BCD ≌△ACE ，∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，∵△CDE 是等边三角形，∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，∴AE ＝CP ，在△AEG 与△CPG 中，∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，∴△AEG ≌△CPG ，∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12， ∴AG ()222211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．22．（1）423；（2）以a 、b 、c 为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，6【分析】（1）根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；（2）先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a 、b 、c 的值，再根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】 解：（1）1312248233⎛÷ ⎝=2(63343)233÷=28(3)(23)3÷＝423；（2）以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形，理由是：∵a、b、c满足2|a23|32b(c30)0-+-+-=，∴a﹣23＝0，32﹣b＝0，c﹣30＝0，∴a＝23，b＝32，c＝30，∵23+32＞30，23+30＞32，23+30＞32，∴以a、b、c为边能组成三角形，∵a＝23，b＝32，c＝30，∴a2+b2＝c2，∴以a、b、c为边能构成直角三角形，直角边是a和b，则此三角形的面积是123322⨯⨯＝36.【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.23．BF的长为32【分析】先连接BF，由E为中点及AC=BC，利用三线合一可得CE⊥AB，进而可证△AFE≌△BFE，再利用AD为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD为45°，△BFD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF．【详解】解：连接BF．∵CA=CB，E为AB中点∴AE=BE，CE⊥AB，∠FEB=∠FEA=90°在Rt△FEB与Rt△FEA中，BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴Rt △FEB ≌Rt △FEA又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°∴∠FBE=∠FAE=12∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°又∵BD ⊥AD ，∠D=90°∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3∴BF ===【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质． 24．(1)2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =， ∴当2516t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =，PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯， 解得：5310t =， ∴当15319,5,2104t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．25．作图见解析，325【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，连接AN ，首先用等积法求出AH 的长，易证△ACH ≌△A'NH ，可得A'N=AC=4，然后设NM=x ，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，A'M 的长即为AN+MN 的最小值．【详解】如图，作A 点关于BC 的对称点A'，A'A 与BC 交于点H ，再作A'M ⊥AB 于点M ，与BC 交于点N ，此时AN+MN 最小，最小值为A'M 的长．连接AN ，在Rt △ABC 中，AC=4，AB=8，∴∵11AB AC=BC AH 22⋅⋅∴∵CA ⊥AB ，A 'M ⊥AB ，∴CA ∥A 'M∴∠C=∠A 'NH ，由对称的性质可得AH=A 'H ，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N在△ACH 和△A'NH 中，∵∠C=∠A 'NH ，∠AHC=∠A'HN ，AH=A 'H ，∴△ACH ≌△A'NH （AAS ）∴A'N=AC=4=AN ，设NM=x ，在Rt △AMN 中，AM 2=AN 2-NM 2=222416-=-x x在Rt △AA'M 中，，A 'M=A 'N+NM=4+x∴AM 2=AA '2-A 'M 2=()224-+⎝⎭x∴()2224=16-+-⎝⎭x x 解得125x = 此时AN MN +的最小值=A'M=A'N+NM=4+125=325 【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键．26．（1）3；（2）见解析．【分析】（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．【详解】解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，AD =∴2AC ==，∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°， ∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，∴222GH BG BH BG =+=，∴2EG GH EH BG CG =+=+．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．27．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=t v t (26t ≤<) 【分析】（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC ，然后利用勾股定理求出AE ，再用等面积法可求出CD 的长；（2）①过B 作BF ⊥AC 于F ，易得BF=CD ，分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时，根据△BQF ≌△CPD ，得到PD=QF ，建立方程即可求出t 的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，∵AB=AC，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB10⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q 点在FC 之间时，如图所示，此时PD=6-t ，QF=2t-6由PD=QF 得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.28．（1）不存在，见解析；（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数，见解析.【分析】（1）根据题意可知，这n 组正整数符合规律m 2-1，2m ，m 2+1（m≥2，且m 为整数）．分三种情况：m 2-1=71；2m=71；m 2+1=71；进行讨论即可求解；（2）由于（m 2-1） 2+（2m ） 2=m 4+2m 2+1=（m 2+1） 2，根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】（1）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．理由如下：根据题意可知，这n 组正整数符合规律21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）． 若2171m -=，则272m =，此时m 不符合题意；若271m =，则35.5,m =，此时m 不符合题意；若2171m +=，则270m =，此时m 不符合题意，所以不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71．（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数）．因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -，2m ，21m +（2m ≥，且m 为整数），则该三角形为直角三角形．因为当2m ≥，且m 为整数时，2m 表示任意一个大于2的偶数，21m -，21m +均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点睛】考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用29．（1）①BC ＝DC +EC ，理由见解析；②证明见解析；（2）6.【解析】【分析】(1)证明△BAD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质解答;(2)根据全等三角形的性质得到BD ＝CE ，∠ACE ＝∠B ，得到∠DCE ＝90°，根据勾股定理计算即可;(3)作AE ⊥AD ，使AE ＝AD ，连接CE ，DE ，证明△BAD ≌△CAE ，得到BD ＝CE ＝9，根据勾股定理计算即可.【详解】（1）①解：BC ＝DC +EC ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴BD ＝EC ，∴BC ＝DC +BD ＝DC +EC ，；故答案为：BC ＝DC +EC ；②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，由（1）得，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CE2+CD2＝ED2，在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，∴BD2+CD2＝2AD2；（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2所示：∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE＝9，∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝＝＝6，∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝DE＝6．【点睛】本題是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识:本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.30．（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．【解析】【分析】。
勾股定理 单元测试卷
第14章 勾股定理 单元测试卷一、填空题（每题2分，共20分）1．三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定2．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2＋b 2＋c 2十338＝10a ＋24b ＋26c ，则△ABC 的面积是（ ）A ．338B ．24C ．26D ．303．若等腰△ABC 的腰长AB ＝2，顶角∠BAC ＝120°，以 BC 为边的正方形面积为（ ）A ．3B ．12C ．427D ．316 4．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或32D ．37 或 335．直角三角形三条边的比是3∶4∶5．则这个三角形三条边上的高的比是（ ）A ．15∶12∶8B ． 15∶20∶12C ． 12∶15∶20D ．20∶15∶12 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4．以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（ ）A ．258πB ． 254πC ． 2516π D ．25π 7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3 cmC ．4 cmD ．5 cm8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm ，高为18cm ，则一只小虫底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（ ）A ．20cmB ．30cmC ．40cmD ．50cm9．如图3，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）A ．36mB ．48mC ．96mD ．60m10．若△ABC 中，AB ＝7，AC ＝8，高AD ＝6，则BC 的长是（ ）A ．B ．10C ．10D ．以上都不对二、填空题（每小题2分，共20分）图1 D 18cm 图2 B 图311．在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．12．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿．13．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝60cm ，CA ＝80cm ，一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA →AB →BC 的路径再回到C 点，需要＿＿＿分的时间．14．如图4，一艘船由岛A 正南30海里的B 处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C 处．则AC 间的距离是＿＿＿．15．已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，•则以底边为边长的正方形的面积为_______．16．如图5，图形中的折线是迷宫路线，沿着其中的路线才能由A 顺利到达B 点，从而走出迷宫，迷宫中的AB 距离______米．17．在△ABC 中，∠B ＝90°，两直角边AB ＝7，BC ＝24，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．18．已知两条线段长分别为5cm 、12cm ，当第三条线段长为＿＿＿时，这三条线段可以组成一个直角三角形，其面积是＿＿＿．19．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…… ……列举：13、b 、c ，猜想：132＝b +c ；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b ＝＿＿＿，c ＝＿＿＿．20．已知：正方形的边长为1．（1）如图6（a ），可以计算出正方形的对角线长为2；如图（b ），两个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿；n 个并排成的矩形的对角线的长为＿＿＿．（2）若把（c ）（d ）两图拼成如图7“L ”形，过C 作直线交DE 于A ，交DF 于B ．若DB ＝53，则 DA 的长度为＿＿＿．三、解答题（共40分）图7 E F B CA D 图6 （a ）（b ） （c ） （d ） 图4图521．如图8，折叠长方形一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，BC ＝10cm ，AB ＝8cm ，求：(1)FC 的长；(2)EF 的长．22．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图9所示AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB ＝25km ，CA ＝15km ，DB ＝10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等?23．一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶渔群，在A 处看见小岛C 在船北偏东 60°．40分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东30°，已知小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续航行（追赶鱼群），是否有进入危险区的可能？24．若数组3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；……；每一数组都是某一个直角三角形的三边，称每一数组为勾股数．若奇数n •为直角三角形的一直角边，用含n 的代数式表示斜边和另一直角边．并写出接下来的两组勾股数．四、拓广探索（共20分）25．△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若∠C ＝90°，如图10，根据勾股定理，则a 2+b 2＝c 2，若△ABC 不是直角三角形，如图11和图12，请你类比勾股定理，试猜想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．26．如图13，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B，另图8 图9E D C BA 图10图12 图11一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，能否使CE ＝2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．参考答案：一、1．A 2．D 3．B 4．C 5．D ．提示：由三角形面积公式，可得12·AB ·CD ＝12·BC ·AC ．设BC ＝3k ，AC ＝4k ，AB ＝5k ，则5k ·CD ＝2k ·4k ．所以CD ＝135k ．所以AC ∶BC ∶CD ＝4k ∶3k ∶125k ＝20∶15∶12；6，A ．提示：在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AB 2＝42+32＝25，所以AB ＝5．所以半圆的面积S ＝12π252⎛⎫ ⎪⎝⎭＝258π；7．B ；8．B ；9．C ．提示：依题意知AO +OO 1+O 1O 2+O 2O 3+O 3O 4＝，若设长方形花坛ABCD 的一边AB ＝x m ，则图13由勾股定理，得AO m ，同理OO 1＝2x m ，O 1O 2＝4x m ，O 2O 3＝8x m ，O 3O 4＝16x m +2x +4x +8x +16x ＝x ＝16，所以长方形花坛ABCD 的周长是96m ；10．C ．二、11．108 12．13 13．12 14．由勾股定理，可以得到AB 2+BC 2＝AC 2，因为AB ＝30，BC ＝20×2＝40，所以302+202＝AC 2，所以AC ＝50，即AC 间的距离为50海里15．360或40 １6．17．3 1８．13cm ，30cm 2或52 219．84、85 20、52． 三、21．(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理可以得到AF 2＝AB 2+BF 2，也就是 102＝82+BF 2．所以BF ＝6，FC ＝4(cm) (2)在Rt △ABC 中，由勾股定理，可以得到EF 2＝FC 2+(8－EF )2．也就是EF 2＝42+(8－EF )2．所以EF ＝5(cm)22．10米；23．设小岛C 与AB 的垂直距离为a ，则易求得a 2＝300＞102，所以这艘渔船继续航行不会进入危险区；24．观察可以发现另两边的长是两个相邻的数，设它们是x ，x +1，根据勾股定理有：n 2+x 2＝(x +1)2，整理得x ＝12(n 2－1)，x +1＝12(n 2+1)．所以直角三角形的三边分别是n ，12(n 2－1)，12(n 2+1)．当n ＝11时，12(n 2－1)＝12(112－1)＝60，12(n 2+1)＝61，勾股数是11、60、61；当n ＝13时，12(n 2-－1)＝12(132－1)＝84，12(n 2+1)＝85，勾股数是13、84、85． 四、25．提示：若△ABC 是锐角三角形，则有a 2+b 2＞c 2．若△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角，则有a 2+b 2＜c 2．理由：①当△ABC 是锐角三角形时，过点A 作AD ⊥CB ，垂足为D ．设CD 为x ，则有DB ＝a －x ，根据勾股定理，得b 2－x 2＝c 2－(a －x )2，即b 2－x 2＝c 2―a 2＋2ax ―x 2，所以a 2＋b 2＝c 2＋2ax ，因为a ＞0，x ＞0，所以2ax >0，所以a 2+b 2＞c 2．当△ABC 是钝角三角形时．②当△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角时，过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D ．设CD 为x ，则有DB 2＝a 2－x 2．根据勾股定理，得 (b ＋x )2＋a 2－x 2＝c 2，即b 2＋2bx ＋x 2＋a 2－x 2＝c 2，所以a 2＋b 2＋2bx ＝c 2，因为b ＞0，x ＞0，所以2bx ＞0，所以a 2+b 2＜c 2 ．26．①能．设AP ＝x 米，由于BP 2＝16+x 2，CP 2＝16+(10－x )2，而在Rt △PBC 中，有BP 2+ CP 2＝BC 2，即16+x 2+16+(10－x )2＝100，所以x 2－10x +16＝0，即(x －5)2＝9，两边开平方，得x －5＝±3，所以x ＝8，x ＝2，即AP ＝8或2，②能．仿照①可求得AP ＝4．。
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E
C
D
B F
A
C
B
A
第一周《勾股定理》单元检测题
1．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ） A ．32
cm
B ．42
cm
C ．52
cm
D ．62
cm
（1题图） （2题图）
2．如图，正方形ABCD 的边长为1，则正方形ACEF 的面积为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．三角形的三边长a ，b ，c 满足()2
2
2a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A ．等边三角形
B ．钝角三角形
C ．直角三角形
D ．锐角三角形
4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ） A ．3 B ．6
C ．8
D ．5
5．若直角三角形的三边长为6，8，m ，则2
m 的值为（ ） A ．10
B ．100
C ． 28
D ．100或28
6．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =9，BC =12，则点C 到斜边AB 的距离是（ ） A ．
365
B ．
12
5
C ．9
D ．6
7．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，以AC 为直径的圆恰好过点B ．若AB =8，BC =6，则阴影部分的面积是（ ）
A ．100π24-
B ．100π48-
C ．25π24-
D ．25π48-
8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
二、填空题（每小题5分，共20分）
③'
④'
④
③
②'
②
①
B
169
25
B
C
D
E
A
O
11．如图，字母B 所代表的正方形的面积为 ．
（11题图） （14题图）
12．等腰△ABC 的腰长AB 为10 cm ，底边BC 为16 cm ，则底边上的高为 ． 13．一艘轮船以16 km/h 的速度离开港口向正东方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30 km/h 的速度向正北方向航行，它们离开港口半小时后相距_______ km ．
14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围为____________． 三、解答题（共40分）
15．（本题满分20分）如图所示，90B OAF ∠=∠=︒，BO =3 cm ，AB =4 cm ，AF =12 cm ， 求 (1) OA=? (2) OF=? (3) 求图中半圆的面积．
16.如图，（本题满分20分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，在△ABE 中，DE 是AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，(1) 求AB 的长 (2) 求 BC 的长．。