用向量法证明垂直

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用向量法证明垂直

学习目标: 1、掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直关系

2、认识到向量方法是解决立体几何的基本方法

重点：用向量方法讨论空间中的垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题 新知探索

一、方向向量与法向量

例1. 如图所示, 正方体的棱长为1

(1) 直线OA 的一个方向向量坐标为___________ (2) 平面OABC 的一个法向量坐标为___________

(3) 平面C AB 1 的一个法向量坐标为___________

例2 .在空间直角坐标系中,已知)2,0,0(,040(),0,0,3(C B A ），，

,,试求平面ABC 的一个法向量.

小结：求平面法向量的步骤： （1） （2） （3） （4）

二、用向量证明空间中的垂直关系

1、设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则

（1）线线垂直 _______

________⇔⇔⊥m l （2）线面垂直 ________

_______⇔⇔⊥αl

（3）面面垂直 ________________⇔⇔⊥βα

例3、正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是CD BB ,1的中点

证明：ADE F D 平面⊥1

例4、四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，ABCD PD 平面⊥,F E 、分别是棱

PB AD 、的中点，AD PD =

求证：PBC CEF 平面平面⊥

小结：1、空间问题如何转化为向量问题

2、运用空间向量解决立体几何问题的一般步骤

作业：习题2-4 A 组 3、4

拓展：已知棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为棱BC AB 和DE 中点，

试在棱1BB 上找一点M ，使得11EFB M D 平面⊥