2.晶体中电子的能态密度

晶体中电子的能态密度

5．7．1 带底附近的能态密度

在本章第一节中，我们已经得到自由电子的态密度N （E ），

3

212

22()4m N E V E π⎛⎫= ⎪⎝⎭

…………………………………………

…………………………………（5-7-1）

而且N(E)~E 的关系曲线已由图5-7-1给出。晶体中电子受到周期性势场的作用，其能量E(k )与波矢的关系不再是抛物线性质，因此式（5-7-1）不再适用于晶体中电子。下面以紧束缚理论的简立方结构晶格的s 态电子状态为例，分析晶体中电子态密度的知识。

由前面的紧束缚理论，我们已经得到简立方结构晶格的s 能带的E(k )形式为：

()()012cos cos cos s x y z E J J k a k a k a ε=−−++k …………………………………………………（5-7-2）

其中能量极小植在Γ点k =(0, 0, 0)处，其能量为()016s E J J ε=−−k ，所以在Γ点附近的能量，可以通过将()E k 展开为在k =0处的泰勒级数而得到，以2

cos 12x x =−+

，取前两项代入，可以得到：

()()()2222222

2011123()2s x y z s x y z E J J a k k k E J a k k k ε⎛⎫=−−−++=Γ−++ ⎪⎝⎭

k …………………（5-7-3）

在第五节，我们已经根据有效质量的定义，算得简立方晶格s 带Γ点处的有效质量为一个标量，

2

21

*02m a J =

>……………………………………………………………………………………………（5-7-4）

代入后，可得到

()2

2

*

()2s k E E m =Γ+k …………………………………………………………………………………（5-7-5）

式（5-7-5）表明：在能带底k =0附近，等能面是球面，如果以()()s E E −Γk 及*

m 分别代替自由电子的能量E 及质量m ，就可得到晶体中电子在能带底附近的能态密度函数：

*

31

2

22

2()4(

)[()()]s m N E V E E π=−Γk ……………………………………………………………（5-7-6）

5．7．2 带顶附近的能态密度

能带顶在(,,)a a a πππ=k 的R 点处，容易知道，其能量为()016s E J J ε=−+k 。以R 点附近的

图5-7-1 自由电子能态密度

波矢(,,)x y z k k k a

a

a

π

π

π

=±

+∆±

+∆±

+∆k 代入E(k )表达式中，就得到在能量极大值附近的能量表达式：

()012[cos()cos()cos()]s x y z E J J k a k a k a επππ=−−±+∆+±+∆+±+∆k ………………（5-7-7）

再利用(cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−，就可得到：

01()2(cos cos cos )s x y z E J J k a k a k a ε=−+∆+∆+∆k …………………………………………（5-7-8）

将式中余弦函数展开为2

cos 12x x =−+

后，上式变成：

222

2011()2[3()]2

s x y z E J J a k k k ε=−+−∆+∆+∆k

()()()2

2

2

2

*()[]2s x y z E R k k k m

=−

∆+∆+∆…………………………………………………（5-7-9） 或写成

()()()2

2

2

2

*

()()[]2s x y z E R E k k k m −=−

∆+∆+∆k ………………………………………………（5-7-10） 式中2

*

21

2m a J =

，i k ∆是波矢k 与能带顶R 的波矢之差。所以，若以R 点为原点建立坐标系,,x y z k k k 轴，

则i k ∆的意义就与i k 的意义是一样的。因此，式（5-7-10）表示能量极大值附近的等能面是一些以R 点为球心的球面。这样，我们就得到能带极大值附近的态密度函数：

*

31

222

2()4(

)[()()]s m N E V E R E π=−k …………………………………………………………（5-7-11）

虽然，式（5-7-10）和式（5-7-11）是从一个特例出发得到的，但却具有普遍意义。也就是说，当能带极值处的有效质量是各向同性的，等能面是球面时，式（5-7-10）和（5-7-11）均适用。

5．7．3 非极值点处能态密度

当能量远离极值点时，晶体电子的等能面不再是球面。图

5-7-2给出在0z k =截面上的简立方晶格电子等能面示意图。从图看出，从原点（Γ点，是能带底）向外，等能面基本上保持为球面的原因在于周期性场的作用，使晶体电子能量下降，为得到与自由电子相同的能量E ，晶体电子的波矢k 就必然要大。当能量超过边界上的A 点的能量A E 时，等能面将不再是完整的闭合面。在顶角C 点（能量极大值处）附近，等能面是被分割在顶角附近的球面，到达C 点时，等能面缩成几个顶角点。

在能量接近A E 时，等能面向外突出，所以，这些等能面之

图5-7-2 紧束缚近似等能面

A

C