旋转和缩放不变的联合变换报告——极-梅林变换的Matlab仿真分析

旋转和缩放不变的联合变换相关目标识别报告——极-梅林变换的Matlab 仿真分析2015202120040 张智宇联合变换相关器(Joint Transform Correlator, JTC)是利用透镜的两次傅里叶变换得到互相关峰来实现目标识别的。

由于其可以实时、并行地处理光学图像，因此有着巨大的潜在应用价值。

标准的JTC 只能识别畸变较小的目标，如果目标相较参考像有较大角度的旋转或较大比例的缩放，相关峰就会迅速衰减甚至无法识别。

因此JTC 的应用受到了限制。

1.JTC 畸变不变识别技术发展概况实际应用中，目标图像相对于参考图像总会存在不同程度的畸变（尺度和旋转等）。

在这种情况下，系统对真假目标的识别性能称为系统的畸变不变识别能力。

畸变不变识别已成为衡量系统性能的一个重要指标，提高目标畸变情况下联合变换相关器的识别能力十分重要。

围绕提高光学相关目标识别系统的畸变不变识别能力，国内外进行了大量的理论和实验研究。

通过三十多年的发展，人们提出了多种算法，诸如坐标变换法（也称为极-梅林变换法），Zernike 矩，综合识别函数法，圆谐函数展开法，直方图归一化法，本征图像法，滤波器库设计法，神经网路滤波法等等。

这些方法能实现特定应用背景下的某种畸变不变识别，但是没有哪一种方法能够一劳永逸地解决所有情况下的畸变不变性识别问题。

1.1 圆谐函数展开法1982 年，Yuan-Neng Hsu 等人提出用圆谐函数展开(Circular HarmonicExpansion, CHE)法解决目标旋转的识别问题，并利用基于某一圆谐分量的计算机全息图作为匹配滤波器实现了旋转目标的识别。

目标图像f(x,y)可以用极坐标表示为f(ρ,θ)然后可以用指数函数展开成级数的形式：f(ρ,θ)=∑fM (ρ)exp⁡(jMθ)+∞M=−∞ (1-1)f M (ρ)=12π∫f(ρ,θ)exp⁡(−jMθ)dθ2π0 (1-2)如此一来，旋转 φ 后目标函数可以表示为： f(ρ,θ+φ)=∑fM (ρ)exp⁡(jMθ)exp⁡(Mφ)+∞M=−∞ (1-3) 原点处的相关在极坐标中的表达式为：C (φ)=C φ(0,0)=∫ρdρ∫f(ρ,θ+φ)f ∗(ρ,θ)dθ2π0∞0 (1-4)将1-1带入1-4得：C (φ)=∑∑exp (jMφ)∫f M (ρ)+∞0+∞M ′=−∞+∞M=−∞f M ′(ρ)ρdρ×∫exp (j (M −2π0M ′)θ)dθ=2π∑exp⁡(jMφ)∫|f M (ρ,θ)|2ρdρ∞0+∞M=−∞ (1-5) 式(1-5)所示的相关函数包含了圆谐函数各级分量的贡献。

当旋转角φ变化时，显然不满足旋转不变的条件。

而是得到如下结论：当参考信号中包含多个（大于等于2）圆谐函数分量时，相关输出是随旋转角度改变的。

但是，如果参考信号中仅包含一个（某一级）圆谐函数分量，那么相关输出与旋转角度无关，即实现了旋转不变。

应用圆谐函数展开法进行旋转不变的相关识别，其识别性能强烈地依赖于极坐标系的原点的选择及作为参考信号的圆谐函数分量的选择。

一般情况下，选择原则是把原点选在图像的对称中心或非常接近中心的位置，而且选择低级次的圆谐函数分量作为参考信号能取得更好的效果。

1.2综合识别函数法1984年，D. Casasent 提出用综合识别函数(Synthetic Discriminant Function, SDF)制作匹配空间滤波器(Matched Spatial Filter, MSF)进行畸变不变相关识别，才真正在畸变不变的研究上实现了突破。

综合识别函数法早期源自 Braunecker 和Lohmann 的工作，Caulfield 和 Haines 的想法以及 Hester[8]的工作，是目前畸变不变识别算法中最新最有效的研究成果。

SDF 以及由此衍生的许多改进方法显著地提高了光学模式识别的畸变不变识别能力。

SDF 的基本思想是将待识别的图像及其各种畸变形态进行组合，找出综合识别函数，并据此制作 SDF 匹配滤波器。

该滤波器包含某一范围内目标的所有姿态信息，当输入真目标时，相关输出平面内含有较大的相关峰，并且该滤波器对输入的各种畸变状态的真目标都具有相等的相关输出峰值。

因此，基本的综合识别函数法又称为等峰值综合识别函数法。

原始的公式为：F T ℎ=u (1-6)其中，F=[f 1,f 2,f 3…f N ]={f n }，为包含特定目标各种畸变的训练图像集，n=1, …, N ；N 为训练集中图像的总数。

所选择的{f n }应能代表目标的各种畸变形态（如旋转和尺度等等）。

矩阵F 的大小为 p×N ，p 代表每个图像f n 的像素数。

是训练图像集的期望输出，为N×1的向量。

p×1的向量h 就是所要求的滤波器向量，称为综合识别函数，它是一个等相关输出。

对 h 的求解算法及修正算法有很多。

1.3梅林变换对于连续信号f(x,y)，其梅林变换定义如下：M (p,q )=∬f(x,y)x −(jp+1)y −(jq+1)dxdy ∞∞00(1-7) 其中 p ，q 是实数。

若令ξ=ln x ，η= ln y ，函数f(x,y)表示成F(ξ, η)，则上式可以写成： M (p,q )=∫∫F(ξ,η)e −j(pξ+qη)d ∞0ξdη∞0 (1-8)可见，如果先对函数的坐标取对数，函数的梅林变换可以通过傅里叶变换实现。

这使梅林变换的实现变得更加容易和快捷。

可以证明，梅林变换具有尺度不变性：假设函数f(ax,by)是根据信号f(x,y)按比例变化而得到的，根据定义(1-7)式，其梅林变换为： M (p,q )=∬f (ax,by )x −(jp+1)y −(jq+1)dxdy =∞∞00a jp b jq f (ax,by )ax −(jp+1)by −(jq+1)d (ax )d (by )=a jp b jq Mf(x,y) (1-9) 对上式两边取模，可得：|M*f (ax,by )+|=|M*f(x,y)+| (1-10)即，当信号函数按比例发生变化时，其变化前后的梅林变换的模不变。

因此，利用梅林变换可以解决尺度不变识别的问题。

1.4 极坐标变换用坐标(x,y)表示直角坐标系中的点，用坐标(ρ,θ)表示极坐标系中的点。

极坐标变换就是将原来直角坐标系x-y 中的信号变换成极坐标系ρ-θ中的信号。

变换关系如下：{ρ=√x +y θ=arctan y x (1-11)则如图1-1所示，在直角坐标系x-y 中，图像f 2(x ,y)是由f 1(x ,y)旋转角度φ得到的，通过极坐标变换，将两函数映射到极坐标系 ρ-θ 中，分别用f 2(ρ ,θ)和表示f 1(ρ ,θ)。

可以证明，极坐标变换能够将图像的旋转转换为图像的平移。

(a)直角坐标系 (b)极坐标系图1-1 极坐标变换示意图综上可得，极-梅林变换法可以实现图像的平移不变、尺度不变和旋转不变识别。

对图像信号进行两次坐标变换，即对数坐标变换和极坐标变换，再通过傅里叶变换对变换后的图像做光学相关运算。

极-梅林变换法最早是针对 Vander Lugt 相关器提出的。

由于时间和精力有限，选择极-梅林变换来进行仿真验证其旋转、缩放不变性。

2.原型JTC 的畸变识别性能分析在联合变换相关中，参考图像和待识别图像（也称为目标图像）分别置于光轴的两侧，如图 2.1 所示。

其中，FL 表示傅里叶透镜，在输入面P1-xy 上错开一定距离（例如 2a ）放置参考图像f(x+a,y)和目标图像g(x-a,y)。

在频谱面P2-ξη上记录下二者的干涉功率谱，再对干涉功率谱进行傅里叶变换，在输出平面P3-uv 上将得到目标图像和参考图像的自相关和互相关，根据相关输出结果，可以进行光学目标识别。

图2-1 联合变换相关示意图在Matlab 中可以很方便地实现上述过程：a. 将输入图像转换为灰度图像，然后对其进行二维傅里叶变化得到其频谱;b. 将频谱矩阵与其复数共轭矩阵相乘即可得到输入图像的功率谱。

将功率谱重归一化后化φρ ,θ)φ为255阶灰度，模拟液晶光阀显示功率谱的过程;c.再进行一次傅里叶变换，即可得到相关输出谱；d.对输出取模平方，归一化，取255阶灰度，得到含相关信息的灰度图像。

图2-2给出了原型JTC对与参照物完全一致的目标的相关结果。

(a)原图(b)处理后的灰度图像(c)功率谱(d)相关峰灰度图像(e)相关峰强度曲线图2-2原型JTC联合变换相关2-2（a）中左上角的坦克为目标，右下角的坦克为参照物，在后面的仿真中将沿用这一设置。

从2-2(d)中可以观察到两个清晰的相关峰，2-2(e)所示的相关峰曲线，纵坐标为像素的灰度值，横坐标为像素的横坐标，其中纵坐标依照以10为底的对数坐标系绘制。

为了对比研究畸变不变识别技术的效果，首先讨论JTC 在未做畸变不变处理（简称为型JTC）时的畸变不变识别能力。

下面从尺度不变和旋转不变两个方面分析原型JTC的畸变不变识别能力。

2.1 原型JTC对尺度变换的畸变识别能力图2-3给出了目标相对参考物缩放的情况，所有的缩放都是以参考物的中心作为基点，缩放倍数用F表示。

依次对2-3的各幅图像进行联合变换相关识别。

输出结果如图2-4和2-5所示。

(a)F=1.02 (b)F=1.05 (c)F=1.1 (d)F=0.9图2-3目标相对参考物进行尺度变换(a)F=1.02 (b)F=1.05 (c)F=1.1 (d)F=0.9图2-4尺度变换后的相关峰灰度图像(a)F=1.02 (b)F=1.05 (c)F=1.1 (d)F=0.9图2-5尺度变换后的相关峰强度曲线对比2-4和2-2(d)，以及2-5和2-2(e)可以发现当图像放大2%时，相关峰还可以分辨，而当图像的缩放为5%时，相关峰就已经淹没在噪声中无法分辨。

从仿真结果来看原型JTC 的抗尺度畸变的能力极差，如果目标相对参考物的尺度变化大于3%那么其相关峰就很难被分辨了。

2.2原型JTC对旋转变换的畸变识别能力图2-6给出了目标相对参考物旋转的情况，所有的旋转都是以参考物的中心作为基点，旋转角度用R表示，单位为度(°)。

依次对2-6的各幅图像进行联合变换相关识别。

输出结果如图2-7和2-8所示。

(a)R=1°(b)R=3°(c)R=5°(d)R=-3°图2-6目标相对参考物进行旋转变换(a)R=1°(b)R=3°(c)R=5°(d)R=-3°图2-7旋转变换后的相关峰灰度图像(a)R=1°(b)R=3°(c)R=5°(d)R=-3°图2-8旋转变换后的相关峰强度曲线对比2-7和2-2(d)，以及2-8和2-2(e)可以发现当图像旋转1°时，相关峰还可以分辨，而当图像旋转3°时，相关峰就已经淹没在噪声中无法分辨。