线性系统分析

（一）齐次解
rn (t) 是齐次方程的通解
an
d
nr(t) dtn

an1
d
n1r(t) dtn1


a1
dr(t) dt

a0r(t)

0
该齐次方程的特征方程为：
ann an1n1 a1 a0 0
1, 2, ,n 称为微分方程的特征根
也称为系统的自然频率或固有频率
为此，建立如下的代数方程组，确定零输入响应 的待定系数C1、 C2、、 Cn。
r(0) C1 C2 Cn
r(0) C11 C22 Cnn

r
(n1)
(0)

C11n1

C2
n1 2



Cn
n
n1
32
6.3 零输入响应
例6.3-3 如图所示电路，L=1H，C=1F，R=2
将系统的0-初始条件代入上式，可解得系数Ci。
2、若微分方程有重特征根，如 1 为k重根
k
n
rzi(t) Citi1e1t
C je jt
i1
jk 1
上式中Ci，Cj由0-初始条件确定
31
6.3 零输入响应
例如 rzi(t) C1e1t C2e2t Cnent
激励是响应产生的原因，响应是激励产生的 结果。
（四）系统分析的方法
系统分析： 对给定的某系统，求出它对于 给定激励的响应。
系统综合： 根据提出的对给定激励和响应的
要求，设计出具体的系统
10
系统分析的步骤：1、建模 2、求解 系统分析
建立数学模型
输入-输出描述法
状态变量描述法
（单输入单输出系统） （多输入多输出系统）
B1

3 50
,
B2


21 50
23
所以特解为：
rf
(t)

3 50
sin
2t

21 cos2t 50
4、完全解：
uc2 (t) rn (t) rf (t)

A1et

A2e6t

3 sin 2t 50

21 cos2t 50
因为电容两端初始电压为零，所以
uc1(0) 0, uc2(0) 0
若e(t)=0，电路初始条件：
1. i(0) 0, i(0) 1
uc(t)
C
2. i(0) 0, uc (0) 10V e(t)
求上述两种初始条件时电路
i(t) L
R
的零输入响应电流
解：列写电路方程：
i(t) C duc(t) dt

uc
(t)

1 C
t
i( )d
线性：
a1e1(t
)

a2e2
(t
)

a1r1(t
)

a2r2
(t) 8
2、非时变性：
在同样的初始条件下，系统的响应与施
加于系统的时刻无关
e(t)
r(t)
E
Tt
t
E e(t t0)
t0 t0 T t
r(t t0)
t0
t
9
3、因果性：
当t>0时作用于系统的激励，在t<0时不会在 系统产生响应。
2返6 回
6.3 零输入响应
按照产生系统响应的原因，可将全响应分解为零 输入响应和零状态响应：
r(t) rzi(t) rzs(t)
零输入响应 rzi(t)
没有外加激励的作用，只由起始状态(t=0-)所产生 的响应
零状态响应 rzs(t)
不考虑起始时刻系统的初始储能，仅由系统的外加 激励引起的响应
r(t) rn (t) rf (t)
k
n
Ajt j1e1t Aieit rf (t)
j1
ik 1
完全解中相应齐次解的系数，要根据方程 的初始条件决定：
r(0 ), r(0 ), r(0 ),
19
k
n
r(t)
Ajt e j1 1t
14
1、当特征方程无重根时
rn (t) A1e1t A2e2t Anent
n
Aieit
i1
2、当特征根1是k重根时，相应1的部分 有k项
k
A1e1t A2te1t Akt k e 1 1t Ait i e 1 1t i 1
非线性系统： 不能同时满足齐次性与迭加性的系统
4
2、时变系统与非时变系统 时变系统： 如果系统的参数随时间变化， 则称其为时变系统或参变系统 非时变系统： 系统的参数不随时间而改变
3、连续时间系统与离散时间系统 连续时间系统： 系统的输入信号与输出信号 均为连续时间信号 离散时间系统： 系统的输入时间信号与输 出时间信号均为离散时间信号
线性系统分析
第六章 连续系统的时域分析 第七章 连续系统的频域分析 第八章 连续系统的复频域分析 第九章 离散系统的时域分析 第十一章 离散系统的Z域分析
1
第六章 连续系统的时域分析
6.1 引言 6.2 微分方程的经典解法 6.3 零输入响应 6.4 冲激响应与阶跃响应 6.5 零状态响应
2
第六章 连续系统的时域分析
5
4、即时系统与动态系统
即时系统： 系统的输出信号只取决于同时刻 的激励信号，与它过去的工作状态无关。 也称无记忆系统
例如由电阻元件组成的系统
动态系统： 系统的输出信号不仅取决于同时 刻的输入信号，还与它过去的工作状态有 关。也称记忆系统 如由电容、电感元件组成的系统
6
5、集总参数系统与分布参数系统 集总参数系统： 只由集总参数元件组成的 系统。数学模型为常微分方程 分布参数系统： 含有分布元件的系统。 数学 模型为偏微分方程
2

(4B1

3B2
)t

(2B1

2B2

3B3
)

t2

17
2t

B1

1 3
,
B2

2 9
,
B3


10 27
则特解为：
rf
(t)

1 3
t2

2 9
t

10 27
可见，特解是由激励与系统方程共同决定的。 激励决定特解形式 系统方程决定系数
18
（三）完全解
将齐次解和特解相加，就得到完全解的函数式

21 cos2t 50
25
总结： 1、齐次解的形式是由系统的齐次方程决定
的，也可以说是由系统本身的特性决定的。 但是： 齐次解的系数Ai 是与激励信号有关、 并与初始条件有关的。 齐次解也称系统的自由响应分量
2、特解的形式由激励信号决定，特解的系数 Bi由系统本身特性和激励信号共同决定。 特解也称系统的受迫响应分量
duc2 dt

uc2
进一步化简：
d 2uc2 dt2

7
duc2 dt
6uc2

6sin 2t
t0
2、求方程的齐次解：其特征方程为
2 7 6 0 1 1 2 6
22
所以齐次解形式为：
rn (t) A1et A2e6t
3、查表，确定特解表达式：
Aieit rf (t)
j 1
ik 1
为此，建立如下的代数方程组，确定全部齐次解
的待定系数A1、 A2、、 An。
r(0 )
r(0

)


A1 A2
A11
An
A22
B(0)
An n

B(0)
r n1(0 ) A11n1 A22n1 Annn1 B(n1) (0)
6.1 引言
（一）系统的概念 广义地说，系统就是由一些相互作用和相互
依赖的事物组成的、具有特定功能的整体。
在本书中，把能够对信号完成某种变换或运 算功能的集合体称为系统
3
（二）系统的分类 一般，系统的物理特性都可用数学模型来描
述，不同类型的系统其数学模型表现形式不同。 1、线性系统与非线性系统
线性系统：凡能同时满足齐次性与迭加性 的系统。
齐次解的系数 由特解、初始条件共同决定。
1、先求出特解，再求齐次解的系数
2、初始条件是 0+初始条件
20
例 6.2-4 如图所示电路，激励信号 e(t) sin 2t u(t)
电容两端初始电压为零，求输出信号uc2(t)的表示式
其中 R1 R2 1
c1

1 2
F
c2

1 3
F
解：1、列写方程
27
6.3 零输入响应
（一）系统的初始条件 考虑到系统全响应r(t)在t=0时刻可能存在冲
激函数或阶跃函数分量，将初始条件分为0-初 始条件和0+初始条件
因此r(0-)不一定等于r(0+)
初始条件r(0-)是可以测量的，r(0+)很难直接 测量。本课程如未特别说明，都用初始条件 r(0-)。
28
6.3 零输入响应
1返6 回
例 6.2-3 给定系统方程如下
d 2r(t) dt2

2
dr(t) dt

3r(t)

de(t) dt

e(t)
已知 e(t) t2 求方程的特解
解： 查表6.2-1 ，根据激励确定特解形式为
rf (t) B1t2 B2t B3
将特解代入方程左端，激励代入方程右端
3B1t
de(t dt
)

b0e(t
)
12
微分方程的完全解
齐次解 特解
齐次解： 系统齐次方程的解，记为 rn (t)
齐次解的形式只与系统特性有关，也称系统 的 自由响应或固有响应
特解的形式： 由系统的激励决定，也称为系
统的强制响应或受迫响应，记为 rf (t)
系统的全响应为： r(t) rn (t) rf (t) 1返3 回
齐次解的待定系数A1、 A2、、 An由初始条件
{r(0+),r’(0+)…}决定。
15
k
n
rn (t) Aiti e1 1t
Aje jt
i 1
jk 1
（二）特解 特解的形式与激励函数的形式有关。 根据激励确定特解的形式，并将特解和
激励代入方程，以确定特解的待定系数

i(t)

0
34
6.3 零输入响应
其特征方程为 2 2 1 0 1 2 1

33
6.3 零输入响应
ul
(t)

L
di(t) dt
uc(t)
C
e(t) uc (t) ul (t) i(t)R e(t)
i(t) L
R
L
d 2i(t) dt2

R
di(t) dt

1 C
i(t)

e(t)
代入元件值，且e(t)=0
d 2i(t) dt2

2
di(t) dt
R1

R2 c2
i1

c1
duc1 dt
i2

c2
duc2 dt
e(t)
i1 c1 i2 uc2(t)
e(t) (i1 i2 )R1 uc1
uc1 i2R2 uc2
21

1 2
duc1 dt
1 3
duc2 dt
e(t) uc1
uc1

1 3
本课程主要研究集总参数线性非时变系统
7
（三）线性非时变系统的基本性质
1、线性性质： 包括齐次性和迭加性
齐次性： 如果 e(t) r(t)
则 ae(t) ar(t)
迭加性： 如果
e1(t) r1(t) e2(t) r2(t)
则： e1(t) e2(t) r1(t) r2(t)
| 又由
uc1

1 3
duc2 dt
uc2

duc2 dt
0
t0
24
根据初始条件写出如下方程：
A1

A2

21 50

0


A1
6 A2

6 50

0

A1

24 50
,
A2

3 50
则完全解为：
uc2 (t )

24 50
et

3 50
e6t

3 50
sin
2t
rf (t) B1 sin 2t B2 cos 2t
将特解代入原方程，d 2uc2
得
dt2
7
duc2 dt
6uc2

6sin 2t
t0
(2B1 14B2)sin 2t (14B1 2B2)cos2t 6sin 2t

124BB1 1124BB22

6 0


a0r(t)

bm
d me(t) dtm

bm1
d m1e(t) dtm1

b1
de(t) dt

b0e(t)
该齐次方程的特征方程为：
ann an1n1 a1 a0 0
30
6.3 零输入响应
1、 1, 2, ,n 为单特征根
rzi(t) C1e1t C2e2t Cnent
（二）零输入响应 在无外加激励的情况下，只由初始储能引起的 响应。满足系统齐次方程的解。
n
rzi (t) Cieit
i1
零输入响应的系数Ci由系统的0-初始条件决定
29
6.3 零输入响应
设系统方程为：
an
d nr(t) dtn

an1
d n1r(t) dtn1

a1
dr(t) dt
系统数学模型求解
时域法
变换域法 1返1 回
6.2 微分方程的经典解法
线性系统的激励和响应之间的关系可用微 分方程来描述：
an
d
nr(t) dtn

an1
d n1r(t) dtn1



a1
dr(t) dt

a0r(t)

bm
d
me(t) dtm

bm1
d
m1e(t) dtm1



b1