石群自动控制原理(第9章)完整版

第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述
9-2 线性系统的可控性与可观性
9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析
9-5 控制系统状态空间设计
9凯莱-哈密顿定理
设n 阶矩阵A 的特征多项式：
则A 满足其特征方程，即
推论1 矩阵A 的次幂可表示为A 的n-1阶
多项式：
式中与A 阵的元素有关。

1110
()n n n f I A a a a λλλλλ−−=−=++++ 1110()n n n f A A a A a A a I
−−=++++ ()k k n ≥1
0 , n k m
m m A A k n α−==≥∑m α
9秩判据
线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：
其中，A 为n 维方阵；称为系统的可
控性判别阵。

0()()(), (0), 0x
t Ax t Bu t x x t =+=≥ 1
n rank B AB A B n −⎡⎤=⎣⎦
1 n S B AB A B −⎡⎤=⎣⎦
9PBH 秩判据
线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：
式中，
是矩阵A 的所有特征值。

另一种等价描述为：
说明：因为这个判据是由波波夫(Popov ) 和贝尔维奇(Belevitch ) 首先提出，并由豪塔斯(Hautus ) 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH 秩判据。

0()()(), (0), 0x
t Ax t Bu t x x t =+=≥ (1,2,,)i i n λ= [] ; 1,2,,i rank I A B n i n
λ−== [] ; rank sI A B n s C
−=∀∈
9对角线规范型判据
线性定常连续系统：矩阵A 的特征值两两相异，变为对角线规范型：
系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行12,,,n λλλ 12 0 0 n x x Bu λλλ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0()()(), (0), 0x
t Ax t Bu t x x t =+=≥ B
4. 输出可控性
如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。

9输出可控性(与状态可控没有必然联系)
若在有限时间间隔内，存在无约束分段连续控制
函数能使任意初始输出转移到任意最终输出，则称此系统是输出完全可控，简称输出可控。

¾输出可控性判据
设线性定常连续系统的状态空间描述为：[]01,t t []01(),,u t t t t ∈0()y t 1()y t []01, (0), 0,x
Ax Bu x x t t y Cx Du
=+=∈=+
输出可控性矩阵：输出可控充要条件是10 n S CB CAB CA B D −⎡⎤=⎣⎦
(1)q n p ×+0 rank S q
=111111()100
()1010()()()()()
t At A t t t At A t t x t e x e Bu t dt y t Ce x C e Bu t dt Du t −−=+=++∫∫[]01, (0), 0,x
Ax Bu x x t t y Cx Du
=+=∈=+ 系
统式中，u 为p 为输入向量；y 为q 维输出向量；x 为n 维状态向量。

状态空间表达式的解为：
5. 线性定常连续系统的可观测性判据
考虑时系统的状态方程和输出方程为：
式中，x 为n 维状态向量，y 为q 维输出向量。

A 为常值矩阵，C 为常值矩阵。

¾格拉姆矩阵判据
上述系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。

格拉姆矩阵0u =0, (0), 0, x
Ax x x t y Cx ==≥= n n ×q n ×10t >110(0,)T t A t T At M t e C Ce dt Δ=∫1 n C CA rank n CA −⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 21 () ()T T T T T T n T rank C A C A C A C n −⎡⎤=⎣⎦
¾秩判据线性定常连续可观充要条件可观测阵
9PBH 秩判据
线性定常连续系统：其完全可观测的充分必要条件是：式中，
是A 的所有特征值。

9对角线规范型判据
上述系统完全可观测充要条件是：
当A 特征值两两相异时，对角线规范型中不包含全零列。

0, (0), 0, x
Ax x x t y Cx ==≥= (1,2,,)i i n λ= ; 1,2,, ; i i C rank n i n I A C rank n s C I A λλ⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦⎡⎤=∀∈⎢⎥−⎣⎦ 12 0 , 0 n x x y Cx λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12,,,n λλλ C
¾数学基础矩阵的对角化
一个矩阵如果和对角阵相似，则称这个矩阵可对角化。

9矩阵可对角化的条件
设方阵A 可对角化，即A 与相似,
则存在可逆阵P ，使得：
即。

是A 的n 个线性无关特征向量，
是A 的n 个特征值。

12(,,,)n D diag λλλ= 1 P AP D AP PD −==12121212121122(,,,)
(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)
1,2,,0 , 1,2,,n n n n n n n i i i i P X X X A X X X X X X diag AX AX AX X X X AX X i n
X i n
λλλλλλλ=====≠= 12,,,n X X X 12,,,n λλλ
定理1：n 阶方阵A 可对角化的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

定理2：属于A 的不同特征值的特征向量是线性无关的。

定理3：若n 阶方阵A 有n 个相异特征值，则A 可对角化，且
注意：定理3的逆命题不成立。

例如，n 阶单位阵I 是可对角化的，但其n 个特征值都为1，非互异。

定理4：设为n 阶方阵A 的s 个互异特征值，是A 的属于的个线性无关的特征向量,。

则下述向量线性无关：12,,,n λλλ 121
1212(,,,)
(,,,)
(,,,)n n n A diag P X X X P AP diag λλλλλλ−==∼ 12,,,s λλλ 12,,,i i i im X X X i λi m 1,2,,i s = 12111212122212,,,;,,,;;,,,s
m m s s sm X X X X X X X X X
小结
当A 的特征多项式方程有重根时，如果每个特征值都有满足一定条件的、数量的、线性无关的特征向量的话，A 也可以对角化。

在复数域中，对A 的特征多项式进行因式分解，即：称为的代数重数。

每个特征值有一个特征子空间，称特征子空间的维数为的几何重数，记作。

定理5：n 阶复方阵A 的特征值的几何重数小于等于代数重数。

121212()()()() , , s n n n A s i j s f i j n n n n λλλλλλλλλ=−−−≠≠+++= i n i λ,1,2,,i V i s λ= i V λi m i i
m n ≤i λi λ
定理6：n 阶复方阵A 的特征多项式为：
则：
9求相似对角阵的方法
⑴求解A 的特征值
121212()()()() , , s n n n A s i j s f i j n n n n λλλλλλλλλ=−−−≠≠+++= 1,1,2,,(),1,2,,i i s i i i i m n i s m n r I A n n i s λ====−=−=∑ 方阵A 可
对角化
1()(),,i
s n A i i j i f I A i j λλλλλλ==−=−≠≠∏
⑵计算的秩，
，然后判断秩的关系。

若，则A 可对角化，否则A 不可对角化。

⑶可对角化时，对，求的基础解系，得。

⑷
其中有个。

例1 判断是否可对角化？解：⑴求A 的特征值。

i I A λ−1,2,,i s = (),1,2,,i i r I A n n i s λ−=−= ,1,2,,i i s λ= 121112*********
1122(,,,;,,,;;,,,)
(,,;,,;;,,)s n n s s sn s s P X X X X X X X X X P AP diag λλλλλλ−== ()0i I A X λ−=12,,,,1,2,,i i i in X X X i s = i n ,1,2,,i i s λ= 0 10 0A ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
⑵
例2 设
解：⑴
2
111 10 , 0,2
0 0 1()10 0I A n r I A r λλλλλ
λ−−=====−⎡⎤
−==⎢⎥
⎣⎦
11()r I A n n λ−≠−由于所以A 不可对角化。

1 2 22 1 22 2 1A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
判断A 是否可对角化，若可对角
化，求出可逆矩阵P ，使为对角阵。

1
P AP −2
1122111 2 2
2 1 2(5)(1)
2 2 1
5,1;1, 2 ; 1
I A n n m n λλλλλλλλ−−−−=−−−=−+−−−===−===
⑵
故A 可对角化。

⑶求解特征向量。

222 2 2()2 2 21 , 3212 2 2r I A r n n λ−−−⎡⎤⎢⎥−=−−−=−=−=⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦
1231231231111
(5)0422024202240
[1 1 1] T
I A X x x x x x x x x x X kX −=−−=⎧⎪
−+−=⎨⎪−−+=⎩
=1231231232122121222
()02220
22202220
[1 0 1][0 1 1]
T T
I A X x x x x x x x x x X X k X k X −−=−−−=⎧⎪
−−−=⎨⎪−−−=⎩
=−=−+
112122110 1 1 01,0,1 1 0 11111 1 1X X X P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⑷
11
1
5 1 1 11 1 2 1 13
1 1
2 11 1 1 1 2 2 1 1 01 2 1 1 2 1 2 1 0 3
1 2 1 2 2 1P AP P P AP −−−⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=−=−−⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦5 1 11 1 1 1⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣
⎦⎣⎦
7. 线性定常系统的线性变换
分析和设计系统时，通常需对系统进行各种非奇异变换，例如将A 阵对角化、约当化、将化为可控标准型，将化为可观标准型等。

⑴状态空间表达式的线性变换系统：
取非奇异阵P ：上述称为系统P 变换。

系统变换目的是使阵规范化,揭示系统特性及分析计算，并不会改变系统的原有性质,故称为等价变换。

{},A b {},A c , x Ax bu y cx =+= A 1
1
A P AP b P b
c cP
−−===11, , , Px APx bu y cPx x P APx P bu y cPx x
Ax bu y c x y −−=+==+==+=⋅= x Px
=
[]
120 i i
n I A Ap p P p p p λλ−=== 系统变换的核心思想
为了分析或综合系统，将不便研究的状态空间模型进
行等价变换，获得所需结果后，再引入反变换换算回原来的状态空间中去，得出最终结果。

下面概括几种常用线性变换。

1) 化A 阵为对角型
①设A 阵为任意形式方阵，且具有n 个互异实数特征值，则A 阵有n 个线性无关实数特征向量，可构成非奇异变换阵P 。

1
x P x −=121 0 0 n P AP λλλ−⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦ 12,,,n λλλ
②若A 为友矩阵，且有n 个互异实数特征值,则下列范德蒙特(Vandermode ) 矩阵P 可使A 对角化：
2) 化A 阵为约当型
设A 阵具有m 重实特征值，其余为n-m 个互异实特征值，但在求解时只有一个独立实特征向量, 则只能使A 化为约当阵J 。

12,,,n λλλ 0121 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 1 n A P a a a a −⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥−−−−⎣⎦ 123222212311111
231 n n n n n n n λλλλλλλλλλλλ−−−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1λi i Ap p λ=i p
求解举例：含约当块
m m ×[]121 m m n P p p p p p += 111
1
1 1 0 1 0 m n J P AP λλλλλ−+⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ 2 m p p 是广义实特征向量[][]1112121 1 0 10 m m p p p A p p p λλλ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1122
121
()p p Ap A p p λλ+=−=1111
()m m m
m m p p Ap A p p λλ−−+=−=
3) 化可控系统为可控标准型
单输入线性定常
可控标准型可控性判别阵次对角线元素都为1，
故，一定可控。

1110 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 1 n n n a S b Ab A b a −−−−⎡⎤==⎣⎦××−× 121 n n a a −−⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥×⎢⎥
−−××⎢⎥⎣⎦
1210
121 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n n x x x a a a a x −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦ 12100 01n n x x u x x −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ S det 0S ≠
结论：一个可控系统，当A,b 不具有可控标准型时，
一定可以选择适当的变换化为可控标准型。

著名的变换
1
1
1
1
x
Ax bu x P z P z
AP z bu z PAP z Pbu −−−−=+==+=+ 1
0121 0 1 0 00 0 0 1 00 , 0 0 0 10 1n PAP Pb a a a a −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎢⎥⎢−−−−⎣⎦⎣⎦
⎥
⎥1
P −
9下面具体推导变换矩阵P ：
设变换矩阵P 为12 T
T T T n P p p p ⎡⎤=⎣⎦
11210121 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n n p p p p A p a a a a p −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−⎣⎦⎣⎦
21 n n p p −⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 121 n n p p P p p −⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1223101121 n n
n n n
p A p p A p p A p p A a p a p a p −−====−−−− 12
2
213111 n n n
p A p p A p A p p A p A
p −−=====
9变换矩阵P b 阵变换过程
下面讨论将非标准可控化为可控标准型的变
换矩阵的求解方法。

1
x P z −=结论：
是可控判别阵的逆阵的最后一行
11111
10 01n n p b p A Ab Pb b p A b p A −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
[][]1
11
1
1 0 0 10 0 1 n n p b Ab A b p b Ab A b −−−⎡⎤=⎣⎦⎡⎤=⎣⎦
1p 1
P −1111 n p p A P p A −⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
①计算可控性矩阵④构造P 阵
②计算可控性矩阵的逆
③取出最后一行
1
n S b Ab A b −⎡⎤=⎣⎦
1112121222112 n n n n nn S S S S S S S S S S −⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
[]
112 n n nn p S S S = 1111 n p p A P p A −⎡⎤⎢⎥⎢⎥=
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⑤便是将非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵
1
P −
⑵对偶原理
研究系统可控、可观时，用对偶性原理常带来方便。

式中：
均为维状态向量；均为维状态向量；均为维状态向量。

互为对偶系统的输入、输出向量的维数是相交换的。

可控判别阵
可观判别阵
可观判别阵
可控判别阵
1122(,,) : , (,,) : , T
T
T
T
T
T
A B C x Ax Bu y Cx A C B z A z C v B z
ωΣΣ=+=ΣΣ=+= 互为
对偶,x z n ,y v q ,u ωp 1Σ2Σ1
n B AB A B −⎡⎤⎣⎦ 1
() ()() (())()T T
T T
T T
T T n T T
B A B A B −⎡⎤⎣⎦ 1
()T
T
T
T n T
C A C A C −⎡⎤⎣
⎦
1
()T T T T n T
C A C A C −⎡⎤⎣
⎦
1Σ2Σ
应用对偶原理，能将可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题转化为其对偶系统化为可控标准型的问题。

单输入单输出系统可观测，但不是可观标准型。

对偶系统为一定是可控的，但不是可控标准型。

思路：先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对
偶原理，便可获得原系统的可观测标准型。

①列出对偶系统的可控阵(即原系统的可观阵)
, x
Ax bu y cx =+= ,A c , T T T
z A z c v b z ω=+= 121 ()T
T T
T n T
S V c A c A c −⎡⎤==⎣
⎦
1V
②求③取第n 行构造P
④求，引入变换，变换后动态方程为
⑤对偶系统利用对偶原理，得原系统可观标准型
1
1
21T T T n v v V v −⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11
V
−1 ()T n
T T n T T n n v v A P v A −⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11
V −1
P −1
z P z −=11, T T T z PA P z Pc v b P z
ω−−=+= 11()()()T T T T T T T T T
T
x PA P x b P u P AP x P bu
y Pc x cP x
−−−−=+=+==
比较原系统及其对偶系统
原系统化为可观标准型需要进行变换，即
其中，
为原系统可观阵的逆阵中第n 行的转置。

⑶非奇异线性变换的不变特性
为了研究系统固有特性，常引入非奇异变换。

为了研究什么，而不研究什么，最后还是研究了什么。

T
P 1
T T n n
n n x P x P v Av A v −⎡⎤==⎣⎦ n v 11, ()()()T T T T T T T T T T x Ax bu y cx x PA P x b P u P AP x P bu y Pc x cP x −−−−=+=⎧⎪⎪⎨=+=+⎪
⎪==⎩
9简单综述几种非奇异变换
①将A 阵对角化或约当化。

需要进行P 变换。

②将A,b 化为可控标准型。

需要进行变换。

③将A,c 化为可观标准型。

需要进行变换。

尽管这些变换中，P 各不相同，但都是非奇异阵。

¾非奇异线性变换特点
不改变系统固有属性；系统特征值、传递矩阵、可控性、可观性等重要性质保持不变。

下面以P 变换论证。

设系统。

令，变换后：
1
P −T
P , x
Ax Bu y Cx Du =+=+ x Px =11 , x P APx P Bu y y CPx Du
−−=+==+
1
1
1
1
1
1
1
1
1111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
()()()()[()]()()()
I P AP
P P P AP P P P AP P I A P P
I A P P
P I A
P P I A I I A I A
G s CP sI P AP P B D
CP P sIP P AP P B D CP P sI A P P B D CPP sI A PP B D C sI A B D G s λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=−=−=−=−=−=−=−=−′=−+=−+=−+=−+=−+=①变换后系统特征值不变
②变换后系统传递矩阵不变
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 [ () ()]
[ ] [ ] [ ] [() ()() (())()]
[ n n n n T
T
T
n T
T
T
T
rank S rank P B P AP P B P AP P B rank P B P AB P A B rank P B AB A B rank B AB A B rank S
rank V rank CP P AP CP P AP CP rank P C −−−−−−−−−−−−−−−−′
=====′
== 111 ()] [ ()] [ ()] T
T
T
T
n T
T
T
T
T
T
n T
T
T
T
T
n T
T
P A C P A C rank P C A C A C rank C A C A C rank V
−−−=== ③变换后系统可控性不变④变换后系统可观性不变
⑷线性定常系统的结构分解
通常，不可控系统中包含可控和不可控两种状态变量。

不可观系统中包含可观和不可观两种状态变量。

可观不可观可控不可控
由对应四种状态变量构成的子空间也分为四类，也是系统也对应分成了四类子系统，称为系统的结构分解，也称为系统的规范分解。

研究结构分解可以更明显地揭示系统的结构特性、传递特性。

研究方法是选取一种特
殊的线性变换，使原来的状态变量x 变成相应地使原动态方程中的A,B,C 矩阵变换成某种标准构造的形式。

从可控和可观角度，状态变量分为四类： co co x x co co x x [ ]
T T T T T co co co co x x x x
结构分解过程
可控部分
不可控部分2层次分解(可控角度)可观部分
不可观部分
可观部分不可观部分可观部分不可观部分
2层次分解(可观角度)可控部分
不可控部分可控部分
不可控部分
1) 系统按可控性的结构分解
不可控系统：
，式中xn 、up 、yq 。

若系统可控阵的秩r(r<n)，则可从可控阵中选出r 个线性无关的列向量，另外再任意选取尽可能简单的个n 维列向量，使其与线性无关，这样就可以构成非奇异变换矩阵。

是维可控；
是维不
可控。

, x Ax bu y cx =+= 12,,,r s s s n r −12,,,r r n s s s ++ {}12,,,r s s s n n ×[]1
121 r r n P s s s s s −+= 111 , c c c c c c c c x x x x x P PAP PBu y CP x x x x −−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
c x r c x n r −非奇异变换矩阵11121
111222 , ; 0 0 A A B PAP PB CP C C A −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦
11121221122 c c c c c
c c
x A x A x B u x A x y C x y C x =++=== 9将输出向量进行分解，可得子系统动态方程：
111212212 0 0 c c c c c c x x A A B u x x A x y C C x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣
⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11121221212
c c c c c c c x A x A x B u x A x y C x C x y y =++==+=+ 可控的子系统不可控子系统111 , c c c c c c c c x x x x x P PAP PBu y CP x x x x −−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
11121
111222 , ; 0 0 A A B PAP PB CP C C A −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦引入变换
11121221122 c c c c c c c
x
A x A x
B u x A x y
C x y C x =++===
系统结构的可控性规范分解具有下列特点
111111111111111111111111111212 [ ]
[ ()() ()
()] 0 0 0 ()()()()
[ ] 0 n n n n rank B AB A B rank PB PAP PB PAP PB B A B A B rank rank B A B A B r C sI A B CP sI PAP PB A A C C sI −−−−−−−−−−=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎡⎤==⎣⎦
−=−=− 11111211122222111111112221121221 [ ]0 0 0 () ()()[ ] 0 0 ()
(sI A A B B C C A sI A sI A sI A A sI A B C C sI A C s −−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤−−⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤−−−⎡⎤=⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦
⎣⎦=1111)I A B −−①由于下述推导
因而维系统是可控的，并且和系统具有相同的传递函数矩阵。

如果从传递特性的角度分析系统时, 可等价地用分析子系统来代替，由于后者维数降低了很多，可能会使分析变得简单。

②输入只能通过可控子系统传递到输出，与不可控子系统无关，故到之间传递矩阵描述不能反映不可控部分特性, 这从物理意义上进一步说明可控子系统和系统具有相同的传递矩阵。

但是，不可控子系统对整个系统的影响不可忽视。

因而, 要求仅含稳定特
征值,以保证整个系统稳定,并应考虑到可控子系统的状态响应和整个系统输出响应均与不可控子系统的状态有关。

r 1111(,,)A B C (,,)A B C 1111(,,)A B C (,,)A B C u y 22A ()c x t ()y t c x u 1111(,,)A B C (,,)A B C
③选取非奇异阵列向量及的非唯一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是唯一的。

④由于
故的稳定性完全由的特征值决定；的稳定性完全由的特征值决定，而都是A 的特征值。

称为系统的可控因子或可控振型，
称为不可控因子或不可控振型。

⑤可控性规范分解表达式为系统的可控性判别提供了一个准则，即线性定常系统完全可控的充要条件是，系统经过非奇异变换不能化为规范分解式，其中的阶数。

按照上述选取方法，用
1
P −12,,,r s s s 12,,,r r n s s s ++ 1122det()det()det()
sI A sI A sI A −=−⋅−c x 11A 12,,,r λλλ c x 22A 1,,r n λλ+ 1,,n
λλ 12,,,r λλλ 1,,r n λλ+ (,,)A B C 11A r n <1P −
计算机进行线性变换，可较容易地确定系统的可控性，优势尤其体现于维数较大的可控性判别。

(,,)A B C。