生物医学信号处理习题集第一章生物医学信号概论
生物医学信号处理期末重点
一、生物医学信号处理绪论生物医学信号处理的对象：由生理过程自发产生的；把人体作为通道，外界施加于人体产生的电生理信号和非电生理信号。
生物信号的主要特点：复杂性，随机性强，噪声干扰强，非平稳性等二、数字信号处理基础傅立叶变换的意义：把一个无论多复杂的输入信号分解成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能通过图2.1的关系表达成相同复指数信号的线性组合，并且在输出中的每一个频率的复指数函数上乘以系统在那个频率的频率响应值。
使得分析、处理信号变得简单。
数字滤波器的设计：IIR滤波器的设计：利用传统的模拟滤波器设计方法。
切比雪夫低通滤波器：%低通滤波器设计0~35Hzwp=35;ws=45; %WP通带截止频率，WS阻带截止频率Rp=1;Rs=71; %Rp通带内的最大衰减,Rs阻带内的最小衰减fs=1000; %采样频率[N,wn]=cheb1ord(wp/(fs/2),ws/(fs/2),Rp,Rs);[B,A]=cheby1(N,Rp,wn);freqz(B,A,[],fs) %幅频特性FIR滤波器设计：多采用窗函数和频率取样设计法。
椭圆带通滤波器[b_alpha,a_alpha] = ellip(5,1,40,[8 13]*2/500);freqz(b_alpha,a_alpha,[],500)例题2-11选择合适的窗设计FIR低通滤波器，画出滤波器的单位脉冲响应和该滤波器的幅度响应：解：wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; %给出通带频率和阻带频率tr_width = ws-wp; %求过渡带宽度%，hamming window即可满足该条件，查表求得窗长度M = ceil(6.6*pi/tr_width) ;n=[0:1:M-1];wc = (ws+wp)/2; %求截止频率b= fir1(M,wc/pi); %求FIR低通滤波器的系数，默认就是hamming windowh=b(1:end-1);[hh,w] = freqz(h,[1],'whole'); %求滤波器的频率响应hhh=hh(1:255);ww=w(1:255); %由于对称性，画一半图即可% 画图subplot(1,2,1); stem(n,h);title('实际脉冲响应')axis([0 M-1 -0.1 0.3]); xlabel('n'); ylabel('h(n)')subplot(1,2,2); plot(ww/pi,20*log10(abs(hhh)));title('幅度响应（单位：dB）');gridaxis([0 1 -100 10]); xlabel('频率（单位：pi）'); ylabel('分贝')set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,1])set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0])例2-12】最常碰到的信号处理任务是平滑数据以抑制高频噪声。
云南省考研生物医学工程复习资料生物医学信号处理与像分析
云南省考研生物医学工程复习资料生物医学信号处理与像分析云南省考研生物医学工程复习资料：生物医学信号处理与像分析生物医学工程是一门交叉学科，结合了生物学、医学和工程学的知识，旨在研究和应用工程技术来解决生物医学问题。
生物医学信号处理与像分析作为生物医学工程的重要组成部分，主要关注如何获取、分析和处理生物医学信号及图像数据，从而提取有用的信息以支持医学诊断和治疗。
在云南省考研复习生物医学工程方向时，生物医学信号处理与像分析是一个重要的内容，需特别重视。
一、生物医学信号处理生物医学信号是人体内部的电、声、光、磁等各种物理量的变化所形成的信号。
它们包括心电图、脑电图、肌电图等多种类型。
生物医学信号处理是通过数字信号处理技术对这些信号进行分析和处理。
常用的方法包括滤波、谱分析、时频分析等。
在复习中，我们需要了解各种生物医学信号的特点、获取和处理方法，并且掌握信号处理的原理和实际应用。
二、生物医学图像处理生物医学图像是通过医学成像技术获取的，包括X射线摄影、核磁共振成像、超声成像等多种形式。
生物医学图像处理是对这些图像进行分析和处理，以提取有用的信息。
常用的方法包括图像增强、边缘检测、分割和特征提取等。
在复习中，我们需要了解各种生物医学图像的特点、获取和处理方法，并掌握图像处理的原理和实际应用。
三、生物医学信号处理与像分析的应用生物医学信号处理与像分析广泛应用于医学领域，对疾病的诊断和治疗起到重要作用。
例如，在心脏病领域，通过心电图的信号处理，可以帮助医生诊断心脏病类型和程度；在神经科学领域，通过脑电图和脑磁图的信号处理，可以研究大脑的功能和疾病机制；在医学影像领域，通过图像处理，可以实现肿瘤的精确分割和定位，辅助医生制定治疗方案。
因此，对生物医学信号处理与像分析的研究和应用有很高的需求。
四、复习方法和资源推荐在复习生物医学信号处理与像分析时，可以按照以下步骤进行：1. 梳理知识体系：了解生物医学信号处理与像分析的基本概念和原理，建立起完整的知识体系。
医学研究中的生物医学信号处理方法
医学研究中的生物医学信号处理方法一、引言生物医学信号处理是指通过对生物体内产生的信号进行采集、分析和处理，从中获取有关生物体健康状况和疾病诊断的信息。
在医学研究中，生物医学信号处理方法的应用已经成为了一种重要的手段。
本文将介绍几种常见的生物医学信号处理方法及其在医学研究中的应用。
二、生物医学信号的采集生物医学信号的采集是指通过传感器等设备将生物体内产生的信号转化为电信号或数字信号，以便进一步的分析和处理。
常见的生物医学信号包括心电信号、脑电信号、肌电信号等。
采集这些信号的设备包括心电图机、脑电图机、肌电图机等。
三、生物医学信号的预处理生物医学信号采集后，往往会受到各种噪声的干扰，如基线漂移、电源干扰等。
因此，对生物医学信号进行预处理是非常必要的。
常见的预处理方法包括滤波、去噪等。
滤波是指通过滤波器对信号进行滤波，以去除不需要的频率成分。
去噪是指通过数学方法对信号进行降噪处理，以提高信号的质量。
四、生物医学信号的特征提取生物医学信号的特征提取是指从信号中提取出与疾病诊断相关的特征。
常见的特征包括时域特征、频域特征、小波变换等。
时域特征是指在时间上对信号进行分析，如平均值、标准差等。
频域特征是指在频率上对信号进行分析，如功率谱密度、频率峰值等。
小波变换是一种时频分析方法，可以同时提取信号的时域和频域特征。
五、生物医学信号的分类与识别生物医学信号的分类与识别是指将信号分为不同的类别，并对其进行自动识别。
常见的分类与识别方法包括支持向量机、人工神经网络等。
支持向量机是一种基于统计学习理论的分类方法，可以通过构建分类超平面将信号分为不同的类别。
人工神经网络是一种模拟人脑神经网络的计算模型，可以通过训练网络参数实现信号的分类与识别。
六、生物医学信号的时频分析生物医学信号的时频分析是指对信号进行时间和频率上的联合分析。
常见的时频分析方法包括短时傅里叶变换、小波变换等。
短时傅里叶变换是一种将信号分解为时域和频域的方法，可以用于分析信号的瞬时频率变化。
生物医学信号处理与分析
生物医学信号处理与分析生物医学信号处理与分析是一门交叉学科，聚焦于研究人体内产生的各种生物医学信号，如心电图、脑电图、医学图像等，通过对这些信号的处理和分析，从中挖掘出有价值的信息，帮助医学诊断、治疗和健康管理等方面取得更好的成果。
在现代医学领域中，生物医学信号处理与分析技术已经被广泛应用，成为了一项重要的工具。
一、生物医学信号的特点生物医学信号具有多种特点，如复杂性、多样性、动态性、非稳态性、噪声影响等。
这些特点使得生物医学信号的处理和分析变得具有挑战性。
在处理生物医学信号时，需要考虑到这些特点，采取合适的技术手段，以提高信号的质量和准确度。
二、生物医学信号处理与分析的方法生物医学信号的处理与分析方法涵盖了多个领域，如数字信号处理、图像处理、模式识别、机器学习等。
这些方法可以用于生物医学信号的降噪、滤波、特征提取和分类等过程中。
数字信号处理技术是生物医学信号处理的基础。
其中，滤波技术是最常用的一种方法，可以帮助降低信号中的噪声，提高信号品质。
滤波方法包括时域滤波、频域滤波、小波变换等多种形式。
例如，在心电图信号中，可以采用带阻滤波器来抑制电源干扰信号和肌电噪声。
图像处理技术用于处理医学图像信号，在医学影像技术中它也是不可或缺的一部分。
图像处理技术与图像识别技术相结合可通过分析和提取指定区域的特征来诊断患者的病情，辅助医生在制定治疗方案时做出适当的选择。
例如，在CT图像处理中，可以在不同视角下对患者的各个器官进行分割和三维重构，辅助医生诊断患者的病情。
在MRI图像处理中，可以通过计算各个组织区域的信号强度和形态特征，对人体的情况进行准确定位。
模式识别技术应用于生物医学信号的分类和识别中。
在这方面，最常用的方法是基于特征提取和分类器设计的方法。
特征提取的目的是识别信号中的有意义的特征，常用的特征有时域特征、频域特征和小波包特征等。
分类器是用于识别出信号类型的算法，常用的分类器有人工神经网络、支持向量机、朴素贝叶斯等。
河南省考研生物医学工程复习资料生物医学信号处理与医学成像重点考点解析
河南省考研生物医学工程复习资料生物医学信号处理与医学成像重点考点解析河南省考研生物医学工程复习资料：生物医学信号处理与医学成像重点考点解析生物医学工程是集生物学、医学和工程学于一体的跨学科领域，旨在应用工程技术手段解决医学问题。
而生物医学信号处理与医学成像则是生物医学工程领域中的两个重要分支，对于探测和分析人体生理信号、诊断疾病以及监测治疗效果具有重要意义。
本文将围绕着河南省考研生物医学工程复习资料，重点解析生物医学信号处理与医学成像的关键考点。
一、生物医学信号处理1. 生物信号的特点与分类生物信号具有多样性和复杂性，不同的生物信号对应着不同的生物过程和疾病状态。
常见的生物信号包括心电信号、脑电信号、肌电信号等。
这些信号在频域、时域和能量等方面都存在着特定的特征，因此需要针对不同信号进行特征提取和处理。
2. 生物信号的采集与预处理生物信号的采集需要合适的传感器，如心电图仪、脑电图仪等。
采集到的生物信号常常伴随着噪声和干扰，因此需要进行预处理，如滤波、去噪等操作，以提高信号的质量和准确性。
3. 生物信号的特征提取与分析生物信号的特征提取对于疾病诊断和监测治疗效果非常重要。
常用的特征提取方法包括时域分析、频域分析和小波分析等。
通过提取信号的频率、振幅、相位等特征，可以有效地分析信号的变化规律，为后续的诊断和治疗决策提供依据。
4. 生物信号的识别与分类生物信号的识别与分类是生物医学信号处理的重要任务。
通过应用机器学习和模式识别算法，可以对生物信号进行自动化的识别和分类，实现对不同疾病状态和生理过程的准确判别。
二、医学成像1. 医学成像的基本原理医学成像是通过合适的仪器和方法获取人体内部结构和功能信息的技术手段。
常见的医学成像方法包括X射线摄影、CT扫描、MRI、超声成像等。
这些方法根据不同的原理和特点，能够提供不同层次和角度的图像信息，为医生进行疾病诊断和治疗提供重要参考。
2. 医学图像的处理与增强医学图像在采集和传输过程中常常存在着噪声和伪影等问题，因此需要进行图像处理和增强。
山西省考研生物医学工程复习资料生物医学信号处理与医学成像核心概念整理
山西省考研生物医学工程复习资料生物医学信号处理与医学成像核心概念整理在生物医学工程领域中，生物医学信号处理与医学成像是非常重要的研究方向。
本文将从核心概念的角度出发，为山西省考研生物医学工程考生整理生物医学信号处理与医学成像的相关知识。
我们将首先介绍生物医学信号处理的基本概念，然后深入探讨医学成像的几种常见技术。
通过本文的学习，考生们将能够对这一领域有一个全面而深入的了解。
一、生物医学信号处理的基本概念生物医学信号处理是指对从人体或生物体中采集到的各种生物医学信号进行处理和分析的过程。
常见的生物医学信号包括心电信号、脑电信号、肌电信号等。
为了更好地理解和利用这些信号，我们需要了解以下几个核心概念：1. 信号特征提取：对生物医学信号进行特征提取，可以帮助我们更好地理解信号的含义和特点。
常用的特征提取方法包括时域特征提取和频域特征提取。
2. 信号滤波：生物医学信号中常常含有很多噪声，对信号进行滤波可以去除噪声，提高信号的质量。
常见的信号滤波方法包括低通滤波、高通滤波和带通滤波。
3. 信号增强：有些生物医学信号较弱，需要进行增强才能更好地分析。
信号增强可以通过滤波、放大和降噪等方法实现。
4. 信号压缩与重建：有时生物医学信号的采集会占用较大的存储空间，为了减少存储空间的占用，我们可以对信号进行压缩，并在需要时进行重建。
二、医学成像的常见技术医学成像是通过各种技术手段对患者的身体进行影像记录，以帮助医生进行临床诊断和治疗。
以下是几种常见的医学成像技术：1. X射线成像：X射线成像是一种常见的医学成像技术，通过向患者身体部位传输X射线，并用传感器记录透射X射线的信息，从而得到影像。
这种技术广泛应用于骨骼、牙齿和胸部等部位的成像。
2. CT扫描：CT扫描又称为计算机断层扫描，是一种以X射线为基础的成像技术。
通过旋转的X射线源和接收器，逐层扫描患者身体，然后由计算机重建成三维图像。
CT扫描在脑部、胸腹部等部位的成像中具有重要应用。
生物医学信号处理技术的常见问题解答
生物医学信号处理技术的常见问题解答生物医学信号处理技术的应用越来越广泛，涵盖了许多领域，如生理学研究、医疗诊断与治疗以及康复工程等。
然而，对于刚刚接触这一领域的人来说，可能会遇到一些困惑和问题。
本文将解答一些常见的问题，以帮助读者更好地理解和应用生物医学信号处理技术。
1. 生物医学信号是什么？生物医学信号是指人体内产生的与生命活动相关的电信号、声音、光信号等。
例如，脑电图（EEG）、心电图（ECG）和肌电图（EMG）等都是常见的生物医学信号。
通过采集和处理这些信号，我们可以了解人体的生理状态和健康状况，从而进行诊断、监测和治疗等。
2. 生物医学信号处理技术有哪些应用？生物医学信号处理技术有广泛的应用领域。
在医学诊断方面，可以利用生物医学信号进行疾病的早期筛查、诊断和预测。
在康复工程方面，可以利用生物医学信号监测患者的康复过程，并通过适当的控制策略来改善康复效果。
此外，生物医学信号处理技术还被应用于药物研发、生物信息学研究和神经科学等众多领域。
3. 生物医学信号处理技术的主要方法有哪些？生物医学信号处理技术可以分为时域分析、频域分析和时频域分析等多种方法。
时域分析主要是通过对信号的波形特征进行分析，如振幅、持续时间和周期等；频域分析则是通过对信号的频谱分析来研究信号的频率成分和能量分布；时频域分析则可以同时考虑信号的时域和频域特征，如小波变换等。
此外，还有一些高级的方法，如独立成分分析（ICA）和支持向量机（SVM）等，可以用于信号的特征提取和分类。
4. 生物医学信号的采集和预处理有哪些注意事项？生物医学信号的采集过程需要注意以下几个方面。
首先，选择适当的采集设备和传感器，保证信号的质量和准确性。
其次，能量消耗较大的生物医学信号，如脑电图和心电图等，通常需要进行放大和滤波以提高信号的信噪比。
此外，还需要注意减少外部干扰，如电源干扰和运动伪迹等。
对于一些采集困难的信号，如心脏信号和呼吸信号，还可以采用非接触式和无创式的采集方法。
生物医学信号处理(学生)
BME在百年诺贝尔 生理与医学奖中的份额
百年总计(1901-2000) Ⅰ属于BME范畴 Ⅱ与BME密切相关 Ⅲ不采用BME方法、技术、 设备与材料就不能完成的 Ⅳ与BME无关的
91（届次） 100% 16 13 39 23 18 % 14 % 43 % 25%
生物医学信号的处理方法
迭加平均 微分与积分 数字滤波 频谱分析 相关分析 功率谱密度分析 数据压缩 从噪声中检测、提取确定性波形 参数模型 自适应处理
滤除噪声—迭加平均法
Signal 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 Signal+Noise
把人体作为通道、用以进行探查的被动信号。如超声波、 同位素、X 射线等。关于生理、病理状况的信息将通过
心电信号（ECG）
ECG 记录了胸部电极上的电位（或两个电极 之间的电位差），反映了心肌中的时变电活动， 这些电活动与动作电位的产生和传播相关。每一 次心跳产生一个电波（P、Q、R、S 和T 波）序 列。
什么是生物医学信号？
生物电信号 Bioelectric Signals 生物磁信号 Biomagnetic Signals 生物化学信号 Biochemical Signals 生物力学信号 Biomechanical Signals 生物声学信号 Bioacoustic Signals
生物医学信号
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1st Order 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5
山东省考研生物医学工程复习资料生物信号处理重点知识点解析
山东省考研生物医学工程复习资料生物信号处理重点知识点解析生物信号处理是生物医学工程学科的重要内容之一，它涉及到对于生物信号的采集、分析和应用等多个方面。
对于准备参加山东省考研生物医学工程专业的学生来说，掌握生物信号处理的相关知识点是非常重要的。
本文将从信号采集、信号处理和信号应用三个方面解析生物信号处理的重点知识点。
一、信号采集信号的采集是生物信号处理的第一步，它直接关系到后续数据的质量和可靠性。
在采集生物信号时，需要考虑以下几个方面：1. 信号类型：生物信号可以是多种类型，包括生理信号（如心电信号、脑电信号、血氧信号等）、生物化学信号（如血液中的各种生化指标）、生物声信号等。
在采集过程中，需要确保选择合适的传感器和仪器，以获取准确的信号。
2. 采样频率：采样频率是指在一定时间间隔内进行采样的次数。
对于不同类型的信号，采样频率的要求也不同。
例如，对于心电信号这样的高频信号，需要较高的采样频率，以确保不会丢失重要的信号信息。
3. 噪声处理：在信号采集的过程中，噪声是不可避免的。
常见的噪声源包括电源干扰、线路噪声和运动噪声等。
为了减小噪声对信号的影响，可以采用滤波器等方法进行噪声处理。
二、信号处理信号处理是对采集到的生物信号进行分析和提取有效信息的过程。
在进行信号处理时，常用的方法包括：1. 时域分析：时域分析主要是通过对信号在时间域上的参数进行计算和分析，例如平均值、方差、均方根等。
通过时域分析，可以获取信号的基本特征，如信号的幅值、频率和周期等。
2. 频域分析：频域分析是对信号的频谱进行分析，它将信号从时域转换为频域，通过计算信号的功率谱密度和频率分布等参数，可以揭示信号的频率成分和能量分布情况。
3. 小波变换：小波变换是一种时频分析方法，它可以同时提供信号的时域和频域信息。
通过采用不同的小波基函数，可以实现对信号的多尺度分析和特征提取。
三、信号应用生物信号处理的最终目的是将处理后的信号应用到医学诊断、生物监测和治疗等领域。
生物医学信号处理习题集
生物医学信号处理习题集第一章 生物医学信号处理绪论 ..................................................................................................... 1 第二章 数字信号处理基础 ............................................................................................................. 1 第三章 随机信号基础 ..................................................................................................................... 5 第四章 数字卷积和数字相关 ......................................................................................................... 9 第五章 维纳滤波 ........................................................................................................................... 10 第六章 卡尔曼滤波 ....................................................................................................................... 13 第七章 参数模型 ........................................................................................................................... 16 第八章自适应信号处理 (17)第一章 生物医学信号处理绪论1. 生物医学信号处理的对象是什么信号？ 解答：包括生理过程自发产生的信号，如心电、脑电、肌电、眼电、胃电等电生理信号和血压、体温、脉搏、呼吸等非电生理信号；还有外界施加于人体的被动信号，如超声波、同位素、X 射线等。
【精品】生物医学信号处理(全套课件362p
生物医学信号处理（全套课件362P）医学资料 1什么是生物医学信号处理根据生物医学信号特点应用信息科学的基本理论和方法研究如何从被干扰和噪声淹没的观察记录中提取各种生物医学信号中所携带的信息并对它们进步分析解释和分类医学资料 2信号的基本概念什么是信息社会和日常生活中人们借助语言文字图象和数据等媒体表达的感觉思想意见等统称为信息显然同一信息可用不同媒体来表达什么是信号为了有效地传播和利用信息常需要将信息转换成便于传输和处理的信号信号是信息的载体是信息的表现形式一般表现为随时间变化的某种物理化学和生物量在各种信号中电信号是一种最便于传输控制和处理的信号由于医学中的许多非电信号通过前面讲的传感器几乎都能转化成电信号因此在信号处理领域一般所说的信号就是指电信号信号怎样描述在数学上可以描述为一个或多个独立变量的函数如体温随时间变化时间的函数平面图像可描述为像素的灰度变化随坐标xy变化的函数信号还可以用图形测量数据或统计数据进行描述医学资料 3信号的基本概念信号的分类1确定性信号与随机信号确定性信号任一由确定时间函数描述的信号对于这种信号给定某一时刻后就能确定一个相应的信号值随机信号信号是时间的随机函数事先无法预知它的变化规律2连续信号和数字信号连续信号在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义称该信号在此区间为连续信号数字信号仅在离散时刻上有定义而且信号幅值只能取某些规定值的信号3周期信号和非周期信号信号的基本特征时间特性信号持续时间的长短变化速度的快慢信号幅值的大小以及随时间改变呈现出来的变化规律等时域分析频率特性信号的频带宽度各正旋分量振幅相位随频率的分布情况频域分析医学资料 4生物医学信号的特点信号弱直接从人体中检测到的生理电信号其幅值一般比较小如从母体腹部取到的胎儿心电信号仅为1050μV脑干听觉诱发响应信号小于1μV自发脑电信号约5150μV体表心电信号相对较大最大可达5mV因此在处理各种生理信号之前要配置各种高性能的放大器医学资料 5生物医学信号的特点噪声强噪声指其它信号对所研究对象信号的干扰如电生理信号总是伴随着由于肢体动作精神紧张等带来的干扰而且常混有较强的工频干扰诱发脑电信号中总伴随较强的自发脑电从母腹取到的胎儿心电信号常被较强的母亲心电所淹没这给信号的检测与处理带来了困难因此要求采用一系列有效去除噪声的算法医学资料 6生物医学信号的特点频率范围一般较低经频谱分析可知除声音信号如心音频谱成分较高外其它电生理信号的频谱一般较低如心电的频谱为00135Hz脑电的频谱分布在l30Hz之间因此在信号的获取放大处理时要充分考虑对信号的频率响应特性医学资料 7生物医学信号的特点随机性强生物医学信号是随机信号一般不能用确定的数学函数来描述它的规律主要从大量统计结果中呈现出来必须借助统计处理技术来检测辨识随机信号和估计它的特征而且它往往是非平稳的即信号的统计特征如均值方差等随时间变化而改变这给生物医学信号的处理带来了困难医学资料 8表1 一些医学信号的特点- -医学资料 9医学资料 10医学资料 11人体心脏磁信号医学资料 12听神经动作电位医学资料 13正常人心电信号医学资料 14生物医学信号分类化学信息指组成人体的有机物在发生变化时所给出的信息它属于生物化学所研究的范畴物理信息指人体各器官运动时所产生的信息物理信息所表现出来的信号又可分为电信号和非电信号两大类医学资料 15人体电信号体表心电ECG信号脑电EEG肌电EMG眼电EOG胃电EGG等在临床上取得了不同程度的应用人体磁场信号检测近年来也引起了国内外研究者和临床的高度重视我们把磁场信号也可归为人体电信号医学资料 16人体非电信号如体温血压心音心输出量及肺潮气量等通过相应的传感器即可转变成电信号电信号是最便于检测提取和处理的信号上述信号是由人体自发生产的称为主动性信号医学资料 17被动性信号人体在外界施加某种刺激或某种物质时所产生的信号如诱发响应信号即是在刺激下所产生的电信号在超声波及X 射线作用下所产生的人体各部位的超声图象X射线图象等也是一种被动信号这些信号是我们进行临床诊断的重要工具医学资料 18我们所研究的生物医学信号即是上述的包括主动的被动的电的和非电的人体物理信息医学资料 19医学信号的性质对医学信号而言有的主要属于确定性信号在有限的时间内如心电心音阻抗等有的似乎含随机成分多如脑电肌电胃电平滑肌电等因此对医学信号的处理涉及对确定性信号的处理及对随机信号的处理除此之外近来还开展了信号混沌性的分析医学资料 20二医学系统的特点1人体系统严格说来人体系统是非线性移变系统一般不能用工程中测量输入输出信号以确定线性系统的特性的办法来确定人体系统特性或状态2医学信号处理的根本任务在于有效地分析来自系统的信号正确地提取信号特征寻求信号特征与系统状态的关系从分析信号的特征确定系统的状态正常病理以便作出医学决策因此医学信号处理的重点不在于实时传输而在于时频域特征提取以便作辨识正常大致正常异常严重异常等医学资料 21三医学信号处理系统的组成处理医学信号的装置叫医学信号处理系统完整的医学处理系统可分为硬件及软件两个方面在硬件方面又可分为模拟部分和数字部分医学信号有的是电信号但多数是非电信号故医学信号处理系统应包括将非电量转换成电量的信号换能部分或叫信号变换器由于医学信号的微弱低频及高噪的特点医学信号处理系统还包括有抗干扰性能强的模拟放大器最后是将模拟量变换成数字量或数字量变换成模拟量的模数数模转换器" "。
生物医学信号处理第一次上机
第一次上机1, Signal obtain and input: EEG in eyes close and open (eegclose.mat and eegopen.mat). Fs=250 HzQuestion 1, how long, and how many channels were used when we recorded these two data, respectively?load('E:\1111\lab 1\eegclose.mat');load('E:\1111\lab 1\eegopen.mat');my_close=U(:,11);my_open=U(:,22);fs=250;close_length=length(my_close)/fsopen_length=length(my_open)/fsMyclose=U(:,11),绘图得到eeclose长度为4500，采样率为：250hz, open_length=30 Myopen=U(:,22) 绘图得到eeopen长度为4500，采样率为：250hz, close_length=302, Pick up one channel signal from both data to analyze.max(my_open) = 46.1769max(my_close) = 46.1769min(my_open)= 46.1769min(my_close)= 46.1769Question 2, state the max. and min. of both time courses. In your lab report, include a picture of both signals. Units are ms and uV.3, Design two filters to get 4-8 Hz and 8-12 Hz signals. You can use FIR or IIR filters to finish this request. (if you have trouble in this step, see cue 1)3.1, fs=250;Rp=1;Rs=50;Wp=[2*4/fs 2*8/fs];Ws=[2*2/fs 2*10/fs];[N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs);[B,A] = ellip(N,Rp,Rs,Wn);freqz(B,A)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-500500Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P h a s e (d e g r e e s )0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-200-150-100-50Normalized Frequency (⨯π rad/sample)M a g n i t u d e (d B )fs=250; Rp=1;Rs=50;Wp=[2*8/fs 2*12/fs];Ws=[2*6/fs 2*14/fs]; [N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs); [D,C] = ellip(N,Rp,Rs,Wn); freqz(D,C)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-500500Normalized Frequency (⨯π rad/sample)P h a s e (d e g r e e s )0.10.20.30.40.50.60.70.80.91-300-200-1000100Normalized Frequency (⨯π rad/sample)M a g n i t u d e (d B )Question 3, state the features of your filters. In your lab report, include two pictures of both filters’ frequency response.• 4, Filter the raw signal to obtain two new signals by both methods. (filter.m andfiltfilt.m)load my_openy=filter(B,A,my_open); plot(my_open); hold on plot(y,'y')010002000300040005000600070008000-60-40-20204060y=filter(B,A,my_close); plot(my_close); hold on plot(y,'y')title(' filter my_ close ’)•filter myopen•y=filter(D,C,my_open);•plot(my_open);•hold on•plot(y,'y')•title(' filtfilt. my_open')filtfilt. my o peny=filter(D,C,my_close); plot(my_close); hold on plot(y,'y')10002000300040005000600070008000-25-20-15-10-50510152025Question 4, state the difference between two filter methods. In your lab report, include a picture of both new signals.Now you have two new signals for both conditions, respectively.•5, Power Spectral Density (PSD) estimate via periodogram method and Welch's method to analyze four new signals. (if you have trouble in this step, see cue 3)•fs=250;•Rp=1;Rs=50;•Wp=[2*4/fs 2*8/fs];Ws=[2*2/fs 2*10/fs];•[N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs);•[B,A] = ellip(N,Rp,Rs,Wn);•freqz(B,A)•y=filter(B,A,my_open);•plot(my_open);•hold on•plot(y,'r')•Fs = 1000;•t = 0:1/Fs:1;•xn=y•figure(1)•periodogram(xn,[],[],Fs); %周期图法•figure(2)•pwelch(xn,[],[],[],Fs);%welch方法•Frequency (kHz)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )Power Spectral Density Estimate via PeriodogramFrequency (kHz)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )Power Spectral Density Estimate via Welch代码2：4~8hz 滤波器实现fs=250; Rp=1;Rs=50;Wp=[2*4/fs 2*8/fs];Ws=[2*2/fs 2*10/fs];[N, Wn] = ellipord(Wp, Ws, Rp, Rs); [B,A] = ellip(N,Rp,Rs,Wn); freqz(B,A)y=filter(B,A,my_close); plot(my_close); hold on plot(y,'r') Fs = 1000; t = 0:1/Fs:1; xn=y figure(1)periodogram(xn,[],[],Fs); %周期图法 figure(2)pwelch(xn,[],[],[],Fs);%welch 方法Frequency (kHz)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )Power Spectral Density Estimate via PeriodogramFrequency (kHz)P o w e r /f r e q u e n c y (d B /H z )Power Spectral Density Estimate via WelchQuestion 5, state the features of the PSD for eyes open and close data, and point the differences between them.Question 6, Describe the differences of both PSD methods. In your lab report, include PSD figures.• 6, Repeat step 5 for the raw signal to see the difference in broad bands between bothdata. ••00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-120-100-80-60-40-202040FrequencyPowerSpectrumMagnitude(dB)•00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-120-100-80-60-40-2020FrequencyPowerSpectrumMagnitude(dB)Question 7, state the difference between two raw data.In your lab report, include a picture of PSD for both data.my_open信号0.3-0.4频域内幅度减少20dB，my_close信号幅度减少35dB Question 8, Could you identify eyes-open and eyes-closed state by PSD observation ? And howdo you do that ?figurepsd(my_open)title('my_open')figurepsd(my_close)title('my_close')Frequency P o w e r S p e c t r u m M a g n i t u d e (d B )my o penFrequency P o w e r S p e c t r u m M a g n i t u d e (d B )my c lose。
生物医学信号处理课程重点难点指导
第1章 生物医学信号概述一．重点#确定信号# 指有确定的函数关系，能准确预测未来；或者已知其过去值，就能准确预测其未来值。
如正弦波。
#随机信号# 指即使知道它过去的全部信息，也不能预测其未来值的一类信号。
#分形信号# 指在各种尺度下看上去都很类似，具有所谓的“尺度不变性”的一类信号。
#混沌信号# 指不能准确预测其未来值的确定性信号。
#心电图（electrocardiogram， ECG）# 心脏在每个心动周期中，由起搏点、心房、心室相继兴奋，伴随着生物电的变化，通过心电描记器从体表引出多种形式的电位变化的图形。
心电图是心脏兴奋的发生、传播及恢复过程的客观指标，可以被描记到特殊的记录纸上，也可通过示波器显示出来。
#脑电图（electroencephalogram, EEG）# 是通过电极记录下来的脑细胞群的自发性诱发性、节律性的电活动。
EEG是许多大脑疾病诊断和治疗中最重要的一项检查工具。
#人体医学信号特点# 非常微弱（ V，mV, PA 量级）、频率很低（如：0.05Hz – 1 Hz (胃电）、干扰与有用信号之间频带重复、复杂性、随机、非平稳性以及噪声背景强。
二．难点1．生理过程自发产生的信号，如心电、脑电、肌电、眼电、胃电等电生理信号和血压、体温、脉搏、呼吸等非电生理信号；还有外界施加于人体的被动信号，如超声波、同位素、X射线等。
2．生物医学信号的主要特点：微弱、随机性强、噪声背景强。
3．采用一定的方法或技术识别和分离生物医学信号中的有用成分和无用成分、建立多个生物医学信号之间的关系、用更明显或更有效的方式表达生物医学信号中的有用成分以及预测生物医学信号的未来行为或数值。
4．对于采集的生物医学信号，正确识别它们的类型（确定的、随机的、分形的、混沌的、平稳的、非平稳的、线性的还是非线性的信号），归类它们属于有用成分还是无用成分，以便获得最佳处理效果。
例如，母体心电信号对于母亲来说是有用成分，当处理胎儿心电信号时它属于干扰信号（无用成分）。
1-4章生物医学信号总复习
例如，安静时主要允许K+通透，而去极化到阈 电位水平时又主要允许Na+通透。
可兴奋组织或细胞受阈上刺激。
生物医学信号的特点
(1)信号弱。例如从母体腹部取到的胎儿心电信
号10~50μV，脑干听觉诱发响应信号小于 1μV。 (2)噪声强。由于人体自身信号弱,加之人体又 是一个复杂的整体,因此信号易受噪声的干扰。
1、医学信号电生理学基础 2、随机信号的描述方法
3、随机信号通过LTI系统
4、信号检测
一、电生理学基础
生物体所呈现的电现象称为生物电。其电生理学基
础就是细胞膜内外的电位差，即膜电位。
生物电现象的表现形式有两种，一是安静时细胞膜
内外存在的电位差，即静息电位；二是细胞受到刺 激时所产生的膜电位的变化，即动作电位。
互协方差函数——从信号X和Y中去掉均值再做互相关函
计特性都具平稳特性。
平稳随机过程又分为各态遍历的随机
过程和一般平稳随机过程。
各态遍历随机过程——所有样本在固
定时刻的统计特征和单一样本在全时间的
统计特征一致，称为各态遍历随机过程，
如投硬币过程；否则就是一般平稳随机过
程。
随机信号的概率密度函数 概率密度函数完整地表现随机变量和
随机信号的统计特性，但是信号经处理后
动作电位的可传播性——动作电位产生后，并不局限于
受刺激的局部区域，而是迅速向周围传播直至整个细胞 都依次产生一次动作电位，而且动作电位在同一细胞上 的传播是不衰减的，其幅度和波形始终保持不变。
动作电位的形成条件 细胞膜两侧存在离子浓度差，例如：细胞膜内 K+浓度高于细胞膜外，而细胞外Na+、Ca2+、 Cl-高于细胞内，这种浓度差的维持依靠离子泵 的主动转运。（主要是Na+ -K+泵的转运）。
天津市考研生物医学工程复习资料生物信号处理重点解析
天津市考研生物医学工程复习资料生物信号处理重点解析生物医学工程是将工程学、生物学和医学交叉应用的学科，旨在解决医学领域中的各种问题。
其中，生物信号处理是生物医学工程中的重要研究领域之一。
本文将针对天津市考研生物医学工程复习资料中的生物信号处理部分进行重点解析。
一、生物信号处理的定义和作用：生物信号是指来自生物体内的信息，如心电信号、脑电信号等。
生物信号处理是将这些信号进行采集、传输、处理和分析的过程。
它的主要作用包括提取和分析生物信号中的有用信息，为医学诊断和治疗提供可靠依据。
二、生物信号的采集：生物信号的采集是生物信号处理的第一步，常用的信号采集方法有以下几种：1. 传感器：通过传感器可以将生物信号转化为电信号，如心电图仪、脑电图仪等。
2. 数据记录仪：用于记录传感器采集到的信号数据。
3. 信号放大器：对采集到的微弱信号进行放大以提高信噪比。
4. 滤波器：用于滤除采集到信号中的干扰成分。
三、常见的生物信号处理方法：1. 时域分析：时域分析是通过对信号波形进行直接观察和分析来研究信号特征。
常见的时域分析方法有平均化、相关分析等。
2. 频域分析：频域分析是将信号从时域转化为频域，以便更好地分析信号的频率特征。
常见的频域分析方法有傅里叶变换、小波变换等。
3. 滤波处理：滤波处理是对信号进行滤波以去除噪声或不需要的成分。
常用的滤波处理方法有低通滤波、高通滤波等。
4. 特征提取：特征提取是从信号中提取出具有代表性的特征，以便进一步的分析和处理。
常见的特征提取方法有峰值检测、变化率分析等。
5. 计算模型：计算模型是通过建立数学模型对信号进行处理和分析。
常用的计算模型有人工神经网络、支持向量机等。
四、生物信号处理的应用：生物信号处理在医学领域中有着广泛的应用。
以下是其中的一些应用领域：1. 医学诊断：通过对生物信号的处理和分析，可以帮助医生进行疾病的早期诊断和治疗。
2. 康复医学：通过对运动信号的处理和分析，可以帮助康复患者进行康复训练和评估。
生物医学信号处理
百年总计(1901-2000)91（届次）100%Ⅰ属于BME范畴1618 %Ⅱ与BME密切相关1314 %Ⅲ不采用BME方法、技术、3943 %设备与材料就不能完成的Ⅳ与BME无关的2325%第一章生物医学信号处理概述一、生物医学信号的分类常见信号举例心电信号（ECG）Waves and intervals：心室肌细胞动作电位的Schematic representationof normal ECGAnimation of a normal ECG wave几种主要的EEG波形棘波和尖波脑电信号（EEG）发作间期癫痫样波形（左侧前颞有散在3Hz尖慢复合波）肌电信号（EMGEMG 信号在康复工程中得到应用。
心音是由心肌、血液、瓣膜和大血管的机械振动所产生，心血管病变常首先引起心音成分的改变。
和快波两种成分。
狗的胃窦上记录到的胃电波形耳声发射信号：(Otoacoustic Emission，幅度为均值为0，方差为的白噪声。
),0(:2σN A 2σ离子通道电流信号：pA(皮安，10-12A)被干扰的心电信号a.工频干扰；b.肌电干扰；c.呼吸的干扰间隔、Q-T间段形态检测和计算；Noise reduction of ECG举例2：生物特征识别(Biometrics)⏹利用人体自身所固有的生理/行为特征，对每一个具体的人作鉴别。
⏹生理特征：指纹、步态、语音、虹膜⏹优点：不会丢失、遗忘和伪造The basic block diagram of a biometric system。
生物医学信号处理与分析
生物医学信号处理与分析生物医学信号处理与分析是一门研究如何从生物体中获取和分析生物信号的学科。
通过对生物体内产生的信号进行采集、处理和分析，可以获得有关生理状态、疾病诊断和治疗的重要信息。
本文将介绍生物医学信号处理与分析的基本概念和方法，并探讨其在临床医学和科学研究中的应用。
一、生物医学信号的获取生物医学信号可以通过各种传感器和仪器来获取，这些传感器和仪器能够非侵入性地或侵入性地监测和记录生物体内的信号。
一些常见的生物医学信号包括心电信号、脑电信号、肌电信号、血压信号等。
这些信号可以反映出生理活动的变化和疾病的存在。
二、生物医学信号的处理生物医学信号在采集后需要进行预处理，以提高信号质量和准确性。
信号处理的主要任务包括滤波、降噪、增强等。
滤波技术可以去除信号中的杂波和干扰，使得信号更加清晰和稳定。
降噪技术能够减少信号中存在的噪声，提高信号的可靠性和准确性。
增强技术可以增强信号中的有用信息，以便进一步分析和识别。
三、生物医学信号的分析生物医学信号的分析是生物医学工程领域的重要研究内容之一。
通过对生物医学信号进行分析，可以获取有关生理状态和疾病的信息。
常见的生物医学信号分析方法包括时域分析、频域分析、小波分析等。
时域分析可以获得信号的时序特征，如振幅、频率等。
频域分析可以将信号变换到频域，以便分析其频谱特性。
小波分析是一种数学工具，可以将信号分解成不同尺度和频率的成分，并进行详细的分析和处理。
四、生物医学信号处理与分析在临床应用中的意义生物医学信号处理与分析在临床医学中扮演着重要的角色。
通过对病人的生物医学信号进行处理和分析，医生可以更准确地诊断和治疗疾病。
例如，心电信号的处理和分析可以帮助医生判断病人是否存在心脏疾病，脑电信号的处理和分析可以帮助医生了解病人的脑功能活动等。
五、生物医学信号处理与分析在科学研究中的应用除了在临床应用中的意义外，生物医学信号处理与分析在科学研究中也具有重要的应用价值。
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生物医学信号处理习题集第一章 生物医学信号概论1. 生物医学信号处理的对象是什么信号？ 解答：包括生理过程自发产生的信号，如心电、脑电、肌电、眼电、胃电等电生理信号和血压、体温、脉搏、呼吸等非电生理信号；还有外界施加于人体的被动信号，如超声波、同位素、X 射线等。
2. 生物信号的主要特点是什么？ 解答：随机性强，噪声背景强。
第二章 数字信号处理基础You can use Matlab where you think it’s appropriate. 1.FIR 滤波器和IIR 滤波器的主要区别是什么？ 解答：FIR 滤波器的单位脉冲响应是有限长的序列，该滤波器没有极点，具有稳定性。
IIR 滤波器的单位脉冲响应是无限长的序列，该滤波器有极点，有可能不稳定。
2.两个滤波器级联，第一个的传递函数为2-11z 2z 1)z (H -++=，第二个为-12z 1)z (H -=，当输入为单位脉冲时，求输出序列，画出级联滤波器的频率响应。
解答：)z 1)(z 2z 1()z (H 12-1---++==32-1z z z 1----+h(n)=[1,1,-1,-1]，n=0，1，2，3。
即输入单位脉冲时的输出序列值。
freqz(h,1)3.A 3rd-order lowpass filter is described by the difference equation:)3n(2781y.0)2n(1829y.1)1n(76y.1)3n(0181x.0)2n(0543x.0)1n(0543x.0)n(0181x.0)n(y-+---+-+-+-+=Plot the magnitude and the phase response of this filter and verify that it is a lowpass filter. 解答：b = [0.0181, 0.0543, 0.0543, 0.0181];a = [1.0000, -1.7600, 1.1829, -0.2781];m = 0:length(b)-1; l = 0:length(a)-1;K = 500; k = 1:1:K;w = pi*k/K; % [0, pi] 分成501个点.num = b * exp(-j*m'*w); % 分子计算den = a * exp(-j*l'*w); % 分母计算H = num ./ den;magH = abs(H); angH = angle(H);subplot(1,1,1);subplot(2,1,1); plot(w/pi,magH); grid; axis([0,1,0,1])xlabel(''); ylabel('|H|');title('幅度响应');subplot(2,1,2); plot(w/pi,angH/pi); grid on; axis([0,1,-1,1])xlabel('以pi为单位的频率'); ylabel('以pi弧度为单位的相位');title('相位响应');或freqz(b,a)明显是低通滤波器，Wc 大概在0.25pi 。
（衰减3个dB ，下降一半）4.Find the inverse z-transform of x(z)=14z 3z z 2+-.To check the result using Matlab function residuez. 解答：)z 3111z 11(2/1z 4z 3z 14z 3z z )z (X 112112--------=+-=+-=b = [0,1]; a = [3,-4,1];[R,p,C] = residuez(b,a) [b,a] = residuez(R,p,C) R = 0.5000 -0.5000 p = 1.0000 0.3333 C = []b = -0.0000 0.3333a = 1.0000 -1.3333 0.3333 笔算和程序结果一致。
5.Choose an appropriate window to design a digital FIR lowpass filter with the following specifications:25dB .0A ,2.0p p ==πω,50dB A ,3.0s s ==πωDetermine the impulse response and provide a plot of the frequency response of the designed filter. (help fir1 function ) 解答：wp = 0.2*pi; ws = 0.3*pi; tr_width = ws – wp ；M = ceil(6.6*pi/tr_width) ；%查表求得窗长度，hamming window 即可 n=[0:1:M-1]; wc = (ws+wp)/2 b= fir1(M,wc/pi); h=b(1:end-1);[hh,w] = freqz(h,[1],'whole');%默认就是hamming window hhh=hh(1:255);ww=w(1:255); % 画图subplot(2,2,3); stem(n,h);title('实际脉冲响应') axis([0 M-1 -0.1 0.3]); xlabel('n'); ylabel('h(n)')subplot(2,2,4); plot(ww/pi,20*log10(abs(hhh)));title('幅度响应（单位： dB ）');grid axis([0 1 -100 10]); xlabel('频率（单位：pi ）'); ylabel('分贝') set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,0.2,0.3,1]) set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0])第三章 随机信号基础1.什么是平稳各态遍历的随机过程？ 解答：如果随机信号的统计特性与开始进行统计分析的时刻无关，则为平稳随机过程，否则为非平稳随机过程。
对于平稳过程，如果所有样本在固定时刻的统计特征和单一样本在全时间上的统计特征一致，则为各态遍历的随机过程。
平稳且各态遍历是本课程分析医学信号的一个前提假设2.判断随机相位正弦波在均值意义下是否各态遍历。
)sin()(0φω+=t A t x ，A 0ω是固定值，φ是随机变量，分布为均匀分布：πφπφ20,21)(<≤=p ，其它为零。
解答：该随机过程的时间平均为：0dt )t (Asin 2T 1limm TT0T x =⎰+=-∞→φω该随机过程的总体平均为：0d )(p )t (Asin dx )x (xp )x (E 200AA -=⎰+=⎰=φφφωπ因此该过程在均值意义下是各态遍历的。
3.讨论相互独立、互不相关、相互正交的区别和联系。
解答：随机变量统计独立的条件为：)y (p )x (p )y ,x (p = 互不相关的条件为：0)y ,x (cov = 正交的条件为：0)xy (E =对于一般的随机变量：统计独立则互不相关；当其中有任意一个变量的均值为零，则互不相关和正交可以互相推导。
对于高斯随机变量，统计独立和互不相关可以相互推导；当其中有任意一个变量的均值为零，则三者都能互相推导。
4.输入序列n x 的一阶概率密度函数是)(2)(2n x n x u ex p n-=。
证明：5.0)(=n x E ；如2142x x y +=，1x 、2x 都是具有上述分布的随机序列，求)(y E 。
解答：⎰=+∞∞-n n n n dx )x (p x )x (E ⎰=+∞0n -2x n dx 2e x n ⎰=+∞0-2x n nde x -⎰+∞+-=+∞-0n 2x -2x n dx e 0e x n n⎰=+∞0n 2x -dx e n ⎰-=+∞02x -n de 5.0=0)e (5.0n 2x ∞+--=0.5 E （y ）=E(2x 1+4x 2)=E(2x 1)+E(4x 2)=35.已知平稳随机过程x 的自相关函数如下，求其功率谱密度及均方，并根据所得结果说明该随机过程是否含有直流分量或周期性分量。
（ⅰ）πτπτττcos3cos 4e )(R x +=- （ⅱ）16cos 25e )(R 04x +=-τωττ解答：（ⅰ）ττωωτd e )(R )(P j x x -+∞∞-⎰=])(11)(11[8)]3()3([22πωπωπωδπωδπ-+++++-++=514)0(R )x (E x 2=+==因为0]12[8)0(P 2x ≠+=π，所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R 中包含有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量。
（ⅱ）ττωωτd e )(R )(P j x x -+∞∞-⎰=])(161)(161[50)(322020ωωωωωπδ-+++++=411625)0(R )x (E x 2=+==因为0]162[5032)0(P 2x ≠++=ωπ，所以含有直流分量；因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R 中没有包含周期性的成分，因此该随机过程不含有周期性分量。
6.设x （t ）是平稳过程，)T t (x )t (x )t (y -+=，证明的)t (y 功率谱是：)T cos 1)((2P )(P x y ωωω+=解答：ττωωτd e )(R )(P j y y -+∞∞-⎰=Θ其中))t (y )t (y (E )(R y ττ+=))]T t (x )t (x ())T t (x )t (x [(E -+++⋅-+=ττ)]T t (x )T t (x )T t (x )t (x )t (x )T t (x )t (x )t (x [E -+-+-+++-++=ττττ )(R )T (R )T (R )(R x x x x ττττ+-+++=ττωωτd e )(R )(P j y y -+∞∞-⎰=∴ττττωτd e )]T (R )T (R )([2R j x x x ⎰-+++=+∞∞--)(2P x ω=τττωτd e )]T (R )T ([R j x x ⎰-++++∞∞--]e e 1)[(2P T j T j x ωωω++=- )T cos 1)((2P x ωω+=，得证。