高三数学导数与三角函数和数列

题型三：导数与三角函数综合

【例1】 设函数2

2

3

()cos 4sin

3()2

x f x x t t t x =++-∈R ，其中||1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ，则函数()g t 在下面哪个区间上单调递增（ ）

A ．1

(,)(1,)3

-∞-+∞ B ．1[1,]3

-- C ．1(,)3

+∞ D ．1[,1]3

【例2】 将函数2y []()06x ∈，的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ()0θα≤≤，得

到曲线C ．若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则α的最大值为 ．

【例3】 已知函数2cos ()3sin a x f x x -=

在π02⎛⎫

⎪⎝

⎭，内是增函数，求a 的取值范围．

【例4】 求证：方程1

sin 02

x x -=只有一个根0x =．

【例5】 设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是直线π8

x =

． ⑴求ϕ；⑵求函数()y f x =的单调增区间；

⑶证明直线520x y c -+=与函数()y f x =的图象不相切．

【例6】 已知向量πππ2cos tan tan 2242424x x x x a b ⎛⎫⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭ ，，，，令()f x a b =⋅ ，是否存在

实数[0π]x ∈，，使()()0f x f x '+=（其中()f x '是()f x 的导函数）．若存在，则求出x 的值；若

不存在，则证明之．

【例7】 设()()

21=++x f x e ax x ，且曲线()=y f x 在1=x 处的切线与x 轴平行．

⑴ 求a 的值，并讨论()f x 的单调性；

⑵ 证明：当π02θ⎡

⎤

∈⎢⎥⎣

⎦，时，()()cos sin 2θθ-

π

4

． ⑴求m ，n 的值； ⑵是否存在最小的正整数k ，使得不等式()1994f x k -≤对于[1,3]x ∈-恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由． ⑶求证：1|(sin )(cos )|22f x f x f t t ⎛

⎫

++

⎪⎝

⎭

≤（x ∈R ，0t >）．

【例9】 已知函数2()e (22)x f x ax x =⋅--，a ∈R 且0a ≠．

⑴若曲线()y f x =在点(1(1))P f ，处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵当02a <≤时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值． ⑶当2a >时，求函数(|cos |)f x 的最大值和最小值．

【例10】 设函数()sin ()f x x x x =∈R ．

⑴证明(2π)()2πsin f x k f x k x +-=，其中为k 为整数；

⑵设0x 为()f x 的一个极值点，证明42

002

0[()]1x f x x =+；

⑶设()f x 在(0)+∞，

内的全部极值点按从小到大的顺序排列12n a a a ，，，，， 证明：

1π

π (12)2

n n a a n +<-<= ，，

【例11】 已知函数()323

43cos cos 16

f x x x θθ=-+

，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；

⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间()21a a -，内都是增函数，求实数a 的取值范围．

【例12】 已知函数321()43cos 32f x x x θ=-+

，其中x ∈R ，θ为参数，且π

02

θ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；

⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

⑶若对⑵中所求的取值范围内的任意参数θ，函数()f x 在区间(21)a a -，

内都是增函数，求实数a 的取值范围．

题型四：导数与数列综合

【例13】 已知函数()sin f x x x =-，数列{}n a 满足：101a <<，1()n n a f a +=，123n = ，

，，． 证明：⑴101n n a a +<<<； ⑵3116

n n a a +<．

【例14】 已知数列{}n a 的通项238n a n n =-，n +∈N ，求数列{}n a 的最大项．

【例15】 共有50项的数列{}n a 的通项n a =

【例16】 设数列{}n a 的通项公式为2()n a n n n λ+=+∈N ，且{}n a 满足121n n a a a a +<<<<< ，求实数λ

的取值范围．

【例17】 已知数列{}n a 满足：3

123n n n a a a +=-+，n +∈N ，且1(01)a ∈，

，求证：01n a <<． 【例18】 各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，函数2

1()()ln 2

f x px p q x q x =

-++， （其中p 、q 均为常数，且0p q >>），当1x a =时，函数()f x 取得极小值，点(2)()

n n a S n *∈N ，均在函数22()q

y px f x q x

'=-++的图象上，（其中()f x '是函数()f x 的导函数）

⑴求1a 的值；

⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶记43

n

n n S b q n =

⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【例19】 已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且*125()n n S S n n +=++∈N

⑴证明数列{}1n a +是等比数列；

⑵令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '，并比较2(1)f '与

22313n n -的大小．

【例20】 已知a 是给定的实常数，设函数2()()()x f x x a x b e =-+，b ∈R ，x a =是()f x 的一个极大值点．

⑴求b 的取值范围；

⑵设1x ，2x ，3x 是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到4x ∈R ，使得1x ，2x ，3x ，

4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x （其中1234{}{1234}i i i i =，

，，，，，）依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．