理论力学运动学复习 [同济大学]

a=R =220 cm /s2；
a
a 3202 2202 380 cm/s2 重物的加速度:a=220 cm /s2。
tan
11 42
0.688,
34050'
轮系传动比
1.皮带轮传动
v1=v=v2
v1=r11; v2= r22; i r2 1 n1
r1 2 n2 2.齿轮传动
r11= –r22; r11= –r22;
转到300时直杆的加速度a。
解： 动点取A；绝对:园周；
va
vr
ve 相对:园周；牵连:直线；
[速度] =
y: vacos300=vrcos300;
va= r=40 ; vr= va= r=40 ，
[加速度] aa = ar=0；
aa ar
ae
300
anr
ana = anr= 2r =160 2；
0
t t
θ θ 0 ω0t
0
αd t d t
0
例7－1：已知图示平行四边形Ｏ１ＡＢＯ２机构的Ｏ１Ａ杆以匀 角速度ω绕Ｏ１轴转动，求Ｄ的速度与加速度值。（二者方向要在
图上画出）。
解: ABD物体是做平动，
则vＤ＝vＡ＝２ｒω，
aｎＤ aτＤ
aｎＤ＝aｎＡ＝２ｒω２，
aτＤ＝aτＡ＝２ｒa。
5
ana
x: –ana cos300= anr cos300 –ae;
an aτ ae arn arτ；
ae 2 160 π2
3 3 160 π2
2 ae =a。
例9－15 机构如图，销钉Ｍ能在ＤＢＥ杆的竖直槽内滑动，又能在ＯＡ杆槽内
滑动，现ＤＢＥ以匀速度v ＝２０cm／ｓ向右平动。ＯＡ杆以匀角速度ω＝ 2
解： 从上例已知得： 1 =
ω ;
4
1 2
3 8
1 / s2;
动点取A； ve=14r= r;
va
A
va
vA
r
cos300
r
2; 3
0
r
M
vr
va 2
r
3
;
300
: aacos300= ac+ae=2 1vr+ 1·4r;
aa
aA
2
r
2 3
.
1 1 0’
例9－4：偏心园盘绕0匀速度转动，並推动直杆上、下运动，已 知:，求:转到600时直杆的速度v。
解： 从例9－4得： vr = R ;
: aacos300= ac –aencos600–arn;
ac 2vr ; aen ω2 3e;
arn=vr2/R ;
aa
2 e 3
.
aa
M
0R
e
y’ x’
0‘
va
如动点为园盘上一点, 动系在直杆上。
例9－5：曲柄滑道机构，0A=01A=r=10cm, =300,=4,求:
va
vr
aC
aen
ae
[加速度矢量图] arn
aa ar aan
aa ae ar ac； aa aan aeτ aen arτ arn ac；
例9－3：曲柄绕0转动，並通过滑块M带动滑槽绕0‘摆动，y'
求:摆动到300时的角速度1。
动点取M； 绝对:转动； 解相：对:斜线；牵连:摆动；
a
τ B
172
y: aBn = aAB cos +aAn ； aAB= ；
R
AB= – aABl= –17.2 1/s2 ; B= –aBr= –17.2 1/s2 ;
a B
an B
aA
a
n A
aAB
a
n AB
;
例8－7：图示连杆机构，01A以匀角速度rad/s转动,並带动滑 块运动,巳知: 01A = 02B=CD=20cm ,AB=0102 =40cm, 求:CD杆中点 E速度,加速度。
aDB
ωc
vD DC
1.2 0.6
2( rad /s),
vB
取点Ｂ为基点，则有D点加速度
ωC
aτＤ＋aｎＤ＝aｎＢ＋aτＢ＋aτＤＢ
y: aｎＤ＝aｎＢ－aτＤＢcos４５°
得 : aτＤＢ＝
2 ( AB
ω2
v
2 D
)
CD
4.8
2( m / s2 ), 故:
αDB
a
τ DB
DB
12(rad/s2
12.32m/s 2
,
an
v2 R
v02 Rcos 2θ
21.33m/s 2 ,
$2-2 刚体的基本运动
一、刚体的移(平)动 vA vB , aA aB ,
二、 定轴转动
=f(t): 转动方程
角速度: =d/dt =f ’(t) ；
角加速度: =d /dt =f “(t) ；
0
t dt
rad／ｓ转动。当θ＝４５°时，Ｍ点运动到图示位置，Ｌ＝３０cm。试求此
瞬时销钉Ｍ的绝对速度。
A
再解从以速图销度: 有钉有以：Ｍ：销v为vM钉动MＭ点，vv为1Ｄ1ee动ＢvＥ点v11r为，r ;动Ｏv系2Ａe；为vMv动2r系;v；2e v2r ; M
D
L
在ＭＸ轴投影，
0
得 vｅ２＝ vｅ1cos４５°－ vｒ1cos４５°；E
aCCn
600
E点: n: aEn aCncos600+aECn= 80cm/s2;
01
02
: aE aCncos300+aEC =69.2cm/s2;
tan
a
E
a
n E
;
40.80
aE ( aEn )2 ( aτE )2 105.8cm / s2 ;
是否可从D点求E 点的加速度?
例8－9：在平面机构中，已知：ＡＢ＝０.２ｍ，ＣＤ＝０.６ｍ，
将上式向ｘ，ｙ轴投影:
aDB
得：aＥＸ＝－aτＢ＋aτＥＢ ABα BEαDB ＝－０.８＋⒋８＝４ｍ／ｓ2
aＥy＝aｎＢ AB ω2 ＝⒎２ｍ／ｓ２,
∵aＥ２＝aＥＸ２＋aＥＹ２；aE=8.2４ ｍ／ｓ２
方向为 tanφ＝＝０.５５６，φ＝２９.１°。
$2-4 点的合成运动 一、 速度合成定理
例7－2：垂直起降机的转动方程= 4t 2 9.5t 2 ,鼓轮半径R=20cm,求：
当t=4s时重物的速度、加速度，鼓轮的角速度、角加速度。
3
解: 10t 2 19t
1
15 t 2 19
t=4s时； =4 rad /s, =11 rad /s2；
P
v
v=R =80 cm/s；
an=R 2 =320 cm/s2；
vz
k；
dt dt dt dt
a
a
2 x
a
2 y
az2；
cosα" ax ;cos" ay ;cos" az .
a
a
a
二、 自然法 S = f(t) v v ,
tan aτ ;
an
a
a
an
d
v
τ
dt
v2
n；
a ( d v )2 ( v 2 )2 ;
dt
ρ
例6－3： 销钉A由导杆B带动沿固定圆弧槽运动。导杆B沿轴螺 旋立柱以不变的速度v0 =2m/s向上运动。试计算当θ=300 时，销 钉A的切向和法向加速度。
aDC
aECn= 40cm/s2 aDCn= 80cm/s2
aEC
求E加速度有三个未知量aEC，aE大小,方向。
先求D点； D点:
A
x
D
aCn
aD
E 600
aCn
B
x: aCncos600–aDCncos600 –aDCcos300 =0
aDC =0; DC =0; aE aE aEn ; aAn
aaAB B
(a
a n
n AB
B
)2
aA
(aaτABAn)2 aAABBωa4AnBα;2
vB vA vAB ; vA
[速度矢量图]
vB
vAB
aAn
[加速度矢量图] aABn
a B
an B
aA
a
n A
aAB
a
n AB
;
aA
aB aAB aBn
例8－6：园轮在曲面做纯滚动，0A杆做匀速转动，巳知:s, 0A=r=10cm,AB=l=40cm, R=20cm,求:园轮,杆AB的角加速度。
va vr ve ;
二、 加速度合成定理
aa ae ar ac； aa aan aeτ aen arτ arn ac； ac= 2vr =2 ·vr sin ；
动点
牵连运动
动系
静系
动点的牵连运动
该瞬时动系中 与动点相重 合点的速度。
va vr ve ;
ve
[速度矢量图]
解: vA= vB=10
vA A
B= vB/r= B=0
cos 402 102 0.968;
40
sin 1 0.25; aBAn= 0
4
aAn
0
aAn= 2r=1000 aBn= v B2/(R+r)=333.3
aBAn
B vB r
aB aBA
aBn aAn
AB: aBcos – aBn sin aAn sin ；
i12
1 2
n1 n2
r2 r1
z2 z1
v1 n1 r1
v
v2
n2 r2
r1
r2
$2-3 刚体的平面运动
平行于固定平面的运动。
一、 平面图形上点的速度，加速度 1、基点法(合成法) vB vA vAB ;
2、投影法
[vA]AB=[vB]AB;
3、瞬时速度中心法(瞬心法)
二、 平面图形上点的速度，加速度 基点法(合成法) aB aA aAB ;
),
例8－9A：在平面机构中，已知：ＡＢ＝０.２ｍ，ＣＤ＝０.６ｍ， ＡＣ＝0.4ｍ；在图示瞬时，杆ＡＢ和ＣＤ处于铅垂位置，Ａ、Ｂ、 Ｅ在同一铅垂线上，ω＝６ rad／ｓ，α＝４ rad／ｓ2转向如图。 试求此瞬时∶⑶ 直角三角板顶点Ｅ的加速度。
解:
又取点Ｂ为基点，则有E点加速度
aＥ＝aｎＢ＋aτＢ＋aτＥＢ
解: 1:求速度
P
D
vA=20
vA=vCvB
vCvD
vE vCcos300 20 3 cm/s;
CD
A
vA
vD
E
600
B
vC C
CD=vC/CPrad/s
600
01
02
例8－7A：rad/s, 01A = 02B=CD=20cm ,AB=0102 =40cm, 求:aE。
解: 2:求加速度
aAn= aCn cm/s2
＝试求此2 r瞬ad时／销ｓ钉转Ｍ动的。绝当对θ＝加４速５度°。时，Ｍ点运动到图示位置A ，Ｌ＝３D０cm。
Hale Waihona Puke Baidu解 再: 以以a销销M钉钉ＭＭa为为en动1动点点a，，rＤ1ＯＢＡaＥ为c为;动动系系；；aM ae2 ar 2 ;
解： 动点取M； 绝对:直线；
相对:园周；牵连:摆动；
va
x: ve –vrsin=0; y: va=vrcos; 2e =R ; va=vectan= ·M0’ can= e;
vr =va/cos= R。 = 3 R。
2
如动点为园盘上一点, 动系在直杆上。
M
0
R
y’ 0‘
x’
e
ve
例9－10：偏心园盘绕0转动，並推动直杆上、下运动， 求:转到600时直杆的加速度a。
运动学复习
韋林教授
$2-1 点的运动
一、直角坐标法
v
dr
d
x
i
d
y
j
d
z
k；
dt dt dt dt
x=f1(t) ； y=f2(t) ； z=f3(t) 。
v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
；
cos' vx ; cosβ ' v y ; cosγ ' vz .
v
v
v
a
dv
d vx
i
d
vy
j
d
解: 建立弧坐标s和直角坐标0xy如图。 因：s=Rθ, 故：v s Rθ ,
又y ： Rｙ＝ cＲossin,θ,将 上R式cyo对 s时间求R导cvo0，s
将上式代入v 的表达式中。
v Rv0 v0
Rcos cos 销钉A的加速度为
aτ
v
v0θ sinθ cos 2 θ
v02 sinθ Rcos 3θ
ＡＣ＝0.4ｍ；在图示瞬时，杆ＡＢ和ＣＤ处于铅垂位置，Ａ、
Ｂ、Ｅ在同一铅垂线上，ω＝６ rad／ｓ，α＝４ rad／ｓ2转向
如图。试求此瞬时∶⑴
Ｄ的角加速度.
杆ＣＤ的角速度ωC；⑵
解: 有vＢ＝ω＝0.2×６＝⒈２ｍ／ｓ
直角三角板ＢＥ
vD
三角形ＢＤＥ作瞬时平动，故
vＤ＝vＢ＝⒈２ｍ／ｓ，
：ωDB＝０。
B v
有：vｒ1＝１０ｃｍ／ｓ ；
vr2
ve1
得：vＭ＝ ve21 vr21 5 ２０ｃｍ／ｓ；
vr1
ve2
M
x
方向为： α＝ arctan（vｒ１／vｅ１）＝18.4°；
［讨论］这是二个自由度问题，应分别用两组不同动点、动系求Ｍ的绝对速度。
例9－15 机构如图，销钉Ｍ能在ＤＢＥ杆的竖直槽内滑动，又能在ＯＡ杆槽 内滑动，现ＤＢＥ以匀速度v ＝２０cm／ｓ向右平动。ＯＡ杆以匀角速度ω
y’
解：
从例9－3已知得：
1
=
ω 4
;
vr r
3 2
aa =0 ;
ac 21 vr 2 r
3 ;
4
aan=2r ;
aen=
ω2r 8
;
rM 0
va
300
: aancos300= ac–ae;
aτe 2 r
3; 4
x’
1
1
0’
1
ae 0' M
2
3 8
1 / s2;
例9－9：将例5－8滑槽改变为图示牛头刨床机构，MA=2r, 求:刨床刨刀的速度，加速度。
0 rM
x: vasin 300 = ve;
ve =vasin 300 =
ωr 2
;
ω1
ve 2r
ω; 4
y: vr=vacos 300;
ωr 3 2
该瞬时动系中 x’ 与动点相重 合点的速度。
如动点为 摆杆上一点
va
300
1 0’
例9－8：曲柄绕0转动，並通过滑块M带动滑槽绕0‘摆动，
求:摆动到300时的角加速度1。