奥数知识之绝对值

初一之绝对值

一、知识要点：

1. 绝对值的代数意义：

x (x>0) |x|= 0 (x=0)

-x (x<0)

3. 绝对值的常用性质：

(1)0||≥a

(2) 222||||a a a == (3)||||||b a ab ⋅= (4) )0(|

|||||≠=b b a b a (5) ||||||b a b a +≤+ (6) ||||||b a b a -≥- 4. 解决含绝对值问题的常用方法：

（1）零点分段法； （2）数形结合法；

二、例题精选及相应练习：

例1. 已知._____||,3||,5||=+-=-==b a a ，b b a b a 则且

变式：

1. 若的值是则且b a b a b a ->+==,0,5||,8||( )

A. 3或13

B. 13或-13

C. 3或-3

D. -3或-13

练习：

已知a,b,c 满足(a+b)(b+c)(c+a)=0,且abc<0，则代数式|

|||||c c b b a a ++的值为________. 例2. 若a,b,c 为整数，且1||||20092009=-+-a c b a ，计算|c-a|+|a-b|+|b-c|的值。

练习1. 求满足|a-b|+ab=1的非负整数对（a,b ）的值。

练习2. 若a,b,c,d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1,则|a-d|=________.

练习3. 已知a,b,c,d 为有理数，,16||,9||≤-≤-d c b a ,25||=+--d c b a 且。c d a b 的值求||||---

例3. 化简：|x+2|+|x-1| 变式1. 解方程：|x+2|+|x-1|=7 变式2. 解不等式：|x+2|+|x-1|>7

例4. 求|x+2|+|x-1|的最小值。

变式1. 求：|x+2|+|x-1|+|x-3|的最小值。 变式2. 求：|x+2|+|x-1|+|x-3|+|x-4|的最小值。

变式3. 求：|x+2|+|x-1|+3|x-3|的最小值。 变式4. 求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2009|的最小值。 2. 绝对值的几何意义： |x|是数轴上表示数x 的点到原点的距离； |x-a|是数轴上表示数x 的点到数a 的点的距离；

2000米李张例5. （1）工作流水线上顺次排列5个工作台A ，B ，C ，D ，E ，一只工具箱应该放在何处，才能使工作台上操作机器的人取工具所走的路最短：

（2）若工作台由5个改为6个，则工具箱应如何放置能使6个操作机器的人取工具所走的路程之和最短？

（3）当流水线上有n 个工作台时，怎样放置工具箱最适宜？

练习：如图，一条公路有王，张，李三个村庄，若王庄有300人， 张庄有150人，李庄有50人。现要建一个客运站，问应

建在何处，使大家都方便？

例6. 已知关于x 的方程|x|=ax+1同时有一个正根和一个负根，求整数a 的值。

变式：已知方程|x|=ax+1有一个负根，而没有正根，则a 的取值范围是( )

A. a=1

B. a>-1

C. 1≥a

D. a<1

练习1. 若关于x 的方程||x-2|-1|=a 有三个整数解，则a 的值是________.

练习2：当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x-2|-|x-5|=a 有一解？有无数多个解？无解？

三、巩固练习及提高

1. 不相等的有理数a,b,c 在数轴上对应点分别为A ，B ，C 。若|a-b|+|b-c|=|a-c|，则B 点应为（

） A. 在A ，C 点的右边 B. 在A ，C 点的左边

C. 在A ，C 点的中间

D. 以上三种情况都有可能

2. 满足|a-b|=|a|+|b|成立的条件是（ ）

A. 0≥ab

B. 1>ab

C. 0≤ab

D. 1

3. 已知a,b,c 都不等于0，且||||||||abc abc

c c

b b

a a

x +++=,根据a,b,c 的不同取值，x 有（ ）

A. 唯一确定的值

B. 3种不同的值

C. 4种不同的值

D. 8种不同的值

4. 若15|15||15|||150≤≤--+-+-<

A. 30

B. 0

C. 15

D. 一个与P 有关的代数式

5. 适合关系式|3x-4|+|3x+2|=6的整数x 的值有（ ）个.

A. 0

B. 1

C. 2

D. 大于2的自然数

6. 已知40≤≤a ，那么|a-2|+|3-a|的最大值等于（ ）

A. 1

B. 5

C. 8

D. 3

7. |x-3|-|x-5|的最大值是_______,最小值是_______.

8. 解下列方程：

(1) |x+1|+|x-2|=3 (2) |x-2|-|x+6|=0 (3) |x-3|-|x|=5 (4) ||x+1|-1|=3x

9. 设P=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2010|的值为常数，试求x 的取值范围。

10. 已知0|2003||2002||3||2||1|20032002321=-+-++-+-+-x x x x x ,

求代数式2003200232122222x x x x x +--- 的值。

11. 已知36|)1||3|)(|1||2|)(|2||1(|=++-++--++z z y y x x ，求x+2y+3z 的最大值和最小值。

12. 某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小，二小，三小，四小，五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台。现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校；一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，（若甲小给乙小-3台，即为乙小给甲小3台），要使电脑移动的总台数最小，应作怎么样的安排？