广州市高一上学期期中考试数学试卷
2023-2024学年广东省广州市执信中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市执信中学高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |3x ﹣6＞0}，B ＝{x |x 2﹣4x +3≤0}，则（∁U A ）∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2}B ．{x |2＜x ≤4}C ．{x |1≤x ≤2}D ．{x |x ≥1}2．已知命题p ：∃x ∈Q ，使得x ∉N ，则¬p 为（ ） A ．∀x ∉Q ，都有x ∉N B ．∃x ∉Q ，使得x ∈NC ．∀x ∈Q ，都有x ∈ND ．∃x ∈Q ，使得x ∈N3．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）与y ＝x +a ﹣1的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数f(x)={2x−3，x ＞1x 2+1，x ≤1，则f （f （3））＝（ ）A ．2B ．1C ．12D ．145．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．−√x =(−x)12 B ．√y 26=y 13(y ＜0) C ．x −13=1√x 3（x ＞0）D ．[√(−x)23]34=x 12(x ＞0)6．流行病学基本参数：基本再生数R 0指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：I(t)=N 0e rt （其中N 0是开始确诊病例数）描述累计感染病例I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 满足R 0＝1+rT ，有学者估计出R 0＝3.4，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当I （t ）＝2N 0时，t 的值为（ ）（ln 2≈0.69） A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.57．f （x ）是定义在R 上的函数，f(x +12)+12为奇函数，则f （2023）+f （﹣2022）＝（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．18．记函数f （x ）＝|x 2﹣ax |在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为（ ） A ．3−2√2B ．√2−1C ．14D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y ＝2﹣xB ．y ＝x 2+2C ．y =−1xD ．y ＝|x |+110．已知a ＞0，b ＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若ab ≤1，则1a +1b≥2 B ．若a +b ＝4，则1a+9b的最小值为4C ．若a 2+b 2＝4，则ab 的最大值为2D ．若2a +b ＝1，则ab 的最大值为√2211．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，则称f （x ）为“理想函数”．则下列函数中是“理想函数”的是（ ）A ．f （x ）＝1B ．f （x ）＝x 2+2C ．f （x ）＝x 3﹣xD ．f （x ）＝x 412．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y＝[x ]称为高斯函数．例如：[﹣3.2]＝﹣4，[2.3]＝2．已知函数f （x ）=2x1+2x −12，则关于函数g （x ）＝[f （x ）]的叙述中正确的是（ ） A ．f （x ）是奇函数 B ．f （x ）在R 上是减函数C ．g （x ）是偶函数D ．g （x ）的值域是{﹣1，0}三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13．函数f （x ）=√x +1+12−x的定义域为 ． 14．如果函数f （x ）＝x 2﹣2ax +2在区间[3，+∞）上是增函数，则a 的取值范围为 ． 15．已知函数f （x ）＝ax 3+bx ﹣2，若f （2023）＝10，则f （﹣2023）＝ ．16．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，对于任意实数t ，f （﹣t ）≤f （2at 2+a ）恒成立，求a 的取值范围 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算：（1）求值：0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6；（2）已知：a 12+a−12=3，求a 2+a −2+3a+a −1−2的值．18．（12分）（1）设集合A ＝{a 2，a +1，﹣3}，B ＝{a ﹣3，2a ﹣1，a 2+1}，A ∩B ＝{﹣3}，求实数a 的值； （2）设集合A ＝{x |0＜x ＜4}，B ＝{x |m ≤x ≤3m ﹣2}．如果A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围． 19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+4．（1）设g(x)=f(x)x ，根据函数单调性的定义证明g （x ）在区间[2，+∞）上单调递增； （2）当a ＞0时，解关于x 的不等式f （x ）＞（1﹣a ）x 2+2（a +1）x ．20．（12分）已知函数f(x)=2x−m 2x +1为奇函数．（1）求实数m 的值及函数f （x ）的值域； （2）若f(1x−1)−f(2)＞0，求x 的取值范围． 21．（12分）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用．甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面嫱的长度均为x 米（1≤x ≤6），乙工程队给出的整体报价为1800a(x+2)x元（a ＞0），综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍． （1）若a ＝10，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值．22．（12分）对于函数f （x ），若在定义域内存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f （x ）＝ax 2+2x ﹣4a ，a ∈R ，试判断f （x ）是否为“局部奇函数”，并说明理由； （2）若f （x ）＝4x ﹣m •2x +1+m 2﹣1为定义在R 上的“局部奇函数”，求函数f （x ）在x ∈[﹣1，1]的最小值．2023-2024学年广东省广州市执信中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|3x﹣6＞0}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|2＜x≤4}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x≥1}解：因为A＝{x|3x﹣6＞0}，所以∁U A＝{x|3x﹣6≤0}＝{x|x≤2}，由x2﹣4x+3≤0，得（x﹣1）（x﹣3）≤0，解得1≤x≤3，所以B＝{x|1≤x≤3}，所以（∁U A）∩B＝{x|1≤x≤2}．故选：C．2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则¬p为（）A．∀x∉Q，都有x∉N B．∃x∉Q，使得x∈NC．∀x∈Q，都有x∈N D．∃x∈Q，使得x∈N解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题的否定是∀x∈Q，都有x∈N．故选：C．3．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）与y＝x+a﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．解：若a＞1，则a﹣1＞0，函数y＝a x是R上的增函数，函数y＝x+a﹣1的图象与y轴的交点在x轴上方，C符合，D不符合；若0＜a＜1，则a﹣1＜0，函数y＝a x是R上的减函数，函数y＝x+a﹣1的图象与y轴的交点在x轴下方，A ，B 均不符合． 故选：C ．4．已知函数f(x)={2x−3，x ＞1x 2+1，x ≤1，则f （f （3））＝（ ）A ．2B ．1C ．12D ．14解：f(x)={2x−3，x ＞1x 2+1，x ≤1，f （3）＝23﹣3＝1，故f （f （3））＝f （1）＝12+1＝2． 故选：A ．5．（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A ．−√x =(−x)12B ．√y 26=y 13(y ＜0) C ．x−13=1√x 3（x ＞0）D ．[√(−x)23]34=x 12(x ＞0)解：−√x =−x 12(x≥0)，而(−x)12=√−x(x ≤0)，故A 错误；√y 26=−y 13(y ＜0)，故B 错误；x −13=1√x 3(x ＞0)，故C 正确； [√(−x)23]34=x2×13×34=x 12(x ＞0)，故D 正确．故选：CD ．6．流行病学基本参数：基本再生数R 0指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：I(t)=N 0e rt （其中N 0是开始确诊病例数）描述累计感染病例I （t ）随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 满足R 0＝1+rT ，有学者估计出R 0＝3.4，T ＝6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当I （t ）＝2N 0时，t 的值为（ ）（ln 2≈0.69） A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.5解：把R 0＝3.4，T ＝6代入R 0＝1+rT ，得3.4＝1+6r ， 解得r ＝0.4，∴I （t ）＝N 0e 0.4t ，由I （t ）＝2N 0，得N 0e 0.4t ＝2N 0，则e 0.4t ＝2， 两边取对数得0.4t ＝ln 2，得t =ln20.4≈0.690.4≈1.7． 故选：B ．7．f （x ）是定义在R 上的函数，f(x +12)+12为奇函数，则f （2023）+f （﹣2022）＝（ ） A ．﹣1B ．−12C ．12D ．1解：f （x ）是定义在R 上的函数，f(x +12)+12为奇函数，则f(−x +12)+12=−[f(x +12)+12]⇒f(−x +12)+f(x +12)=−1． ∴f(2023)+f(−2022)=f(40452+12)+f(−40452+12)=−1． 故选：A ．8．记函数f （x ）＝|x 2﹣ax |在区间[0，1]上的最大值为g （a ），则g （a ）的最小值为（ ） A ．3−2√2B ．√2−1C ．14D ．1解：以下只分析函数f （x ）＝|x 2﹣ax |在x ∈[0，1]上的图象及性质，分类讨论如下： ①当a ≤0时，函数f （x ）＝|x 2﹣ax |＝x 2﹣ax 在区间[0，1]上单调递增， 即g （a ）＝f （1）＝1﹣a ，此时g （a ）单调递减，g （a ）min ＝g （0）＝1；②当0＜a ≤1时，f （x ）＝|x 2﹣ax |={x 2−ax ，a ＜x ≤1ax −x 2，0≤x ＜a，所以g （a ）＝max {f （1），f （a 2）}＝max {1﹣a ，a 24}，易知当0＜a ≤2√2−2时，1﹣a ≥a 24，所以g （a ）＝1﹣a ，当2√2−2＜a ≤1时，1﹣a ＜a 24，所以g （a ）=a 24，此时g （a ）min ＝g （2√2−2）=(2√2−2)24=3﹣2√2；③当a ＞1时，f （x ）＝|x 2﹣ax |＝ax ﹣x 2，1＜a ≤2时，g(a)=f(a2)=a 24，g(a)＞14，且g （a ）接近14，当a ＞2时，g （a ）＝f （1）＝a ﹣1，g （a ）＞1，且g （a ）接近1，；而1＞14＞3﹣2√2，综上可知g （a ）的最小值为3﹣2√2． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y ＝2﹣xB ．y ＝x 2+2C ．y =−1xD ．y ＝|x |+1解：函数y ＝2﹣x 不是偶函数，函数y =−1x是奇函数，不是偶函数，故可排除A ，C 选项． 又函数y ＝x 2+2，y ＝|x |+1均为偶函数，且二次函数y ＝x 2+2在区间（0，+∞）上为增函数，y ＝|x |+1，当x ＞0时，函数可化为y ＝x +1，在（0，+∞）上为增函数，故B ，D 均正确． 故选：BD ．10．已知a ＞0，b ＞0，则下列命题正确的是（ ） A ．若ab ≤1，则1a +1b≥2 B ．若a +b ＝4，则1a+9b的最小值为4C ．若a 2+b 2＝4，则ab 的最大值为2D ．若2a +b ＝1，则ab 的最大值为√22解：由0＜ab ≤1，得1ab≥1，则1a+1b≥2√1ab≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故A 正确；1a+9b=14(a +b)(1a+9b)=14(ba+9a b+10)≥14(2√b a×9a b +10)=4，当且仅当ba=9a b且a +b ＝4，即a ＝1，b ＝3时等号成立，则1a+9b的最小值为4，故B 正确；若a 2+b 2＝4，则ab ≤a 2+b22=2，当且仅当a =b =√2时等号成立，则ab 的最大值为2，故C 正确；若2a +b ＝1，则1=2a +b ≥2√2ab ，即ab ≤18，当且仅当2a ＝b ，即a =14，b =12时等号成立， 则ab 的最大值为18，故D 错误．故选：ABC ．11．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，则称f （x ）为“理想函数”．则下列函数中是“理想函数”的是（ ）A ．f （x ）＝1B ．f （x ）＝x 2+2C ．f （x ）＝x 3﹣xD ．f （x ）＝x 4解：由x 2f(x 1)−x 1f(x 2)x 1−x 2＞0，设x 1＞x 2＞0，可得x 2f （x 1）﹣x 1f （x 2）＞0，∴x 2f （x 1）＞x 1f （x 2）， ∴f(x 1)x 1＞f(x 2)x 2，∴函数y =f(x)x 在（0，+∞）上单调递增，对于A ，y =f(x)x =1x ，函数在（0，+∞）为减函数，所以A 不符合题意；对于B ，y =f(x)x =x +2x ，函数在(0，√2)上单调递减，在(√2，+∞)上单调递增，所以B 不符合题意； 对于C ，y =f(x)x =x 2−1，由二次函数知，函数在（0，+∞）上单调递增，所以C 符合题意； 对于D ，y =f(x)x =x 3，由幂函数的性质知，函数在（0，+∞）上单调递增，所以D 符合题意． 故选：CD ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y＝[x ]称为高斯函数．例如：[﹣3.2]＝﹣4，[2.3]＝2．已知函数f （x ）=2x1+2x −12，则关于函数g （x ）＝[f （x ）]的叙述中正确的是（ ） A ．f （x ）是奇函数 B ．f （x ）在R 上是减函数C ．g （x ）是偶函数D ．g （x ）的值域是{﹣1，0}解：对于A ，f （x ）=2x1+2x −12，则f （﹣x ）=2−x1+2−x −12=11+2x −12， 所以f （x ）+f （﹣x ）＝0，故函数f （x ）为奇函数，故选项A 正确；对于B ，f （x ）=2x1+2x −12=12−11+2x ， 因为y ＝1+2x 在R 上为单调递增函数，所以函数f （x ）在R 上为单调递增函数，故选项B 错误；对于C ，因为f （x ）=2x1+2x −12=12−11+2x ， 则g （1）＝[f （1）]＝[16]＝0，g （﹣1）＝[f （﹣1）]＝[−16]＝﹣1， 因为g （﹣1）≠g （1），所以g （x ）不是偶函数，故选项C 错误；对于D ，设y ＝f （x ）=2x1+2x −12， 变形可得2x =1+2y 1−2y ＞0，解得−12＜y ＜12， 即f （x ）的值域为（−12，12），又g （x ）＝[f （x ）]，所以g （x ）的值域为{﹣1，0}，故选项D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）=√x +1+12−x 的定义域为 [﹣1，2）U （2，+∞） ． 解：根据题意：{x +1≥02−x ≠0解得：x ≥﹣1且x ≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞） 故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）14．如果函数f （x ）＝x 2﹣2ax +2在区间[3，+∞）上是增函数，则a 的取值范围为 （﹣∞，3] ． 解：∵函数f （x ）＝x 2﹣2ax +2＝（x ﹣a ）2+2﹣a 2在区间[3，+∞）上是增函数， ∴a ≤3．故a 的取值范围是（﹣∞，3]． 故答案为（﹣∞，3]．15．已知函数f （x ）＝ax 3+bx ﹣2，若f （2023）＝10，则f （﹣2023）＝ ﹣14 ． 解：因为f （2023）＝10， 所以a •（2023）3+2023b ﹣2＝10， 则a •20233+2023b ＝12，f （﹣2023）＝﹣a •20233﹣2023b ﹣2＝﹣（a •20233+2023b ）﹣2＝﹣14． 故答案为：﹣14．16．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，对于任意实数t ，f （﹣t ）≤f （2at 2+a ）恒成立，求a 的取值范围 (−∞，−√24]∪[√24，+∞) ．解：根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，则f （﹣t ）≤f （2at 2+a ）⇔f （|﹣t |）≤f （|2at 2+a |）， 因为f （x ）在[0，+∞）上单调递增，所以|﹣t |≤|2at 2+a |恒成立， 所以|a|≥|t||2t 2+1|，令g(t)=|t||2t 2+1|，当|t |＝0时，g （t ）＝0， 当|t |≠0时，g(t)=|t||2t 2+1|=1|2t|+1|t|≤12√|2t|⋅1|t|=122=√24，当且仅当|2t|=1|t|，即|t|=√22时取等号， 所以|a|≥√24，得a ≤−√24或a ≥√24，即a 的取值范围为(−∞，−√24]∪[√24，+∞)， 故答案为：(−∞，−√24]∪[√24，+∞)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算： （1）求值：0.125−13−(98)0+[(−2)2]32+(√2×√33)6； （2）已知：a 12+a−12=3，求a 2+a −2+3a+a −1−2的值．解：（1）原式=(18)−13−1+432+(212×313)6=813−1+23+23×32 ＝2﹣1+8+8×9＝81；（2）因为a 12+a −12=3， 所以a +a−1=(a 12+a−12)2−2a 12⋅a−12=32−2=7，a 2+a ﹣2＝（a +a ﹣1）2﹣2a •a ﹣1＝72﹣2＝47， 所以a 2+a −2+3a+a −1−2=47+37−2=505=10．18．（12分）（1）设集合A ＝{a 2，a +1，﹣3}，B ＝{a ﹣3，2a ﹣1，a 2+1}，A ∩B ＝{﹣3}，求实数a 的值； （2）设集合A ＝{x |0＜x ＜4}，B ＝{x |m ≤x ≤3m ﹣2}．如果A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围． 解；（1）因为A ∩B ＝{﹣3}，所以﹣3∈A ，﹣3∈B ，当a ﹣3＝﹣3时，a ＝0，A ＝{0，1，﹣3}，B ＝{﹣3，﹣1，1}，A ∩B ＝{﹣3，1}，不成立； 当2a ﹣1＝﹣3时，a ＝﹣1，A ＝{1，0，﹣3}，B ＝{﹣4，﹣3，2}，A ∩B ＝{﹣3}，成立； a 2+1＝﹣3不成立； 综上可得，a ＝﹣1．（2）因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅，m ＞3m ﹣2，解得m ＜1；当B ≠∅，{m ≥1m ＞03m −2＜4，解得1≤m ＜2，综上可得，m 的取值范围为{m |m ＜2}．19．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+4．（1）设g(x)=f(x)x ，根据函数单调性的定义证明g （x ）在区间[2，+∞）上单调递增；（2）当a ＞0时，解关于x 的不等式f （x ）＞（1﹣a ）x 2+2（a +1）x ．解：（1）证明：g （x ）=f(x)x =x +4x ，对于任意的x ₁，x ₂∈[2，+∞），且x ₁＜x ₂，则g （x ₁）﹣g （x ₂）＝（x ₁+4x 1）﹣（x 2+4x 2）=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2， 由x ₁，x ₂∈[2，+∞），且x ₁＜x ₂，得x ₁﹣x ₂＜0，x ₁x ₂﹣4＞0，故g （x ₁）﹣g （x ₂）＜0，所以g （x ）在区间[2，+∞）上单调递增；（2）不等式f （x ）＞（1﹣a ）x 2+2（a +1）x ，化简得不等式ax 2﹣2（a +1）x +4＞0，因为a ＞0，故上式化简得(x −2a )(x −2)＞0，当2a =2，即a ＝1时，得x ≠2； 当a ＞1时，2a＜2，得x ∈（﹣∞，2a ）∪（2，+∞）； 当a ＜1时，2a ＞2，得x ∈（2a ，+∞）∪（﹣∞，2）； 综上，a ＝1时，不等式的解集为{x |x ≠2}；当a ＞1时，不等式的解集为（﹣∞，2a ）∪（2，+∞）； 当a ＜1时，不等式的解集为（2a，+∞）∪（﹣∞，2）； 20．（12分）已知函数f(x)=2x −m 2x +1为奇函数． （1）求实数m 的值及函数f （x ）的值域；（2）若f(1x−1)−f(2)＞0，求x 的取值范围．解：（1）由题意函数f(x)=2x −m 2x +1为奇函数，且注意到其定义域为R 关于原点对称，所以2f （0）＝f （0）+f （﹣0）＝0，即f(0)=1−m 2=0， 解得m ＝1，经检验符合题意，所以f(x)=2x −12x +1=1−22x +1， 又因为2x ＞0，所以2x +1＞1，0＜22x +1＜2，−2＜−22x +1＜0，−1＜1−22x +1＜1， 所以函数f （x ）的值域为（﹣1，1）．（2）由（1）可知f(x)=1−22x +1， 因为指数函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以由复合函数单调性可知f(x)=1−22x +1在R 上单调递增， 所以f(1x−1)−f(2)＞0⇔f(1x−1)＞f(2)⇔{1x−1＞2x −1≠0⇔{2x−3x−1＜0x ≠1， 解得1＜x ＜32，因此满足题意的x 的取值范围为(1，32)．21．（12分）某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用．甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面嫱的长度均为x 米（1≤x ≤6），乙工程队给出的整体报价为1800a(x+2)x 元（a ＞0），综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍．（1）若a ＝10，问学校该怎样选择；（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值．解：（1）设甲工程队的总造价为y 1元，因为荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米，且长方体底面积为24平方米，可得底面长方形的另一边长为24x 米，则甲工程队的总造价为：y 1=2×3x ×300+3×24x ×400+12600＝1800（x +16x ）+12600，x ∈[1，6]，又由x +16x ≥2√x ⋅16x =8，当且仅当x ＝4时，等号成立，所以（y 1）min ＝1800×8+12600＝270000（元），当a ＝10时，设乙工程队的总造价为y 2元，则y 2=1800×10(x+2)x =18000（1+2x ），x ∈[1，6]， 因为函数y =1+2x 在x ∈[1，6]上为单调递减函数，所以（y 2）min ＝24000（元），由27000＞24000，所以学校选择乙工程队进行建造；（2）若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为270000﹣5400＝21600（元），若乙工程队确保自己被选中，则满足（y 2）min ≤21600，又由乙工程队的造价为y 2=1800a(x+2)x =1800a （1+2x），x ∈[1，6]， 由（1）知，当x ＝6时，（y 2）min ＝1800a ×（1+26）＝2400a ，由2400a ≤21600，解得a ≤9，因为a ＞0，所以0＜a ≤9，所以实数a 的最大值为9．22．（12分）对于函数f （x ），若在定义域内存在实数x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则称f （x ）为“局部奇函数”．（1）已知二次函数f （x ）＝ax 2+2x ﹣4a ，a ∈R ，试判断f （x ）是否为“局部奇函数”，并说明理由；（2）若f （x ）＝4x ﹣m •2x +1+m 2﹣1为定义在R 上的“局部奇函数”，求函数f （x ）在x ∈[﹣1，1]的最小值．解：（1）f （x ）是局部奇函数，理由如下：若f （﹣x ）＝﹣f （x ），则ax 2﹣2x ﹣4a ＝﹣ax 2﹣2x +4a ，整理得，2a （x ﹣2）（x +2）＝0有解，所以x ＝2或x ＝﹣2，故f （x ）是局部奇函数；（2）由题意得，存在x 使得f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以（14）x﹣m •2﹣x +1+m 2﹣1＝﹣4x +m •2x +1﹣m 2+1有解， 整理得，（4x +4﹣x ）﹣2m （2x +2﹣x ）+2m 2﹣2＝0，令t ＝2x +2﹣x ，则4x +4﹣x ＝t 2﹣2，t ≥2， 从而关于t 的方程t 2﹣2mt +2m 2﹣4＝0，令F （t ）＝t 2﹣2mt +2m 2﹣4，①当F （2）＝2m 2﹣4m ≤0时，满足题意，此时0≤m ≤2，②当F （2）＝2m 2﹣4m ＞0时，F （t ）＝0在t ≥2有解等价于{Δ=4m 2−4(2m 2−4)≥0m ＞2F(2)=2m 2−4m ＞0，此时M 无解，所以m 的范围[0，2]，令s ＝2x ，则s ∈[12，2]， f （x ）可化为g （s ）＝s 2﹣2ms +m 2﹣1，对称轴s ＝m ，当0≤m ≤12时，g （s ）在[12，2]上单调递增，当s =12时，函数取得最小值g （12）=m 2−m −34， 当12＜m ≤2时，g （s ）在[12，2]上先减后增，当s ＝m 时，函数取得最小值g （m ）＝﹣1， 综上，f （x ）min ={m 2−m −34，0≤m ≤12−1，12＜m ≤2．。
2024-2025学年广州市三校高一数学上学期期中联考试卷及答案解析
2024-2025学年上学期期中三校联考高一数学本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}24,,3401A x x k B x x x k ⎧⎫=∈=∈=--≤⎨⎬+⎩⎭Z Z ∣∣，则A B = （ ）A. {}1,1,2,4-B. {}4,2,1,1---C. [)(]1,00,4-⋃D. [)(]4,00,1- 【答案】A 【解析】【分析】根据列举法求解集合和求解一元二次不等式的解法即可求解.详解】41x k =+，若要Z x ∈，则需14,2,1,1,2,4k +=---，所以解得1,2,4,4,2,1x =---所以{}4,2,1,1,2,4,A =---，{}()(){}{}234041014B x x x x x x xx =--≤=-+≤=-≤≤∣∣∣所以{}1,1,2,4A B ⋂=-.故选：A .2. 给出下列命题，其中是正确命题是（ ）A. 两个函数()f x =，()g x =表示的是同一函数B. 函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ C. 若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1D. 命题“[)0,x ∞∀∈+，210x +>”的否定是“(),0x ∃∈-∞，210x +≤”【答案】C 【解析】【的【分析】先看定义域，再看解析式判断选项A ；据减函数定义判断选项B ；根据抽象函数定义域，判断选项C ；根据全称量词命题的否定形式判断选项D.【详解】()1f x x =≥，()(][),11,g x x =∈-∞-⋃+∞，定义域不同，故A 正确；函数()1f x x=的单调递减区间是(),0-∞ 和()0,∞+，故B 错误；因为函数()f x 的定义域为[]0,2，所以02x ≤≤，所以022x ≤≤，解得01x ≤≤，所以函数()2f x 的定义域为[]0,1，故C 正确；命题“[)0,x ∞∀∈+，210x +>”的否定是“[)0,x ∃∈+∞，210x +≤”，故D 错误.故选：C3. 近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率f （单位时间内心跳的次数）与其自身体重W 满足()130=≠k f k W的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg 、脉搏率为205次1min -⋅，若经测量一匹马的脉搏率为41次1min -⋅，则这匹马的体重为（ ）A. 350kg B. 450kg C. 500kg D. 250kg【答案】D 【解析】【分析】根据已知函数模型代入2W =即可得出132052k =⨯，最后再根据脉搏率得出体重.【详解】根据题意()130k f k W=≠，当2W =时，205f=，则132052k =⨯，当41f =时，则11133320525241W ⨯==⨯，故250W =.故选：D.4. 已知R a b c ∈,,，那么下列命题中正确的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a bc c>，则a b >C. 若0a >，0b >，则22b a a ba b+≥+ D. 若22a b >且0ab >，则11a b<【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析．【详解】A ．若a b >，当0c =时， 22ac bc =，所以A 不成立；B ．若a bc c>，当0c <时，则a b <，所以B 不成立；C ．若0a >，0b >，由()()()()2222222220a b a b a b a b b a b a a b a b a b a b ab ab ---+--+--=+==≥，所以C 成立D ．若22a b >且0ab >，当00a b <⎧⎨<⎩时，则a b <，所以11a b >，则D 不成立．故选：C ．5. 关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列说法正确的个数是（ ）个.①0a <；②关于x 的不等式0bx c +>的解集为(),6-∞-；③0a b c ++>；④关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据解一元二次不等式的规则，得出,,a b c 三者之间的关系，进而判断每一个说法的正误，得出本题结果.【详解】解：因为关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，所以0a <且2-和3是20ax bx c ++=的解，所以说法①正确；由韦达定理得，()2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得6b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以0bx c +>即为60ax a -->，故6x >-，所以说法②错误；660a b c a a a a ++=--=->，所以说法③正确；不等式20cx bx a -+>即为260ax ax a -++>，即2610x x -->，解得11,,32x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不等式20cx bx a -+>的解集为11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以说法④正确.故选：C.6. 已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,1为减函数，在[)1,+∞为增函数，()20f =，则不等式()()110x f x +-≥的解集为（ ）A. (][],11,3-∞- B. []{}1,31- C. (][),11,-∞-+∞ D. []13,-【答案】B 【解析】【分析】由题意先明确函数()f x 在R 上的单调性和函数值情况并作出函数图，接着分(),1x ∞∈--、1x =-和()1,x ∞∈-+三种情况分析()()11x f x +-即可求解.【详解】由题意可知()()00,20f f =-=，且()f x 在(],1-∞-上单调递增，在(]1,0-上单调递减，如图：当(),1x ∞∈--时，10,12x x +<->，故()10f x ->，此时()()110x f x +-<；当1x =-时，满足()()110x f x +-≥；当()1,x ∞∈-+时，10x +>，12x -<，此时()()110x f x +-≥，则()10f x -≥，所以21013x x -≤-≤⇒≤≤，综上，不等式()()110x f x +-≥的解集为[]{}1,31⋃-.故选：B.7. 已知()g x 是定义域为R 的函数，()22g x ax =+，若对任意的1212x x <<<，都有()()12123g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,∞+B. 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D. 3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】构造2()32h x ax x =++，根据其在(1,2)x ∈单调递增，分类讨论即可求解.【详解】因为对任意的1212x x <<<，都有()()12123g x g x x x ->--成立，所以()()121233g x g x x x -<-+，所以()()112233g x x g x x +<+成立，构造2()()332h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得2()32h x ax x =++在(1,2)x ∈单调递增，(i)若0a <，则对称轴0322x a =-≥，解得304a -≤<；(ii) 若0a =，()32h x x =+(1,2)x ∈单调递增，满足题意；(iii) 若0a >，则对称轴0312x a=-≤恒成立；综上，3,4a ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，故选：D8. 若对于定义域内的每一个x ，都有()()f kx kf x =，则称函数()f x 为“双k 倍函数”.已知函数()f x 是定义在[]1,4上的“双2倍函数”，且当[)1,2x ∈时，()24127f x x x =-+-，若函数()y f f x a ⎡⎤=-⎣⎦恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()1,2 B. []1,4 C. ()(]1,22,4 D. (]1,4【答案】D 【解析】在【分析】先根据定义求出函数()f x 解析式，并作出函数图象，结合图象分析可得.【详解】由题知，对[]1,4x ∈，都有()()22f x f x =设[2,4)x ∈，则[1,2)2x∈所以22()2(2[4(127]21214222x x x f x f x x ==-+⨯-=-+-又2(2)22122142f =-⨯+⨯-=所以(4)2(2)4f f ==则224127,[1,2)()21214,[2,4)4,4x x x f x x x x x ⎧-+-∈⎪=-+-∈⎨⎪=⎩因为函数()y f f x a ⎡⎤=-⎣⎦恰有4个不同的零点，即方程[f(x)]f a =有4个不同的实数根，记()f x m =，则方程()f m a =必有两个不同的实数根为12,m m ，且1()f x m =和2()f x m =都有两个不同实数根，由图可知，当(1,4]a ∈时，有12,(1,4]m m ∈，且12m m ≠，此时1()f x m =和2()f x m =都有两个不同实数根，满足题意.所以，实数a 的取值范围为(1,4].故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知实数a 满足14a a -+=，下列选项中正确的是（ ）A. 1a a --=B. 2214a a -+=C. 1122a a -+=D. 3322a a -+=的【答案】BCD 【解析】【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立1a a -+，1a a --，1122a a -+，22a a -+以及3322a a -+之间的内在联系即可求得.【详解】因为14a a -+=，所以0a >，对于A 选项，由()()22122114122a a a a a a a a-----=+⋅-==-+，可得1a a --=±，故A 项错误；对于B 选项，()22211216214a a a a a a ---+=+-⋅=-=，故B 项正确；对于C 选项，由211111222226a a a a a a ---⎛⎫+=++⋅= ⎪⎝⎭，又0a >，所以11220a a -+>，则1122a a-+=，故C 项正确；对于D 选项，因331111331222222()()()(1)a a a a a a a a ----+=+=+-+=故D 项正确.故选：BCD.10. 已知0,0x y >>，且21x y +=，则下列正确的有（ ）A. xy 的最大值是18B. 24x y +的最小值是C. 12x y+的最大值是9D.【答案】AB 【解析】【分析】由基本不等式逐项判断即可.【详解】因为0,0,21x y x y >>+=，12x y =+≥18xy ≤，当且仅当11,24x y ==时，等号成立，A 正确；22224x y x y =+≥=+=222x y =，即11,24x y ==时等号成立，B 正确．121222(2)()(5)(59x y x y x y x y y x +=++=++≥+=，当且仅当22x y y x =，即13x y ==时等号成立，C 错误；由2x y +得22(2)2x y ≤+=+≤，D 错；故选：AB ．11. 定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下列条件：（1）()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）当1x >时，()0f x >，则（ ）A. ()10f =B. 当01x <<时，()0f x <C. ()()22f xf x ≥ D. ()f x 在()1,+∞上单调递增【答案】ABD 【解析】【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A ，取1x y ==可得；B ，取1x =，再由条件当1x >时，()0f x >推理可得；对于C ，虽能用基本不等式，但因()f x 在()0,∞+上的符号不定，得不出结论；对于D ，运用单调性定义法推导即可.【详解】对于A 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取1x y ==，得，(1)(1)(1)0f f f =-=，故A 项正确；对于B 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，取1x =，因()10f =，故1(()f f y y =-，即1(()f f x x=-，当01x <<时，11x >，则1()0f x>，故()0f x ->，即()0f x <，故B 项正确；对于C 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取2x y =，可得，22()()()f y yf y y f y =-，整理得，21()(()f y y f y y=+，因0y >，12y y+≥，当且仅当1y =时取等号，但因()f y 的符号不能确定，故不一定有2()2()f y f y ≥，即2()2()f x f x ≥不一定成立，故C 项错误；对于D 项，任取121x x >>，则121x x >，依题意，12(0xf x >，而()()121122x f x f x x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，即()()f x g x x=在(1,)+∞上是增函数.于是，对于()()f x xg x =，任取121x x >>，因12()()0g x g x >>，则1122()()x g x x g x >，即12()()f x f x >，即函数()f x 在()1,∞+上单调递增，故D 项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 4130320.064(πe)9-+-+-⨯=__________.【答案】52【解析】【分析】根据分数指数幂及根式的运算法则计算即可.【详解】解：4130320.064(πe)9-+-⨯4131322322[(0.4)]21[(3)]3--⎛⎫=+--⨯ ⎪⎝⎭32140.3413--=+--⨯41352=+--52=.故答案：5213. 已知幂函数()f x过点⎛ ⎝，若()(32)1a f f a <+-，则实数a 的取值范围是_________.【答案】23,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】为【分析】设出幂函数解析式y x α=代入点待定α，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得.【详解】设幂函数()f x x α=，因为函数图象过点⎛ ⎝，则1222α-==，解得12α=-，则12()f x x-==，其定义域为()0,∞+，且()f x 在()0,∞+单调递减.所以由()(32)1a f f a <+-，可得10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得2332a <<.所以实数a 的取值范围是23,32⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：23,32⎛⎫⎪⎝⎭.14. 定义区间(a,b)，[a,b)，(a,b]，[a,b]的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如,(1,2) [3,5)的长度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超过x 的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x R ∈.设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，当0x k ≤≤时,不等式()()f x g x <解集区间的长度为5，则k 的值为_______．【答案】7【解析】【详解】f(x)=[x]⋅{x}=[x]⋅(x−[x])=[x]x−[x]2,g(x)=x−1，f(x)<g(x)⇒[x]x−[x]2<x −1即([x]−1)x<[x]2−1，当x ∈[0,1)时,[x]=0，上式可化为x>1，∴x ∈∅；当x ∈[1,2)时,[x]=1，上式可化为0>0，∴x ∈∅；当x ∈[2,3)时,[x]=2,[x]−1>0,上式可化为x<[x]+1=3，∴当x ∈[0,3)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=3−2=1；同理可得,当x ∈[3,4)时,不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为d=4−2=2；∵不等式f(x)<g(x)解集区间的长度为5，∴k−2=5，∴k=7.故答案为7.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知集合12324x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22440,R B x x x m m =-+-≤∈.（1）若3m =，求A B ⋂；（2）若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，求正实数m 的取值范围.【答案】（1）[]1,5A B =-∩ （2）[)4,+∞【解析】【分析】（1）解指数不等式，一元二次不等式化简集合,A B ，然后由交集定义计算；（2）根据充分不必要条件的定义得不等式组求解；【小问1详解】[]12322,54x A x ⎧⎫=≤≤=-⎨⎬⎩⎭因0m >，则()(){}[]22,R 2,2B x x m x m m m m ⎡⎤⎡⎤=---+∈=-+⎣⎦⎣⎦.当3m =时，[]1,5B =-，所以[]1,5A B =-∩.【小问2详解】因“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集.所以[)002244,253m m m m m m m ∞>>⎧⎧⎪⎪-≤-⇒≥⇒∈+⎨⎨⎪⎪+≥≥⎩⎩，经检验“=”满足.所以实数m 的取值范围是[)4,+∞.16. 设()212y mx m x m =+-+-．（1）若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()()2121R +-+-<-∈mx m x m m m ．【答案】（1）13m ≥； （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题设()210mx m x m +-+≥对一切实数x 恒成立，讨论参数m ，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可.（2）讨论0m =、0m ≠，结合一元二次不等式的解法求解集.【小问1详解】由题设()2122mx m x m +-+-≥-，即()210mx m x m +-+≥对一切实数x 恒成立，当0m =时，()210mx m x m x +-+=≥不恒成立；当0m ≠时，只需()22Δ140m m m >⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，可得13m ≥；综上，13m ≥.【小问2详解】当0m =时，()2121mx m x m m +-+-<-，即21x -<-，可得1x <；解集为(,1)-∞；当0m ≠时，()2111()(1)0mx m x m x x m+--=+-<，若0m <，则1()(1)0x x m+->，若11m ->，即10m -<<时，可得1x m >-或1x <，解集为1(,1)(,)m-∞-+∞ ；若11m-=，即1m =-时，可得1x ≠，解集为(,1)(1,)-∞⋃+∞；若11m -<，即1m <-时，可得1x >或1x m <-，解集为1(,(1,)m-∞-+∞ ；若0m >，则1()(1)0x x m +-<，可得11x m -<<，解集为1(,1)m-.17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC 卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为()R x 万元，且()24,0105300,10a x x R x b x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）2418420,01040000165280,10x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩（2）当50x =时，W 取得最大值为3680万元【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，分别求出当010x <≤时和当10x >时的年利润()()1620W xR x x =-+，即可求解；（2）分类讨论，当010x <≤时根据二次函数的单调性求出最大值，当10x >时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解．【小问1详解】因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，所以()488208161196a -⨯⨯--⨯=，解得200a =，当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，所以253002020201629602020b ⎛⎫-⨯--⨯=⎪⎝⎭，解得40000b =，当010x <≤时，()()()()2162020041620418420W xR x x x x x x x =-+=--+=-+-，当10x >时，()()()25300400004000016201620165280W xR x x x x x xx x ⎛⎫=-+=--+=--+⎪⎝⎭，综上2418420,01040000165280,10x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩．【小问2详解】①当010x <≤时，24(23)2096W x =--+单调递增，所以()max 101420W W ==；②当10x >时，40000165280W x x=--+，由于40000161600x x +=≥，当且仅当4000016x x=，即5010x =>时取等号，所以此时W 的最大值为3680，综合①②知，当50x =时，W 取得最大值为3680万元．18. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x xx -+=（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -= ②22cosh 2cosh sinh x x x =+（2）请证明双曲正弦函数sinh x 在R 上是增函数；（3）求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据双曲正弦、余弦函数的定义，利用指数的运算化简，即可得证；（2）运用单调函数的定义结合指数函数的单调性进行证明即可；（3）利用整体思想，通过换元的方法转化为二次函数，分析二次函数的单调情况求得值域.【小问1详解】（1）若选择①：由题意e e sinh 2x x x --=，e e cosh 2x xx -+=，则()()22222222e e e e e e 2e e 24cosh sinh 12244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++-+--=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若选择②：()()22222222e e e e e e 2e e 2cosh sinh 224x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++++-+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22e e cosh 22x x x -+==.【小问2详解】（2）（1）证明：12,x x ∀∈R ，且12x x <1211221212e e e ee ee e sinh sinh 22211x x x x x x x x x x -----∴=⎛⎫---=-⎪⎝⎭()21121212121e e e e 1e e ee e e 22x x x x x x x x x x ⎛⎫--+-- ⎪⋅⎝⎭⋅==∵12x x <，∴12e e 0x x -<，12110e ex x +>，∴12sinh sinh 0x x -<，即12sinh sinh x x <所以sinh x 在R 上是增函数．【小问3详解】（3）法一：由（1）知，22cosh sinh 1x x -=，则222cosh sinh cosh 2cosh 1cosh x x x x x ++=-+，令cosh t x =，则e e 12x x t -+=≥=，当且仅当0x =时取等，令()()222cosh sinh cosh 21f x x x x g t t t =++==-+，又函数()g t 在[)1,+∞上单调递增，故g(t)≥g （1）=2，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞；法二：，22cosh 2cosh 2x x e e x x -++=+2xxee -+ ，令e e 2x x t -=+≥，则222222e e 2e e 2x x x x t t --=++⇒+=-，令()()cosh 2cosh f x x x g t =+=，则()()22111922224g t t t t ⎡⎤⎛⎫=-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()g t 在[)2,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞．19. 已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．（1）试判断函数2xy =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；（2）若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；（3）若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0-∞上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0-∞上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．【答案】（1）函数2xy =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ” （2）证明见解析 （3）命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【解析】【分析】（1）利用作差法结合“性质A ”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A ”的定义结合不等式()102f f ⎛⎫>⎪⎝⎭可推导出()1102f n f n ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，()102f n f n ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取()2g x x =-可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，根据“性质A ”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得()()12g x g x >，即可证得结论成立.【小问1详解】解：函数2xy =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”，理由如下：设()2xp x =，()2q x x =-，对任意的0t >，()()()()222222222x tx t x x t t p x t p x t p x +--++--=+-⋅=+-()220x >⨯-=，所以，()()()2p x t p x t p x ++-<，所以，函数2xy =不具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()()()22222220q x t q x t q x x x t x t t ++--=-+--=<，所以，()()()2q x t q x t q x ++->，所以，函数2y x =-具有“性质A ”.【小问2详解】证明：因为函数()y f x =具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()2f x t f x t f x ++->，所以，()()()()f x f x t f x t f x -->+-，又因为()102f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，所以，()()()1130011222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1111222f n f n f n f n f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->+->+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()1021102f n f n f n f n ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，由不等式的可加性可得()()10f n f n +-<，故对任意的N ∈n ，()()1f n f n +<.【小问3详解】解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数()2g x x =-，由（1）可知，函数()g x 具有“性质A ”，函数()2g x x =-在区间(),0-∞上是严格增函数，但该函数在R 上不单调；对于命题②，对任意的0t >，对任意的x ∈R ，()()()2g x t g x t g x ++->，所以，()()()()g x t g x g x g x t -->-+，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，必存在1k ≥且N k ∈，满足()2201x kt x k t >->-+，因为函数()y g x =在区间(),0-∞上是严格减函数，所以，()()()221g x kt g x k t -<-+，即()()()2210g x kt g x k t ---+<，所以，()()()()()()()()222222011g x k t g x kt g x kt g x k t g x t g x <-+--<----<<-- ，故()()()()22120g x t g x g x g x <--=-，即()()12g x g x >，故函数()y g x =在R 上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
广东省广州市第六中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
广东省广州市第六中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}13U x x =∈-≤≤Z ，{1,0,2,3}M =-，{0,1,2,3}Q =，则()U M Q ⋂=ð（）A ．{1,0,1}-B ．{0,2,3}C ．{}1-D ．{1,1}-2．不等式3112x x-≥-的解集为（）A ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．13x x ⎧≤⎨⎩或>2C ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D ．34x x ⎧≤⎨⎩或>23．已知()2:,20240,:3,31p x x q x x ∀∈+>∃<-+=R ，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p 和q ⌝都是真命题C ．p ⌝和q 都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题4．幂函数()23f x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．已知函数()()22110x f x x x--=≠，则()f x =（）A ．211(0)(1)x x -≠-B ．211(1)(1)x x -≠-C ．241(0)(1)x x -≠-D ．241(1)(1)x x -≠-6．若2ab a >，且(),0,1a b ∈，则下列不等式一定正确的是（）A ．11b b a<-B ．2ab b >C ．1ab a b+<+D ．11a b<7．已知函数()22,132,1x x f x x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，若(())2f f a =，则实数a 的值不可能为（）.A ．1-B ．0C ．1D ．28．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时()21f x x =-，则当[]2,3x ∈时（）A ．()f x 单调递减，且7839f ⎛⎫-=⎪⎝⎭B ．()f x 单调递增，且7839f ⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．()f x 单调递减，且7139f ⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．()f x 单调递增，且7139f ⎛⎫-=⎪⎝⎭二、多选题9．下面命题正确的是（）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B ．命题“任意1x <，则21x <”的否定是“存在1x <，则21x ≥”.C ．设R x y ∈，，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D ．设R a b ∈，，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件10．已知函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则（）A ．20a b +>B ．0abc <C ．关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为1x x m ⎧<⎨⎩或1x n ⎫>⎬⎭D ．20n mm n++≤11．已知函数()()R f x x ∈满足当0x >时，()1f x >，且对任意实数12,x x 满足()()()1212f x x f x f x +=，当12x x ≠时，()()12f x f x ≠，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在R 上单调递增B ．()00f =或1C ．函数()f x 为非奇非偶函数D ．对任意实数12,x x 满足()()1212122x x f x f x f +⎛⎫+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭三、填空题12．设集合{}22,3,1M a +＝，{}2,1N a a a ++＝，且{}2M N ⋂＝，则a 值是．13．已知函数()321bxf x ax x =++且()13f -=，则()1f =.14．已知0x >，0y >，1x y +=，则1112x y +++的取值范围为.四、解答题15．已知函数()f x =M ，函数42()21g x x x =--的值域为N .(1)求M N ⋃；(2)设集合{|3}A x m x m =-<<，若A M ⊆，求m 的取值范围.16．已知函数2()3xf x x =-+，(x ∈(1)请判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；(2)解关于t 的不等式(2)(34)0f t f t -+-≤.17．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本()V x （单位：万元），已知当05x <≤时，()125V x =；当520x <≤时，()240100V x x x =+-；当20x >时，()160081600V x x x=+-，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为()P x （单位：万元），试求出()P x 的函数解析式.(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.18．设函数()23f x x ax a =++-.(1)对[]2,1x ∀∈-，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.(2)解不等式()()210f x a x a +-+>.19．取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数()f x ，在其定义域内存在一点0x ，使得()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个“不动点”．若()()00f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”．将函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即，(){}()(){},A x f x x B x f f x x ====．已知函数2()(1)f x mx m x n =-++．(1)当1,2m n ==时，求函数()f x 的不动点；(2)若对于任意1,04n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数m 的取值范围；(3)若1m =时，且A B =≠∅，求实数n 的取值范围．。
2023-2024学年广东省广州市白云中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2} D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题正确的是（ ） A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝26．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√27．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥328．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3B ．16的4次方根是±2C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a 在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 ．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ ．15．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−1√2)−6= ． 16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？22．（12分）已知函数f （x ）＝ka x （k 为常数，a ＞0且a ≠1）的图象过点A （0，1）和点B （2，16）． （1）求函数的解析式； （2）g （x ）＝b +1f(x)+1是奇函数，求常数b 的值；（3）对任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，试比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小． 2023-2024学年广东省广州市白云中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，集合B ＝{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ≤3} B ．A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2} C ．A ∩B ＝{x |1≤x ＜2}D ．A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}解：∵A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜3}，A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：D ． 2．函数f （x ）=√2x−1x 2−1的定义域为（ ）A ．{x|x ≥12}B ．{x |x ＞1}C ．{x |12≤x ＜1或x ＞1}D ．{x |﹣1≤x ≤12或x ＞1}解：由题意得：{2x −1≥0x 2−1≠0，解得：x ≥12且x ≠1，故函数的定义域是{x |12≤x ＜1或x ＞1}．故选：C ．3．已知函数f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，若f （f （0））＝﹣2，实数a ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为f(x)={x 3+1，x ＜1x 2−ax ，x ≥1，所以f （0）＝03+1＝1，所以f （f （0））＝f （1）＝1﹣a ＝﹣2，解得a ＝3． 故选：C ．4．下列命题正确的是（ ）A ．函数y ＝x 2在R 上是增函数B ．函数y =1x在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是减函数C ．函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同D ．函数y =1x 和函数y =x +1x的单调性相同解：对于A ：y ＝x 2定义域为R ，由二次函数y ＝x 2的图像可知，y ＝x 2在（0，+∞）是增函数，在（﹣∞，0）是减函数，故A 错误；对于B ：由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，但在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故B 错误；对于C ：y ＝x 2在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，y ＝|x |，当x ≥0时，y ＝x ，易知为增函数，当x ＜0时，y ＝﹣x ，易知为减函数，所以函数y ＝x 2和函数y ＝|x |的单调性相同，故C 正确；对于D ：y =1x 定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），由反比例函数y =1x 的图像可知，y =1x在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是减函数，设y =f(x)=x +1x定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），取0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+1x 1−x 2−1x 2=(x 1−x 2)+x 2−x 1x 1x 2=(x 1−x 2)⋅x 1x 2−1x 1x 2， 当0＜x 1＜x 2＜1时，f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x ）在（0，1）上单调递减， 当1＜x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x ）在（1，+∞）上单调递增，同理可证，f （x ）在（﹣1，0）上单调递减，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，故D 错误． 故选：C ．5．下列函数是奇函数的是（ ） A ．y =−1xB ．y ＝x 2C ．y =√xD ．y ＝2解：A ．y =−1x是奇函数，满足条件．B ．y ＝x 2是偶函数，不满足条件．C ．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，不满足条件．D ．y ＝2为偶函数，不满足条件． 故选：A ．6．设实数x 满足x ＞1，则函数y =2x +3+1x−1的最小值是（ ） A ．1−2√2B ．5+2√2C ．1+2√2D ．5−2√2解：因为x ＞1，所以x ﹣1＞0，所以y =2x +3+1x−1=2(x −1)+1x−1+5=2(x −1)+1x−1+5≥2√2(x −1)⋅1x−1+5=5+2√2， 当且仅当2(x −1)=1x−1，即x =1+√22时，等号成立． 故选：B ．7．若∀x ∈R ，ax 2﹣3x +a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤32B ．−32＜a ≤32C ．a ≥32D ．a ＜0或a ≥32解：当a ＝0时，不等式化为：﹣3x ≥0，不等式不恒成立，所以a ＝0不符题意， 当a ≠0时，要使不等式恒成立，只需{a ＞0Δ=9−4a 2≤0，解得a ≥32，综上，实数a 的范围为a ≥32．故选：C ．8．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a 满足f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．（﹣∞，2]解：由f （a •2x ）﹣f （4x +1）≤0，得f （a •2x ）≤f （4x +1）， 因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （a •2x ）≤f （4x +1）可化为f （|a •2x |）≤f （|4x +1|）， 因为f （x ）在区间[0，+∞）单调递增， 所以|a •2x |≤|4x +1|，所以|a |2x ≤4x +1， 所以|a|≤2x +12x ， 因为2x +12x ≥2√2x ⋅12x =2，当且仅当2x =12x ，即x ＝0时取等号， 所以|a |≤2，解得﹣2≤a ≤2， 即a 的取值范围是[﹣2，2]． 故选：A ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的不得分） 9．下列说法中正确的是（ ） A ．√−273=3 B ．16的4次方根是±2 C ．√814=±3D ．√(x +y)2=|x +y|解：负数的3次方根是一个负数，√−273=√(−3)33=−3，故A 错误；16的4次方根有两个，为±2，故B 正确；√814=√344=|3|=3，故C 错误；√(x +y)2是非负数，所以√(x +y)2=|x +y|，故D 正确． 故选：BD ．10．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ） A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件 B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件D ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件解：∵中“a ＝b ”⇒“ac ＝bc ”为真命题， 但当c ＝0时，“ac ＝bc ”⇒“a ＝b ”为假命题，故“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充分不必要条件，故A 为假命题； ∵中“a +5是无理数”⇒“a 是无理数”为真命题， “a 是无理数”⇒“a +5是无理数”也为真命题，故“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故B 为真命题； ∵中“a ＞b ”⇒“a 2＞b 2”为假命题， “a 2＞b 2”⇒“a ＞b ”也为假命题，故“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的即充分也不必要条件，故C 为假命题；∵中{a |a ＜5}⊉{a |a ＜3}，故“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件，故D 为真命题． 故选：BD ．11．实数a ，b ，c ，d 满足：a ＞b ＞0＞c ＞d ，则下列不等式正确的是（ ） A ．c 2＜cdB ．a ﹣c ＜b ﹣dC ．ad ＜bcD ．c a ＞db解：因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以c 2＜cd ，故A 正确；令a ＝2、b ＝1、c ＝﹣1、d ＝﹣2，满足a ＞b ＞0＞c ＞d ，此时a ﹣c ＝b ﹣d ，故B 错误； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，所以ad ＜bd ，bd ＜bc ，所以ad ＜bc ，故C 正确； 因为a ＞b ＞0＞c ＞d ，则c a −d b =cb−adab ，因为cb ﹣ad ＞0，ab ＞0，所以c a −d b =cb−ad ab ＞0，即c a ＞db，故D 正确．故选：ACD ．12．下列命题中正确的是（ ） A ．若幂函数f （x ）的图像过点A(3，127)，则f （x ）＝x ﹣3B ．若函数f(x)={x ，x ＜ax 2，x ≥a在R 上单调递增，则a 的取值范围是[1，+∞）C ．已知x ＞0，y ＞0，且1x +3y=1，则x +2y 的最小值为7+2√6D ．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ），则f （x ）的解析式为f(x)={−x 2−x ，x ≤0x 2+x ，x ＞0解：设幂函数f （x ）＝x α，由图像过点A(3，127)可得3α=127可得α＝﹣3，即f （x ）＝x ﹣3，A 正确； 若函数f(x)={x ，x ＜a x 2，x ≥a在R 上单调递增，则{a ≥0a ≤a 2，解得a ≥1或a ＝0，B 错误；若x ＞0，y ＞0，且1x +3y =1，则x +2y ＝（x +2y ）（1x +3y）＝7+2y x +3x y ≥7+2√2y x ⋅3xy =7+2√6，当且仅当2y x =3x y 且1x +3y=1，即x ＝1+√6，y ＝3+√62时取等号，C 正确；因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，f （x ）＝﹣x （1+x ）， 当x ＞0时，﹣x ＜0，f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）（1﹣x ）＝x （1﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）＝x （x ﹣1），又f （0）＝0，D 错误． 故选：AC ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷指定位置） 13．写出命题“矩形的对角线相等”的否定 存在一个矩形的对角线不相等 ．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“矩形的对角线相等”的否定：存在一个矩形的对角线不相等．故答案为：存在一个矩形的对角线不相等．14．若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a ＝ 4 ．解：由x−a x+1≥0，得（x ﹣a ）（x +1≥0，故﹣1，4是方程（x ﹣a ）（x +1）＝0的根，故a ＝4，故答案为：415．计算√(−6)33−(12)0+0.2512×(−12)−6= ﹣3 ．解：√(−6)33−(12)0+0.2512×(2)−6=−6﹣1+12×8=−3． 故答案为：﹣3．16．已知函数f(x)={−2x +1，x ＜0−x 2+2x +1，x ≥0，则f （x ）的单调递增区间为 （0，1） ．解：当x ＜0时，f （x ）＝﹣2x +1单调递减；当x ≥0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +1＝﹣（x ﹣1）2+2，在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；故答案为：（0，1）．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知全集U ＝{x ∈N |1≤x ≤6}，集合A ＝{x |x 2﹣6x +8＝0}，B ＝{3，4，5，6}． （1）求A ∪B ，A ∩B ；（2）求（∁U A ）∩B ，并写出它的所有子集．解：（1）由题设U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4，5，6}， 所以A ∪B ＝{2，3，4，5，6}，A ∩B ＝{4}．（2）由（1）知：∁U A ＝{1，3，5，6}，则（∁U A ）∩B ＝{3，5，6}， 对应子集有∅，{3}，{5}，{6}，{3，5}，{3，6}，{5，6}，{3，5，6}． 18．（12分）已知函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）．（1）写出函数f （x ）图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间； （2）求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．解：（1）函数f （x ）＝（x ﹣2）（x +4）＝x 2+2x ﹣8＝（x +1）2﹣9， 所以函数f （x ）的对称轴方程为x ＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣9）， 单调递递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）；（2）由（1）可知当x ＝﹣1时，函数的最小值为f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣9， 又f （﹣2）＝﹣8，f （2）＝0，所以函数的最大值为f （x ）max ＝0． 19．（12分）已知函数f （x ）＝|x ﹣1|﹣2． （1）用分段函数的形式表示f （x ）； （2）画出f （x ）的图象； （3）写出函数f （x ）的值域．解：（1）f （x ）＝|x ﹣1|﹣2={−x −1，x ≤1x −3，x ＞1；（2）f （x ）的图象如图：（3）由图可知，f （x ）的值域为[﹣2，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=x +mx，且f （1）＝5． （1）判断函数f （x ）在（2，+∞）上是单调递增还是单调递减？并证明； （2）求f （x ）在[52，103]上的值域．解：（1）单调递增，由题意证明如下， 函数f(x)=x +m x ，且f （1）＝5，有1+m1=5，解得m ＝4， 所以f （x ）的解析式为：f(x)=x +4x．设∀x 1，x 2∈（2，+∞），且x 1＜x 2，有f(x 1)−f(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2． 由x 1，x 2∈（2，+∞），x 1＜x 2，得x 1x 2﹣4＞0，x 1﹣x 2＜0，则(x 1−x 2)(x 1x 2−1)x 1x 2＜0，即f （x 1）＜f （x 2）．所以f （x ）在区间（2，+∞）上单调递增． （2）由（1）知f （x ）在[52，103]上是增函数，所以f （x ）在区间[52，103]上的最小值为f(52)=52+452=4110，最大值为f(103)=103+4103=6815，所以f （x ）在[52，103]上的值域为[4110，6815]．21．（12分）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）．（1）分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元，由题设f（x）＝k1x，g(x)=k2√x，由图知f（2）＝1，即2k1＝1，解得k1=1 2，又g（4）＝4，即2k2＝4，解得k2＝2．从而f(x)=12x(x≥0)，g(x)=2√x(x≥0)．（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元，则y=f(x)+g(10−x)=12x+2√10−x(0≤x≤10)，令t=√10−x，则y=−12(t−2)2+7(0≤t≤√10)，当t＝2时，y max＝7，此时x＝6．所以A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元．22．（12分）已知函数f（x）＝ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1）和点B（2，16）．（1）求函数的解析式；（2）g（x）＝b+1f(x)+1是奇函数，求常数b的值；（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较f(x1+x22)与f(x1)+f(x2)2的大小．解：（1）将A（0，1）和点B（2，16）代入f（x）得：{k=1k⋅a2=16，解得：{k=1a=4，故f（x）＝4x；（2）由（1）g（x）＝b+14x+1，若g（x）是奇函数，则g（﹣x）＝b+14−x+1=b+4x4x+1=−b−14x+1，解得：b=−12；（3）∵f（x）的图象是凹函数，∴f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，证明如下：f(x1+x22)=4x1+x22，f(x1)+f(x2)2=4x1+4x22≥2√4x1+x22=4x1+x22，故f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2．。
2024—2025学年广东省广州市第一中学高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年广东省广州市第一中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则的真子集个数为（）A． 1B． 2C． 3D． 4(★★) 2. 已知，，为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. ，，，则下列正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 4. 若对于任意实数都有, 则A． 3B． 4C．D．(★★★) 5. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为（）A．B．C．D．(★★) 6. 函数的图象大致是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 若函数是上的单调函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 若，则下列不等式中正确的为（）A．B．C．D．(★★★) 10. 下列选项正确的是（）A．若，则的最小值是B．若，则的最大值为C．已知，，，则的取值范围是D．已知，，，则的最小值为(★★★) 11. 已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（）A．，都有B．当时，C．是减函数D．若，则不等式的解集为三、填空题(★★) 12. 已知函数，则 __________ .(★) 13. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______ ．(★★★★) 14. 若对任意的，都存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ___________ ．四、解答题(★★) 15. 已知非空集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．(★★★) 16. 已知函数是上的奇函数，且(1)求；(2)用定义证明函数在上为增函数；(3)若，求实数的取值范围．(★★★) 17. 已知定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数在上的解析式；(2)画出函数的图象；(3)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．(★★★) 18. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．(★★★★) 19. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值.。
广东省高一上学期期中数学试题(解析版)
数学本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3. 第Ⅱ卷用黑笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）1. 命题“，”的否定是（ ）x ∀∈R 220x x -≥A. ，B. ， x ∀∉R 220x x -≥x ∀∉R 220x x -<C. ，D. ， x ∃∈R 220x x -≥x ∃∈R 220x x -<【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即得.“”改成量词“”，再将结论否定， ∀∃所以该命题的否定是“，”.x ∃∈R 220x x -<故选：D.2. 已知全集，集合，集合，则（ ）{}1,2,3,4,5U ={}1,3,4A ={}1,5B =()U A B = ðA.B. C. D. {}1,4{}1,3{}3,4{}1,3,4【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义求解即可.【详解】由题意，得，所以{}2,3,4U B =ð(){}3,4U A B = ð故选：C3. 下列函数在定义域内单调递减的是（ ）A. B. C. D.12y x =12y x -=1y x -=2y x -=【答案】B【解析】【分析】分别讨论选项中函数的单调性，选取符合题意的选项.【详解】由幂函数单调性可知，函数在定义域内单调递增，不满足题意；12y x =[)0,∞+函数在定义域内单调递减，满足题意； 12y x -=()0,∞+函数在，上均是减函数，但在整个定义域上不是减函数，不满足题意； 1y x -=(),0∞-()0,∞+函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.2y x -=(),0∞-()0,∞+故选：B4. 已知函数，则“”是“”的（ ） ()1,02,0x x f x x x+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩02x =-()01f x =-A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义结合分段函数的性质即得.【详解】由，即“”“”，()2211f -=-+=-02x =-⇒()01f x =-由，可知当时，可得，解得；()01f x =-00x ≤011x +=-02x =-当时，可得，可得， 00x >021x -=-02x =即“”“”；()01f x =-¿02x =-所以“”是“”的充分不必要条件.02x =-()01f x =-故选：A.5. 如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A.B. C. D. 3y x =2y x =y x =58y x =【答案】D【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案.【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故y x α=[)0,∞+，故D 选项符合要求.()0,1α∈故选：D6. 函数 ） ()f x =A. (1，+∞)B. [1，+∞)C. [1，2)D. [1，2)∪(2，+∞)【答案】D【解析】【分析】求出使函数式有意义的自变量的范围即可. 【详解】由题意，解得且． 1020x x -≥⎧⎨-≠⎩1x ≥2x ≠故选：D ．7. 已知函数是幂函数，一次函数的图像过点，则()212m y m x n =-+-()0,0y kx b k b =+>>(),m n 的最小值是（ ） 41k b+A. 3B. C. D. 592143【答案】B【解析】【分析】根据幂函数定义，求出点，代入一次函数中，得到，再利用基本不等式求(),m n 2k b +=41k b+的最小值.【详解】由是幂函数，可得，，即，， ()212m y m x n =-+-211m -=20n -=1m =2n =又由点在一次函数的图像上，所以，()1,2y kx b =+2k b +=因为，，所以由基本不等式，得 0k >0b >， ()411412k b k b k b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭145495222b k k b +⎛⎫=++≥= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，即当，时，， 2k b =43k =23b =min 4192k b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：B.8. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）2()(2)23f x ax a b x a =++-+()()22,00,3a a -⋃-=a A.B. C. 1 D. 22-1-【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质可知定义域关于原点对称，由此列出方程，求得答案.，解得,3220a a -+-=2a =-而当时，函数是上的偶函数， 2,1a b =-=()227f x x =-+()()6,00,6-⋃所以.2a =-故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ）()0,∞+A. B.()3f x x =()2022f x x=-C. D. ()f x =()1f x x=【答案】BD【解析】 【分析】根据奇函数和减函数的特性，结合选项判定即可.【详解】选项A ：是奇函数，但在上是增函数，排除A ； ()3f x x =()0,∞+选项B ：是奇函数，在上为减函数，符合题意；()2022f x x =-()0,∞+选项C ：定义域为，是非奇非偶函数，在上为增函数，排除C ； ()f x =0x ≥()0,∞+选项D ：是奇函数，在上为减函数，符合题意； ()1f x x =()0,∞+故选：BD10. 对于实数a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则 a b >ac bc <22ac bc >a b >C. 若，则的最小值为2D. 若，则 0a b >>b a a b +0c a b >>>11c a c b>--【答案】BD【解析】【分析】根据不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质成立的条件.对A ：考查可乘性，要判断的符号； c 对B ：考查可乘性，显然，故B 正确；20c >对C ：根据基本不等式成立的条件判断；对D ：由已知变换出的大小. 11c a c b --与【详解】对A ：若时，则不等式不成立，所以A 错；0c ≥对B ：由，则，两边同乘以，所以，故B 正确； 22ac bc >20c >21c a b >对C ：因为，所以，当且仅当即时取等号，但，故取不0a b >>2b a a b +≥=b a a b =a b =a b >到最小值2．故C 不正确；对D ：由，所以，所以，故D 正确； 0c a b >>>0c a c b <-<-110c a c b >>--故选：BD.11. 以下化简结果正确的是（字母均为正数）（ ）A.B.21()x =-13y =C. D. 2132x y-=13x -=【答案】BC【解析】【分析】根据分数指数幂和根式化简，再结合根号下大于等于零，逐一判断即可得出结论.【详解】对于A ，，故A 错误；12(0)x x =->对于B，故B 正确；()11236(0)y y y ==>对于C ，，故C 正确；()2231321210,0)y x y x y x -==>>对于D ，，故D错误. 131310)xx x -==>故选：BC 12. 函数是定义在R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ）()f x A.()00f =B. 若在上有最小值，则在上有最大值1()f x [0,)+∞1-()f x (,0]-∞C. 若在上为增函数，则在上为减函数()f x [1,)+∞()f x (,1]-∞-D. 若时，，则时， 0x >()22f x x x =-0x <()22f x x x =--【答案】ABD【解析】【分析】根据奇函数的定义并取特值即可判定；利用奇函数的定义和最值得定义可以求得0x =A ()f x 在上有最大值，进而判定；利用奇函数的单调性性质判定；利用奇函数的定义根据时(,0]-∞B C 0x >的解析式求得时的解析式，进而判定．0x <D 【详解】由得，故正确；(0)(0)f f =-(0)0f =A 当时，，且存在使得，0x ≥()1f x ≥-00x ≥()01f x =-则时，，，且当有,0x ≤()1f x -≥-()()1f x f x =--≤0x x =-()01f x -=∴在上有最大值为1，故正确；()f x (,0]-∞B 若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函()f x [1,)+∞()f x (,1]-∞-数，故错误；C 若时，，则时，，0x >()22f x x x =-0x <0x ->22()()()2()2f x f x x x x x ⎡⎤=--=---⨯-=--⎣⎦，故正确．D 故选：．ABD 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数为上的奇函数，且当时，，则___________. ()f x R 0x >()32f x x =-()1f -=【答案】1【解析】【分析】利用奇函数的定义即可求解.【详解】由于函数为上的奇函数，()f x R 所以.()()()21111f f -=-=--=故答案为：1.14. 当时，的最小值为______． 1x >41x x +-【答案】5【解析】【分析】将所求代数式变形为，利用基本不等式即可求解. 441111x x x x +=-++--【详解】解：因为，所以，1x >10x ->所以， 44111511x x x x +=-++≥+=--当且仅当，即时等号成立， 411x x -=-3x =所以的最小值为. 41x x +-5故答案为：.515. 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m （件）与售价x （元/件）之间的关系满足一次函数：.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为1623m x =-______元/件.【答案】42【分析】先建立二次函数，再利用配方法求出取得最大值时的销售定价．y x 【详解】设每天获得的销售利润为y 元，则，， 2(30)(1623)3(42)432y x x x =-⋅-=--+3054x <<所以当时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.42x =故答案为：4216. 若函数，满足，且，则()f x ()g x 14()22f x f x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()6f x g x x +=+(1)(1)f g +-=________．【答案】9【解析】【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用代入求出.()f x (1)f (1)f -(1)f -(1)g -【详解】由，可知，联立可得，所以14()22f x f x x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()1()242f f x x x x -=-()2f x x =，又因为，所以，所以(1)2f =(1)2f -=-(1)(1)165f g -+-=-+=(1)527g -=+=.(1)(1)9f g +-=故答案为：9【点睛】求函数解析式常用方法：（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），可用待定系数法；（2）换元法：已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(())f g x （3）方程法：已知关于与与的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方()f x 1f x ⎛⎫⎪⎝⎭()f x -程组，通过解方程组求出． ()f x 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （1）解关于x 的不等式（结果用集合或区间表示）；2560x x -+-≤（2）化简：312a -⎛ ⎝【答案】（1）；（2） {}23x x x ≤≥或1a【分析】(1)化简不等式，根据一元二次不等式的解法求其解；(2)根据分数指数幂的定义和指数幂的运算公式求其解.【详解】（1）不等式可化为， 2560x x -+-≤2560x x -+≥即，()()230x x --≥因为方程的解为或，()()230x x --=2x =3x =作函数的图象如下，()()23y x x =--观察可得不等式的解集为， ()()23x x --≥{}23x x x ≤≥或所以原不等式的解集为； {}23x x x ≤≥或（2）312a -⎛ ⎝()321141322a b b a ---⎛⎫=⋅÷ ⎪⎝⎭ 312222a b b a ----⎛⎫=÷ ⎪⎝⎭ 11a a-==18. 已知集合，非空集合. 412P x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭{}11S x m x m =-≤≤+（1）当时，求；2m =P S U （2）若，求实数m 的取值范围.S P ⊆【答案】（1）{}23P S x x ⋃=-<≤（2）[]0,1【解析】 【分析】（1）先求解集合中不等式，再结合并集运算求解即可；P （2）由集合非空求的范围，再由，列出不等式组，求解即可.S m S P ⊆【小问1详解】 由，可得， 412x ≥+202x x -≥+即， ()()22020x x x ⎧+-≤⎨+≠⎩所以.{}22P x x =-<≤又当时，，2m ={}13S x x =-≤≤所以.{}23P S x x ⋃=-<≤【小问2详解】因为为非空集合，{}11S x m x m =-≤≤+所以，所以，11m m -≤+0m ≥因为，S P ⊆又， {}22P x x =-<≤所以，所以，01212m m m ≥⎧⎪->-⎨⎪+≤⎩01m ≤≤即所求m 的取值范围是.[]0,119. 已知二次函数为奇函数，且在时的图象如图所示.()f x 0x ≥（1）请补全函数的图象；()f x （2）求函数的表达式()f x （3）写出函数的单调区间.()f x 【答案】（1）图象见解析（2） ()()()2211,011,0x x f x x x ⎧--⎪=⎨-++<⎪⎩…（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇函数图象关于原点对称，补全函数的图象；()f x （2）利用待定系数法，分两种情况求函数的解析式，得到分段函数的解析式；0,0x x ≥<()f x （3）根据图象及二次函数的对称轴，即可写出的递增区间及递减区间．()f x 【小问1详解】由奇函数的图象关于原点对称，可得函数位于轴左侧的部分，如图所示： y 【小问2详解】当时，设，又，得，即；0x …()()211f x a x =--(0)0f =1a =()()211f x x =--当时，，则， 0x <0x ->()()()()221111f x f x x x ⎡⎤=--=----=-++⎣⎦所以； ()()()2211,011,0x x f x x x ⎧--⎪=⎨-++<⎪⎩…【小问3详解】根据函数的图象可知：函数的单调递增区间是：，，，；()f x (-∞1]-[1)∞+函数的单调递减区间是：，．()f x [1-1]20. 已知函数. 21()x f x x+=（1）判断奇偶性；()f x （2）当时，判断的单调性并证明；()1,x ∈+∞()f x 【答案】（1）奇函数（2）函数是上的单调增函数，证明见解析()f x ()1,+∞【解析】【分析】（1）根据函数解析式得出，即可根据函数奇偶性的定义得出答案； ()()f x f x -=-（2）函数是上的单调增函数，根据函数单调性的定义，任取、且，()f x ()1,+∞1x ()21,x ∈+∞12x x <得出，即可证明.()()12f x f x <【小问1详解】函数的定义域为， ()f x ()(),00,∞-+∞U 因为， 22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--所以函数是奇函数；()f x 【小问2详解】函数是上的单调增函数，()f x ()1,+∞证：任取、且，1x ()21,x ∈+∞12x x <则 ()()22221212212112121211x x x x x x x x f x f x x x x x +++---=-=， ()()()()121212121212121x x x x x x x x x x x x x x -----==因为，所以，，，211x x >>120x x -<120x x >1210x x ->所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以函数是上的单调增函数.()f x ()1,+∞21. 某工厂的固定成本为4万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品（百x 台），其总成本为g 万元（总成本=固定成本+生产成本），并且销售收入满足()x ，假设该产品产销平衡，（利润=收入－成本），根据上述统计数据规()20.5710.5,0713.5,7x x x r x x ⎧-+-<≤=⎨>⎩律求：（1）求利润f (x )的表达式；（2）工厂生产多少台产品时盈利最大？最大利润是多少？【答案】（1）； ()20.5614.5,079.5,7x x x f x x x ⎧-+-<≤=⎨-+>⎩（2）工程生产600台产品时盈利最大，最大利润是3.5万元.【解析】【分析】（1）利用利润=收入－成本即得；（2）分段求函数的最值即得.【小问1详解】由题可知总成本，()4g x x =+∴利润； ()()()20.5614.5,079.5,7x x x f x r x g x x x ⎧-+-<≤=-=⎨-+>⎩【小问2详解】当时， 07x <≤()()220.5614.50.56 3.5f x x x x =-+-=--+∴当时，，6x =()max 3.5f x =当时，7x >()79.5 2.5f x <-+=∴工程生产600台产品时盈利最大，最大利润是3.5万元． 22. 已知幂函数的图像关于y 轴对称． ()()22317m f x m m x -=--（1）求的解析式；()f x （2）求函数在上的值域． ()()2243g x f x x =-+[]1,2-【答案】（1）()4f x x =（2） 11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m 的值即可；(2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.()g x 【小问1详解】因为是幂函数， ()()22317m f x m m x -=--所以，解得或． 23171m m --=6m =3m =-又的图像关于y 轴对称，所以， ()f x 6m =故． ()4f x x =【小问2详解】由（1）可知，． ()()2242222111164316431684g x x x x x x ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以， []1,2x ∈-[]20,4x ∈又函数在上单调递减，在上单调递增， 21111684y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1(,8-∞1(,)8+∞所以． 221111116,243844x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故在上的值域为． ()g x []1,2-11,2434⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
广东省广州市玉岩中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题
试卷第 1页，共 4页
f
3 0 ，且对 x1, x2
0 都有
f
x1 f x2
x1 x2
0 ，则关于
a
的不等式
f
a2 2a 3
4 3
的解集为（ ）
A． ,1 5 1 5,
C． 1 5,1 5
B． 1 5, 1 3,1 5
D． 1 5, 1 3,1 5
二、多选题
(2)若命题“ x A ， x B ”是真命题，求实数 a 的取值范围．
18．已知函数 f (x) mx 2 mx 1 ． (1)若 m 1 ，解不等式： f (x) 0 ；
2 (2)若 m R ，解关于 x 的不等式： f (x) (m 1)x2 2x 2m 1．
19．某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，
试卷第 2页，共 4页
f (1) f (0)
.
15．已知 x, y 都是正实数，且 x 2 y xy ，则 x＋y 的最小值为
．
四、双空题
16．对于区间a,ba b ，若函数 y f x 同时满足：① f x 在a,b 上是单调函数；
②函数 y f x ，x a,b 的值域是a,b ，则称区间a,b 为函数 f x 的“保值”区间．（1）
广东省广州市玉岩中学 2023-2024 学年高一上学期期中数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集U x N x 6 ，集合 A 1, 2,3, B 2, 4,5，则 ðU A B （ ）
(1)写出年利润 L x （万元）关于年产量 x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售
2024—2025学年广东省广州市执信中学高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年广东省广州市执信中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知集合是4与10的公倍数，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3. 已知，，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 函数的图象是下列的（）A．B．C．D．(★★★) 5. 设函数在区间单调递增，则a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且函数在定义域内单调递增，若对所有的均成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 若，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 已知且，则下列不等式恒成立的是（）A．的最小值为2B．的最小值为C．ab的最大值为 1D．的最大值为2(★★★) 10. 关于函数，下列结论中正确的是（）A．当时，是增函数B．当时，的值域为C．当时，是奇函数D．若的定义域为，则(★★★) 11. 设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，，已知函数，下列说法中正确的是（）A．B．在上的值域是C．在上是增函数D．三、填空题(★★) 12. 使式子有意义的的取值范围为 __________ .(★★★) 13. 已知命题，是真命题，则实数的取值范围为______ .(★★★) 14. 已知函数，①满足的实数的取值集合为 ______ ；（用列举法表示）②若，且，则的最小值为 ______ ．四、解答题(★) 15. 计算:(1)(2)(3) .(★★) 16. 记全集，集合, .(1)若，求;(2)若，求的取值范围;(3)若，求的取值范围.(★★★) 17. 已知函数是定义在上的奇函数.(1)求m的值;(2)根据函数单调性的定义证明在上单调递增；(3)若关于x的函数的图象与x轴有交点，求实数的取值范围. (★★★) 18. 某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所.如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的占地面积为100平方米的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米a元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元.(1)设长为x米，总造价为S元，求S关于x的函数表达式，并写出函数的定义域；(2)若市面上花坛造价每平方米225元，求总造价S的最小值，并求此时花坛的造价.(★★★)19. 非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，，若和中至少有一个属于，则称集合是“好集”；否则，称集合是“坏集”.(1)判断和是“好集”还是“坏集”，并简单说明理由；(2)题设的有限集合中，既有大于的元素，又有小于的元素，证明：集合是“坏集”；(3)非空有限集合由若干个正实数组成，集合的元素个数不少于个. 对于任意，，若和都属于，则称集合为“超级好集”，求出所有的“超级好集”.。
广东省广州市广东实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
广东省广州市广东实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．不等式260x x +-<的解集是（）A ．()6,1-B ．()1,6-C ．()2,3-D ．()3,2-2．设集合{|12}M x x =-≤<，{|0}N x x k =-≤，若M N φ≠ ，则k 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．(,2]-∞C ．(1,)-+∞D ．[1,2]-3．小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A ．小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B ．小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C ．小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D ．丙次购买葡萄的平均价格无法比较4．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则在R 上()f x 的表达式为A ．(2)x x --B ．(2)x x -C ．(2)x x -D ．(2)x x -5．已知函数()f x 为R 上的奇函数，()()1g x f x =+为偶函数，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线1x =-对称B ．()20230g =C ．()g x 的最小正周期为4D ．对任意的x ∈R 都有()()2=f x f x -6．已知命题:,1lg p x R x x ∃∈-≥，命题1:(0,),sin 2sin q x x xπ∀∈+>，则下列判断正确的是A ．p q ∨是假命题B ．p q ∧是真命题C ．()p q ∨⌝是假命题D ．()p q ∧⌝是真命题7．已知函数2(3)2,1()(1),1a x a x f x ax a x x -+<⎧=⎨++≥⎩在R 上是单调的函数，则实数a 的取值范围是（）.A ．1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．(]3,4C ．(]1,3,43⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ D ．(]1,3,43⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 8．设()()224f x x ax x R =-+∈，则关于x 的不等式()0f x <有解的一个必要不充分条件是（）A ．20a -<<B ．2a <-或2a >C ．4a >D ．2a ≥二、多选题9．下列函数中值域为[0,+∞）的是（）A ．y =B ．221y x x =-+C ．1y x=-D ．3y x =10．已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．11a b<B ．22ac bc >C ．b a a b<D ．22a ab b >>11．已知a ，b 都是正实数，且4a b +=.则下列不等式成立的有（）A ．4ab ≤B ．123a b+≥+C2≤D ．228a b +≥三、填空题12．定义在R 上的偶函数()f x 对任意的12,(,0]x x ∈-∞，且12x x ≠，都()()21210f x f x x x -<-，且(1)0f =，则不等式()03<+f x x 解集是．13．有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数”可推广为：“函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数”.据此，对于函数()3132g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，可以判定：（1）函数()3132g x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是；（2）123202020212022202320232023202320232023g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．四、解答题14．求下列不等式的解集：(1)22530x x -+<；(2)2230x x -+->；(3)112x x-≤-．15．已知函数22()1x f x x =+.(1)求1()(3)3f f +，1()(2)2f f +的值；(2)探索1()()(0)f x f x x+≠的值并给出理由；(3)利用（2）的结论求表达式：11()((1)(2)(2022)(2023)20232022f f f f f f +++++++ 的值.16．解下列不等式：(1)2111022x x +-≥；(2)()()234350x x ---+<；(3)31132x x +≤-.17．已知不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或>2.(1)求,a b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.18．（1）化简51212log 450317(0.027)21)579--⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2.）若函数()y f x =的定义域为[]11-，，求函数1144y f x f x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域。
高一数学-广东省广州市华南师大附中高一(上)期中数学试卷
2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52} 4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1 5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：= 50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（3分）函数f（x）=+1−1的定义域是（）A．R B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=+1−1中，令+1≥0≠0，解得≥−1≠0，所以函数f（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．故选：D．2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，∴∁U B＝{2，3，4，6}，则A∩（∁U B）＝{2，4，6}．故选：B．3．（3分）已知函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（）A．{﹣2}B．{−52，2}C．{﹣2，2}D．{−2，2，−52}【解答】解：根据题意，函数op=2+1，≤0，−2，＞0，若f（x0）＝5，当x0≤0时，则f（x0）＝（x0）2+1＝5，解可得x0＝±2，又由x0≤0，则x0＝﹣2，当x0＞0时，则f（x0）＝﹣2x0＝5，解可得x0=−52，综合可得：x0＝﹣2，则x0的取值集合是{﹣2}；故选：A．4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且op=+1(＞0)，则当x＜0时，f（x）＝（）A．−+1B．−−−1C．−+1D．−−1【解答】解：函数f（x）为R上奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），又op=+1(＞0)，则当x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（−+1）=−−−1．即x＜0时，f（x）=−−−1．故选：B．5．（3分）下列命题中为假命题的是（）A．∃x∈R，x2＜1B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合D．设全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A）【解答】解：A．∃x∈R，取x=12，则x2=14＜1，因此是真命题；B．由a＝b⇒a2＝b2，反之不成立，例如取a＝1，b＝﹣1，满足a2＝b2，但是a≠b，因此a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，因此是真命题；C．集合{（x，y）|y＝x2}表示点的集合，而集合{y|y＝x2}表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；D．全集为R，若A⊆B，则（∁R B）⊆（∁R A），是真命题．故选：C．6．（3分）函数y＝x+−2的值域是（）A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：函数的定义域为[2，+∞），又函数为单调增函数，当x＝2时，取得最小值为2．∴值域是[2，+∞）．故选：B．7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f （a）＞f（b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，故选：C．8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则2r3r（）A．有最大值176B．有最大值145C．有最小值176D．有最小值145【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即=2+r4，又a＞0，所以2r3r=3−r=3−2+r4=3−1r4+1≥3=3−15=145，当且仅当a=4，即a＝2，b＝8时等号成立，所以2r3r有最小值145，无最大值，故选：D．二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（）A．f（x）＝x2+1B．op=1C．f（x）＝2x D．f（x）＝|x|【解答】解：由f（x）＝x2+1为偶函数，故A不符题意；由f（x）=1为奇函数，故B符合题意；由f（x）＝2x为奇函数，故C符合题意；由f（x）＝|x|为偶函数，故D不符题意．故选：BC．（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（）A．＜＜B B．=B C．B＜＜r2D．=2B r 【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为+，则全程的平均速度=2+=2B r，D正确，又由b＞a＞0，由基本不等式可得B＜r2，则=2B r 2B=B，同时=2B r＜2(r2)2r=r2，−=2B r−=B−2r＞2−2r=0，v＞a，则＜＜B，A正确，故选：AD．（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝x a在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：对于A选项，函数y＝x a正确，可得出a＜0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x=−12＞0，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；对于选项C，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是C；对于选项D，函数y＝x a正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x=−12＜0，所给图象符合这一特征，故可能是D；故选：ACD．（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（）A．对于任意集合A，都有A∈P（A）B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）【解答】解：由P（A）的定义可知A正确，D正确，若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝{∅}，故C错误，若n（A）﹣n（B）＝1，即A中元素比B中元素多1个，则n（P（A））＝2n（P（B）），故B正确，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是（0，+∞）．【解答】解：根据二次函数的性质可知，f（x）＝3﹣x2的单调减区间[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．14．（3分）函数f（x）=2r2在区间[2，4]上的最小值为1．【解答】解：∵f（x）=2r2=2(r2)−4r2=2−4r2，∴函数f（x）在[2，4]上单调递增，则函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为f（2）=2×22+2=1．故答案为：1．15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是（2，6）．【解答】解：∵幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），∴32m+1＝33，∴m＝1，幂函数f（x）＝x3，显然f（x）是奇函数，且在R上单调递增．若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则不等式即f（k2+3）＜f（8k﹣9），∴k2+3＜8k﹣9，∴2＜k＜6，故答案为：（2，6）．16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：（1）写出函数op=13的一个共鸣区间[0，1]；（2）若函数op=2+1−存在共鸣区间，则实数k的取值范围是[1，2）．【解答】解：（1）∵op=13，∴f（0）＝0，f（1）＝1，且函数f（x）在[0，1]上单调递增，故函数op=13的一个共鸣区间为[0，1]；（2）函数op=2+1−在其定义域[﹣1，+∞）是单调递增，∵函数op=2+1−存在共鸣区间，∴2+1−k＝x在[﹣1，+∞）有两个不同的解，即（+1−1）2＝2﹣k在[﹣1，+∞）有两个不同的解，故+1=1+2−或+1=1−2−，故0＜2−≤1，故1≤k＜2；故答案为：（1）[0，1]，（2）[1，2）．四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．17．（8分）（1）化简(214)12−(−9.6)0−(338)13；（2）若12+−12=6，求x2+x﹣2的值．【解答】解：（1）原式=32−1−32=−1．（2）∵12+−12=6，∴(12+−12)2=x+2+x﹣1＝6，∴x+x﹣1＝4，∴（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝16，∴x2+x﹣2＝14．18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x|x＞a}，（1）当a＝2时，N＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，则M∩N＝{x|2＜x＜3}，M∪N＝{x|x＞﹣2}；（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M⫋N，则a≤﹣2．19．（8分）已知函数op=2+2．（1）求f（1），f（2）的值；（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；（3）若关于x的不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）函数op=2+2，所以f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5；（2）f（a）﹣f（b）=2+2−2−2=(+p(−p+2(Kp B=（a﹣b）（a+b−2B），因为a＞b＞1，则a﹣b＞0，a+b＞2，0＜2B＜2，所以+−2B＞0，则f（a）﹣f（b）＞0，所以f（a）＞f（b）；（3）因为f（x﹣1）=(−1)2+2K1，所以不等式o−1)≥2(−1)+2K1+恒成立，等价于(−1)2+2K1≥2(−1)+2K1+m恒成立，整理可得x2﹣4x+3﹣m≥0恒成立，所以Δ＝（﹣4）2﹣4（3﹣m）≤0，解得m≤﹣1，所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．（1）若f（x）是偶函数，求m的值；（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．【解答】解：（1）二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R），若f（x）是偶函数，可得f（x）的对称轴为y轴，即有2=0，解得m ＝0；（2）f （x ）的对称轴为x =2，当2≤−1，即m ≤﹣2时，f （x ）在[﹣1，1]上递增，可得g （m ）＝f （﹣1）＝2m ；当﹣1＜2＜1，即﹣2＜m ＜2时，f （x ）的最小值为g （m ）＝f （2）＝m ﹣1−24；当2≥1，即m ≥2时，f （x ）在[﹣1，1]上递减，可得g （m ）＝f （1）＝0．所以g （m ）=2，≤−2−1−24，−2＜＜20，≥2，当m ≤﹣2时，g （m ）≤﹣4；当﹣2＜m ＜2时，g （m ）=−(K2)24∈（﹣4，0）；当m ≥2时，g （m ）＝0．综上可得，g （m ）的最大值为0．21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）满足关系式：=50，0＜≤2060−140−，20＜≤120(∈p ．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．（1）若车流速度v 不小于40千米/小时，求车流密度x 的取值范围；（2）隧道内的车流量y （单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y ＝x ⋅v ，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．【解答】解：（1）由题意，当x ＝120（辆/千米）时，v ＝0（千米/小时），代入=60−140−，得0＝60−140−120，解得k ＝1200．∴=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x ≤20时，v ＝50≥40，符合题意；当20＜x ≤120时，令60−1200140−≥40，解得x ≤80，∴20＜x≤80．综上，0＜x≤80．故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0，80]；（2）由题意得，=50，0＜≤2060−1200140−，20＜≤120，当0＜x≤20时，y＝50x为增函数，∴y≤20×50＝1000，等号当且仅当x＝20时成立；当20＜x≤120时，y=60−1200140−=60(−20140−)=60[+20(140−p−2800140−]=60(20+2800140−(140−p−2800140−]≤60(160−=60(160−407)≈3250．当且仅当140﹣x=2800140−，即x＝140﹣207≈87∈（20，120]时成立，综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）=−1是不是集合M中的元素？并说明理由；（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x+，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）不是集合M的元素，g（x）是集合M的元素．理由如下：因为对任意的x∈R，f（f（x））＝3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8≠x，所以f（x）＝3x﹣2∉M；因为对于任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（g（x））=−11−=，所以g（x）=−1∈M．（2）因为h（x）∈M，且h（x）＝kx+a（k≠1），则h（h（x））＝k（kx+a）+a＝x，即2=1B+=0，解得k＝1，a＝0（舍）或k＝﹣1，a∈R，故h（x）＝﹣x+a，当x≤1时，h（x）≥a﹣1，则12h（x）≥K12，则函数12h（x）的值域为[K12，+∞），因为对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使12h（x1）＝φ（x2）成立，、则[K12，+∞）为φ（x）在[1，+∞）上值域的子集，φ（x）＝x+，当a≤1时，φ（x）在[1，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥a+1，即φ（x）在[1，+∞）上的值域为[a+1，+∞），所以[K12，+∞）⊆[a+1，+∞），故1+≤K12≤1，解得a≤﹣3；当a＞1时，φ（x）在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，所以φ（x）≥φ（）＝2，则φ（x）在[1，+∞）上的值域为[2，+∞），所以[K12，+∞）⊆[2，+∞），故2≤K12＞1，解得≥9+45．综上所述，实数a的取值范围为(−∞，3]∪[9+45，+∞)．。
广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷
广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{}21B x x x =≥≤-或，则A B = （）A ．{}1012-，，，B ．{}123-，，C ．{}10123，，，，-D ．{2}3，2．已知函数()3f x x x m =++是定义在区间[]2,2n n --上的奇函数，则m n +=（）A ．0B ．1C ．2D ．43．“a b >”是“a b >”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（）A ．大于10gB ．大于等于10gC ．小于10gD ．小于等于10g5．下列各式正确的是（）A =B ．C3a =D =6．已知正实数x ，y 满足2320x xy +-=，则2x y +的最小值为（）A ．3B ．103C ．23D ．137．若函数()22622,1,1a x ax a x f x x x -⎧-++≤=⎨>⎩是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（）A ．[)1,3B ．()3,+∞C ．()1,2D ．[]1,28．定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b>>D ．b c a>>二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“1x >”是“21x >”的充分不必要条件B ．函数()f x =()g x =C ．函数()f x =(3,)+∞D ．已知()f x 的定义域为[2,2]-，则函数(1)f x -的定义域为[1,3]-10．已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A ．41ab >B ．2728a b +≥C ．41912a b +≥+D 2+≤11．定义()f x x =⎡⎤⎢⎥（其中⎡⎤⎢⎥x 表示不小于x 的最小整数）为“向上取整函数”.例如 1.11-=-⎡⎤⎢⎥，2.13,44==⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥.以下描述正确的是（）A ．若()2023f x =，则(]2022,2023x ∈B ．若2560x x -+≤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥，则(]1,3x ∈C ．()f x x =⎡⎤⎢⎥是R 上的奇函数D ．若()()f x f y =，则1x y -<三、填空题12．若幂函数的图像经过()2,8，则解析式为13．若关于x 的不等式2210x x m --+≤在区间[]0,3内有解，则实数m 的取值范围.14．已知实数x ，y 满足0x y >>，若()216z x x y y =+-，则z的最小值是．四、解答题15．若集合{}33A xx =-≤≤∣，集合{}521B x m x m =-≤≤+.(1)若0m =，求A B ；(2)当A B A = 时，求实数m 的取值范围.16．（1）已知集合{}{}240,2101A x x x B x a x a =->=-<<+．若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．（2）若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，求x 的取值范围．17．已知定义在()1,1-上的奇函数()21ax bf x x -=+，且13.310f ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断()f x 的单调性，并证明你的结论；(3)解不等式()()2310.f t f t +-<18．某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x 元，冰淇淋月饼的单价为y 元，且0x y <<.现有两种购买方案（0a b <<）方案一：流心月饼的购买数量为a 个，冰淇淋月饼的购买数量为b 个.方案二：流心月饼的购买数量为b 个，冰淇淋月饼的购买数量为a 个.(1)试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.(2)若a ，b ，x ，y 满足)26y x x =->，()2366b a a a =+>-，求这两种方案花费的差值S 的最小值（注；差值S =较大值-较小值）.19．若任意x 满足a x b ≤≤（a b <），都有不等式20ax bx c ++≥恒成立，则称该不等式20ax bx c ++≥为“[],,a b c 不等式”(1)已知不等式0mx m +≥为“[]0,,m m 不等式”，求m 的取值范围；(2)判断不等式2220x x -++≥是否为“[]1,2,2-不等式”，并说明理由；(3)若1a b -≤<，0b >，3c b a =-，证明：不等式20ax bx c ++≥是“[],,a b c 不等式”.。
2024—2025学年广东省广州市第六中学高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年广东省广州市第六中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 不等式的解集为（）A．B．或C．D．或(★) 3. 已知，则（）A．和都是真命题B．和都是真命题C．和都是真命题D．和都是真命题(★★) 4. 幂函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知函数，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 若，且，则下列不等式一定正确的是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知函数，若，则实数的值不可能为（）. A．B． 0C． 1D． 2(★★)8. 已知定义在上的偶函数满足：，当时，则当时（）A．单调递减，且B．单调递增，且C．单调递减，且D．单调递增，且二、多选题(★★) 9. 下面命题正确的是（）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“任意，则”的否定是“存在，则”C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件D．设，则“”是“”的必要不充分条件(★★★) 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．关于的不等式的解集为或D．(★★★) 11. 已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增B．或1C．函数为非奇非偶函数D．对任意实数满足三、填空题(★★) 12. 设集合，，且，则值是 _________ ．(★★) 13. 已知函数且，则 ______ .(★★) 14. 已知，，，则的取值范围为 ____________ .四、解答题(★★) 15. 已知函数的定义域为，函数的值域为.(1)求；(2)设集合，若，求的取值范围.(★★) 16. 已知函数，(1)请判断函数的单调性，并用定义证明；(2)解关于的不等式.(★★★) 17. 中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式.(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.(★★★) 18. 设函数.(1)对，恒成立，求的取值范围.(2)解不等式.(★★★★) 19. 取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”．若，则称为的“稳定点”．将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即，．已知函数．(1)当时，求函数的不动点；(2)若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数m的取值范围；(3)若时，且，求实数n的取值范围．。
2024—2025学年广东省广州市广东外语外贸大学实验中学高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年广东省广州市广东外语外贸大学实验中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 以下元素的全体能构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．接近于1的所有正整数C．未来世界的高科技产品D．地球上的小河流(★★★) 2. 已知集合，，，则实数的值为（）A．B．C．D．(★★) 3. 已知函数，则的值为（）A．B．C．D． 9(★) 4. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．(★★) 5. 已知，则这三个数的大小关系为（）A．B．C．D．(★) 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )A．B．C．D．(★) 7. （）A．B．C．D．(★★) 8. 对于使成立的所有常数中，我们把其中的最大值叫做的下确界，若正数，且，则的下确界为（）A．B．C．D．二、多选题(★★) 9. 若、、，，则下列不等式不正确的是（）A．B．C．D．三、单选题(★) 10. 下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（）A．B．C．D．四、多选题(★★) 11. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．五、填空题(★★) 12. 不等式的解集为 _____ .(★) 13. 已知函数是偶函数，且，则 ______ ．(★★★) 14. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为_________ .六、解答题(★★) 15. 设全集，集合，.(1)求，；(2)若集合，且是的充分条件，求的取值范围.(★★) 16. 已知幂函数的图象关于轴对称.(1)求的解析式；(2)若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围.(★★★) 17. 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？(★★★) 18. 已知函数且的图象经过点.(1)求的值；(2)设，求在上的最小值的表达式，并求的最值.(★★★) 19. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围．。
2024—2025学年广东省广州市增城区高一上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年广东省广州市增城区高一上学期期中考试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 命题，，则命题的否定形式是（）A．，B．，C．，D．，(★★) 3. 已知函数，则（）A．B．C．D．(★) 4. 函数的大致图象是（）A．B．C．D．(★★) 5. 若正数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．(★★) 7. 若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（）A．B．或C．D．或二、多选题(★★) 9. 下列各组函数是同一个函数的是（）A．与B．与C．与D．与(★★★) 10. 下列命题是真命题的为（）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若且，则(★★★) 11. 函数，若，且，则（）A．B．C．D．三、填空题(★) 12. 函数的定义域是 ___________ .(★★) 13. 已知条件，条件．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 _______ ．(★★★) 14. 若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值是__________ .四、解答题(★★) 15. 已知集合，．(1)当时，求，；(2)若，求实数m的取值范围．(★★★) 16. （1）化简：．（2）已知，求．(★★★) 17. 某种商品原来每件售价为元，年销售万件．(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．(★★★) 18. 已知关于的不等式.(1)若该不等式的解集为，求的值；(2)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，求此不等式的解集.(★★★) 19. 已知函数.(1)判断的奇偶性；(2)判断函数的单调性，利用函数单调性的定义进行证明；(3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围.。
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2020-2021学年广州市高一上学期期中考试数学试卷解析版
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．已知集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的
集合为（ ）
A ．{1，12}
B ．{−1，12}
C ．{0，1，12}
D ．{−1，0，12} 解：∵B ⊆A ，A ＝{﹣1，2}的子集有ϕ，{﹣1}，{2}，{﹣1，2}，
当B ＝ϕ时，显然有a ＝0；当B ＝{﹣1}时，﹣a ＝1⇒a ＝﹣1；
当B ＝{2}时，2a ＝1⇒a =12；当B ＝{﹣2，1}，不存在a ，符合题意，
∴实数a 值集合为{﹣1，0，12}， 故选：D ．
2．设0＜a ＜b ，则下列不等式中正确的是（ ）
A ．a ＜b ＜√ab ＜a+b 2
B ．a ＜√ab ＜a+b 2＜b
C ．a ＜√ab ＜b ＜a+b 2
D ．√ab ＜a ＜a+b 2＜b 解：取a ＝1且b ＝4，计算可得√ab =2，
a+b 2=52， 选项A 、B 、D 均矛盾，B 符合题意，
故选：B ．
3．已知集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，则A ∩B 中元素的个
数为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 解：∵集合A ＝{（x ，y ）|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{（x ，y ）|x +y ＝8}，
∴A ∩B ＝{（x ，y ）|{y ≥x x +y =8，
x ，y ∈N ∗}＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}． ∴A ∩B 中元素的个数为4．
故选：C ．
4．已知集合A ＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{x |（x ﹣3）（x +2）＜0}，则（ ）
A ．A ⊆
B B ．B ⊆A
C ．A ＝B
D ．A ∩B ＝∅
解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜2}，B ＝{x |（x ﹣3）（x +2）＜0}＝{x |﹣2＜x ＜3}
故A ⊆B ，
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故选：A ．
5．若正实数x ，y 满足2x +y +xy ﹣6＝0，则2x +y 的最小值为（ ）
A ．4（√5+1）
B ．4（√5−1）
C ．12
D ．4
解：∵正实数x ，y 满足2x +y +xy ﹣6＝0，
∴6﹣（2x +y ）＝xy =12×2xy ≤12（2x+y 2）2，当且仅当2x ＝y 时取等号，
∴（2x +y ）2+8（2x +y ）﹣48≥0，
∴（2x +y +12）（2x +y ﹣4）≥0，
∴2x +y ﹣4≥0，
即2x +y ≥4，
故选：D ．
6．若定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ）满足f （x ）﹣2g （x ）＝2x 2﹣x 3+3，则f
（﹣2）＝（ ）
A ．11
B ．6
C ．10
D ．12
解：∵定义在R 上的偶函数f （x ）和奇函数g （x ），
∴f （﹣x ）＝f （x ），g （﹣x ）＝﹣g （x ）
∵f （x ）﹣2g （x ）＝2x 2﹣x 3+3，
∴令x ＝2，f （2）﹣2g （2）＝3，①
令x ＝﹣2，f （﹣2）﹣2g （﹣2）＝19，
∴f （2）+2g （2）＝19，②，
①+②，2f （2）＝22，∴f （2）＝11，
∴f （﹣2）＝f （2）＝11．
故选：A ．
7．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A ．f （x ）=x 2−1x−1
，g （x ）＝x +1 B ．f （x ）＝x 0，g （x ）＝1
C ．f （x ）＝|x |，g （x ）=√x 2
D ．f （x ）＝|x |，g （x ）={x x ＞0−x x ＜0
解：对于A ，f （x ）=x 2−1x−1=x +1（x ≠1），与g （x ）＝x +1（x ∈R ）的定义域不相同，不。