圆锥曲线知识点归纳汇总 - 双曲线

双曲线

1．双曲线定义

定义1（教材定义）：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线

(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．

定义2（补充定义）：平面内到定点F 的距离与到对应定直线l 的距离之比为定值e (e>1)的点的轨迹叫做双曲线．这个定点叫做双曲线的焦点，对应的定直线叫做双曲线的准线，定值e 叫做离心率 集合S ＝

）（12

>=e e PQ

PF ， 其中直线l 1、l 2叫做对应准线，F 1，F 2叫做对应的焦点。

2．双曲线的标准方程和几何性质(教材定义)

标准方程

x 2a 2－y 2

b 2

＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2

b 2

＝1 (a >0，b >0) 学习奥数的优点

1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力

4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

图形

性质

范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R

x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点

顶点

A 1(－a,0)，A 2(a,0)

A 1(0，－a )，A 2(0，a )

渐近线 y ＝±b a

x

y ＝±a b

x

离心率

e ＝c

a

，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长

a 、

b 、

c 的关系

c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)

3．双曲线的标准方程和几何性质（含补充）

以焦点在x 轴为例：x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a >0，b >0)

1）渐近线：y ＝±b

a x

2）准线：c

a x l c a x l 2

221=-=：，右准线：左准线

3）通径：（过焦点的所有弦长中通径最短为a

b 2

2MN =）

4）焦点到渐近线距离为b PF =2

5）一般弦长公式：直线l ：y =kx +m 与双曲线C 交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）则弦长AB 的计算公式为

()21221221241

1x x x x k x x k AB -++=-+=

或者()2

1221221241111y y y y k

y y k AB -++=-+=

4．双曲线的重要二级结论（补充）

1）焦点三角形周长

如图一所示：过其中一个焦点F 2构成的弦长PQ 与另外一个焦点F 1围成的三角形的周长为：L △PQF 1=4a+2PQ 当PQ=通径时取最小值 推导：由PF 1-PF 2=2a ,QF 1-QF 2=2a 可知 PF 1+QF 1-PF 2-QF 2=PF 1+QF 1-PQ =4a

所以L △PQF 1=PF 1+QF 1+PQ =PF 1+QF 1-PQ +2PQ =4a +2PQ

2）焦点三角形面积

如图二所示：双曲线上一动点P 与左右焦点F 1、F 2围成的三角形的面积为：

），（其中2122

21PF F θθtan

b S F PF ∠==

∆

推导：设PF 1=m ，PF 2=n 则PF 1-PF 2=m -n =2a ①

在三角形PF 1F 2由余弦定理可知：

21212

2212

2

12PF F PF PF PF PF F F ∠-+=cos

所以：mncos θn m c 242

2

2

-+= ②

①2化为mn n m a 24222-+= ③

②-③=()2412b cos θmn =- 即22412212b θsin mn =⎪⎭⎫

⎝

⎛-+从而得出222b θsin mn = ④

又因为2

22

2221212

2

1θ

tan

θ

sin mn θ

cos θsin mn mnsin θS F PF ⋅=⋅==∆，代入④式可得2

22

1θ

tan

b S

F PF =

∆

3）过双曲线上异于左右顶点A 1、A 2两点的任意一点P ，直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为定值。