圆锥曲线知识点归纳汇总 - 双曲线

双曲线
1．双曲线定义
定义1（教材定义）：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在． 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线
(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．
定义2（补充定义）：平面内到定点F 的距离与到对应定直线l 的距离之比为定值e (e>1)的点的轨迹叫做双曲线．这个定点叫做双曲线的焦点，对应的定直线叫做双曲线的准线，定值e 叫做离心率 集合S ＝
）（12
>=e e PQ
PF ， 其中直线l 1、l 2叫做对应准线，F 1，F 2叫做对应的焦点。

2．双曲线的标准方程和几何性质(教材定义)
标准方程
x 2a 2－y 2
b 2
＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1 (a >0，b >0) 学习奥数的优点
1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。

2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。

要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。

3、锻炼学生优良的意志品质。

可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。

可以养成坚韧不拔的毅力
4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。

图形
性质
范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R
x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0)
A 1(0，－a )，A 2(0，a )
渐近线 y ＝±b a
x
y ＝±a b
x
离心率
e ＝c
a
，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a 、
b 、
c 的关系
c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)
3．双曲线的标准方程和几何性质（含补充）
以焦点在x 轴为例：x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)
1）渐近线：y ＝±b
a x
2）准线：c
a x l c a x l 2
221=-=：，右准线：左准线
3）通径：（过焦点的所有弦长中通径最短为a
b 2
2MN =）
4）焦点到渐近线距离为b PF =2
5）一般弦长公式：直线l ：y =kx +m 与双曲线C 交于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）则弦长AB 的计算公式为
()21221221241
1x x x x k x x k AB -++=-+=
或者()2
1221221241111y y y y k
y y k AB -++=-+=
4．双曲线的重要二级结论（补充）
1）焦点三角形周长
如图一所示：过其中一个焦点F 2构成的弦长PQ 与另外一个焦点F 1围成的三角形的周长为：L △PQF 1=4a+2PQ 当PQ=通径时取最小值 推导：由PF 1-PF 2=2a ,QF 1-QF 2=2a 可知 PF 1+QF 1-PF 2-QF 2=PF 1+QF 1-PQ =4a
所以L △PQF 1=PF 1+QF 1+PQ =PF 1+QF 1-PQ +2PQ =4a +2PQ
2）焦点三角形面积
如图二所示：双曲线上一动点P 与左右焦点F 1、F 2围成的三角形的面积为：
），（其中2122
21PF F θθtan
b S F PF ∠==
∆
推导：设PF 1=m ，PF 2=n 则PF 1-PF 2=m -n =2a ①
在三角形PF 1F 2由余弦定理可知：
21212
2212
2
12PF F PF PF PF PF F F ∠-+=cos
所以：mncos θn m c 242
2
2
-+= ②
①2化为mn n m a 24222-+= ③
②-③=()2412b cos θmn =- 即22412212b θsin mn =⎪⎭⎫
⎝
⎛-+从而得出222b θsin mn = ④
又因为2
22
2221212
2
1θ
tan
θ
sin mn θ
cos θsin mn mnsin θS F PF ⋅=⋅==∆，代入④式可得2
22
1θ
tan
b S
F PF =
∆
3）过双曲线上异于左右顶点A 1、A 2两点的任意一点P ，直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为定值。

如图三：222
1a
b k k PA PA =⋅ 推导：设P （x ，y ）则P 点满足双曲线方程：x 2a 2－y 2
b 2＝1，移项变式得
22222221a a x a x b y -=-=所以就有22
222a
b a x y =-① 又因为22200a x y a x y a x y k k PB
PA -=--⋅+-=⋅，代入①式可得22
21a
b k k PA PA =⋅ 4）被焦点截的线段倒数之和=224b
a
=通径 如图四所示：
2112411b
a BF AF ==+通径
5【知识拓展】巧设双曲线方程
(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2
b 2＝t (t ≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2
n
＝1 (mn <0)．
(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线
的斜率k ＝±b
a
满足关系式e 2＝1＋k 2.
(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用b 2＝c 2－a 2和e ＝c
a
转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．。