职高数学56三角函数的图像和性质

五点法
(0 , 0 ),
π 2
,1
,
π,0,
3π 2
,
1
,
2 π, 0 ．
三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例 1 利用“五点法”作函数 y 1 sin x 在 0,2π 上的图像
x
0
sin x
0
y1sinx 1
y 2 1•
O
π
π
3π
2π
2
2
1
0
-1
0
2
1
0
1
y1sinx，x0,2π
•
动脑思考 探索新知
用“描点法”作函数 y sin x 在0,2上的图像
向左或向右平移2π，4π,…
演示
y sin x, x R 的图像——正弦曲线．
动脑思考 探索新知
三
正弦曲线夹在直线 y=-1 和 y=1 之间，
对任意的角 x ，都有 sin x 1成立，
角
函数的这种性质叫做有界性．
y
y sin x， x R
第5章 三角函数 5.6 三角函数的图像和性质
创设情景 兴趣导入
观察钟表，如果当前的时 间是2点，那么时针走过12 个小时后，显示的时间是 多少呢？再经过12个小时 后，显示的时间是多少呢？
每间隔12小时，当前时间2点重复出 现．这种现象称为周期现象。
类似这样的周期现象还有哪些？ 举例说明。
三 角 函 数
ymax 1；
图像关于原点对称
在
当 (
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
2k(k
2k,
2k
(
Z) 时, ymin 1．
k Z )内是增函数；
2
2
在
( 2
2k,
周32 期2k为 (2k πZ
)内是减函数.
动脑思考 探索新知
y
最高点
y sin x， x0,2π 终点
1
中点
O
π
π
3π
2π x
-1
2
2
起点
最低点
五个关键点:
2π
2
2
0
-1
0
1
0
1
0
-1
ycosx， x0,2π
•
•
•
3
2
x
2
2
•
三 角 函 数
应用知识 强化练习 练习5.6.2
用“五点作图法”作出函数 y 1 cosx ,
x 0,2π 上的图像．
对于余弦函数有：c o s( 2 k π )= c o s(k Z )，
想一想： 自变量a每增加或减少多少，余弦函数值不变？ 余弦函数是周期函数吗 ？它的周期是什么呢？
余弦函数是周期函数.
周期是 2 π ．
动脑思考 探索新知
用“描点法”作出余弦函数 y cosx 在 0, 2π 上的图像
向左或向右平移2π，4π,…
演示
演示
余弦函数 y cos x, x R 的图像—余弦曲线．
三 角 函 数
动脑思考 探索新知
y
ycosx x R
1
－ 2π －π
o
π
-1
2π 3π 4π
x
定义域： 实数集R 值 域： [-1,1] 奇偶性：偶函数
单调性
当 x 2kπ(k Z) 时, ymax 1；
当 x (2k 1)π (k Z) 时, ymin 1
动脑思考 探索新知
对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T， 当x取定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D， 并且等式f(x+T)=f(x)成立，那么，函数y=f(x)叫 做周期函数,常数T叫做这个函数的一个周期．
正弦函数y=sinx是否是周期函数？
动脑思考 探索新知
对于正弦函数有： sin ( 2 k π )= sin (k Z )，
想一想： 自变量a每增加或减少多少，正弦函数值不变？ 正弦函数是周期函数吗 ？它的周期是什么呢？
正弦函数是周期函数. 周期有：2π,4π,6π,…和 － 2π,－ 4π,－ 6π,…
周期中最小的正数叫做最小正周期
今后研究的函数的周期，都是指最小正周期.
正弦函数的周期是 2 π ．
动脑思考 探索新知
•
•
π
π
•
3π
2π x
2
2
三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例 2 已知 sin x a 4 , 求 a 的取值范围．
解 因为∣sinx∣≤1，
所以∣a-4∣≤1,
即 1≤a-4≤1
解得 ≤a≤ ．
故a的取值范围是
．
三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例3 求使函数y=sin2x取得最大值的x的集合， 并指出最大值是多少．
用“描点法”作函数 y sin x 在0,2上的图像
1.列表 2.描点 3.联结各点
演示
x
0
63 2
2 5 7
36
6
4
3
3 5 1 1 2
23 6
y= sin x 0 0 .5 0 .8 7 1 0 .8 7 0 .5 0 -0 .5 -0 .8 7 -1 -0 .8 7 -0 .5 0
计算器
图像关于y轴对称
在 ((2k 1)π, 2kπ) (k Z) 内是增函数
在 (2kπ,(2k 1)π) (k Z) 内是减函数
周期
周期为 2π
三 角 函 数
巩固知识 典型例题
例 5 用“五点法”做出函数 y cosx , x 0,2π 上的图像
x
0
cos x
1
ycosx -1
y
1
o
-1•
π
π
3π
1．利用“五点法”作函数 y sin x 在 0, 2π 上的图像． 2．利用“五点法”作函数 y 2sin x 在 0, 2π 上的图像．
3．已知 sin 3 a , 求 a 的取值范围．
4．求使函数 y sin 4x 取得最大值的 x 的集合，并指
出最大值是多少?
计算器
动脑思考 探索新知
1
函－ 3 π － 2 π － π
O -1
π
2π 3π 4π
x
数
正弦函数是R内的有界函数．
动脑思考 探索新知
y
y sin x， x R
三
1
－ 3π － 2π －π
O
π
2π 3π 4π
x
-1
角
定义域： 实数集R
函 数
值 域： [-1,1] 奇偶性： 奇函数 单调性： 周 期：
当 x 2k(k Z) 时, 2
解 设 u 2x ，则使函数 y sin u 取得最大值 1 的集合是
u
u
π 2
2kπ,
k
Z
，
由
2x u π 2kπ ,
2
得
x π kπ ．
4
故所求集合为
x
x
π 4
kπ, k
Z
，
函数 y sin 2 x 的最大值是1．
变量替换
三 角 函 数
应用知识 强化练习
练习5.6.1