第二章教案1

韶关学院课程教学设计（2学时）

教学过程、内容（含教与学的方法）

第二章群论

有了前一章的准备工作以后，我们就来研究我们抽象代数中重要的代数系统——群.

群是一个只有一种代数运算的代数系统，我们知道，一个代数运算用什么符号来表示，是可以由我们选择的，可用o,也可用.群的代数运算普通为方便起见，不用o来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写a b，而写ab.因此，我们就把一个群的代数运算叫做乘法.当然一个群的乘法一般不是普通的乘法.如向量空间的加法一样.

§2.1 群的定义

群的定义有很多不同的种类，它的很多性质可以作为它的定义.荷兰数学家罗伦茨（1853-1928）曾举出了40个以上的群的定义.有的不用乘法而用除法来定义，常见的是我们书上的两种（或三种）.

一、群的第一定义

1. 定义 设G 是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合，若：

I ．G 对于这个乘法来说是封闭的；

II ．结合律成立：,,,()()a b c G a bc ab c ∀∈=有；

III ．,a b G ∀∈，方程ax b =和ya b =都在G 里有解.

则称G 对于这个乘法来说作成一个群.

注意：1．定义了叫做乘法的代数运算的非空集合G 称为一个群胚.

2．满足I ，II 的代数系统G 称为半群.

3．群是：一个集合，一种运算，三条公理.

2. 例

例1.{}G g =，乘法：gg g =，则G 对于这个乘法来说作成一个群.这是因为： Ⅰ. G 是闭的；

Ⅱ. ()()g gg gg g g ==;

Ⅲ. gx g = 有解，就是g

y g g = 有解，就是g .

例2．整数加群：Z G =，乘法是普通加法，则G 对于普通加法来说作成一个群.这是因为：

Ⅰ. 两个整数相加还是一个整数；

Ⅱ. 整数相加适合结合律;

Ⅲ. ,a b G ∀∈方程ax b =和ya b =在G 中有整数解.

例3．G =，乘法是普通减法，则G 对于普通减法来说不作成群.因为：I ，III 成立，但II 不成立：3-(2-1)≠(3-2)-1.

例4．*G =，乘法是普通乘法，则G 对于普通乘法来说不作成群.因为：I ，II 成立，但III 不成立：32x =没有整数解.

例5．*G =，乘法是普通乘法，则G 对于普通乘法来说作成一个群.

3. 性质：若G 是一个群，则

IV ．e G ∃∈，使a G ∀∈有ea a =（这个e 叫做G 的一个左单位元）.

[证明] 由II ，对于一个固定的元b ，yb b =在G 里有解.取一个解e ：

eb b =.a G ∀∈，又由III ，bx a =有解c ：bc a =，()ea ebc eb c bc a ∴====.这就证明了e 的存在.

V ．a G ∀∈，1a G -∃∈使1a a e -=（1a -叫做a 的一个左逆元，e 是一个固定的左单位元）.

[证明] 由III ，ya e =有解1a -：1a a e -=.

命题1. 设G 是一个定义了乘法的非空集合，则I ，II ，III ⇒ I ，II ，IV ，V.

二、群的第二定义

设G 是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合.若满足I ，II ，IV ，V ，则称G 对于乘法来说作成一个群.

命题2. 设G 是一个定义了乘法的非空集合，则I ，II ，IV ，V ⇒ I ，II ，III.

[证明] 我们分三步来证明：

（i ）“一个左逆元一定也是一个右逆元”，这句话现在还不能这么说.

“若1a a e -=，则1aa e -=（e 是左单位元）.”因为：由V ，a G '∃∈使1a a e -'=，所以11111111()()()[()]()aa e aa a a aa a a a a a ea a a e --------''''======，即1aa e -=.（注意：这时1a -还不能说是a 的右逆元，因为e 还不一定是右单位元.）

（ii ）“一个左单位元一定也是一个右单位元”，即a G ae a ∀∈=有.因为：

11()()ae a a a aa a ea a --====，即ae a =.

（iii ）,a b G ∀∈，1V a G -∃∈由，又由I 1a b G -∈.取1x a b -=，则它就是方程ax b =的解，因为：11()()a a b aa b eb b --===.又1V a G -∃∈由又由I 1a b G -∈.取1y ba -=，则它就是方程ya b =的解，因为：11()()ba a b a a be b --===.

故公理I ，II ，III 成立.

命题1和命题2说明群的这两个定义是等价的.

例6．{1,1}G =-，乘法：普通乘法，则G 对于普通乘法来说作成一个群.这是因为： Ⅰ. G 对于普通乘法来说是闭的；

II ．普通乘法适合结合律，对于G 的元当然也成立；

IV ．1G ∃∈，使111,1(1)1⨯=⨯-=-，即1是左单位元；

V ．111,(1)(1)1⨯=-⨯-=.

它的乘法表是：

例7．{,}G a b =

则G 是一个群,同例6.

又若{,}G a b =

I 成立显然，II 成立同学自己验证.

IV ,a G x G ax x ∃∈∀∈=使有，,b G x G bx x ∃∈∀∈=使有.

V 不成立对于a 有ba=a ，对于b 有ab=b 但yb=a 无解.所以，V 不成立，G 不成群. III 不成立：方程yb=a 无解.

注意：1. 一般第二定义比第一定义更方便，用的更多；

2. 若成群一般用第二定义，若不成群一般用第一定义

三、群的第三定义与公理比较

定义：设G 是一个定义了乘法的代数运算的非空集合，若满足I ，II 及

IV ＇ ,e G a G ae a ∃∈∀∈=使有（这个ｅ叫Ｇ的一个右单位元）.

V ＇ 11,,a G a G aa e --∀∈∃∈使=（1a -叫做a 的一个右逆元，e 是一个固定的右单位元）. 可证I ，II ，III ⇔ I ，II ，IV ＇，V ＇，也可证I ，II ，IV ，V ⇔ I ，II ，IV ＇，V ＇.

下列各组公理能不能作为群的公理呢？（246C =）. （A ）I ，II ，IV ，IV ＇； （B ）I ，II ，IV ，V ＇；

（C ）I ，II ，IV ＇，V ； （D ）I ，II ，V ，V ＇. 答：（A ）不能作为群公理：

例8．G =，乘法：普通乘法.I ，II 满足，而左右单位元都是1，满足IV ，IV ＇，但G 不是群.

（B ）不能作为群公理：

例9．{,}G a b =