第二章教案1

韶关学院课程教学设计（2学时）
教学过程、内容（含教与学的方法）
第二章群论
有了前一章的准备工作以后，我们就来研究我们抽象代数中重要的代数系统——群.
群是一个只有一种代数运算的代数系统，我们知道，一个代数运算用什么符号来表示，是可以由我们选择的，可用o,也可用.群的代数运算普通为方便起见，不用o来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写a b，而写ab.因此，我们就把一个群的代数运算叫做乘法.当然一个群的乘法一般不是普通的乘法.如向量空间的加法一样.
§2.1 群的定义
群的定义有很多不同的种类，它的很多性质可以作为它的定义.荷兰数学家罗伦茨（1853-1928）曾举出了40个以上的群的定义.有的不用乘法而用除法来定义，常见的是我们书上的两种（或三种）.
一、群的第一定义
1. 定义 设G 是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合，若：
I ．G 对于这个乘法来说是封闭的；
II ．结合律成立：,,,()()a b c G a bc ab c ∀∈=有；
III ．,a b G ∀∈，方程ax b =和ya b =都在G 里有解.
则称G 对于这个乘法来说作成一个群.
注意：1．定义了叫做乘法的代数运算的非空集合G 称为一个群胚.
2．满足I ，II 的代数系统G 称为半群.
3．群是：一个集合，一种运算，三条公理.
2. 例
例1.{}G g =，乘法：gg g =，则G 对于这个乘法来说作成一个群.这是因为： Ⅰ. G 是闭的；
Ⅱ. ()()g gg gg g g ==;
Ⅲ. gx g = 有解，就是g
y g g = 有解，就是g .
例2．整数加群：Z G =，乘法是普通加法，则G 对于普通加法来说作成一个群.这是因为：
Ⅰ. 两个整数相加还是一个整数；
Ⅱ. 整数相加适合结合律;
Ⅲ. ,a b G ∀∈方程ax b =和ya b =在G 中有整数解.
例3．G =，乘法是普通减法，则G 对于普通减法来说不作成群.因为：I ，III 成立，但II 不成立：3-(2-1)≠(3-2)-1.
例4．*G =，乘法是普通乘法，则G 对于普通乘法来说不作成群.因为：I ，II 成立，但III 不成立：32x =没有整数解.
例5．*G =，乘法是普通乘法，则G 对于普通乘法来说作成一个群.
3. 性质：若G 是一个群，则
IV ．e G ∃∈，使a G ∀∈有ea a =（这个e 叫做G 的一个左单位元）.
[证明] 由II ，对于一个固定的元b ，yb b =在G 里有解.取一个解e ：
eb b =.a G ∀∈，又由III ，bx a =有解c ：bc a =，()ea ebc eb c bc a ∴====.这就证明了e 的存在.
V ．a G ∀∈，1a G -∃∈使1a a e -=（1a -叫做a 的一个左逆元，e 是一个固定的左单位元）.
[证明] 由III ，ya e =有解1a -：1a a e -=.
命题1. 设G 是一个定义了乘法的非空集合，则I ，II ，III ⇒ I ，II ，IV ，V.
二、群的第二定义
设G 是一个定义了叫做乘法的代数运算的非空集合.若满足I ，II ，IV ，V ，则称G 对于乘法来说作成一个群.
命题2. 设G 是一个定义了乘法的非空集合，则I ，II ，IV ，V ⇒ I ，II ，III.
[证明] 我们分三步来证明：
（i ）“一个左逆元一定也是一个右逆元”，这句话现在还不能这么说.
“若1a a e -=，则1aa e -=（e 是左单位元）.”因为：由V ，a G '∃∈使1a a e -'=，所以11111111()()()[()]()aa e aa a a aa a a a a a ea a a e --------''''======，即1aa e -=.（注意：这时1a -还不能说是a 的右逆元，因为e 还不一定是右单位元.）
（ii ）“一个左单位元一定也是一个右单位元”，即a G ae a ∀∈=有.因为：
11()()ae a a a aa a ea a --====，即ae a =.
（iii ）,a b G ∀∈，1V a G -∃∈由，又由I 1a b G -∈.取1x a b -=，则它就是方程ax b =的解，因为：11()()a a b aa b eb b --===.又1V a G -∃∈由又由I 1a b G -∈.取1y ba -=，则它就是方程ya b =的解，因为：11()()ba a b a a be b --===.
故公理I ，II ，III 成立.
命题1和命题2说明群的这两个定义是等价的.
例6．{1,1}G =-，乘法：普通乘法，则G 对于普通乘法来说作成一个群.这是因为： Ⅰ. G 对于普通乘法来说是闭的；
II ．普通乘法适合结合律，对于G 的元当然也成立；
IV ．1G ∃∈，使111,1(1)1⨯=⨯-=-，即1是左单位元；
V ．111,(1)(1)1⨯=-⨯-=.
它的乘法表是：
例7．{,}G a b =
则G 是一个群,同例6.
又若{,}G a b =
I 成立显然，II 成立同学自己验证.
IV ,a G x G ax x ∃∈∀∈=使有，,b G x G bx x ∃∈∀∈=使有.
V 不成立对于a 有ba=a ，对于b 有ab=b 但yb=a 无解.所以，V 不成立，G 不成群. III 不成立：方程yb=a 无解.
注意：1. 一般第二定义比第一定义更方便，用的更多；
2. 若成群一般用第二定义，若不成群一般用第一定义
三、群的第三定义与公理比较
定义：设G 是一个定义了乘法的代数运算的非空集合，若满足I ，II 及
IV ＇ ,e G a G ae a ∃∈∀∈=使有（这个ｅ叫Ｇ的一个右单位元）.
V ＇ 11,,a G a G aa e --∀∈∃∈使=（1a -叫做a 的一个右逆元，e 是一个固定的右单位元）. 可证I ，II ，III ⇔ I ，II ，IV ＇，V ＇，也可证I ，II ，IV ，V ⇔ I ，II ，IV ＇，V ＇.
下列各组公理能不能作为群的公理呢？（246C =）. （A ）I ，II ，IV ，IV ＇； （B ）I ，II ，IV ，V ＇；
（C ）I ，II ，IV ＇，V ； （D ）I ，II ，V ，V ＇. 答：（A ）不能作为群公理：
例8．G =，乘法：普通乘法.I ，II 满足，而左右单位元都是1，满足IV ，IV ＇，但G 不是群.
（B ）不能作为群公理：
例9．{,}G a b =
I 成立，II 也成立：考虑()()xy z x yz =，当x a =时，()()ay z yz a yz ==；当x b =时，()()by z yz b yz ==.IV 成立：有两个左单位元a ，b ：,ax x bx x ==.V ＇成立：对于给定的左单位元a ：a 有右逆元a ：aa=a ；b 有右逆元a ：ba=a.但G 不构成群.
（C ）不能作为群公理：
例10．{,}G a b =
它满足I ，II ，IV ＇，V ，但不构成群.
（D ）不能作为群公理，显然.
四、几个名词和符号
1. 有限群——若群G 的元的个数是一个有限整数.
无限群——若群G 的元的个数不是有限整数.
一个有限群G 的元的个数叫做这个群的阶，记为|G|.
例1、例6是有限群；例2、例5是无限群.
2. 群G 的乘法适合结合律，∴12()n i a a a a G ∈有意义，且属于G.当12n a a a a ====时，我们称12
n n a a a 次
（n 是正整数）是a 的n 次乘方（简称n 次方），记为n
a aa a =或规定11n n a a a a a +⎧=⎪⎨=⎪⎩.
性质：n m n m a a a +=；(),(,)n m nm a a n m =∈.
3. 设G 是一个群，若,a b G ∀∈均有ab=ba ，则称G 是交换群，也叫阿贝尔群.（在群的公理中没有要求交换律成立，所以在一般的群里交换律未必成立，但也有成立的群，这种群叫交换群）.
性质：穿脱原理：,a b G ∈（群），111()ab b a ---=.
[作业] 一. 设n n ⨯是实数域上的所有n 级矩阵的集合.根据群的定义判断下列代数系统是否构成群？
1. n n G ⨯=
，乘法：矩阵的加法； 2. n n G ⨯=，乘法：矩阵的乘法；
3. {|,||1}n n G A A A ⨯=∈=，乘法：矩阵的乘法；
4. {|,||0}n n
G A A A ⨯=∈≠，乘法：矩阵的乘法. 二.P 35 3.。