复变函数习题第一章答案

x + 1 + i ( y − 3) = (1 + i )(5 + 3i ) ，即 x + 1 + i ( y − 3) = 2 + 5i ，
根据复数相等的概念，有
1
x +1 = 2 x =1 ， 即 . y − 3 = 8 y = 11
⒊ 将下列复数化为三角式和指数式： （1） − 5i ； （3） 1 + i 3 ； 解 (1) （2） − 1 ； （4）
2 2
( x + 1) 2 + y 2 = 4
化简得
( x + 2) 2 y 2 + = 1, 4 3
点 z 的轨迹表示以 z = −2 为中心,以 4 为长轴,以 2 3 为短轴的 椭圆. (7) 设 z = x + iy , 由 Im( z ) ≤ 2 得 y ≤ 2 . 点 z 的轨迹表示 y ≤ 2 的半平面. (8) 设 z = x + iy , 又
= −512 + 512 3i
(2)因为 所以
3
− 27 = 27(cos(−π ) + i sin( −π )) ,
− 27 = 3 27 (cos(
− π + 2kπ − π + 2kπ ) + i cos( )) (k = 0,1,2) , 3 3
3
= 3(cos(
− π + 2kπ − π + 2kπ ) + i cos( )) , (k = 0,1,2) . 3 3
u = sin x cosh y ， v = cos x sinh y ，
而
∂v ∂u = cos x cosh y , = cos x cosh y , ∂y ∂x ∂u ∂v = sin y sinh y , = − sin x sinh y ∂y ∂x
在复平面处处连续 , 且处处满足 C − R 方程 . 故 f ( z ) 在复平面上处处 可导,处处解析. 9. 指出下列函数的解析性区域，并求出其导数．
i
π
2
= 8i .
（2）因为辐角张大三倍，所以像为 0 < arg z < π . 8. 下列函数在何处可导？在何处解析？ （1） f ( z ) = x − iy ； （2） f ( z ) = e
2 2 2 −y
(cos x + i sin x) ；
（3） f ( z ) = xy + ix y ； （4） f ( z ) = sin x cosh y + i cos x sinh y ． 解 （1） 因 f ( z ) = x − iy ,即 u = x , v = − y ,
习 题 一 （ A） ⒈ 求下列复数 z 的实部与虚部、共轭复数、模与辐角：
3 + 4i 2 1 3i ； （2） ( ) ． − 1 − 2i i 1− i 3i (1 + i ) 1 3i − 3 + 3i 3 5 解 (1) z = − = −i − 2 2 = −i − = − i， 2 2 i 1− i 2 1 +1 3 5 3 5 则 Re z = ， Im z = − , z = + i ； 2 2 2 2
（1）
34 3 5 ； z = ( )2 + ( )2 = 2 2 2
5 arg z = − arctan( ) . 3 (3 + 4i )(1 + 2i ) 2 3 + 4i 2 − 5 + 10i 2 (2) z = ( ] =( ) =[ ) 2 2 1 − 2i 5 1 +2
= (−1 + 2i ) 2 = −3 − 4i ，
4
( x + 2) + iy = 2 ( x − 1) + iy , 即
( x + 2) 2 + y 2 = 4[( x − 1) 2 + y 2 ]
化简得 ( x − 2) + y = 4 ,
2 2
点 z 的轨迹表示以 z = 2 为圆心,以 2 为半径的圆周. (6) 设 z = x + iy , 由 z + 3 + z + 1 = 4 ,得 ( x + 3) + iy = ( x + 1) + iy 即 ( x + 3) + y +
z = cos(− ) + i sin( − ) , 2 2
z=e
− i 2
π
π
π
.
4. 求下列各式的值： （1） ( −1 + i 3 ) ；
10
（2）
3
− 27 ．
解 (1)
因为
1 3 − 1 + i 3 = 2(− + i ) 2 2
2π 2π + i sin ) 3 3 π π 20 20 10 10 所以 ( −1 + i 3 ) = 2 (cos + i sin ) 3 3 2π 2π = 1024(cos + i sin ) 3 3 = 2(cos
(3) 这里 x = 1 , y = 从而有 cos θ =
3 ,则 z = (1) 2 + ( 3 ) 2 = 2 ,
π 1 3 , sin θ = ; 得 arg z = , 2 3 2
π
则三角式与指数式分别为:
z = 2[cos( ) + i sin( )] , 3 3
2
π
π
z = 2e 3 .
5
（1） x + y = 4 ；
2 2
（2） y = x ； （4） ( x − 1) + y = 1 ．
2 2
（3） x = 1 ； 解
ω=
x 1 y , = 2 −i 2 2 z x +y x + y2
则u =
y x ,v = − 2 ,得 2 x + y2 x +y
2
(1) (2) (3)
u2 + v2 =
1− i ． 1+ i
(0) 2 + (−5) 2 = 5 ,
这里 x = 0 , y = −5 ,则 z =
从而有 cos θ = 0 , sin θ = −1 ; 得 arg z = − 则三角式与指数式分别为:
π
2
,
z = 5[cos(− ) + i sin( − )] , 2 2
z = 5e
z −3 ( x − 3) + iy ≥ 1得 ≥ 1, z−2 ( x − 2) + iy
2 2
则 ( x − 3) + y ≥ 化简得 x ≤
( x − 2) 2 + y 2 ,
5 , 2 5 的半平面. 2
点 z 的轨迹表示 x ≤ 6. 函数 ω =
1 把下列 z 平面上的曲线映射成 ω 平面上怎样的曲线？ z
2 2
而
∂v ∂u ∂u ∂v = 2x , = −1 , = 0, = 0 在复平面处处连续,但仅 ∂y ∂y ∂x ∂x
当x =−
1 1 时,才满足 C − R 方程.故 f ( z ) 仅在直线 x = − 上可导,在 2 2
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复平面上处处不解析. （2）因 f ( z ) = e
−y
(cos x + i sin x) ,即
2 2 2 2
1 ,是 ω 平面上平 2
行 v 轴直线. 7. 已知映射 ω = z ，求：
3
（1）点 z1 = i ， z 2 = 1 + i ， z 3 = （2）区域 0 < arg z <
iθ 3
3 + i 在 ω 平面上的像；
π
3
在 ω 平面上的像．
3 i 3θ
解 设 z = re ,则 z = r e (1)
则 Re z = −3 ， Im z = −4 ; z = −3 + 4i ；
z = (3) 2 + (4) 2 = 5 ；
4 arg z = arctan( ) − π . 3 ⒉ 当 x ， y 等于什么实数时，等式 x + 1 + i ( y − 3) = 1+ i 5 + 3i
成立． 解 原式等价于
8
解 (1) 设 z = x + iy ,则由 z + 2 − 3i = 5 得
( x + 2) + i ( y − 3) = 5 ，
即 ( x + 2) + ( y − 3) = 25 .
2 2
点 z 的轨迹表示以 z = −2 + 3i 为圆心,以 5 为半径的圆周. (2) 设 z = x + iy , 则由 z + 2i ≥ 1 得 x + i ( y + 2) ≥ 1 ， 即 x + ( y + 2) ≥ 1 .
2 2
点 z 的轨迹表示以 z = −2i 为圆心,以 1 为半径的圆的外面. (3) 设 z = x + iy , 由 Re( z + 2) = −1 得, x + 2 = −1 , 即 x = −3 . 点 z 的轨迹表示 x = −3 这条直线. (4) 设 z = x + iy , 则 i z = i ( x − iy ) = y + ix , 由 Re(i z ) = 3 得, y = 3 点 z 的轨迹表示 y = 3 这条直线. (5) 设 z = x + iy , 由 z + 2 = 2 z − 1 , 得
5. 指出下列各题中点 z 的轨迹或所在范围，并作图： （1） z + 2 − 3i = 5 ; （3） Re( z + 2) = −1 ; （5） z + 2 = 2 z − 1 ; （7） Im z ≤ 2 ; （2） z + 2i ≥ 1 ; （4） Re(i z ) = 3 ; （6） z + 3 + z + 1 = 4 ; （8） 0 < arg z < π ．
2
（2）因为 f ( z ) = x − 3 xy + (3 x y − y )i ，即
3 2 2 3
u = x 3 − 3 xy 2 ， v = 3 x 2 y − y 3 .
而
∂v ∂u ∂u ∂v = 3x 2 − 3 y 2 , = 6 xy 在 = 3x 2 − 3 y 2 , = −6 xy , ∂y ∂y ∂x ∂x
− i 2
π
π
π
.
(2) 这里 x = −1 , y = 0 ,则 z =
(−1) 2 + (0) 2 = 1 ,
从而有 cos θ = −1 , sin θ = 0 ; 得 arg z = π , 则三角式与指数式分别为:
z = [cos(π ) + i sin(π )] , z = e πi .
) z + 2iz ； （1） f ( z=
3
（2） f ( z ) = x − 3 xy + (3x y − y )i ；
3 2 2 3
（3） f ( z ) =
1 ； z −1 az + b （4） f ( z ) = （ c ， d 至少有一个不为零） ． cz + d
2
解 （1） 因为 f ′( z ) = 3 z + 2i ,所以 f ( z ) 在复平面内处处解析.
u = e − y cos x , v = e − y sin x ,
而
∂u ∂v ∂u ∂v = −e − y sin x , = −e − y sin x , = −e − y cos x , = e − y cos x ∂x ∂y ∂y ∂x
在复平面处处连续 , 且处处满足 C − R 方程 . 故 f ( z ) 在复平面上处处 可导,处处解析. （3) 因 f ( z ) = xy + ix y ,即 u = xy , v = x y ,
.
z1 = i = e
iπ
2
, z2 = 1 + i =
2 (cos
π
z 3 = 3 + i = 2(cos
π
+ i sin ) . 则 6 6
i 3π 4
π
+ i sin ) , 4 4
π
3 = ( 2 )3 e ω1 = z13 = −i ， ω 2 = z 2
= −2 + 2i ，
6
3 ω3 = z3 = 23 e
(4)
i
1 − i (1 − i ) 2 − 2i = = = −i 1 + i 12 + 12 2
(0) 2 + (−1) 2 = 1 ,
这里 x = 0 , y = −1 ,则 z =
从而有 cos θ = 0 , sin θ = −1 ; 得 arg z = − 则三角式与指数式分别为:
π
2
,
2 2 2 2
而
∂v ∂u ∂u ∂v = y2 , = 2 xy 在复平面处处连续， = x2 , = 2 xy , ∂y ∂y ∂x ∂x
7
但只在 (0,0) 点满足 C − R 方程.故 f ( z ) 在 (0,0) 处可导，在复平面上 处处不解析 （4）因 f ( z ) = sin x cosh y + i cos x sinh y ，即
1 ,是 ω 平面上一圆周. 4
u = −v ,是 ω 平面上一直线.
u=
y 1 2 2 ,v=− ,消去参数 y ,得 u + v = u ,即 2 2 1+ y 1+ y
1 1 (u − ) 2 + v 2 = ,是 ω 平面上一圆周. 2 4
(4) 由 ( x − 1) + y = 1 得 x + y = 2 x .即 u =