lecture12玻色-爱因斯坦凝聚

T 16. n 0 (T ) n Tc
3 2
由14.结果 n n0 (T ) n 0 (T )

T Tc 时 n0 不能忽略
T 3 2 T Tc 时, n0 与 n 有相同量级 17. n0 (T ) n 1 Tc 18.玻色凝聚 n n0 1)绝对零度时,根据能量最低原理, 粒子将尽可能占据能量最低的状态 1 2)对于玻色粒子,量子态上的粒子数 不受限制 3)绝对零度时,玻色粒子将完全占据 T Tc 基态 0 1 4)右图显示: T Tc (T 0) 时,已经有 粒子凝聚在基态,温度越低,凝聚在基态上的粒子数越大
的定容热容一致 CV
3 Nk B 2
CV Nk B
3 2
1
T Tc
21. 液氦 4 He 的定容热容
CV
实验结果：
超流液体
(T T )
T 2.17K T
理论计算结果：
Tc 3.13K T
正常液体
(T T )
T
伦敦提出：低温下的液氦超流性是玻色凝聚现象 实际情况：液氦 4 He不是理想玻色系统。
14. T Tc 时，求和变积分应该表示为：
1 n V

l
l
l
1 2

2 32 n n0 (T ) n 0 (T ) n0 (T ) 3 (2m) 0 h
e k BT 1
d
e kBT 1
n0 (T ) ：温度为 T 时, 0 能级上的粒子数密度
利用积分：0

x 3 2 dx 3 1.341 x e 1 4
2 2 ( n) 2 3 由11.结果 Tc (2.612) 2 3 mk B
T U 0.770 Nk BT Tc
3 2

20. T Tc 时理想玻色气体定容热容量
T U 0.770 Nk BT Tc
在某个能态上的平均粒子数：
1 e
l
1

1
l

0
1
l

e kBT 1
e kBTc 1
求和变积分： n 1 V

l
l
l
e k BT 1
说明:求和式中包含 l 0 能级 上的粒子数贡献;而积分中不包 含 0 能级上的粒子数贡献
2 L2 dx mk BTc x 5) n 2 0 e 1 h 1 1 x e x (1 e x e2 x ) 6) x e 1 e (1 e x )
dx 1 1 1 1 x e 1 2 3 n 1 n
n


D ( )

0
d
e k BTc 1
3) 二维自由玻色气体分子的态密度:
2 L2 m 4) n 2 0 h
2 L D( )d md 2 h d
2


e kBTc 1
令 x

k BTc

2 L2 dx n mk BTc x 2 0 e 1 h
3 2
U CV T V

CV
T 5U 1.925 Nk B 2T Tc
3 2
T Tc 时，CV 取极大值 CV 1.925Nk B
T Tc 时,不发生玻色凝聚现象,粒子可认为均匀分布于各能级
故,结果同单原子理想气体分子平动自由度通过能均分定理得到
k BTc


？
2 2 ( n) 2 3 (2.612)2 3 mk B
h n 2 mk T B c
3 n 2.612
3
12. T Tc 时 T Tc 时 13. 分析
0 0
1 n V

l
l
l
0
e k BT 1
n
10.令 x

D( )

0

e kBTc 1
2 32 d 3 (2m) 0 h
1 2

d
e kBTc 1
12 x 2 dx 3 2 n 3 (2mk BTc ) 0 ex 1 h 12 x dx 2.612 利用积分： 0 x e 1 2 T 11.对于给定的粒子数密度n,临界温度 Tc 为： c

n不变的情况下, T 越小, 越小
n不变的情况下, T 减小到某个值 Tc(临界温度)时, 0
1 n V

l
l
l
e k BTc 1
9. 求和变积分 在体积 V 内, 到 d 的能量范围内,自由粒子可能的微观状态数:
2 V D( )d (2m)3 2 1 2d h3
19. T Tc 时理想玻色气体内能
2 V 3 2 U (2m) 3 0 h
3 2

d
0 所有能级上
粒子数的统计平均
x

k BT
e
k BT
1
3 2 x 2 V 3 2 5 2 U (2m) (k BT ) x dx 3 0 e 1 h
为何不包括 0 上 粒子数的贡献？
2 32 n 0 (T ) 3 (2m) 0 h
1 2

d
15. x

k BT
e k BT 1

12 x 2 3 2 n 0 (T ) 3 (2mk BT ) x dx 0 e 1 h
12 x 2 dx 3 2 由10.结果 n 3 (2mk BTc ) 0 x h e 1
T Tc 时
而

1
l 0 能级上的粒子数
相比总粒子数较小
故7.中求和变积分忽略的粒子数 对总粒子数的贡献很小,可以忽略
T Tc 或 T Tc 时
1 n V

l
0 l
l
k BT
e

l 0 能级上的粒子数
很大,不能忽略
故7.中求和变积分的过程中,必须考虑 0 能级上 的粒子数贡献,而积分式中无法包含该贡献

l
e kBT 1 0
0
6. 取基态能级为能量的零点，即： 0
0

l
0
N 1 7. 粒子数密度： n V V
e k BT 1 该式表明：化学势 是温度 T 及粒子数密度 n 的函数
1 al V l
l
l
8. l 与 l 都与温度无关 l 1 n l V l e k BT 1
提高粒子浓度实现玻色凝聚
3)理想玻色气体发生玻色凝聚的条件： a.提高粒子浓度 b.降低温度
23. 证明:在热力学极限下,二维理想玻色气体不会发生玻色凝聚 1)由9,10,11的讨论,当玻色气体的温度降低至临界温度 Tc 时, 玻色气体的化学势 0 , T Tc 时,将发生玻色凝聚现象 2)临界温度的确定条件：
玻色－爱因斯坦凝聚
1.研究对象： 个全同、近独立的玻色子组成的玻色系统 N 系统温度：T
V 体积：
粒子自旋：0
2.由lecture11-2-(7)-d.可得：

3.玻色分布：al
Hale Waihona Puke k BTe l 1
l

al e
l
k BT
l
1
4.边界条件： al 0 5. l
22. 弱作用玻色气体凝聚现象
h 1)由11结果 n 2 mk T B c 3 n 2.612
3
2 2 ( n) 2 3 2)同样由11结果 Tc (2.612)2 3 mk B
增大 n 可提高 Tc 因而利于在更高 温度下实现凝聚

临界条件： n 3 2.612


0
7) 说明在有限温度下,二维理想玻色气体的化学势 0
8) 二维理想玻色气体不能发生玻色爱因斯坦凝聚
作业 1. 证明:在热力学极限下,一维理想玻色气体不会发生 玻色爱因斯坦凝聚