衡量精度的指标

偶然误差更集中地分布在真值（0）附近，称误差分布离散度小、反之，对于形状平缓的
图形，偶然误差分布较为分散，或者说离散度大。不难理解，离散度小时，对应的观测
值质量较好，或说精度高。反之，离散度较大时，对应的观测值质量较差，精度较低。
由此可见，精度又可以定义为误差分布的离散程度。两个（组）观测值对应的误差分布
测，只要这些量是在相同条件下独立观测的，则产生的一组偶然误差必然具有上述 4 个
特性。
如前所述，偶然误差服从正态分布，其概率密度函数为：
f ()
1
(E ())2
e 2 2
wk.baidu.com2
1
2
e 2 2
2
或记为： ~ N（0， 2）。
f (0) 1
根据概率密度函数可见，最大值为
2 。其大小与 σ 成反比，由于对于一
可见方差实际上是偶然误差平方的理论平均值，或者说是以概率值为权，无穷观测条件
下的加权幂平均。
对等精度的观测值而言，方差的计算可按下式进行：
2
2
（1）
n
f
()d
lim
n
k 1
2k
f (k )dk
(2)
N
lim
n
k
1
2k
Vk n
(3)
n
lim
n k 1
2k n
。（A）
[]
对于观测值有限的实际情况：只能求得标准差的估值中误差
个必然事件，概率值为 1，即概率密度曲线与横轴围成的面积值为 1，因而 f(0)越大，概
率密度曲线形状越陡峭，反之则越平缓。而 σ 小则 f(0)大，σ 大则 f(0)小，所以 σ 决定了
曲线的形状，σ 为方差的平方根，称标准差，其估值在测量平差中称为中误差。
对于形状陡峭的图形，很显然随着误差绝对值的加大，概率值迅速地减小，也可说
1 展开的结果，如果将 n 解释为每个误差出现的概率，不等于绝对值大小的误差出现的机
会相同（概率相等），因为较小的 k 出现的次数较多。
一、平均误差
教学内容及过程设计 (教学组织、教学内容、教学方法、时间分配)
在一定的条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称平均误差，设以 表示，
E（） f ()d
日期 星期 班级 节次 教学课题
知识目标：
技能目标： 教学目标
其它能力目标：
计划学时
课堂类型 教学重点 教学难点 参考资料 教研室主任:
主要教学方法 年月日
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§2-3 衡量精度的指标
本小节阐述误差概念及几种精度指标
对一系列观测值而言，不论其观测条件如何，也不论是对同一量还是不同量进行观
相同，则称同精度观测值，同理若误差分布不同，则是精度不同。
在相同观测条件下进行多个观测量的观测，各观测量对应同一种误差分布，各观测
值都是同精度观测值。注意：同精度观测值不等于真误差相同，这是因为真误差不可知，
因而不可能以真误差大小定义精度，我们只能定义观测条件相同，精度相同。所以对应
于同一种误差分布的各观测值，尽管真误差不同，但都称为同精度观测值。 由于用观测值对应的误差分布来衡量精度高低，麻烦而且困难，测量上采用能描述
n 。今后不再
区分标准差和中误差，统称中误差，用 表示。
注意公式（A）中等号（1）根据定积分的定义，在 n, d k 0 时成立。等号（2）
VK 成 立 是根 据观 测值 数（样 本 数） n时 ，频 率即 等 于概 率的 原理 ，用 n 代 替 了
VK f ( k )d k ，等号右边累计号 上限大写 N，是划分的区间数。等号（3）成立是将 n
三、相对误差 观测值或其函数值的中误差作分子、观测值或其函数值作分母的比值。一般而言， 一些与长度有关的观测值或其函数值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常
1 用相对误差。相对误差没有单位，测量中一般将分子化为 1，即用 N 表示。对应的，真
误差、中误差、极限误差等都是绝对误差。
思考 及
作业
教学 效果 分析
不大可能出的误差绝对值。
根据标准正态分布概率积分表， 落入区间（- ， ）、（-2 ，2 ）、（-3 ，3 ）
的概率分别为：68.3%、95.5%、99.7%。由此可见，出现绝对值大于 2-3 倍中误差的偶 然误差属于小概率事件。通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生的，所以在测 量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而以二倍或三倍中误差作为外业成果检核 的标准，超过即视为不合格。
其误差分布离散程度的数字指标作为衡量精度的指标。
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下面介绍几种常见的精度指标。 一、方差和中误差 方差即真误差平方的理论平均值，表达式为：
2 D（） E（2） 2 f ()d
。（ E（） 0 ）如前所述，σ 决定误差分
布曲线的形状，反映误差的离散程度，所以可作为精度指标。此外，根据方差的定义，
f ()d 2 f ()d 2
1
2
e 2 2 d
2
de
2 2 2
0
0 2
0
2
e
2 2 2
2
0
可见两种精度指标是完全等价的，即分别用两种精度指标衡量观测值及其函数的精
度，结果相同。同理，在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。
二、极限误差
极限误差本身不是一种误差指标，而是在一定观测条件下，以中误差为标准确定的，
lim n n
则有：
. 同理可有：
定义中一定条件下，在这里实指消除了系统误差法的相同观测条件下。独立的偶然
误差指各个误差的大小、符号互不影响，一般而言，独立观测，误差独立。对照中误差
是偶然误差平方的理论平均值的算术根，知平均误差与中误差定义的出发点都是避免偶
然误差直接取理论平均值为 0，下式可以证明两者之间存在固定的比例关系：