人教培优旋转辅导专题训练附详细答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；
猜想与发现：
（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是；
结论2：DM、MN的位置关系是；
拓展与探究：
（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出
MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.
试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，
AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，
∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的
两个结论还成立，连接AE ，交MD 于点G ，∵点M 为AF 的中点，点N 为EF 的中点，∴MN ∥AE ，MN=AE ，由已知得，AB=AD=BC=CD ，∠B=∠ADF ，CE=CF ，又
∵BC+CE=CD+CF ，即BE=DF ，∴△ABE ≌△ADF ，∴AE=AF ，在Rt △ADF 中，∵点M 为AF 的中点，∴DM=AF ，∴DM=MN ，∵△ABE ≌△ADF ，∴∠1=∠2，∵AB ∥DF ，∴∠1=∠3，同理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM ，∴∠MAD=∠5，
∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN ∥AE ，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM ⊥MN ．所以（2）中的两个结论还成立.
考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.三角形中位线定理；4.旋转的性质．
2．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；
（2）试判断：旋转过程中
BD
AE
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；
（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．
【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3）55
；（4）BD=101143． 【解析】
试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE
CB CA
=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．
（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．
（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1
2
n ．故答案为90°，
1
2
n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =
32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m
．故答案为n
m
． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵CD BC n
CE AC m
==，∴△ACE ∽△BCD ，∴
BD BC n
AE AC m
==．
（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB 22AC BC -．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，
∴AE 2
2
AB BE +2263+52）可知△ACE ∽△BCD ，∴
BD BC
AE AC
=，∴
35=810，∴BD 125125
． （4）∵m =6，n =2∴CE =3，CD 2，AB 22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°
时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD 22BC CD +224222+（）（）
10． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于
M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，
∴AM=5，AE=22
AM ME
=57，由（2）可知DB
AE
=
22
3
，∴BD=
2114
3
．
故答案为210或2114
．
点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
3．小明在矩形纸片上画正三角形，他的做法是：①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；②沿折痕BG折叠纸片，使点C落在EF上的点P 处，再折出PB、PC，最后用笔画出△PBC(图1)．
（1）求证：图1中的PBC是正三角形：
（2）如图2，小明在矩形纸片HIJK上又画了一个正三角形IMN，其中IJ=6cm，
且HM=JN．
①求证：IH=IJ
②请求出NJ的长；
（3）小明发现：在矩形纸片中，若一边长为6cm，当另一边的长度a变化时，在矩形纸片上总能画出最大的正三角形，但位置会有所不同．请根据小明的发现，画出不同情形的示意图(作图工具不限，能说明问题即可)，并直接写出对应的a的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1233）3＜a＜3，a＞3
【解析】
分析：（1）由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；
（2）①利用“HL”证Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一点Q，使QI=QN，由
Rt △IHM ≌Rt △IJN 知∠HIM=∠JIN=15°，继而可得∠NQJ=30°，设NJ=x ，则IQ=QN=2x 、QJ=3x ，根据IJ=IQ+QJ 求出x 即可得；
（3）由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可． （1）证明：∵①对折矩形纸片ABCD(AB>BC)，使AB 与DC 重合，得到折痕EF ∴PB=PC
∵沿折痕BG 折叠纸片，使点C 落在EF 上的点P 处 ∴PB=BC ∴PB=PC=BC
∴△PBC 是正三角形： （2）证明：①如图
∵矩形AHIJ ∴∠H=∠J=90° ∵△MNJ 是等边三角形 ∴MI=NI
在Rt △MHI 和Rt △JNI 中
MI NI
MH NJ
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △MHI ≌Rt △JNI （HL ） ∴HI=IJ
②在线段IJ 上取点Q ，使IQ=NQ
∵Rt △IHM ≌Rt △IJN ， ∴∠HIM=∠JIN ， ∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°， ∴∠HIM=∠JIN=15°， 由QI=QN 知∠JIN=∠QNI=15°， ∴∠NQJ=30°，
设NJ=x ，则IQ=QN=2x ，22=3QN NJ -x ， ∵IJ=6cm ，
∴
2x+3x=6，
∴
x=12-63，即NJ=12-63（cm ）． （3）分三种情况： ①如图：
设等边三角形的边长为b ，则0＜b≤6， 则tan60°=
3=
2
a b ， ∴a=
3b ， ∴0＜b≤63
=33； ②如图
当DF 与DC 重合时，DF=DE=6， ∴a=sin60°×DE=
3
2
=33 当DE 与DA 重合时，a=63
sin603
==︒ ∴33a ＜3 ③如图
∵△DEF是等边三角形∴∠FDC=30°
∴DF=6
4
3
cos303
==
︒
∴a＞43
点睛：本题是四边形的综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
4．如图（1）所示，将一个腰长为2等腰直角△BCD和直角边长为2、宽为1的直角△CED 拼在一起．现将△CED绕点C顺时针旋转至△CE’D’，旋转角为a．
（1）如图（2），旋转角a=30°时，点D′到CD边的距离D’A=______．求证：四边形ACED′为矩形；
（2）如图（1），△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，在BC上如何取点G，使得GD’=E’D；并说明理由．
（3）△CED绕点C顺时针旋转一周的过程中，∠CE’D=90°时，直接写出旋转角a的值．【答案】1
【解析】
分析：（1）过D′作D′N⊥CD于N．由30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论．
由D’A∥CE且D’A=CE=1，得到四边形ACED’为平行四边形．根据有一个角为90°的平行四边形是矩形，即可得出结论；
（2）取BC中点即为点G，连接GD’．易证△DCE’≌△D’CG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论．
（3）分两种情况讨论即可．
详解：（1）D’A=1．理由如下：过D′作D′N⊥CD于N．
∵∠NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ND′= 1
2
CD′=1．
由已知，D’A∥CE，且D’A=CE=1，
∴四边形ACED’为平行四边形．
又∵∠DCE=90°，
∴四边形ACED’为矩形；
（2）如图，取BC中点即为点G，连接GD’．
∵∠DCE=∠D’CE’=90°，
∴∠DCE’=∠D’CG．
又∵D’C= DC，CG=CE’，
∴△DCE’≌△D’CG，
∴GD’=E’D．
（3）分两种情况讨论：①如图1．
∵∠CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴∠CDE′=30°，∴∠E′CD=60°，∴∠E′CB=30°，∴旋转角=∠ECE′=180°+30°=210°．
②如图2，同理可得∠E′CE=30°，∴旋转角=360°－30°=330°．
点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
5．如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y 轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．
（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；
（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．
【答案】（1）（1，2）；（2）S=3
2
t+8（0≤t≤8）；（3）当t=0时，BC+AC有最小值
【解析】
试题分析：（I）过M作MG⊥OF于G，分别求OG和MG的长即可；
（II）如图1，同理可求得AG和OG的长，证明△AMG≌△CAF，得：AG=CF=1
2
t，
AF=MG=2，分别表示EC和BE的长，代入面积公式可求得S与t的关系式；并求其t的取值范围；
（III）证明△ABO∽△CAF，根据勾股定理表示AC和BC的长，计算其和，根据二次根式的意义得出当t=0时，值最小．
试题解析：解：（I）如图1，过M作MG⊥OF于G，∴MG∥OB，当t=2时，OA=2．∵M
是AB的中点，∴G是AO的中点，∴OG=1
2
OA=1，MG是△AOB的中位线，
∴MG=1
2OB=
1
2
×4=2，∴M（1，2）；
（II）如图1，同理得：OG=AG=1
2
t．∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAF=90°．∵∠CAF+∠ACF=90°，∴∠BAO=∠ACF．∵∠MGA=∠AFC=90°，
MA=AC，∴△AMG≌△CAF，∴AG=CF=1
2
t，AF=MG=2，∴EC=4﹣
1
2
t，BE=OF=t+2，
∴S △BCE =12EC •BE =12（4﹣12t ）（t +2）=﹣14t 2+3
2
t +4； S △ABC =
12•AB •AC =12•216t +•
21162t +=14t 2+4，∴S =S △BEC +S △ABC =3
2
t +8． 当A 与O 重合，C 与F 重合，如图2，此时t =0，当C 与E 重合时，如图3，AG =EF ，即
12t =4，t =8，∴S 与t 之间的函数关系式为：S =3
2
t +8（0≤t ≤8）； （III ）如图1，易得△ABO ∽△CAF ，∴AB AC =OB AF =OA FC =2，∴AF =2，CF =1
2
t ，由勾股定理得：AC =
22AF CF +=2
2122t +（）=2144
t +，BC =22BE EC +=2
21242t t ++-
（）（）=21
544
t +（）
，∴BC +AC =（ 5+1）2
144
t +，∴当t =0时，BC +AC 有最小值．
点睛：本题考查了几何变换综合题，知识点包括相似三角形、全等三角形、点的坐标、几何变换（旋转）、三角形的中位线等，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
6．（10分）已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F 为BE 中点，连结DF 、CF.
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.
【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据
∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF；
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC=，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．
试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.
∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF.
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.
∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，∴AD=GB.
∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形.
∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．
（3）如图，延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°.
∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB.
∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4.
∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3.
在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=，
∴DF=，∴CF=.
∴线段CF的长为.
考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理．
7．如图1，在△ABC中，E、D分别为AB、AC上的点，且ED//BC，O为DC中点，连结EO 并延长交BC的延长线于点F，则有S四边形EBCD=S△EBF.
（1）如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，△MON的面积存在最小值．直接写出这个条件:_______________________.
（2）如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，
0）、（6，3）、（，）、（4、2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值．
【答案】（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小；（2）10.【解析】
试题分析：（1）当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，过点M作MG∥OB交EF 于G．由全等三角形的性质可以得出结论；
（2）①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N，由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大，S =S△OAD-S△MND.
四边形OANM
②如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N，利用S
=S△OCT-S△MN T，进而得出答案．
四边形OCMN
试题解析：（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，△MON的面积最小.
如图2，过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF.
∴当点P是MN的中点时S△MON最小.
（2）分两种情况：
①如图3①过点P的直线l 与四边形OABC 的一组对边 OC、AB分别交于点M、N．
延长OC、AB交于点D，易知AD = 6，S△OAD＝18 ．
由（1）的结论知，当PM=PN时，△MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大．
过点P、M分别作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足分别为P1、M1．
由题意得M1P1=P1A = 2，从而OM1=MM1= 2．又P(4,2)，B(6,3)
∴P1A=M1P1="O" M1=P1P=2，M1M=OM=2，可证四边形MM1P1P是正方形．
∴MN∥OA，∠MND=90°，NM=4，DN=4．求得S△MND＝8.
∴.
② 如图3②，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N．
延长CB交x轴于T点，由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为 y =－x＋9 ．
则T点的坐标为（9，0）．
∴S△OCT=×9×=．
由(1)的结论知：当PM=PN时，△MNT的面积最小，此时四边形OCMN的面积最大．
过点P、M点分别作PP1⊥OA，MM1⊥OA，垂足为P1，M1.
从而 NP1=P1M1，MM1=2PP1=4．
∴点M的横坐标为5，点P（4、2），P1M1= NP1= 1，TN =6．
∴S△MNT=×6×4=12，S四边形OCMN=S△OCT-S△MNT =-12=＜10．
综上所述：截得四边形面积的最大值为10．
考点：1.线动旋转问题；2.正方形的判定和性质；3.图形面积求法；4.分类思想的应用.
8．(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
【答案】(1) AD=BE ，AD ⊥BE ．(2) AD=BE ，AD ⊥BE ．(3) 5-32
≤PC≤5+32．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；
（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32.
【详解】
（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．
理由：如图1中，
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，
∠ACB=∠ACD=90°，
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD
延长BE 交AD 于点F ，
∵BC ⊥AD ，
∴∠EBC+∠CEB=90°，
∵∠CEB=AEF ，
∴∠EAD+∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．
∴AD=BE ，AD ⊥BE ．
故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ．
（2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．
理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形，
∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ACD=∠BCE ，
在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，
∴AD ⊥BE ，
∴AD=BE ，AD ⊥BE ．
（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，
∴PC=BE ，
图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2，
图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+32，
∴5-32≤BE≤5+32，
即5-32≤PC≤5+32．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。

（1）概念理解:
如图1,在ABC ∆中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=︒,试判断ABC ∆是否是“等高底”三角形，请说明理由.
（2）问题探究:
如图2, ABC ∆是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ∆关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '∆,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是123,12z ai z i =-=+的重心,求AC BC 的值. （3）应用拓展:
如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ∆的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 的2倍.将ABC ∆绕点C 按顺时针方向旋转45︒得到A B C ∆'',A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
132
AC BC =（3）CD 210322 【解析】 分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论；
（2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ， 再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， 得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC 13，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论即可：①当AB 2BC 时，再分两种情况讨论；
②当AC 2BC 时，再分两种情况讨论即可．
详解：（1）是．理由如下：
如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，
∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°．
∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =
12
AC =3， ∴ AD =BC =3，
即ΔABC 是“等高底”三角形．
（2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ，
∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°．
∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ．
设BD =x ，则AD =BC =2x ，∴CD =3x ，
∴由勾股定理得AC =13x ， ∴131322
AC x BC x ==．
（3）①当AB =2BC 时，
Ⅰ．如图3，作AE ⊥l 1于点E ， DF ⊥AC 于点F ．
∵“等高底” ΔABC 的“等底”为BC ，l 1//l 2，
l 1与l 2之间的距离为2， AB =2BC ，
∴BC =AE =2，AB =22，
∴BE =2，即EC =4，∴AC = 25．
∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴∠CDF =45°．
设DF =CF =x ．
∵l 1//l 2，∴∠ACE =∠DAF ，∴
12DF AE AF CE ==，即AF =2x ． ∴AC =3x =25，可得x =253，∴CD =2x =2103
．
Ⅱ．如图4，此时ΔABC 是等腰直角三角形，
∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，
∴ ΔACD 是等腰直角三角形，
∴ CD 2AC =22
②当AC =2BC 时， Ⅰ．如图5，此时△ABC 是等腰直角三角形．
∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C ，
∴A ′C ⊥l 1，∴CD =AB =BC =2．
Ⅱ．如图6，作AE ⊥l 1于点E ，则AE =BC ，
∴AC =2BC =2AE ，∴∠ACE =45°，
∴ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C 时，
点A ′在直线l 1上，
∴A ′C ∥l 2，即直线A ′ C 与l 2无交点．
综上所述：CD 的值为
2103，22，2． 点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
10．如图，四边形ABCD 中，45ABC ADC ∠=∠=，将BCD ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点B 的对应点恰好与点A 重合，得到ACE ∆.
（1）判断ABC ∆的形状，并说明理由；
（2）若2AD =，3CD =，试求出四边形ABCD 的对角线BD 的长.
【答案】（1）ABC ∆是等腰直角三角形，理由详见解析；（222
【解析】
【分析】
（1）利用旋转不变性证明A4BC 是等腰直角三角形.
（2）证明ACDE 是等腰直角三角形，再在Rt △ADE 中，求出AE 即可解决问题.
【详解】
解：（1）ABC ∆是等腰直角三角形.
理由：∵BC CA =，
∴45CBA CAB ∠=∠=，
∴90ACB ∠=，
∴ACB ∆是等腰直角三角形.
（2）如图：由旋转的性质可知：
90DCE ACB ∠=∠=，3CD CE ==，BD AE =， ∴32DE =，45CDE CED ∠=∠=，
∵45ADC ∠=，
∴454590ADE ∠=+=，
∴()222223222AE AD DE =+=+=，
∴22BD AE ==.
【点睛】
本题考查旋转变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。