第2章 信号与系统分析基础2

[f2(t)] = F2(ω) • 时域卷积定理
[f1(t)﹡f2(t)]=F1(ω)F2(ω) • 频域卷积定理
[f1(t) ·f2(t)]=1/(2π) F1(ω)﹡F2(ω)
例2.5.13利用卷积定理求三角脉冲的频谱
f(t)=g(t)g(t)
F(ω)=G(ω)·G(ω)
g(t)
例2.5.14利用卷积定理求有限长余弦信号的 频谱
dt
= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
f(t)=
F(nω1)
e-jnω1t
n-
=
F(nω1)
/
ω1•
e-jnω1t
Δ(nω1)
nω1-
在极限情况下， nω1ω， Δ(nω1) dω1, nωF1(-nω1)∫∞/-∞ω1F(ω) / 2π
f(t)=1/(2π) ∫∞-∞F(ω)ejωt dω
结论:
(4)频带宽度（带宽）
频谱图上第一个零点以内的范围，记作B。 例：对周期矩形脉冲信号，
Bω=2 π /τ
或
Bf=1/τ
2.5.2傅里叶变换
• 傅里叶正变换
F(ω)= [f(t)]= ∫∞-∞f(t)e-jωt dt
F(ω)=|F(ω)|e jφ(ω)
• 傅里叶逆变换
f(t)= -1 [F(ω)]= 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t
f(t)=a0+∑ [ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)] n=0
其中：
a0=1/T1∫T1/2-T1/2f(t)dt=1/T1∫τ/2τ/2Edt=Eτ/T1 an=2/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)cos(nω1t)dt
=2/T1∫τ/2τ/2E cos(nω1t) dt =2E/ (nπ) ·sin(nπτ/T1)= 2Eτ/T1·Sa(nπτ/T1) bn=0
例2.5.15周期单位冲激序列的傅里叶变换
δT(t)=∑δ(t-nT1)= ∑ Fnejnω1t
n=-
n=-
Fn=1/T1 ∫T1/2-T1/2δT(t)e-jnω1t dt =1/T1
δT(t)=1/Tn1=∑- ejnω1t
…
δT(t)
(1)
…
-T1 0 T1 t
δ(t)
(1)
F0(ω)
1
0
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t
作业2.3求图示各波形的傅里叶变换,并给出
各波形频谱所占带宽Bf（频谱图的第一零 点值），注意图中的时间单位为μs。
f(t)
f(t)
f(t)
1
1
1
-2 0 2 t (a)矩形单脉冲
例2.5.10矩形调幅信号的频谱
f(t)=g(t)cos(ω0t)
g(t)
E

-τ/2 τ/2 t
G(ω)
例2.5.11余弦和正弦信号的频谱
F(ω)
(π)
(π)
-ω1 0 ω1 ω
jF(ω)
(π)
-ω1 0 ω1 ω
(-π)
（7）微分特性
• 若 [f(t)]=F(ω)，则时域微分特性为
[df(t)/dt] = jωF(ω) [df n(t)/dtn] = (jω)n F (ω) 频域微分特性为 -1[dF(ω)/dω] = (-jt)f(t) -1[dFn(ω)/dωn] = (-jt)n f (t)
（8）积分特性
•若
[f(t)]=F(ω)，则时域积分特性为 [∫t-∞f(τ)dτ] = F(ω)/( jω)+πF(0)δ(ω)
频域积分特性为 -1[∫ω-∞f(Ω)d Ω ] = - f(t)/(jt)+πf(0)δ(t)
例2.5.12三角脉冲信号的频谱
2
2.5.4卷积定理
若
[f1(t)] = F1(ω)
所以
[F(t)]=2πf(- ω)
若f(t)是偶函数，则
[F(t)]=2πf(ω)
例2.5.7对称性实例(一)
例2.5.8对称性实例(二)
f(t)
1
0
t
f(t)
(1)
0
t
F(ω)
(2π)
0
ω
F(ω)
1
0
ω
（2）线性（叠加性）
• 若 [fi(t)]=Fi(ω)（i=1, 2, …, n），则
n
n
根据欧拉公式: cos(nω1t)=1/2(e jnω1t +e -jnω1t) sin(nω1t )=1/2j(e jnω1t -e -jnω1t)
有： [f(t) cos(ω0t) ] = 1/2[F(ω+ω0) + F (ω-ω0)] [f(t) sin(ω0t) ] = j/2[F(ω+ω0) - F (ω-ω0)]
[∑aifi(t)] = ∑aiFi(ω)
i=1
i=1
其中ai为常数，为n正整数。
（3）奇偶虚实性
• 若 [f(t)]=F(ω)，无论f(t)为实函数或复函数，
都具有以下性质： [f(-t)] = F(-ω) [f (t)] = F (-ω) [f (-t)] = F (ω)
（4）尽度变换特性
周期矩形脉冲信号的傅里叶级数(三角形式)
（2）指数形式的傅里叶级数
∞
f(t) = ∑ F（nω1）ejnω1t
n=-∞
其中：系数F（nω1）（简写作Fn）为
Fn=1/T1∫t0 t0+T1 f(t)e-jnω1tdt
n 为从-∞到+∞的整数。
公式推导过程：
f(t)=a0+∑ [ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)]
各次谐波成分的幅度值计算公式为：
直流分量
a0=1/T1∫t0 t0+T1 f(t)dt
余弦分量的幅度
an=2/T1∫t0 t0+T1 f(t)cos(nω1t) dt
正弦分量的幅度
bn=2/T1∫t0 t0+T1 f(t)sin(nω1t) dt
其中n=1，2，3，…
傅里叶级数的另一种形式：
f(t)=c0+∑ cncos(nω1t+φ) 其中： n=0
t
δT(t)
(1)
…
…
-T1 0 T1
δT(t)
(1)
…
t
…
-T1 0 T1 t
0
ω
Fn
(1/T1)
…
…
-ω1 0 ω1 ω F(ω)
(ω1)
…
…
-ω1 0 ω1 ω
例2.5.16周期矩形脉冲信号的傅里叶变换
f(t)=Eτ/T1∑Sa(nω1τ/2)ejnω1t n=-
F(ω)=2πnΣ=-Fnδ(ω-nω1)=Eτω1nΣ=-Sa(nω1τ/2)δ(ω-nω1)
（1）对称性
• 若F(ω)= [f(t)]，则
[F(t)]=2πf(- ω) • 当f(t)是偶函数时，则
[F(t)]=2πf(ω)
证明：
f(t) = 1/(2π)∫∞-∞F(ω)ejωt dω f(-t) = 1/(2π)∫∞-∞F(ω)e-jωt dω
将变量t与ω互换,可以得到
2π f(-ω) = ∫∞-∞F(t)e-jωt dt
推导过程:
F(nω1)=1/T1 ∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t dt
F(nω1)T1=2πF(nω1)/ω1 =∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t dt
F(ω)=lim 2πF(nω1)/ω1 =lim F(nω1)/T1
ω10
T1
=lim T1
∫T1/2-T1/2f(t)e-jnω1t
(n=1, 2, …)
频谱图
幅度谱（幅频特性）
相位谱（相频特性）
例2.5.1周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 （三角形式）
设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ, 脉冲 幅度为E, 重复周期为T1, 此信号在一个周期内 (-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为
f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]
设周期矩形脉冲信号f(t)的脉冲宽度为τ, 脉冲 幅度为E, 重复周期为T1, 此信号在一个周期内 (-T1/2≤t≤T1/2)的表示式为
f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)]
f(t)
E
0
-T1
-τ/2 τ/2
T1
t
(3)周期信号的平均功率（帕塞瓦尔定理）
此式表明：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开各 谐波分量有效值的平方和，也即时域和频域的能量守恒。
= E/2∫τ-τe-jωt dt+E/4∫τ-τ ejπt/τ·e-jωt dt
+ E/4∫τ-τ e-jπt/τ·e-jωt dt
= EτSa(ωτ)+(Eτ/2)Sa[(ω-π/τ)τ]
+ (Eτ/2)Sa[(ω+π/τ)τ]
=Esin(ωτ)/ ω[1-(ωτ/π)2]= EτSa(ωτ)/[1-(ωτ/π)2]
• 若 [f(t)]=F(ω)，则
其中，α为非零的实常数。
例2.5.9尺度变换特性的实例
（5）时移特性
• 若 [f(t)]=F(ω)，则
[f(t-t0)] = e –jωt0 ·F(ω) [f (t+t0)] = e jωt0 ·F (ω)
（6）频移特性
• 若 [f(t)]=F(ω)，则 [f(t) e jω0t ] = F(ω-ω0) [f (t) e -jω0t ] = F (ω+ω0)
非周期信号和周期信号一样,也可以分解成 许多不同频率的正、余弦分量。所不同的是， 由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于 无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频 率分量。同时，由于周期趋于无限大，因此， 对任一能量有限的信号，在各频率点的分量幅 度趋于无限小。所以频谱不能再用幅度表示， 而改用频谱密度函数来表示。
2.5.5周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率ω1=2π/T1 f(t) [=f(n∑=t-)]F=（nω1∑）Fe（jnωn1ωt 1）ejnω1t = n∑=-Fn=（- nω1） [ejnω1t ] [ejnω1t] = 2πδ(ω-nω1)
则 [f(t)] = 2π n∑=-Fn δ(ω-nω1)
若f(t)的周期为T1，角频率ω1=2π/T1，频率 f1=1/T1，傅里叶级数展开表达式为： f(t)=a0+a1cos(ω1t)+ b1sin(ω1t) +a2cos(2ω1t)
+b2sin(2ω1t)+…+ ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)+…
=a0+n∑=0[ancos(nω1t)+ bnsin(nω1t)]
f(t)
E
0
-τ -τ/2 τ/2 τ t
例2.5.6冲激信号的频谱
F(ω)=∫∞-∞ δ (t)e-jωt dt=1
f(t)
(1)
0
t
F(ω)
1
0
ω
2.5.3傅里叶变换的基本性质
（1）对称性 （2）线性（叠加性） （3）奇偶虚实性 （4）尺度变换特性 （5）时移特性 （6）频移特性 （7）微分特性 （8）积分特性
f(t)=Ee-(t/τ)2 (-∞＜t＜+∞)
E
F(ω)=∫∞-∞f(t)e-jωt dt
E/e
=∫∞-∞ Ee-(t/τ)2 e-jωt dt
0
=E∫∞-∞ e-(t/τ)2 [cos(ωt)-jsin(ωt)] dt
=2E∫ 0 ∞ e-(t/τ)2 cos(ωt) dt
=√πEτ·e-(ωτ/2)2
a0=c0 cn=√an2+bn2 an=cncosφn bn=-cnsinφn tanφn=-bn/an
(n=1, 2, …)
或：
f(t)=d0+∑ dnsin(nω1t+θ) 其中： n=0
a0=d0 dn=√an2+bn2 an=dncosθ n bn=dnsinθn tan θn=bn/an
τ
t
f(t)
E
E/e
0
τ
t
F(ω)
√πEτ
√πEτ/e 0
τ/2 ω
例2.5.5升余弦脉冲信号的频谱
f(t)
f(t)=E/2[1+cos(πt/τ)] (0≤t≤τ)
E
F(ω)=∫∞-∞f(t)e-jωt dt =∫τ-τE/2[1+ cos(πt/τ)]e-jωt dt
0
-τ -τ/2 τ/2 τ t
例2.5.3矩形脉冲信号的频谱
f(t)
f(t)=E[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)] E
F(ω)=∫∞-∞f(t)e-jωt dt =∫τ/2-τ/2 Ee-jωt dt =(2E/ω)sin(ωτ/2)
= Eτ·Sa(ωτ/2)
0
-τ/2 τ/2 t
例2.5.4钟形(高斯)脉冲信号的频谱
f(t)
n=0
根据欧拉公式: cos(nω1t)=1/2(e jnω1t +e -jnω1t) sin(nω1t )=1/2j(e jnω1t -e -jnω1t)
得到
令 F(nω1)=1/2·(an-jbn)
F(-nω1)=1/2·(an+jbn) 令F(0)=a0,而
(n=1, 2,…)
例2.5.2周期矩形脉冲信号的傅里叶级数 （指数形式）
2.5傅里叶变换
2.5.1周期信号的傅里叶级数 2.5.2傅里叶变换 2.5.3傅里叶变换的基本性质 2.5.4卷积特性 2.5.5周期信号的傅里叶变换
2.5.1周期信号的傅里叶级数
（1）三角函数形式的傅里叶级数 （2）指数形式的傅里叶级数 （3）周期信号的平均功率 （4）频带宽度（带宽）
（1）三角函数形式的傅里叶级数