线规习题课

线性规划部分习题课

一、 建立数学模型

1伟华化工厂在两个工厂生产油漆。它的油漆销售订货主要来自三个客户。从两个工厂到客户的运费

见表1：

订货数量(吨)

运输费用(元/ 吨)

从工厂A 从工厂B

建材批发站 化工批发站 第一建筑公司

50

100 85

180 260 320 250 230 190

油漆在工厂必须经过着色和调和两道工序，这两道工序在两个工厂的生产能力和成本见表2：

每吨油漆的处理

时间(小时)

处理成本 (元/小时) 设备的处理 能力(小时)

在厂A 着色 在厂A 调和 在厂B 着色 在厂B 调和

5 7 4 6

380 260 400 250

600 800 1000 1200

请构造一个线性规划模型使该公司的生产费用最小。

3发电厂有两台锅炉，每台锅炉投入运行时生产的蒸汽量一定要维持在其最大产气量和最低产气量之

间。每个锅炉的产汽范围和生产成本如表3： 表3

锅炉号 最低产气量(吨) 最高产气量(吨) 运行成本(元/吨)

1

2

400 500

900 1000

8 6

锅炉生产的蒸汽可送到两台汽轮机组发电，每台蒸汽消耗量也有最低和最高限制，且运行成本和每吨蒸汽的发电量亦不同，见表4： 表4

锅炉号

最低用气量(吨)

最高用气量(吨)

每吨蒸汽生产电量(1度=1kW.h)

运行成本(元/吨)

1 2

500 600

800 900

5 6

3 4

请写一个线性规划模型使发电厂在满足8000度发电计划的前提下运行成本最低？

二 单纯形法

4．已知线性规划问题

0 35 1800 2 + 6 1600

4 2 s.t. 83 21221212

1≥≤≤≤++=x x x x x x x x x z Max ，

解1）添加松弛变量x 3，x 4，x 5，在表5添上初始基本可行解，指出基变量和非基变量的取值。

X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b -z

2) 将初始基本可行解改进，迭代两步分别写在表6和表7中。 表6

X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b

-z

表7

X B x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b -z

3）指出各步计算的基本可行解是什么？判断其是否为最优解，说明原因。

5 一家具厂生产沙发,椅子和桌子需用劳力和材料,生产一件所需要量和单位利润如下,沙发的市场销售

量不大于50件.工厂考虑安排使获利润的生产计划.该问题的数学模型如下:

1）添加松弛变量x 4，x 5，x 6，经迭代得表8,判断此表是最终表吗? 若否请改进结果填在表9

0 , , )( 50 )( 600126 6 )( 90009030 60 .. )

( 804060 3211321321321321≥≤≤++≤++++=x x x x x x x x x x t s x x x z Max x x x 件沙发的销售限制立方米原材料限制人小时劳动力限制元总利润是生产桌子的件数是生产椅子的件数是生产沙发的件数设

2）是否存在其他最优解,为什么?

3）现有一位家具中介商手中有购买沙发10件的合同,问该厂如果从这个中介商手中购买这批合同,

那么愿为中介商付多少钱?(*) 6 食品罐头厂建立一个用于收购桃子的线性规划。厂内生产两种桃子的产品：罐头和果脯，收购的桃子分为A 和B 两个等级，罐头全部由A 级桃子制作，而果脯用A 级和B 级混合制成。目标是满足约束的条件下，获利最大的收购计划。设：

x x x 123===用于制罐头的级桃吨数，

用于制果脯的级桃吨数，用于制果脯的级桃吨数

A A B

线性规划数学模型如下(重量单位：吨，货币单位：千元)：

s.t. () ()

+ (A )

(B ) -4 () Max z x x x x x x x x x x x x x x =++≤+≤≤≤+≤≥0150120121801252257500

123

12312323123...罐头需求量果脯的需求量级桃数量级桃数量果脯质量要求，，

解：加入松驰变量x 4～x 8，请填写初始单纯形表10：

xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 B-1b

问题：1 在表10的基础上再迭代一步，将结果填写在表11：

xB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 B-1b

x 1

1 1 180 x 5 1 1 1 －1 80 x

2 1 －1 1 45 x 7

1 0 1 75 x 8 1 －4 4 1 180 －z

0 0. 0.12 －0.030

－0.12

0 0 －32.40

表11： x B

x 1

x 2

x 3

x 4

x 5

x 6

x 7

x 8

B -1b

－z

1 据表11回答以下问题：

a) 写出现阶段基本可行解(变量名称、含义)及目标函数值， b) 判断该解的最优性并给出原因， c) 是否存在其他解？为什么。

2. 食品厂愿为增添1吨A 级桃子支付的单价是多少？以此价的购买数量是多少？

3. 销售经理重新估计市场对罐头的需求量，提出将180吨改为200吨，这对收购计划有何影响？ 4 确定保持最优解基不变，用于制作罐头桃子的单位利润变化的范围。

5..一种新产品桃干是由A 、B 级桃各占一半制成，为了使其经济上可行其最低定价为何。 7 用大M 法解线性规划 8 解线性规划

3

,2,1 0 8243 23 2 ..323 3213213

21=≥≥++≤++++=j x x x x x x x t s x x x z Max j

0 0 6

4 ..22 3213213213

21符号不受限x x x x x x x x x t s x x x z Min ≥≤≤−+−=++−+−=

三 基本概念

基变量、非基变量、凸集、极点、基本解、基本可行解、标准型、典范型、单纯形法等

1.8 已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形法迭代后的表1.17。试求括号中的未知数a —l 的值

B X 1x 2x 3x 4x 5x b B 1−

4x 5x （b ）

-1

(c) 3 (d) (e) 1 0 0 1 6 1 j j z c −

(a) -1 2 0 0

1x 5x （g ） (h)

2 (i)

-1 1

1/2 1/2

0 1

(f) 4

j j z c −

0 -7 (j) (k) (l)

(a=3, b=2, c=4, d=-2, e=2, f=3,g=1, h=0, i=5 j=5, k=-3/2, l=0)