经典的数学建模例子

一、摘要

SARS

SARS就是传染性非典型肺炎，全称严重急性呼吸综合症（Severe Acute Respiratory Syndromes），简称SARS，是一种因感染SARS相关冠状病毒而导致的以发热、干咳、胸闷为主要症状，严重者出现快速进展的呼吸系统衰竭，是一种新的呼吸道传染病，传染性极强、病情进展快速。

当一种传染病流行的时候，会给人们的工作学习带来很大的不变，能有效地进行隔离、预防，会大大减少人员的得病率，当一种传染病开始流行时，在一定的条件下其趋势就像真菌的繁殖曲线，如果能通过计算预测但大概推算出其发病率高峰时期，及时的隔离预防。那会给社会人力带来很大的方便，当年SARS的爆发给我们带来和大的不便和损失，因此本论文就以SARS为例，来研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件和帮助。

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二、正文

1、模型的背景问题描述

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

要求：（1）建立传染病传播的指数模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立一个适合的模型，说明为什么优于问题1中的模型；特别要说明怎样才能

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建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。表中提供的数据供参考。

（3）说明建立传染病数学模型的重要性。

2、模型假设

（一）答；

从上列图表可知道在4月20到5月7日期已确诊的发病人总数呈指数增长趋势5月20到6月1日增长缓慢，6月1日到6月12日总数几乎不变。其形式与生物学中真菌繁殖总数相似。

从表格和准备中，作如下假设。

1、不考虑SARS在人体中的潜伏期，也就是说当人一旦传染就表现出来立即就具有传染

性。

2、当健康者满足一地条件时，健康者才被传染。

3、整个发病期间为自然状态也就是无人为外界干扰，政府等其它形式进行隔离预防。

4、忽略特殊情况，如个别人体质弱或强的。

假定初始时刻得病例数为M0。平均每位病人每天可传染N个人，可传染他人的时间为T 天。则在T天内，病例数目的增长随着时间t（单位天）的关系是；

M(t)=M0(1+N)t

如果不考虑对传染期的限制则病例数将按照指数规律增长考虑，当传染期T的作用后，变化将显著偏离指数规律，增长速度会放慢。把达到T天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉，为了方便，从开始到高峰期间，均采用同样的N值，（从拟合这一阶段的数据库定出），到达高峰之后在10天的范围内逐步调整N值，到比较小，然后保持不变，拟合后在控制阶段的全部数据。

评价及其合理性和实用性；

本模型主要有三个参数M0、N、T，且都具有实际意义。T可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染能力，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。N表示某种社会条件下平均每位病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。整个模型抓住了SARS传播过程中两个主要特征：传染期T和传染率N，反映了SARS的传播过程。使人很容易理解该模型。

模型灵活

通过调整M0、N、T值，就可以描述不同地区，不同环境下SARS的初期传播规律预测准确

通过模型对表格的调查结果进行了分析，得到的预测值与实际统计数据较接近。可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。

预期模型的缺点：

1、对于如何确定对于三个参数M0、N、T，未给出一般的原则或算法，只能通过对

于已发病地区的数据进行拟合得出。按照作者的表述，N值是以病发高峰为界取各段的平均值作为传染概率，虽然简化了运算，但是在现实情况下，不同地区的N值是不同的。在实际应用中，如果没有一定量的数据，是无法得出N值的。在我们对该模型

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进行拟合事发现，对于M0 、N 、 T 作者未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。

2、当需要对某一地区进行疫情分析时，还需考虑到该地区相对于表格所给的人群这类人口密集，人员流动性大的城市之间的差异。地域因素会造成不同地区的N 值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的N 值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法可能导致预测结果相差较大。

综上所述，该模型能较好的反映SARS 传染的特征性，具有一定的实际意义。但是，参数的取值包含有一定的主观因素，且需要大量的数据进行拟合，且未给出调整的标准和相关理论，在实际应用中实用价值不大。

(二)答：

模型假设

1、在疾病传播期内所考察地区的总人数N 不变，既不考虑生死，，也不考虑迁移。人群分为易感染者和已感染者两类，时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记为s （t ）和i （t ）。

2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数k ，k 称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染为病人。

问题分析

根据假设，可知，人群分为两类，一是健康者，二是病人，只要一类人群随时间的变化规律知道，这另一类人群也可马上求解。由于传染病过程中通常取病人为研究对象，所以决定求解病人随时间的变化规律。

3、模型分析、建立

对于t 时刻，病人的增加率为kNsi ，即

di

N kNsi dt

= （1）

又因为

S （t ）+i （t ）=1 （2） 再令初始时刻的病人比例为i0，这 (1),(0)0di

ki i i i dt

=-= （3） 显然此为logistic 模型，它的解为 1

()1(1/01)kt

i t i e -=

+- （4）

参数的确定

通过对图表的累计病例数用spss 进行曲线拟合，结果如下