4双曲型方程的差分方法(1)详解PPT课件
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并 用 中 心 差 商 近 似 u x, x2u 2
双曲型方程的差分方程
第一节 一阶线性常系数双曲型方程
设一阶常线性方程为
ut a u x0 x
ux,0fx
为了讨论方便，设常数 a 0 。对流方程的特征方程是常微分方程 dx adt 0 ，求解出此微分方程，得到一组解， x at 。很显然，
P10 它们是一组相互平行的直线（如下图所示），称这组直线为对流方
注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向， 但多了绝对值的计算。
2、比较截断误差
迎 风 格 式 ： (a>0)
unj1unj aunj1unj1ahunj12unj unj1
2h 2
h2
LaF x ri ed格 ri式 ch改 s 写为
un j1un j aun j1un j1hun j12un j 2un j1
|G (,k )| |1 ia sk in | h1 a 22s2 ikn
所以此格式绝对不稳定.
1 9 5 4 年 L a x 和 F r i e d r i c h s 分 别 提 出 格 式 ：
unj11 2unj1unj1 aunj1unj10 2h
即 u n j 1 ： 1 2 u n j 1 u n j 1 1 2 au n j 1 u n j 1
程的特征线。
t
(x0 ,t0)
x –at=
0 (x0 -at0 ,0)
x
采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：
第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂 的双曲型方程（组）的基础。 第二、，尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双 曲方程在数值计算中特有的性质和现象。 第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以 用来检验数值方法的效果和功能。 第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组） 以及非线性双曲方程领域。
h
h
u n j 1 u n j a u n j u n j 1 a u n j 1 u n j
u n j 1 2a au n j u n j 1 1 2a au n j 1 u n j
迎风格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为： T(xj,tn)O(h)
此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式 的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散
项h2 2u0，（在固定，h0），从而提高 2 x2
稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。
截 断 误 R差 2 h 2 x 2u 2为 O （ ： h2 ）
3、Lax-Wendroff格式
1960年Lax和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。 构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。
a 0
a 0
u n1 j
u
n j
a
u
nΒιβλιοθήκη Baiduj
u
n j 1
0,
h
un1 j
1 a
u
n j
a
u
n j 1
x at x j atn1
P
n+1
u
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j
0
u n1 j
1 a
u
n j
a
u
n j 1
x at x j atn1
P
n+1
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a>0
a>0
若引入:
ama i,0 n 1 2aa 0 a
a0 a0
ama a ,0x 1 2aa 0 a
a0 a0
迎 风 格 式 可 统 一 成 ： 适 用 于 变 系 数 的 情 形
unj1unj aunj unj1aunj1unj 0,
此 格 式 的 截 断 误 差 为 ： O h 2 O (h 2)
令unj vneikjh，有
vn1 [1（eikh eikh）a（eikh eikh） ]vn
2
2
（coskhiasinkh）vn
而且其增长因子为：
G ,k c o sk h ia rs in k h
G ,k2 1 1 a 22s in 2k h
几种典型的差分格式
迎风格式 Lax-Friedrichs格式 Lax-Wendroff格式 Courant-Friedrichs-Lewy条件 利用特征线构造差分格式 隐式格式 蛙跳格式
1、迎风格式
迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数 用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：
2h 2
h2
a1a2hunj12hu2nj unj1
左 端 相 同un j 1un j aun j 1un j 1
2h
它 们 都 以 O （ h 2 ） 趋 近 对 流 方 程 。
L-F格式的右端项： a1a2hunj12hu2nj unj1
由稳定性的限a制 条 1，件 如果a取1，
则上面2个 的式子相等。如1，果则 L小 F于 格式的截断误差截比断迎误风差大。
故当 a 1时，
Lax-Friedr格 ich式 s 稳定。
Lax-Friedrichs格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为：T(xj,tn)O(h)
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
两种格式的比较格式的比较:
1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中, L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, 而迎风格式却要考虑其走向.
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a|1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a|1
2、Lax-Friedrichs 格式
中心差分格式
un j1un j aun j1un j1 0
2h
用 F ourier分 析 方 法 分 析 此 格 式 的 稳 定 性 。
设 un j vneikjh于 是 有
vn1 （ 1-iasinkh)vn
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn )[ u t]n j2 2[ 2 2 u t]n j O (3 )
利 用 微 分 方 程u有： a u t x
2u t2
（a t
u） x
a2
2u x2
代入上面的式子,于是有
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn ) a [ u x ]n j a 2 2 2 [ 2 2 u x ]n j O (3 )
双曲型方程的差分方程
第一节 一阶线性常系数双曲型方程
设一阶常线性方程为
ut a u x0 x
ux,0fx
为了讨论方便，设常数 a 0 。对流方程的特征方程是常微分方程 dx adt 0 ，求解出此微分方程，得到一组解， x at 。很显然，
P10 它们是一组相互平行的直线（如下图所示），称这组直线为对流方
注、如果迎风格式写成统一格式,也不必考虑特征线走向， 但多了绝对值的计算。
2、比较截断误差
迎 风 格 式 ： (a>0)
unj1unj aunj1unj1ahunj12unj unj1
2h 2
h2
LaF x ri ed格 ri式 ch改 s 写为
un j1un j aun j1un j1hun j12un j 2un j1
|G (,k )| |1 ia sk in | h1 a 22s2 ikn
所以此格式绝对不稳定.
1 9 5 4 年 L a x 和 F r i e d r i c h s 分 别 提 出 格 式 ：
unj11 2unj1unj1 aunj1unj10 2h
即 u n j 1 ： 1 2 u n j 1 u n j 1 1 2 au n j 1 u n j 1
程的特征线。
t
(x0 ,t0)
x –at=
0 (x0 -at0 ,0)
x
采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：
第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂 的双曲型方程（组）的基础。 第二、，尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双 曲方程在数值计算中特有的性质和现象。 第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以 用来检验数值方法的效果和功能。 第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组） 以及非线性双曲方程领域。
h
h
u n j 1 u n j a u n j u n j 1 a u n j 1 u n j
u n j 1 2a au n j u n j 1 1 2a au n j 1 u n j
迎风格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为： T(xj,tn)O(h)
此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式 的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散
项h2 2u0，（在固定，h0），从而提高 2 x2
稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。
截 断 误 R差 2 h 2 x 2u 2为 O （ ： h2 ）
3、Lax-Wendroff格式
1960年Lax和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。 构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。
a 0
a 0
u n1 j
u
n j
a
u
nΒιβλιοθήκη Baiduj
u
n j 1
0,
h
un1 j
1 a
u
n j
a
u
n j 1
x at x j atn1
P
n+1
u
n 1 j
u
n j
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0
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1 a
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x at x j atn1
P
n+1
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
AB CD Q
n
j-2 j-1 j j+1 j+2
a>0
a>0
若引入:
ama i,0 n 1 2aa 0 a
a0 a0
ama a ,0x 1 2aa 0 a
a0 a0
迎 风 格 式 可 统 一 成 ： 适 用 于 变 系 数 的 情 形
unj1unj aunj unj1aunj1unj 0,
此 格 式 的 截 断 误 差 为 ： O h 2 O (h 2)
令unj vneikjh，有
vn1 [1（eikh eikh）a（eikh eikh） ]vn
2
2
（coskhiasinkh）vn
而且其增长因子为：
G ,k c o sk h ia rs in k h
G ,k2 1 1 a 22s in 2k h
几种典型的差分格式
迎风格式 Lax-Friedrichs格式 Lax-Wendroff格式 Courant-Friedrichs-Lewy条件 利用特征线构造差分格式 隐式格式 蛙跳格式
1、迎风格式
迎风格式的思想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数 用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：
2h 2
h2
a1a2hunj12hu2nj unj1
左 端 相 同un j 1un j aun j 1un j 1
2h
它 们 都 以 O （ h 2 ） 趋 近 对 流 方 程 。
L-F格式的右端项： a1a2hunj12hu2nj unj1
由稳定性的限a制 条 1，件 如果a取1，
则上面2个 的式子相等。如1，果则 L小 F于 格式的截断误差截比断迎误风差大。
故当 a 1时，
Lax-Friedr格 ich式 s 稳定。
Lax-Friedrichs格式的性质：
1、满足相容性，一阶精度，
截断误差为：T(xj,tn)O(h)
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a | 1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a | 1
两种格式的比较格式的比较:
1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中, L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, 而迎风格式却要考虑其走向.
2、条件稳定的，稳定性条件为：| a|1
3、条件收敛的，收敛条件为：| a|1
2、Lax-Friedrichs 格式
中心差分格式
un j1un j aun j1un j1 0
2h
用 F ourier分 析 方 法 分 析 此 格 式 的 稳 定 性 。
设 un j vneikjh于 是 有
vn1 （ 1-iasinkh)vn
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn )[ u t]n j2 2[ 2 2 u t]n j O (3 )
利 用 微 分 方 程u有： a u t x
2u t2
（a t
u） x
a2
2u x2
代入上面的式子,于是有
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn ) a [ u x ]n j a 2 2 2 [ 2 2 u x ]n j O (3 )