上海市第一学期高一数学期中考试试题及答案

合集下载

上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷含答案

上海市徐汇区高一上学期期中考试数学试卷一、填空题（共12小题）.1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是（填序号）．2．将化为有理数指数幂的形式为．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．116．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．参考答案一、填空题1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}⊆M；③π⊆M；④{π}∈M，其中正确的是①②（填序号）．解：因为π≈3.14，所以元素π∈M，集合{π}⊆M，故①②正确，③④错误．故答案为：①②．2．将化为有理数指数幂的形式为．解：∵a＞0，∴＝＝＝．故答案为：．3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是x≤1且y≤1．解：命题为全称命题，则“x＞1或y＞1”的否定形式为x≤1且y≤1，故答案为：x≤1且y≤1．4．若0＜a＜1，s＜0，则a s＞1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．解：∵0＜a＜1时，函数y＝a x为减函数，∴当s＜0时，a s＞a0＝1，故答案为：＞．5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝．解：显然x≠0，由A＝B得，解得．故答案为：{，1}．6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值范围为[0，3]．解：∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，∴，解得0≤m≤3，∴m的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝2．解：∵|2x﹣a|+a＜6，∴a﹣6＜2x﹣a＜6﹣a，即a﹣3＜x＜3，∵不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），∴a﹣3＝﹣1，解得a＝2．故答案为：2．8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是3﹣2（当且仅当时取等号）．解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab．由已知，得a+b+c＝2，∴a+b+＝2，∴2＝a+b+≥2+＝（2+），∴≤＝2﹣，∴ab≤（2﹣）2＝6﹣4，∴S＝ab≤3﹣2，当且仅当a＝b＝2﹣时，S取最大值3﹣2．故答案为：3﹣2（当且仅当时取等号）．9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为7．解：∵2a＝72b＝m，∴a＝log2m，2b＝log7m，∴b＝＝＝log49m，∴+＝2，∴log m2+log m49＝2，∴log m98＝2，∴m2＝98，∴m＝7．故答案为：7．10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．解：∵正数x，y满足4x+9y＝xy，∴+＝1，∴x+y＝（x+y）（+）＝++13≥2+13＝25，当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，∴x+y的最小值为25，∵x+y＜m2﹣24m有解，∴25＜m2﹣24m，即m2﹣24m﹣25＞0，解得m＞25或m＜﹣1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝10或4．解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，可得ax+3＜0对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a不存在；当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，令f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，又g（x）的大致图象如图所示，所以，又a，b∈Z，所以或，所以a+b＝4或a+b＝10．故答案为：4或10．12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是．解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴b+c＝1﹣a，bc＝[（b+c）2﹣（b2+c2）]＝a2﹣a﹣1，∵bc＜，∴a2﹣a﹣1＜，∴3a2﹣2a﹣5＜0，即，∴＜1﹣a＜2，∴＜b+c＜2，下面精确a的下限，假设a＜1，由a＞b＞c，由﹣＜b＜a＜1，﹣＜c＜a＜1，所以a2＜1，b2＜1，c2＜1，因此a2+b2+c2＜3，矛盾，故a＞1，所以b+c＝1﹣a＜0，综上可得＜b+c＜0，故答案为：．二、选择题13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵若＝时，如取a1＝b1＝1，a2＝b2＝﹣1，关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0即不等式x+1＞0与﹣x﹣1＞0的解集不相同，∴“＝”不能推出“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”，反之，“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”⇒“＝”，∴P是Q的充分非必要条件．故选：A．14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（）A．B．C．D．解：由lg2＝a，lg3＝b，得log1225＝＝．故选：D．15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（）①；②；③；④．A．4B．3C．2D．1解：a，b为非零实数，①∵（a﹣b）2≥0，展开可得；②∵（a﹣b）2≥0，展开可得a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；③取a＝b＝﹣1，则不成立；④取ab＜0，则不成立．综上可得：成立的只有①②．故选：C．16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（）A．4B．9C．16D．64解：∵集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}⊆Z，则函数f（x）有7个解，且全是整数，又∵x2﹣4x+m＝0 中两个解满足x1+x2＝4，x1•x2＝m，∴可知解为2和2，3和1，4和0，5和﹣1，6和﹣2，7和﹣3，8和﹣4，9和﹣5，10和﹣6，..．∴m＝4，3，0，﹣5，﹣12，﹣21，﹣32，﹣45，﹣60..．∵c1≤c2≤c3≤c4，∴C4＝4，则C1＝﹣5，或﹣12，或﹣21，或﹣32，或﹣45，或﹣60，..．则c4﹣c1不可能的值是4，故选：A．三、解答题17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．（1）若A∪B＝A，求实数a的值；（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；（2）因为A∩C＝C，所以C⊆A，当C＝∅时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，当C＝{1}时，，无解，当C＝{2}时，，解得m＝﹣3，当C＝{1，2}时，，无解，综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P⊂Q；（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．【解答】证明：（1）先证P⊆Q，任取n∈P，存在m＝k+1∈N，使得n＝3k+1＝3（k+1）﹣2＝3m﹣2∈Q，∵P⊆Q，又∵﹣2∈Q，﹣2∉P，∴P⊂Q，即得证．（2）证明：∵f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）+（b﹣x）|+c＝a+b+c＝6，∴＝，当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，故．20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围；（2）解关于x的不等式；（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．解：（1）当a＝4时，﹣1≥0无解，满足题意，当a＝﹣4时，8x﹣1≥0有解，舍去，当a≠±4时，解得，综上，实数a的取值范围是；（2）由得，即（x+2）[（m﹣1）x﹣（3m+2）]≥0且x≠﹣2，当m＝1时，，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，，且x≠﹣2，解集为，当m＜1时，且x≠﹣2，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为，综上，当m＝1时，解集为x∈（﹣∞，﹣2），当m＞1时，解集为，当0＜m＜1时，解集为，当m＝0时，解集为∅，当m＜0时，解集为；（3）由（1）得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，当A∩B中有且只有三个元素，显然0≤m≤1不可能，当m＞1时，因为，不合题意，舍去，当m＜0时，，因为A∩B中有且只有三个元素，所以，，解得，综上，实数m的取值范围是．21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝0，且na n＝2（a1+a2+…+a n）；（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3都属于数集{0，1，3，4}，所以数集{0，1，3，4}具有性质P，因为2+3和3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，所以数集{0，2，3，6}不具有性质P；（2）证明：令i＝j＝n，因为a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a n+a n不属于A，所以a n﹣a n属于集合A，即0∈A，所以a1＝0，令j＝n，i＞1，因为a i+a j，与a j﹣a i两数中至少有一个属于A，所以a i+a j不属于A，所以a j﹣a i属于集合A，令i＝n﹣1，则a n﹣a n﹣1是集合A中的某一项，若a n﹣a n﹣1＝a2，符合题意，若a n﹣a n﹣1＝a3，则a n﹣a3＝a n﹣1，所以a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，矛盾，同理a n﹣a n﹣1等于其他项均矛盾，所以a n﹣a n﹣1＝a2，同理，令i＝n﹣2，n﹣3，⋯，2，可得a n＝a i+a n+1﹣i，倒序相加得，即na n＝2（a1+a2+a+⋯+a n）；（3）解：当n＝5时，令j＝5，当i≥2时，a i+a5＞a5，因为集合A具有性质P，所以a5﹣a i∈A，所以a5﹣a i∈A，i＝1，2，3，4，5，所以a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5＝0，所以a5﹣a1＝a5，a5﹣a2＝a4，a5﹣a3＝a3，所以a2+a4＝a5，a5＝2a3，所以a2+a4＝2a3，即0＜a4﹣a3＝a3﹣a2＜a3，又因为a3+a4＞a2+a4＝a5，所以a3+a4∉A，所以a4﹣a3∈A，所以a4﹣a3＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a2＝a2﹣a1，所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2＝3的等差数列，所以A＝{0，3，6，9，12}．。

上海市行知中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市行知中学2024学年第一学期高一期中考试数学试题(满分150分, 考试时间120分钟)一、填空题(本大题共12小题, 1-6每小题4分, 7-12每小题5分, 满分54分)1. 设集合 A ={1,a²}, 若2∈A,则= .2. 函数的定义域为 .3.若,设 P =x²+3,Q =2x , 则的大小关系为4. 用反证法证明命题:“若, 则”时, 应假设 .5.已知, 则的最小值为 .6. 指数函数在R 上是严格增函数，则实数的取值范围是 .7. 已知, 则用表示= .8. 已知关于的方程 x ²−2ax +a =0有两个实数根分别为,且 x 21+x 22=6x 1⋅x 2−3,则实数的值为 .9. 已知实数满足，则 (13)a ⋅(13)2b 的取值范围是 .10.若函数 y =ax +1x +1在[1，+∞)上是严格减函数，且在[1，+∞)上函数值不恒为负，则实数的取值范围是 .11.已知为实数，用|S|表示有限集合S 的元素个数，A ={x|(x +a )(x²+bx +c )= 0},B ={x|(ax +1)(cx²+bx +1)=0},则|A|-|B|所有可能的值是 .12. 若对任意的，总存在，使得(2y +m )[lg 2x )2+4]=log 2x 成立，则数的取值范围是 .a 21-=x y R x ∈Q P 、P Q0≤+y x 00≤≤y x 或0>x xx 4+xm y )1(-=m n m ==7log ,5log 33n m ,9log 35x 21x x 、a 0,0>>b a 1=+b a a c b a ,,[]8,2∈x []2,1∈y m二、选择题(本大题共4小题, 13、14 每题 4 分, 15、16 每题 5 分, 满分18分)13. 已知, 则下列不等式正确的是 ( )A. B.a²>b² C.lg a >lg bD.14.如图，图像①②③④所对应的函数不属于,y =log 2x,y =log 12x 中的一个是( )A. ①B. ②C. ③D. ④15.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 v (单位：m/s)可以表示为 v =12log 3O 100, 其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s 时耗氧量的单位数为U ，游速为3m/s 时耗氧量的单位数为W ，则 W U =( )A. 3B. 6C. 9D. 1216. 已知满足a =log₅(2ᵇ+3ᵇ),c =log₃( 5ᵇ−2ᵇ ),则( )A. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≥|b-c|B. |a-c|≥|b-c|, |a-b|≤|b-c|c. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≥|b-c|D. |a-c|≤|b-c|, |a-b|≤|b-c|三、解答题(本大题共有5小题，满分78分，必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤)17.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分)已知全集为R ，集合A ={x|2x 2−5x−6≤1}, 集合B={}.(1) 求集合A,B 及A∩B:(2) 若C={}, 且满足A∪C=A, 求实数的取值范围.b a R c b a >∈,,,bc ac >33b a >x y 2=c b a ,,1)6lg(|>+x x 1|||≤-m x x m18.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分)已知幂函数 y =(m²−2m−2)xᵐ⁻¹(m ∈R ),且该函数在 ( 0 , +∞ )上是严格增函数.(1) 求此幂函数的表达式：(2) 求关于的不等式 y >ax 的解, 其中.19.(本题满分14分，第一小题满分6分，第2小题满分8分)某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资与利润(单位：万元) 分别满足函数关系y =k 1x a 1与 (1) 求k₁,a₁与 k₂,a₂的值：(2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大?并求出总利润的最大值.x R a ∈x y 22a x k y =p20.(本题满分18分, 第1小题6分, 第2小题6分,第3小题6分)已知, 函数 y =log 2(12x +a )(1) 当时，求该函数的定义域(2) 设 P (x₁,y₁),Q (x₁,y₂)是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P 在点Q 的左侧，求证：点P 在点Q 的上方.(3)设，若对任意的， y =log 2(12x+a )在区间[]上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围.21.(本题满分18分, 第1小题4分, 第2小题6分, 第3小题8分)对于元素为正整数集合A ={a 1,a 2,⋯,a n }|n ∈Z,n ≥3),如果去掉集合A 中任意一个元素 (i =1,2,⋯,n )之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“求真集合”：(1) 判断集合{1，2，3}是否为“求真集合”，并说明理由；(2) 求证：四个元素为正整数的集合A ={a₁,a₂,a₃,a₄}定不是“求真集合”：(3)求证：“元素为正整数集合A ={a 1,a 2,⋯,a n }(n ∈Z ,n ≥3)为求真集合”是“为奇数”的充分非必要条件.R a ∈1=a 0>a []0,1-∈t 1,+t t 6log 2a i a n。

上海高一上学期数学期中试卷含答案

上海市金山中学第一学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．若全集{1,2,3,4,5}U =且{2,3}U C A =,则集合=A ___________． 2．已知集合{}1,0,1A =-,{}011|<-+=x x x B ,则A B =________． 3．函数,33)(+-=x x x f ,3)(+=x x g 则=⋅)()(x g x f ___________． 4．函数21)(--=x x x f 的定义域是__________________． 5．设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ,若2)(=a f ,则实数a 为________．6．若01a <<，则关于x 的不等式1()0a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解集是_________________．7．已知2:20,:P x x Q x a +->>，若Q 是P 的充分非必要条件，则实数a 的取值范围是 ______________．8．若关于x 的不等式3|2|<-ax 的解集为}3135|{<<-x x ，则a =_________． 9．若关于x 的不等式04)1(2)1(2≥--+-a x a 的解集为φ,则实数a 的取值范围是____________．10．已知集合}2,1{-=A ，}01|{>+=mx x B ，且B B A = ，则实数m 的取值范围是_________． 11．设函数2)(-=x x f ，若不等式m x f x f +>+|)(||)3(|对任意实数x 恒成立，则m 的取值范围是_________ ．12．满足不等式||(0,)x A B B A -<>∈R 的实数x 的集合叫做A 的B 邻域，若2-+b a 的b a +邻域是一个关于原点对称的区间，则ba 41+的取值范围是_________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．若集合中三个元素为边可构成一个三角形，则该三角形一定不可能是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）等腰三角形 14．设x 取实数，则)(x f 与)(x g 表示同一个函数的是（）（A ）x x f =)( ,2)(x x g =（B ） ()xx x f 2)(=，()2)(x xx g =（C ）1)(=x f ,0)1()(-=x x g （D ）39)(2+-=x x x f ，3)(-=x x g15．若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）（A ）222)2(2b a b a +≥+ （B ）2≥+baa b （C ）4)11)((≥++b a b a （D ）||2||ab b a ≥+16．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为122+=x y ，值域为}19,5{的“孪生函数”共有 ( ) （A ）4个（B ）6个（C ）8个（D ）9个三、（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．(本小题满分8分)解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++-<--021122x x x x18．(本小题满分8分)已知集合}02|{2=--=px x x A ，}0|{2=++=r qx x x B ，若}5,1,2{-=B A ，}2{-=B A ，求r q p ++的值19．(本小题满分10分)已知集合}0161|{2有解不等式≤++=ax x a P ，集合}044|{2恒成立对任意实数不等式x ax ax a Q <-+=，求Q P20．(本小题满分12分) 本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题4分。

上海市高一第一学期期中考试数学试卷含答案(共3套)

上海市高一上学期数学期中考试试卷一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C . D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可.3.已知，则“ ”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5.函数的定义域为________【答案】【考点】函数的定义域及其求法【解析】【解答】由题意得，即定义域为【分析】要使函数有意义，应满足分式的分母不为0，偶次根式被开方数非负，解不等式组即可求出函数的定义域.6.已知集合，，则________【答案】【考点】交集及其运算【解析】【解答】由题集合集合故.故答案为.【分析】通过求函数的定义域求出集合A，通过求二次函数的值域求出集合B，根据交集的含义求出相应的集合即可.7.不等式的解集是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】不等式，则故答案为.【分析】通过作差，将分式不等式转化为整式不等式，解相应的一元二次不等式即可求不相应的解集. 8.“若且，则”的否命题是________【答案】若或，则【考点】四种命题【解析】【解答】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【分析】将原命题的条件和结论都进行否定，即可得到否命题.9.已知，则的取值范围是________【答案】【考点】简单线性规划【解析】【解答】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移直线即可求出相应的取值范围.10.若，，且，则的取值范围是_________【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【解答】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【分析】通过解绝对值不等式表示出集合A，将集合之间的关系转化为区间端点值的大小比较，即可求出实数a的取值范围.11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是________ 【答案】【考点】不等式的综合【解析】【解答】略【分析】对二次项系数的取值分类讨论，当系数为0时，求出a值，直接验证符合题意；当二次项系数不为0时，开口向下，判别式小于0，解不等式组即可求出实数a的取值范围.12.若函数，则________【答案】【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】【解答】设,则则即即答案为.【分析】采用换元法，求出函数f（x）的表达式，代入即可求出f（2x+1）.13.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【分析】将不等式恒成立问题进行转化，结合基本不等式求出相应式子的最值，即可求出实数a的最小值.14.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【考点】其他不等式的解法【解析】【解答】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，A的取值范围是{a|a≤-2或- ≤a＜0}．即答案为.【分析】分别解相应的不等式，结合不等式的解集即可确定实数a的取值范围.15.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【考点】归纳推理【解析】【解答】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【分析】根据已知式子归纳猜想，得到相应的关系即可确定P.16.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【考点】元素与集合关系的判断【解析】【解答】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5， a5-a2=a4， a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5， a5=2a3， A2+a4=2a3，即答案为②③④.【分析】根据集合中元素的特点，结合集合中元素的互异性，逐一判断即可确定真命题个数.三、解答题17.设集合，集合.（1）若“ ”是“ ”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“ ”是“ ”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m ＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是（2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若∁R A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“ ，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明. 【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故.【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。

上海市第一学期高一数学期中考试试题及答案

—、填空题：(每空3分，共42分)一、已知隼合A = {—1,1,2,4},3 = {—1,0,2},那么AUB二______________2、不等式=no的解隼为________________ (用区间表示)x + 33、已知集合M={(x z ^|4x+y=6}, P={(x, ^|3x+2y=7},那么MAP=_4、已知全集U=R,集合P={A I X2-5X-6>0}，那么QP = __________________五、已知集合A={1, 3,2m+3}, B={3, m2},若B^A ,那么实数m二—6、设全集U=MUN = {l，2,3,4,5},MnqN={2,4},则2= ______________________7、知足{1, 2}®Ic{l, 2, 3, 4, 5, 6}的集合M的个数是___________________________八、已知xw/?,命题“假设2vx<5,那么X2-7X +10<0”的否命题是_____________________3九、设x>0,那么.V + —的最小值为____________________牙+ 110、假设关于x的不等式ax^bx + o 0的解集为{A I-1<%<2},那么关于x的不等式cv2+bx + a>0的解集是________________1 一、在R上概念运算= x(l->')-假设不等式(x-")0(x + a) vl对任意实数x成立，那么实数。

的取值范围是1二、假设关于x的不等式2X +3G/2-2G_1在R上的解集为0,那么实数。

的取值范围是。

13、设实数“上知足。

+ " + ” = 30,且“>00>0,那么丄的最小值为_ab14、概念知足不等式卜-A|vB(A*,B>0)的实数x的集合叫做A的B邻域。

2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．若集合A ＝{﹣1，0，1}，则在A 的所有子集中，含有元素0的集合共有个．2．设A 、B 是两个非空的有限集合，全集U ＝A ∪B ，且U 中含有m 个元素，若∪中含有n 个元素，则A ∩B 中所含有元素的个数为．3．设a 是实数，集合M ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，N ＝{y |ay +2＝0}，若N ⊆M ，则a 的取值集合是．4．不等式＞1的解集为．5．计算（lg 50）2+lg 2×lg 502+（lg 2）2＝．6．设a 2x ＝2，a ＞0，则＝．7．若关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x +4m 2＝0有两个实数根，且这两根互为倒数，则m ＝．8．对任意实数x ，不等式|x +1|+|x ﹣a |≥﹣a +1恒成立，则实数a 的取值范围是．9．已知幂函数y ＝f （x ）＝x α在[0，+∞）上是严格增函数，该幂函数的图像关于y 轴对称，且满足f （）＞，请写出一个满足条件的α的值．10．定义：min {x ，y }为实数x ，y 中较小的数．已知，其中a ，b 均为正实数，则h 的最大值是．11．若集合A ＝{x |x 2﹣（a +2）x +2﹣a ＜0，x ∈Z }中有且只有一个元素，则正实数a 的取值范围是．12．集合M ＝{6666，﹣11135，2333，10，99111，﹣1，﹣198，1000，0，π}有10个元素，设M 的所有非空子集为M i （i ＝1，2，…，1023），每一个M i 中所有元素乘积为m i （i ＝1，2，…，1023），则m 1+m 2+m 3+…+m 1023＝．二.选择题13．若集合M ＝{a ，b ，c }中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形14．俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要15．已知使不等式x 2+（a +1）x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x ﹣1≤0，则实数a 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数y ＝[x ]（x ∈R ）称为高斯函数，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2，则点集P ＝{（x ，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是（）A．1B．πC．4D．π+1三、解答题17．（10分）已知关于x的不等式＜0的解集为S．（1）当m＝9时，求集合S；（2）若5∈S且7∉S，求实数m的取值范围．18．（10分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分．（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值．19．（10分）设y＝f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c＝0，f（0）f（1）＞0．（1）求证：方程f（x）＝0有实根；（2）求的取值范围；（3）设f（x）与x轴交于A、B两点，求线段AB长度的取值范围．20．（10分）（1）证明：设a1、a2都大于0，且a1+a2＝4，a1•a2＜2，则a1、a2中至少有一个小于1；（2）请作一猜想，将上述命题推广到n个数；（3）请证明（2）中你得到的结论．2021-2022学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：由题意得，在集合A的子集中，含有元素0的有{0}，{0，﹣1}，{0，1}，{0，﹣1，1}，共4个．故答案为：4．2．【解答】解：因为全集U＝A∪B，且U中含有m个元素，若∪中含有n个元素，因为，所以A∩B中所含有元素的个数为m﹣n．故答案为：m﹣n．3．【解答】解：由题意解得M＝{﹣3，2}，∵N⊆M，①a＝0时，N＝∅，符合题意；②a≠0时，N＝{﹣}，∴﹣＝﹣3或2，解得a＝或﹣1，∴A＝{0，﹣1，}，∴A的取值集合为{0，﹣1，}．故答案为：{0，﹣1，}．4．【解答】解：∵不等式＞1，∴|2x﹣3|＜1且2x﹣3≠0，∴﹣1＜2x﹣3＜1且x≠，∴1＜x＜2且x≠，∴不等式解集为{x|1＜x＜2且x≠}．故答案为：{x|1＜x＜2且x≠}．5．【解答】解：（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2＝lg250+2lg2×lg50+lg22＝（lg50+lg2）2＝（lg100）2＝22＝4，故答案为：4．6．【解答】解：a2x＝2，a＞0，则a x＝，原式＝＝a2x﹣1+a﹣2x＝2﹣1+＝，故答案为：．7．【解答】解：设x1，x2是方程x2+2（m﹣1）x+4m2＝0有两个实数根，则x1x2＝4m2＝1，解得m＝或m＝﹣，又当m＝时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＜0，舍去m＝，当m＝﹣时，Δ＝[2（m﹣1）2﹣16m2]＞0．故答案为：﹣．8．【解答】解：由绝对值三角不等式可得|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣（x﹣a）|＝|a+1|，因为对任意实数x，不等式|x+1|+|x﹣a|≥﹣a+1恒成立，所以|a+1||≥﹣a+1，当a＞﹣1时，a+1≥﹣a+1，解得a≥0；当a≤﹣1时，﹣a﹣1≥﹣a+1，即﹣1≥1，不等式不成立，综上，实数a的取值范围是a≥0．故答案为：a≥0．9．【解答】解：∵幂函数y＝f（x）＝xα在[0，+∞）上是严格增函数，∴α＞0，∵该幂函数的图像关于y轴对称，∴α可以为偶数或分子为偶数，∵f（）＞，∴0＜α＜1，故满足条件的α的值可以为，故答案为：．10．【解答】解：∵a，b均为正实数，＝≤，∴当a≥，即a≥时，≤，即≤，∴h＝min{a，}＝≤；当0＜a＜时，h＝min{a，}＜；综上所述，h的最大值为．故答案为：．11．【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0且a＞0，∴x2﹣2x+2＜a（x+1），令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1），∴A＝{x|f（x）＜g（x），x∈Z}，∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：．故答案为：（，]12．【解答】解：∵M的所有非空子集为M i（i＝1，2，…，1023），这1023个子集分成以下几种情况：①含0的子集有512个，这些子集均满足m i＝0；②不含0，含﹣1且还含有其它元素的子集有255个，③不含0，不含﹣1但含有其它元素的子集有255个，④只含﹣1的子集一个{﹣1}，满足m i＝﹣1；其中②③中的集合是一一对应的，且满足m i对应成相反数，故m1+m2+m3+…+m1023＝512×0+255×0﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1二.选择题13．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；故选：D．14．【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选：B．15．【解答】解：解不等式3x﹣1≤0，得x≤，解集为（﹣∞，]．由不等式x2+（a+1）x+a≤0，得（x+1）（x+a）≤0，因为使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，若a＝1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为{﹣1}，满足{﹣1}⊆（﹣∞，]，符合题意．若a＜1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣1，﹣a]，则[﹣1，﹣a]⊆（﹣∞，]，所以﹣a≤，解得﹣≤a＜1．若a＞1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣a，﹣1]，则[﹣a，﹣1]⊆（﹣∞，]，所以a＞1．综上知，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．故选：B．16．【解答】解：由题意可得或或或，画出可行域，如图所示，∴点集P＝{（x，y）|[x]2+[y]2＝1}所表示的平面区域的面积是4，故选：C．三、解答题17．【解答】解：（1）当m＝9时，＝，转化为（x+3）（x﹣）（x﹣3）＜0，解得x＜﹣3或，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，3），（2）若5∈S且7∉S，则，解得1≤m＜或25＜m≤49．18．【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：…依题意，知x≥0，y≥0，z≥0，且x、y、z均为整数，∴解得：≤x≤，∴x可取4、5、6…（6分）∴A队胜、平、负的场数有三种情况：当x＝4时，y＝7，z＝1；当x＝5时，y＝4，z＝3；当x＝6时，y＝1，z＝5．…（10分）（2）∵W＝（1500+500）x+（700+500）y+500z＝﹣600x+19300当x＝4时，W最大，W最大值＝﹣60×4+19300＝16900（元）．…（14分）19．【解答】证明：（1）∵f（0）f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0，，则c＝﹣a﹣b，（﹣a﹣b）（2a+b）＞0，2a2+3ab+b2＜0，，＝12a2+12ab+4b2＝＝，∴所给方程有实根，解：（2）由2a2+3ab+b2＜0知a2≠0，变形为，解得，∴∈（﹣2，﹣1）．解：（3）∵＝＝∵，结合二次函数的性质，∴，∴|x1﹣x2|∈[，）．20．【解答】解：（1）反证法：假设a1，a2均大于或等于1，设a1＝b1+1，a2＝b2+1，∴b1与b2均等于或大于0，由a1•a2＜2，a1+a3＝4，∴b1•b2≥0，∴（b1+1）（b2+1）＜2，b1+1+b2+1＝4，∴b1b2+b1+b2+1＝b1b2+3＜2，∴b1b2＜﹣1，即b1b2＜0与假设矛盾，故原命题成立；（2）猜想：a1•a2•…•a n＜n，a1，a2，…，a n都大于0，且a1+a2+…+a n＝2n，则a1，a2，…，a n中至少有一个小于1，（3）反证法：设a1＝b1+1，a2＝b2+1，．…，a n＝b n+1，b1，b2，…，b n均大于或等于0，∴a1，a2，…，a n均大于或等于1（b1•b2•…•b n≥0），∴（b1+1）+（b2+1）+…+（b n+1）＝2n，∴b1+b2+…+b n＝n，∴a1•a2•…•a n＝（b1+1）（b2+1）……（b n+1）＜n，又∵b1•b2•……•b n+b1+b2+…+b n≤（b1+1）（b2+1）…（b n+1）＜n，∴b1b2…b n＜0与假设矛盾，故原命题成立．。

2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题(含答案解析)

2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．集合2{|1}A y y x ==-，2}{|1B x y x ==-，则下列关系式正确的是（）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A⊆D ．[1,)A B ⋂=+∞【答案】D【解析】先分别求得集合A 与集合B,进而即可得集合A 与集合B 的关系. 【详解】集合2{|1}A y y x ==-,2}{|1B x y x ==-则{|0}A y y =≥,|11}{B x x x =≥≤-或对比四个选项可知,A 、B 、C 均错误.因为{|0}|11}[1,){A B y y x x x ⋂=≥⋂≥≤-=+∞或所以D 正确故选:D 【点睛】本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题. 2．已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定（） A ．p 为真命题 B ．q 为假命题C ．,p q 都是假命题D ．,p q 中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D ．3．若:,1A a R a ∈<,:B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】:,11120A a R a a a ∈<⇒-<<⇒-<，即两根之积小于零，充分性成立，反之不成立，A 是B 的充分不必要条件，故选A.4．买4个苹果和5只桃子的金额之和小于22元，而买6个苹果和3只桃子的金额之和大于24元，那么买2个苹果和买3只桃子的金额比较，其结果是（） A ．2个苹果贵 B ．3只桃子C ．相同D ．不能确定【答案】A【解析】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,再列出不等式进行求解即可. 【详解】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,由题可得45226324a b a b +<⎧⎨+>⎩,故1215663015120a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()1206630151215a b a b -<+-+,化简得3a >.又12156612648a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()66481215126a b a b ->+-+,化简得2b <.故362b a <<,即买2个苹果贵. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据讲实际中的情景利用数学语言表达,再根据不等式的性质判断分析的方法等.属于中档题.二、填空题5．用列举法表示集合：4,1M mZ m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭=_______________. 【答案】{}5,3,2,0,1,3---【解析】易得1m +为4的因数,再分别列举即可. 【详解】由题41Z m ∈+,故1m +为4的因数,故14,2,1,1,2,4m +=---,故5,3,2,0,1,3m =---.故{}5,3,2,0,1,3M =---. 故答案为：{}5,3,2,0,1,3--- 【点睛】本题主要考查了集合的元素求解,属于基础题.6．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，则m 的值为．【答案】1或﹣1或0【解析】试题分析：由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，我们易得到集合A 是集合B 的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m 的值．解：∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A当m=0时，B=∅满足条件当m≠∅时，B={1}，或B={﹣1} 即m=1，或m=﹣1 故m 的值为：1或﹣1或0 故答案：1或﹣1或0【考点】集合的包含关系判断及应用．7．满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=的集合M 有___________个. 【答案】4【解析】由集合{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，根据集合并集的运算，列举出所有的可能，即可得到答案. 【详解】由题意，集合满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，则集合M 可能为{,},{,,},{,,},{,,,}c d a c d b c d a b c d ，共有4种可能，故答案为4个. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算及其应用，其中解答中熟记集合的并集运算，合理列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆I 的集合C 为________.【答案】(){}1,2或∅【解析】先求解A B I ,再根据集合间的关系求解即可. 【详解】因为{(,)|46}A x y x y =+=,{(,)|327}B x y x y =+=,又4613272x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩, 故{(1,2)}A B ⋂=,又()C A B ⊆I ,故(){}1,2C =或C =∅. 故答案为：(){}1,2或∅ 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解集合的问题,属于基础题.9．设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________.【解析】根据{}2U C A =与{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,再根据集合相等求解即可. 【详解】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3aa a +-=.故232,3a a a a ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题.10．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是_____________. 【答案】不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【解析】根据逆否命题的定义直接写出即可. 【详解】命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是“不能被5整除的整数末位不是0且不是5”.故答案为：不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【点睛】本题主要考查了原命题的逆否命题,属于基础题.11．有限集S 中的元素个数记作()n S ，设A 、B 是有限集合，给出下列命题：（1）A B =∅I 的充分不必要条件是()()()n A B n A n B =+U ；（2）A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤；（3）A B =的充要条件是()()n A n B = 其中假命题是（写题号）________________. 【答案】(1)(3)【解析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可. (3)根据集合相等的定义判断即可. 【详解】(1)当A B =∅I 时,()n A B U 即为集合,A B 的元素个数之和,即为()()n A n B +. 又当()()()n A B n A n B =+U 时,,A B 中的元素个数和等于A B U 中的元素个数,故A B =∅I .故A B =∅I 是()()()n A B n A n B =+U 的充要条件.故(1)错误.(2)当A B ⊆时,A 中的元素个数小于等于B 中的元素个数,故()()n A n B ≤, 但当()()n A n B ≤时A 也可能有不属于B 的元素.故A B ⊆是()()n A n B ≤的充分不必要条件,即A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤.故(2)正确.(3)当()()n A n B =意为,A B 中的元素个数相等,并不一定有A B =.故(3)错误. 故答案为：(1)(3) 【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题.12．集合{}0,1,2,3,4,5S =，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________．【答案】6个【解析】根据孤立元素的定义，并且结合集合S 可以把S 的4元子集进行一一列举，即可得到答案．【详解】由孤立元素的定义可得：{0S =，1，2，3，4，5}中不含“孤立元素”的集合4个元素有：{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是6个．故答案为6个．【点睛】本题主要考查有关集合的新定义，解决此类问题的关键是正确理解新定义“孤立元素”，并且正确理解S 的4元子集，而在列举时应当做到不重不漏． 13．已知12a b -<<<，则2b a -的范围是______________. 【答案】()1,5-【解析】根据不等式的性质运算求解即可. 【详解】由题12a b -<<<,故12,12a b -<<-<<,0a b -<.故21a -<-<,224b -<<,则425b a -<-<,又1,0b b a >-->,故21b a ->-. 故125b a -<-<. 故答案为：()1,5- 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.14．不等式组222230x x x a ⎧+-≥⎨<⎩的解集是空集，则正数a 的取值范围是______________. 【答案】(]0,1【解析】由题可知22x a <有解但与2230x x +-≥无交集在根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题因为正数a ,故22x a a a x ⇒-<<<,又()()2230130x x x x +-≥⇒-+≥,解得1x ≥或3x ≤-.由题意有a x a -<<与1x ≥或3x ≤-无交集,故113a a a ≤⎧⇒≤⎨-≥-⎩. 故正数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】本题主要考查了根据集合的解求解参数范围的问题,需要根据题意分别求得不等式的取值范围,再列出区间端点满足的关系式求解即可.属于基础题. 15．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为______【答案】()(),12,-∞-+∞U【解析】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞可以确定a 的正负以及,a b 的关系，从而可得02ax bx +>-的解. 【详解】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，故0a >且0a b -=，故02ax bx +>-可化为()102a x x +>-即()()120x x +->，它的解为()(),12,-∞-+∞U ，填()(),12,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查一元一次不等式的解与对应方程之间的关系及分式不等式的解法，属于容易题.16．不等式|1||1|x x m ++-≥的解集是R ，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】(],2-∞【解析】利用绝对值不等式分段求解的方法求得()|1||1|f x x x =++-的最小值,再利用恒成立问题求得实数m 的取值范围即可. 【详解】设()|1||1|f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,故min ()2f x =.故2m ≤.故答案为：(],2-∞ 【点睛】本题主要考查了去绝对值求解绝对值函数的最值问题,属于基础题.17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.【答案】3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.【考点】一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.18．已知01b a <<+，如果关于x 的不等式222()x b a x ->的解集中恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】()1,3【解析】因式分解求222()x b a x ->的解集,再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再列式求解即可. 【详解】关于x 的不等式222()x b a x ->即()222120a x bx b -+-<, , 化简得()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个,故二次函数()()1(1)a x b a x x b f ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣=⎦开口向上,又因为01b a <<+所以10,1a a ->>.∴不等式的解集为11b b x a a -<<-+,因为01b a <<+所以011ba<<+,所以解集里的整数是2,1,0--三个.∴321ba -≤-<--, ∴321ba -≤-<--化简得2233ab a -<≤-,∵1b a <+, ∴221a a -<+, ∴3a < 综上有13a << 故答案为：()1,3 【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集求解参数的有关问题,需要注意含参数的二次不等式因式分解求解的方法,同时需要根据函数零点的区间列出对应的不等式求解的方法,属于难题.三、解答题19．已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）()U U A C B B C C I U I（2）()()U U A B C C C C B U I U I 【答案】(1)(2)【解析】(1)先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集即可. (2)先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集即可. 【详解】(1) 先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集可得如图阴影部分.(2) 先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集可得如图阴影部分.【点睛】本题主要考查了根据集合的运算与韦恩图关系的问题,需要根据题意分段分步分析,属于基础题.20．某商场将进货单价是40元的商品按销售单价50元售出时，每月能卖出500件该商品.如果这批商品在销售单价的基础上每涨1元，每月就减少销售10件，问此商品销售价为何值时每月可以获得最大利润？【答案】此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润【解析】设售价为x 元,求出销售量与利润再分析最值即可.【详解】设售价为x 元,总利润为y 元,则()()240500105010140040000y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦()210709000x =--+,故当70x =元时, y 取得最大值9000.故此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润.【点睛】本题主要考查了建立二次函数模型解决实际问题的最优解的问题,需要根据题意建立利润y 与售价x 间的关系,再根据二次的最值求解即可.属于基础题.21．已知不等式3514x x -≤-的解集是A ，不等式1||2x m x ->的解集是B ．（1）当4m =时，求A B I ；（2）如果A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭；(2) 6m ≥或14m < 【解析】(1)根据分值不等式的求解方法求解集合,A B ,再求交集即可.(2) 先求解1||2x m x ->,再分m 的正负进行讨论,再利用A B ⊆列出区间端点满足的表达式求解即可.【详解】 3535211100444x x x x x x ---≤⇒-≤⇒≤---即()()214040x x x ⎧--≤⎨-≠⎩.解得142x ≤<. (1) 当4m =时, 求解1|4|2x x ->, 当4x <时有18423x x x ->⇒<. 当4x ≥时1482x x x ->⇒>.综上有83x <或8x >.此时A B =I 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭ (2)先求解集合:B 1||2x m x ->当x m <时, 1223m x x x m ->⇒<；当x m ≥时, 122x m x x m ->⇒>. 故当0m <时,集合B R =,此时A B ⊆恒成立.当0m ≥,因为A B ⊆,且1:|42A x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭,3:2|2x m x x m B ⎧>⎭<⎫⎨⎬⎩或. 此时243m ≤或122m >,解得6m ≥或14m <,即6m ≥或104m ≤< 综上所述, 6m ≥或14m < 【点睛】本题主要考查了分式不等式与绝对值不等式的求解以及根据不等式的解集求解参数范围的问题,需要根据题意分情况讨论求解含参的不等式,再根据集合的基本关系列出区间端点满足的关系式进行求解.属于中档题.22．已知二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标是(),0c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.（1）求不等式()0f x <的解（用a 、c 表示）；（2）若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]1,1k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2) 2m ≤-或0m =或2m ≥ 【解析】(1)根据二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点可知20ax bx c ++=有两个不同的实数根,利用过(),0c 与韦达定理可求得20ax bx c ++=的两根,再根据二次函数开口方向求解即可.(2)由题()0f c =可得10ac b ++=,代入2210m km b ac -+++≥有220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,再分m 与0的大小关系分类讨论即可.【详解】(1) 2()f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点,且过(),0c 可设另一个根为2x ,利用韦达定理有221c cx x a a=⇒=,又0,0a c >>,且当0x c <<时,恒有()0f x >,则1c a<. ∴()0f x <的解集为1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)∵()0f c =∴20ac bc c ++=,又∵0c >,∴10ac b ++=故要使2210m km b ac -+++≥即220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,则当0m >时, 2m k ≥恒成立,故 2m ≥当0m <时, 2m k ≤恒成立,故 2m ≤-当0m =时, 20200k -⋅≥对所有[]1,1k ∈-恒成立从而实数m 的取值范围为2m ≤-或0m =或2m ≥【点睛】本题主要考查了二次函数的方程的根与不等式的关系等,同时也考查了恒成立的问题,需要分类讨论进行求解,属于中档题.23．已知集合{}()1,2,3,,2A n n N *=⋅⋅⋅∈，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}31,C x A x k k N*=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）当1000n =时，若集合S 具有性质P . ①那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②求集合S 中元素个数的最大值.【答案】（1）B 不具有性质P ，C 具有性质P ，理由见解析；（2）①T 具有性质P ，理由见解析；②1333.【解析】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,.19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L ，根据性质P 的定义可知其不具有性质P ；{}31,C x A x k k N *=∈=-∈，令110m =<，利用性质P 的定义即可验证；（2）当1000n =，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .①根据{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可说明集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有1个不超过1000，从而得到集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析即可求得20002k k k t +≤+≤，即20002k k +≤，解此不等式得1333k ≤. 【详解】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P .因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中的两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m +=成立. 集合{}31,C x A x k k N *=∈=-∈具有性质P .因为可取110m =<，对于该集合中任一元素1131c k =-，2231c k =-，1k 、2k N *∈. 都有121231c c k k -=-≠；（2）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P . 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈.因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,2000x ∈L .从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以T A ⊆.由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素112001t x =-，222001t x =-，其中1x 、2x S ∈，则有1212t t s s m -=-≠. 所以，集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P .任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000.所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000.不妨设S 中有2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素1b 、2b 、L 、t b 不超过1000. 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤.使得对S 中任意两个元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.所以一定有1b m +、2b m +、L 、t b m S +∉.又100010002000i b m +≤+=，故1b m +、2b m +、L 、t b m A +∈.即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中，因此20002k k k t +≤+≤，所以20002k k +≤，得1333k ≤. 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中的任意两个元素1y 、2y ，都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P .而此时集合S 中有1333个元素，因此，集合S 元素个数的最大值为1333.【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，属于难题.。

上海市宜川中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

所以
ì-3 +
í î
-3´
2 2
= =
b c
，解得
ìb íîc
= =
-1 -6
，
所以 b + c = -7 .
故答案为： -7 .
3． -2 【分析】根据根式的性质计算可得.
【详解】因为 x < 0 ，所以 2
x
+6
x6 x
+5
x5
=
2
x
+x x
+x
=
-2x - x + x x
= -2 .
故答案为： -2 4． a ¹ 1且 b ¹ 1
【分析】由 a = 1或 b = 1的否定为 a ¹ 1且 b ¹ 1，从而可得结果.
【详解】因为 a = 1或 b = 1的否定为 a ¹ 1且 b ¹ 1，所以反证法证明时应假设“ a ¹ 1且 b ¹ 1 ”.
答案第11 页，共22 页
故答案为： a ¹ 1且 b ¹ 1.
5．1 +
a b
【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.
y Î R}， S = {( x, y) | x × y = xy , x Î R, y Î R} ，则下列关于集合 P ， Q ， S 关系的表
述． 12．若正实数 a,b, c 满足 2ab = 2a + b, abc = 2a + b + c ，则 c 的最大值为 .
试卷第11 页，共33 页
② a2 1
+
a22
+L+
an2
=
b2 1
+ b22
+L + bn2 ;

2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ，，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ，，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。

2020-2021学年上海市奉贤区高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．109316．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为3．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的真子集一共有：22﹣1＝3个．故答案为：3．【点评】本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），∴＝3a，解得a＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，属基础题．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．【分析】利用根与系数的关系得到x1x2＝﹣4，再对所求式子化简代入即可求出结果．【解答】解：∵方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，∴由根与系数的关系得：x1x2＝﹣4，∴（2）＝＝2﹣4＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，考查了指数幂的运算，是基础题．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【分析】根据“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，得到不等式组，解出即可．【解答】解：若“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则由“a≤x≤a+4”⇒“x＜﹣1或x＞5”，∴a≥5或a+4≤﹣1，解得：a≤﹣5或a≥5，故答案为：（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，属于基础题．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．【分析】先把对数式化为指数式，求出a的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入a的值即可求出结果．【解答】解：∵log a4＝2，∴a2＝4，又∵a＞0，a≠1，∴a＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝{x|x＞1}．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝R，∴A∩B＝{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）【分析】利用对数的换底公式、运算法则直接求解．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log916＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查对数式化简求值，对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品80件．【分析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x•＝800+x2这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f（x）＝＝（x为正整数）由基本不等式，得f（x）≥2＝20当且仅当，即x＝80时，f（x）取得最小值、∴x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为80【点评】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是1．【分析】由题意可得e x e y＝e2，即x+y＝2，x＞0，y＞0，然后结合即可求解．【解答】解：由题意可得e x e y＝e2，∴x+y＝2，x＞0，y＞0，∴＝1，当且仅当x＝y＝1时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是k≠±1．【分析】根据题意可得出：方程组有解，然后可得出方程（1﹣k2）x＝k﹣k2有解，从而可得出k需满足的条件．【解答】解：∵A∩B≠∅，∴方程组有解，消y得（1﹣k2）x＝k﹣k2，∴1﹣k2≠0，即k≠±1．故答案为：k≠±1．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．【分析】结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，然后结合方程的根与系数关系可求．【解答】解：因为关于x的不等式组的解集为[b，a]，结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，所以，解可得，或或（舍），当a＝1，b＝﹣3时，不等式组为，解得﹣3≤x≤1且x≠﹣1不合题意；当a＝，b＝﹣1时，不等式组，解得﹣1，此时符合题意．故a＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了方程与二次不等相互转化关系的应用．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为（，）．【分析】利用基本不等式和题设求得结果即可．【解答】解：令x+y＝t，则z＝1﹣t，∵x＞y＞z，且x+y+z＝1，∴z＝1﹣t＜⇒t＞，t2＝（x+y）2＜2（x2+y2），即x2+y2＞，∵x2+y2+z2＝1，∴1＞+z2＝+（1﹣t）2，即3t2﹣4t＜0，解得：0＜t＜，综上，＜t＜，即x+y∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：由a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，知：对于A，log a＝＝log a M，故A正确；对于B，（log a M）N≠N log a M＝，故B错误；对于C，（log a M）÷（log a N）≠log a（M﹣N），故C错误；对于D，log a M+log a N＝log a MN≠log a（M+N），故D错误．故选：A．【点评】本题考查对数式化简求值、对数运算法则，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N【分析】可以用Venn图来表示集合M，N，U，结合图形即可找出表示空集的选项．【解答】解：可用Venn图表示集合M，N，U如下：∴M∩（∁U N）＝∅，即M∩＝∅，故选：A．【点评】本题主要考查Venn图表示集合的方法，以及集合的补集和交集运算．15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．1093【分析】根据对数的性质得：3＝10lg3≈100.48，将M化为以10为底的指数形式，计算即可．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093．故选：D．【点评】本题考查了指数形式与对数形式的互化问题，是基础题．16．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】当a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，再由a，b∈（1，10000），能求出集合M中元素的个数．【解答】解：∵m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}，∴a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a＝2，b＝2，当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，∵a，b∈（1，10000），∴a＝3，b＝81，或a＝5，b＝625，或a＝7，b＝2401，或a＝9，b＝6561，∴M＝{（2，2），（3，81），（5，625），（7，2401），（9，6561）}．∴集合M中有5个元素．故选：C．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．【分析】（1）a＝3时，P＝{x|≥0}，由此能求出集合P．（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，根据a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1分类讨论，由此能求出集合P，求出Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|0＜x＜2}，由P∪Q＝P，得Q⊆P，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝3时，P＝{x|≥0}＝{x|≤0}＝{x|﹣1＜x≤3}，（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，当a＞﹣1时，P＝{x|﹣1＜x≤a}，当a＝﹣1时，P＝∅，当a＜﹣1时，P＝{x|a≤x＜﹣1}．∵Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，P∪Q＝P，∴Q⊆P，∴当a＞﹣1时，a＞2，当a≤﹣1时，无解，综上，当P∪Q＝P时a的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？【分析】（1）直接把y＝50代入y＝10lg，求得I得结论；（2）分别求出声音是120dB和60dB的声强度，作比得结论．【解答】解：（1）由50＝10lg，得，即I＝W/m2．故声音是50dB，相应的声强度是10﹣7W/m2；（2）设声音是120dB的声强度为I1，则120＝10lg，即，设声音是60dB的声强度为I2，则60＝10lg，即，∴．∴前者的声强度是后者的声强度的106倍．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查对数方程的求法，是基础的计算题．19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．【分析】（1）把A进行分离常数，再由x的范围求得A的值域，则结论得证，并指出等号成立的条件；（2）利用基本不等式求出B的范围，结合（1）中求得的A的范围，即可比较A与B的大小关系．【解答】证明：（1）A＝＝，∵x≥0，∴x+，8（x+）≥4，，可得＜，即A＜，当且仅当x＝0时等号成立；解：（2）B＜A，证明如下：由（1）知，A＜，B＝，当x＝0时，B＝0，当x＞0时，x2+1≥2x＞0，∴，当且仅当x＝1时取等号，∴0，而A与B中的等号不同时成立，∴B＜A．【点评】本题考查利用分离常数法与基本不等式求函数的值域，考查运算求解能力，是中档题．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．【分析】（1）由题意求解关于n的方程即可确定实数n的值；（2）由题意求得2n的表达式，然后分类讨论即可证得题中的结论；（3）将m，n分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论．【解答】（1）解：当m＝2时，22+n＝22+2n，即3⋅2n＝4，∴；（2）证明：设t＝2m，由于m≤0，故t∈（0，1]，由题意可得：t⋅2n＝t+2n，当m＝0，t＝1时，上述等式明显不成立，当m≠0，t＜1时，，由于2n＞0，t＞0，t﹣1＜0，故上述等式不成立，综上可得，实数n不存在．（3）证明：由2m+n＝2m+2n可得：，当m，n均为正整数时，等式左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂，很明显只有2m﹣1＝1，m＝1 时满足题意，此时n＝1，即只有一对正整数对（1，1）使得等式成立．【点评】本题主要考查指数方程的解法，分类讨论的数学思想，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．【分析】（1）将a＝0，b＝代入|x+2|＜|ax﹣b|中，然后去绝对值解不等式即可；（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|，然后假设|x+2|，|x﹣1|均小于，得到，推出矛盾结论，从而证明原命题成立；（3）根据a＞0时，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，对|x+2|+|ax﹣b|去绝对值，然后分别得到满足条件实数a、b即可．【解答】解：（1）当a＝0，b＝时，由|x+2|＜|ax﹣b|，得|x+2|，∴，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|．假设|x+2|，|x﹣1|均小于，则，∴，∴x∈∅，与假设矛盾，故|x+2|，|x﹣1|中至少有一个数不小于．（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，则①当x≥﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴．②当x⩾﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．③当x≤﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴，将代入中，得，要使与x≤﹣2有交集，则，∴与b≤﹣3矛盾．④当x≤﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．综上，要使不等式在R上恒成立，实数a、b满足的条件为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用反证法证明不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

上海市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含解析)

2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题（第1-6题每題4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．若，，则______．2．不等式的解集是______．3．已知，则______．4．不等式“”是“”______的条件．5．已知集合，集合，若集合M 满足，则这样的集合M 共有______个．6．已知，那么等于______．7．已知，，则用m ，n 表示______．8．若关于x 的不等式恰有两个整数解，则a 的取值范围是______．9．命题“任意，为真命题，则实数a 的取值范围是______．10．碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氨14原子所产生．碳14原子经过衰变转变为氨原子．由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定，半衰期（Half-life ）是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间，对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为______万年．（四舍五入到0.1万年）11．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合______．12．已知实数a ，b 满足，且，则的最小值为______．二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知集合，，则（）A ．B ．C ．D ．14．关于x 的不等式的解集是，那么（）A ．1B ．C ．12D ．{}|31A x x =-≥{}|15B x x =<<A B = 304x x -≤+12510a b ==11a b +=23x x ≤|2|1x -<{}2,3,5,8A ={}2,3,5,8,13,21B =A M B ⊂⊆()223350x x x -+=>1133x x -+9log 5m =3log 7n =35log 9=()22120x a x a -++<x ∈R ()()222240a x a x -+--<β14235{,,,,}A a a a a a =4222221235{,,,},B a a a a a =51234a a a a a <<<<i a ∈Z 1,2,3,4,5i ={}14,B a a A = 1410a a +=22a >A B A =11a b -<<<2a b +=1311a ab ++-4|,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤P Q = {}1,2,4{}0,1,3{}|03x x ≤≤{}|14x x -≤≤2x ax b ≤-{}4log a b =344315．若，，则下列不等式中一定成立的是（）A ．B ．C ．D ．16．定义集合运算；将称为集合A 与集合B 的对称差，命题甲：：命题乙：则下列说法正确的是（）A ．甲乙都是真命题B ．只有甲是真命题C ．只有乙是真命题D ，甲乙都不是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．已知集合，，若，，则实数a 、b 、c 的值为．18．设关于x 的方程的两个实根分别是，．（1）求实数p 的取值范围；（2）求的取值范围．19．近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒x 年（x 为正整数）所用的各种费用总计为万元（1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？（2）该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：（1）老师请你模仿例题，研究，上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立）；（2）研究，上的最小值；（3）当时，求，的最小值．21．已知有限集，如果A 中的元素满足，就称A 为“完美集”．x a m -<y a n -<2x y m -<2x y n -<x y n m-<-x y n m -<+{}|A B x x A x B -=∈∉且()()A B A B B A ∆=-- ()()()A B C A B A C ∆=∆ △()()()A B C A B A C ∆=∆ {}2|0A x x ax b =++={}2|150B x x cx =++={}3,5A B = {}3A B = 22lg lg 30x x p -+=αβlog log βαβα+2210x x +44x x -()0,x ∈+∞a b c d +++≥a b c d ===3139x x -()0,x ∈+∞0a >3x ax -()0,x ∈+∞{}()12,,2,,n A a a a n n ⋅⋅⋅=≥∈N ()1,2,,i a i n =⋅⋅⋅1212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由：（2）、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；（3）若为正整数，求：“完美集”A ．2024~2025学年市二中学高一（上）期中考试数学试卷一、填空题1．【答案】【解析】由题意知，，所以．2．【答案】【解析】，解得或，所以不等式的解集为．3．【答案】【解析】若，可得，，．4．【答案】必要不充分【解析】，，由于是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．5．【答案】3【解析】因为集合，所以集合M 中包含2，3，5，8且至少包含13，21中的一个元素，所以或或，所以满足条件的M 个数为3．6．【解析】由，因，故，即得，．7．【答案】【解析】由，，可得，，又由{11---+1a 2a {}12,a a 1a 2a i a ()1,4(),4A =-∞()1,4A B = ()[),43,-∞-+∞ ()()34030440x x x x x -+≤⎧-⎪≤⇔⎨++≠⎪⎩4x <-3x ≥()[),43,-∞-+∞ 1-12510b a ==2log 10a =-5log 10b =-()521111lg 5lg 2lg101log 10log 10a b ⎛⎫+=-+=-+=-=- ⎪⎝⎭{}{}23|0|3x x x x x ≤=≤≤{}{}3|21|1x x x x -<=<<{}|13x x <<{}3|0x x ≤≤23x x ≤21x -<A M B ⊂⊆{}2,3,5,8,13M ={}2,3,5,8,21{}2,3,5,8,13,212112233332527x x x x --⎛⎪+=++⎫⎝⎭+ ==0x >11330x x -+>1133x x -+=22m n+9log 5m =3log 7n =31log 52m =3log 7n =8．【答案】【解析】令，解得或．当，即时，不等式，解得，则不等式中的两个整数解为2和3，有，解得；当，即时，不等式无解，所以不符合题意；当，即时，不等式解得，则不等式中的两个整数解为0和，有，解得．综上，a 的取值范围是9．【答案】【解析】因为“任意，”为真命题，所以不等式在上恒成立，当时，，显然成立，当时，有，解得，综上所述，实数a 的取值范围是．10．【答案】3.8【解析】设第n 个半衰期结束时，碳14含为，由题意可得，第一个半衰期结束时，碳14含量为，第二个半衰期结束时，碳14含量为；以此类推，为以首项，公比为的等比数列，所以第n 个半衰期结束时，碳14含量为，335333log 922log 9log 35log 5log 72m n===++3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或()22120x a x a -++=1x =2x a =21a >12a >()22120x a x a -++<12x a <<324a <≤322a <≤21a =12a =()22120x a x a -++<12a =21a <12a <()22120x a x a -++<21a x <<1-221a -≤<-112a -≤<-3|21212a a a ⎭<≤⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩或(]2,2-x ∈R ()()222240a x a x -+--<()()222240a x a x -+--<R 2a =40-<2a ≠()()220421620a a a -<⎧⎪⎨∆=-+-<⎪⎩22a -<<(]2,2-n a 112a =214a ={}n a 112a =12q =12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭令，解得所以这块化石距今约为年，即约为3.8万年：11．【答案】【解析】由，且，得到只可能，即或0，当时，，而，故舍去，则，又，∴，且，∴或，①若时，，不合题意；②若时，此时，，因，从而，又，则，当时，无整数解，当时，，所以，综上，12．【解析】因为，所以，，因为，所以，由，所以所以，11%2n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭2212lg102log 10 6.6410.301lg 2n ---===≈-5730 6.6438047.2⨯={}1,3,5,9,11{}14,A B a a = 12345a a aa a <<<<211a a =1a =11a =0410a ={}14,A B a a = =Z 1a =11410a a +=49a =()24923i a a i ==≤≤23a =33a =33a =22a =23a ={}531,3,,9,A a a ={}22531,9,,81,B a a =22353513981256a a a a +++++++=2255331620a a a a +++-=234a a a <<339a <<3a =4,6,7,85a 35a =511a ={}1,3,5,9,11A ={}1,3,5,9,11A =1-11a b -<<<10a +>10b ->2a b +=()()112a b ++-=2a b +=()32131133111111b a a b a b a b -+=+=+-+-+-+-()()13113311311211a b a b a b ⎡⎤⎢-+-=+++--⎡⎤⎣⎦+-+⎥⎣⎦()31111133432312112a b a b ⎛+- =+++-≥⎝⎛⎫ ⎪⎝+-=+-=- +⎭-当且仅当，即，二、单选题13．【答案】B 【解析】若，则是4的正因数，而4的正因数有1，2，4，所以，因为，所以，故选：B ．14．【答案】D【解析】即，因为解集为，则根据韦达定理知，即，则故选：D ．15．【答案】D 【解析】运用绝对值三角不等式，由于，，运用不等式性质得到故，故选：D ．16．【答案】B【解析】对于甲，，故命题甲正确；对于乙，如图所示：所以，，故命题乙不正确三、解答题17．【答案】，，()31111a b a b +-=+-2a =-+4b =-41y x =+y ∈N 1x +{}4|,0,1,31P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N {}|14Q x x =-≤≤{}0,1,3P Q = 2x ax b ≤-20x ax b -+≤{}42424a b =⨯⎧⎨=⎩816a b =⎧⎨=⎩32844log log 16log 23a b ===x y x a a y x a a y -=--≤-++-x a m -<y a n -<x a a y m n-+-<+x y m n -<+()()()()A B C A B B C B C A B C A B C ∆=-=- ()()()()()()A B A C A B A C A B A C =-=∆ ()()()A B C A B A C ∆≠∆ ()A B C ∆ ()()A B A C ∆ 6a =-9b =8c =-【解析】因为，所以，所以，得，所以，所以，即有且只有一个实根，所以，，解得，，综上可得，，，．18．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，即，设，则关于t 的方程：的两根为和，所以，解得．（2）由韦达定理，得，所以因为且，所以或，所以或，所以的取值范围为19．【答案】（1）第3年：（2）第7年平均利润最大，为12万元【解析】（1）设利润为y ，则，由整理得，，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利．（2）首先，由（1）得平均利润万元，{}3AB = 3B ∈93150c ++=8c =-{}{}28150|3,5B x x x =-+=={}3A =20x ax b ++=3x =33a +=-33b ⨯=6a =-9b =6a =-9b =8c =-1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦()[),22,-∞-+∞ 22lg lg 30x x p -+=2lg 2lg 30x x p -+=lg t x =2230t t p -+=lg αlg β()22120p ∆=-≥-13p ≤lg lg 2lg lg 3pαβαβ+=⎧⎨=⎩22lg lg lg lg log log lg lg lg lg αββαβαβααβαβ++=+=2(lg lg )2lg lg 4642lg lg 33p p pβααβαβ+--===-31p ≤30p ≠443p ≥403p<4223p -≥4223p-<-log log αββα+()[),22,-∞-+∞ ()()22*509821024098y x x x x x x =-++=-+-∈N 2240980x x -+->220490x x -+<1010x -<<x *∈N {}|317x x x *∈∈≤≤N {}|317x x x *∈∈≤≤N 4924024012y x x x ⎛⎫=-++≤-⨯+= ⎪⎝⎭当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元20．【答案】（1）：（2）；（3）【解析】（1）因为，利用，于是，，当且仅当时，取得最小值．（2）因为，利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值．（3）因为利用，得到，于是，，当且仅当时，取得最小值21．【解析】（1）由，，则集合是“完美集”．（2）若、是两个不同的正数，且是“完美集”，设，根据根和系数的关系知，和相当于的两根，由，解得或（舍去），所以，又，均为正数所以、至少有一个大于2．（3）不妨设A中，49x x=7x =3-6-0x >a b c d +++≥41114x x ++≥+444111434433x x x x x x -=+++--≥--=-1x =3-0x >a b c ++≥313339x x ++≥331133363363699x x x x x x -=++--≥--=-3x =6-0x >a b c ++≥3x ax +≥33x ax x ax -=-≥x =((112-+-+=-(112--=-{11--+1a 2a {}12,a a 12120a a a a t +=⋅=>1a 2a 20x tx t -+=240t t ∆=->4t >0t <124a a ⋅>1a 2a 1a 2a 312n a a a a <<<⋅⋅⋅<由，得，当时，即有，又为正整数，所以，于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；当时，，故只能，，求得，于是“完美集”A 只有一个，为．当时，由，即有，而，又，因此，故矛盾，所以当时不存在完美集A ，综上知，“完美集”A 为1212n n n a a a a a n a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅<⋅+121n n a a a -⋅⋅<⋅2n =12a <i a 11a =2211a a +=⨯2a 3n =123a a <11a =2a =23a =3{}1,2,34n ≥()1211231n a a a n n -⋅⋅⋅≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n ≥⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()()()221242220n n n n n n ---=-+-=--+<()()()121231n n n n --≤⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-()1231n n n <⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-4n ≥{}1,2,3。

2024-2025学年华东师大二附中高一数学上学期期中考试卷及答案解析

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷1. 用Î或Ï填空：0______f .【答案】Ï【解析】【分析】空集中没有任何元素．【详解】由于空集不含任何元素，∴0ÏÆ．故答案为Ï．【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念．2. 实数a ，b 满足31a -££，13b -££，则3a b -的取值范围是________．【答案】[]12,4-【解析】【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解.【详解】因为31a -££，13b -££，则933a -££，31b -£-£，可得1234a b -£-£，所以3a b -的取值范围是[]12,4-.故答案为：[]12,4-.3. 若全集{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，{}5A =，则a 的值是______．【答案】2或8【解析】【分析】由53a -=即可求解.【详解】因为{}2,3,5U =，{}2,5A a =-，且{}5A =，所以53a -=，解得2a =或8a =.故答案为：2或8.4. 命题“1x >”是命题“11x<”的______条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】解出不等式11x<，根据真子集关系即可【详解】11x <，即10x x -<，即()10x x -<，即()10x x -<，解得1x >或0x <，则“1x >”能推出“1x >或0x <”，而“1x >或0x <”不能推出 “1x >”，故命题“1x >”是命题“11x<”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.5. 已知0x >，则812x x --的最大值为_____________.【答案】7-【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为0x >，所以828x x +³=，当82x x=，即2x =时等号成立，所以881212187x x x x æö--=-+£-=-ç÷èø，即812x x--的最大值为7-，故答案为：7-.6. 已知(21)y f x =+定义域为(1,3]，则(1)y f x =+的定义域为__________．【答案】(2,6]【解析】【分析】根据3217x <+£可得317x <+£，即可求解.【详解】由于(21)y f x =+定义域为(1,3]，故3217x <+£，因此(1)y f x =+的定义域需满足317x <+£，解得26x <£，故(1)y f x =+的定义域为(2,6]，故答案为：(2,6]7. 已知关于x 的不等式210ax bx ++<的解集为11,43æöç÷èø，则a b +=______．【答案】5【解析】【分析】由题意得11,43是方程210ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b 即可.【详解】由题意可知，11,43是方程210ax bx ++=的两个根，且0a >，由根与系数的关系得1134b a +=-且11134a´=，解得12,7a b ==-，则5a b +=.故答案为：58. 设1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，则2212x x +的最小值为______.【答案】89【解析】【分析】根据1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，由Δ≥0，解得 23m £，然后由()2212121222x x x x x x ++×=- ，将韦达定理代入，利用二次函数的性质就.【详解】因为1x 、2x 是关于x 的方程22242320x mx m m -++-=的两个实数根，所以()()22482320m m m D =-+-³，解得 23m £，所以112222322,2x x x x m m m +=×-=+，则 ()2212121222x x x x x x ++×=- ，()22232222m m m +-=-´， 2232m m =-+， 237248m æö=-+ç÷èø，所以2212x x +的最小值为2237823489æö-+=ç÷èø，故答案为：899. 若函数()f x 满足R x "Î，()()11f x f x +=-，且1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，若()()1f m f >-，则m 的取值范围是______.【答案】()(),13,-¥-È+¥【解析】【分析】由题意，()f x 在[)1,+¥上单调递增，函数图像关于1x =对称，利用单调性和对称性解不等式.【详解】因为1x "，[)21,x Î+¥，()()()1212120f x f x x x x x ->¹-，所以()f x 在[)1,+¥上单调递增，R x "Î，()()11f x f x +=-，则函数图像关于1x =对称，若()()1f m f >-，则111m ->--，解得3m >或1m <-.所以m 的取值范围是()(),13,-¥-È+¥.故答案为：()(),13,-¥-È+¥.10. 已知{}{}22230,210,0A x x x B x x ax a =+->=--£>，若A B Ç中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意，得{}{}223013A x x x x x x =+-=<-或，{}{2210,0=|B x x ax a x a x a =--£££+；因为，所以若A B Ç中恰含有一个整数，则{}2A B Ç=，则，即，两边平方，得，解得，即实数的取值范围为；故填．考点：1．集合的运算；2．一元二次不等式的解法．11. 已知函数()3(1)1f x x =-+，且()()22(1,0)f a f b a b +=>->，则121a b ++的最小值是________.【答案】2【解析】【分析】利用()3(1)1f x x =-+，单调性与对称性，可知，若有()()2f m f n +=，则必有2m n +=成立.再利用基本不等式求121a b ++的最小值即可.【详解】∵3y x =在R 为单调递增奇函数，∴3y x =有且仅有一个对称中心()0,0，∴()3(1)1f x x =-+单调递增，有且仅有一个对称中心()1,1，又∵()()22(1,0)f a f b a b +=>->，∴22a b +=，则()214a b ++=，∴()1211221141a b a b a b æö+=+++éùç÷ëû++èø()411441a b a b +éù=++êú+ë1424é³+=êêë，当且仅当()411a b a b+=+即0,2a b ==时，等号成立，∴121a b++的最小值是2.故答案为：2.12. 如图，线段,AD BC 相交于O ，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x，90ABO DCO Ð=Ð=°，则x 的取值个数为________.【答案】6【解析】【分析】画出等效图形，分9AD =和x 两种情况由勾股定理求出对应x 值即可；的【详解】如图，因为90ABO DCO Ð=Ð=°，且,,,AB AD BC CD 长度构成集合{}1,5,9,x ，因为直角三角形ADE 中，斜边AD 一定大于直角边AE 和DE ，所以9AD =或x ，当9AD =时，可分为AE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得x =CE x =，此时由勾股定理可得()222159x ++=，解得5x =；CD x =，此时由勾股定理可得()222519x ++=，解得1x =；当AD x =，可分为()222915x ++=，解得x =()222195x ++=，解得x =；()222519x ++=，解得x =所以x 的取值个数为6，故答案为：6.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答.13. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A. 2(),()x f x x g x x== B. ()(),()()f x x x R g x x x Z =Î=ÎC. ,0(),(),0x x f x x g x x x ³ì==í-<î D. 2(),()f x x g x ==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，函数()f x x =的定义域为R ，函数2()x g x x=的定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B 中，函数()()f x x x R =Î和()()g x x x Z =Î的定义域不同，不是同一函数；对于C 中，函数,0(),0x x f x x x x ³ì==í-<î与,0(),0x x g x x x ³ì=í-<î定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D 中，函数()f x x =定义域为R，2()g x =的定义域为[0,)+¥，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.14. 设集合A ＝{x |x ＝12m ，m ∈N *}，若x 1∈A ，x 2∈A ，则（）A. (x 1+x 2)∈AB. (x 1﹣x 2)∈AC. (x 1x 2)∈AD. 12x x ∈A 【答案】C【解析】【分析】利用元素与集合的关系的进行判定.【详解】设112p x =，212q x =，则12111222p q p qx x +=×=，因为p 、*N q Î，所以*N p q +Î，则x 1x 2∈A ，故选：C ．15. 如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚在这个过程中，小球的运动速度v （m /s ）与运动时间t （s ）的函数图象如图②，则该小球的运动路程y （m ）与运动时间t （s ）之间的函数图象大致是（）的的A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象分析即可.【详解】由题意，小球是匀变速运动，所以图象是先缓后陡，在右侧上升时，先陡后缓.故选：C.16. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ÎN 都满足()0i A B j =I 且()1i A B j =U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =I ()i A j g ()i B j ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i A B j =U ()+i A j ()i B j ；其中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A j Î=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ÎN ，定义1,()0,i i A A i A j Îì=íÏî，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N \=Æ=I U ，()()01i i A B A B j j \==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B j =I ，则()i A B ÏI ，则i A Î且i B Ï，或i B Î且i A Ï，或i A Ï且i B Ï；()()0i i A B j j \×=；若()1i A B j =I ，则()i A B ÎI ，则i A Î且i B Î； ()()1i i A B j j \×=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ÎN 都有()i i A B A i B j j j =×I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B j =U （）；()()1,1i i A B j j ==；()()()i i i A B A B j j j \¹+U ；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 已知关于x 的不等式122x a -£的解集为集合A ，40x B x x ìü-=£íýîþ.（1）若x A Î是x B Î的必要不充分条件，求a 的取值范围.（2）若A B =ÆI ，求a 的取值范围.【答案】（1）[]0,2（2）(](),24,-¥-+¥U 【解析】分析】（1）首先解不等式求出集合A 、B ，依题意B 真包含于A ，即可得到不等式组，解得即可；（2）首先判断A ¹Æ，即可得到240a +£或244a ->，解得即可.【小问1详解】由122x a -£，即1222x a -£-£，解得2424a x a -££+，所以{}2424|A x x a a -=££+，由40x x -£，等价于()400x x x ì-£í¹î，解得04x <£，所以{}40|04x B x x x x ìü-=£=<£íýîþ，【因为x A Î是x B Î的必要不充分条件，所以B 真包含于A ，所以244240a a +³ìí-£î，解得02a ££，即a 的取值范围为[]0,2；【小问2详解】因为A B =ÆI ，显然A ¹Æ，所以240a +£或244a ->，解得2a £-或4a >，即a 的取值范围为(](),24,-¥-+¥U .18. 已知函数()211y m x mx =+-+．（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{13x x <或x >（2）(22-+【解析】【分析】（1）根据题意易得26510x x -+>，因式分解后利用口诀“大于取两边，小于取中间”即可得解；（2）由题意易得()2110m x mx +-+>的解集为R ，分类讨论1m =-与1m ¹-两种情况，结合二次函数的图像性质即可得解.【小问1详解】根据题意，得2651y x x =-+，由0y >得26510x x -+>，即()()31210x x -->，解得：13x <或12x >，故不等式0y >的解集为{13x x <或x >【小问2详解】由题意得，()2110m x mx +-+>的解集为R ，当1m =-时，不等式可化为10x +>，解得1x >-，即()2110m x mx +-+>的解集为()1,-+¥，不符合题意，舍去；当1m ¹-时，在()211y m x mx =+-+开口向上，且与x 轴没有交点时，()2110m x mx +-+>的解集为R ，所以()210Δ410m m m +>ìí=-+<î，解得22m m >ìïí-<<+ïî22m -<<+，综上：22m -<<+，故实数m的取值范围为(22-+.19. 某化工企业生产过程中不慎污水泄漏，污染了附近水源，政府责成环保部门迅速开展治污行动，根据有关部门试验分析，建议向水源投放治污试剂，已知每投放a 个单位（04a <£且R a Î）的治污试剂，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中()[](]1,0,5711,5,112xx xf x x x +ìÎïï-=í-ïÎïî，若多次投放，则某一时刻水中的治污试剂浓度为每次投放的治污试剂在相应时刻所释放的浓度之和，根据试验，当水中治污试剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能治污有效．（1）若只投放一次4个单位的治污试剂，则有效时间最多可能持续几天？（2）若先投放2个单位的治污试剂，6天后再投放m 个单位的治污试剂，要使接下来的5天中，治污试剂能够持续有效，试求m 的最小值．【答案】（1）7天；（2）min 2m =.【解析】【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的治污试剂的有效时间即可；（2）由题设()5=11413x g x x m x --+×³-，将问题化为()()1375x x m x --³-在[6,11]x Î上恒成立，利用基本不等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.【小问1详解】因为一次投放4个单位的治污试剂，所以水中释放的治污试剂浓度为()44,0547222,511xx y f x x x x +ì££ï==-íï-<£î，当05x ££时，()4147x x+³-，解得35x ££；当511x ££时，2224x -³，解得59x ££；综上，39x ££，故一次投放4个单位的治污试剂，则有效时间可持续7天．【小问2详解】设从第一次投放起，经过()611x x ££天后浓度为()()()16511[]117613x x g x x m x m x x+--=-+=-+×---．因为611x ££，则130x ->，50x ->，所以511413x x m x --+×³-，即()()1375x x m x --³-，令5x t -=，[]1,6t Î，所以()()281610t t m t tt --æö³-=-+ç÷èø，因为168t t+³=，所以2m ≥，当且仅当16t t =，4t =即9x =时等号成立，故为使接下来的5天中能够持续有效m 的最小值为2.20. 对于函数()f x ，若存在0R x Î，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）求函数23y x x =--不动点；（2）若函数()221y x a x =-++有两个不相等的不动点1x 、2x ，求1221x x x x +的取值范围；（3）若函数()()211g x mx m x m =-+++在区间(0,2)上有唯一的不动点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1-和3. （2）()2,+¥（3）(]1,1-U .【解析】【分析】（1）解方程23x x x --=，即可求出不动点；（2）由题意，方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，由0D >即可求出a 的范围，结合韦达定理和二次函数图象性质即可求出1221x x x x +的范围；的（3）由题意，()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，分()()020h h ×<，()00h =，()20h =和0D =四种情况进行讨论即可.【小问1详解】由题意知23x x x --=，即2230x x --=，则()()310x x -+=，解得11x =-，23x =，所以不动点为1-和3.【小问2详解】依题意，()221x a x x -++=有两个不相等的实1x 数根1x 、2x ，即方程()2310x a x -++=有两个不相等的实数根1x 、2x ，所以()22Δ34650a a a =+-=++>，解得5a <-，或1>-a ，且123x x a +=+，121x x =，所以()()2222121212122112232x x x x x x x x a x x x x ++==+-=+-，因为函数()232y x =+-对称轴为3x =-当3x <-时，y 随x 的增大而减小，若5x <-，则2y >；当3x >-时，y 随x 的增大而增大，若1x >-，则2y >；故()()2322,a ¥+-Î+，所以1221x x x x +的取值范围为()2,¥+.【小问3详解】由()()211g x mx m x m x =-+++=，得()2210mx m x m -+++=，由于函数()g x 在(0,2)上有且只有一个不动点，即()2210mx m x m -+++=在(0,2)上有且只有一个解，令()()221h x mx m x m =-+++，①()()020h h ×<，则()()110m m +-<，解得11m -<<；②()00h =，即1m =-时，方程可化为20x x --=，另一个根为1-，不符合题意，舍去；③()20h =，即1m =时，方程可化为2320x x -+=，另一个根为1，满足；④0D =，即()()22410m m m +-+=，解得m =（ⅰ）当m =时，方程的根为()2222m m x m m -++=-==（ⅱ）当m =()2222m m x m m -++=-==，不符合题意，舍去；综上，m 的取值范围是(]1,1-È.21. 对任意正整数n ，记集合(){1212,,,,,,n nnA a a a a a a=××××××均为非负整数，且}12n a a a n ++×××+=，集合(){1212,,,,,,n nnB b b b b b b =××××××均为非负整数，且}122n b b b n ++×××+=．设()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，若对任意{}1,2,,i n Î×××都有i i a b £，则记a b p ．（1）写出集合2A 和2B ；（2）证明：对任意n A a Î，存在n B b Î，使得a b p ；（3）设集合(){},,,n nnS A B a b a b a b =ÎÎp 求证：nS中的元素个数是完全平方数．【答案】（1）()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合n A 与n B 的公式，写出集合和即可；（2）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，令()12,,,n b b b b =×××，只需证明n B b Î，即可证明结论成立；（3）任取()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =××¢×¢Î¢¢，可证明n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ，再设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××，设集合(){},1,2,,,1,2,,n i i j T i t j t a a a =+=×××=×××，通过证明n n T S Í，n n S T Í，推出n n S T =，即可完成证明．【小问1详解】()()(){}20,2,1,1,2,0A =，()()()()(){}20,4,1,3,2,2,3,1,4,0B =．【小问2详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，设()11,2,3,,i i b a i n =+=×××，则12,,,n b b b ×××均为非负整数，且()1,2,3,,i i a b i n £=×××．令()12,,,n b b b b =×××，则12n b b b ++×××+()()()12111n a a a =++++×××++()12n a a a n=++×××++2n =，所以n B b Î，且a b p ．【小问3详解】对任意()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n a a a A a =××¢×¢Î¢¢，记()1122,,,n n a a a a a a a a +=++×××¢+¢¢¢，则11a a ¢+，22a a ¢+，…，n n a a ¢+均为非负整数，且()()()1122n n a a a a a a ++++×××++¢¢¢()()1212n n a a a a a a ¢=++×××++++××+¢×¢n n =+2n =，所以n B a a +¢Î，且a a a +¢p ，a a a ¢+¢p ．设集合n A 中的元素个数为t ，设{}12,,,n t A a a a =×××．设集合(){},1,2,,,1,2,,n iijT i t j t a a a =+=×××=×××．对任意i n A a Î(1,2,,)i t =×××，都有1i a a +，2i a a +，…，i t n B a a +Î，且i i j a a a +p ，1,2,,j t =×××．所以n n T S Í．若(),n S a b Î，其中()12,,,n n a a a A a =×××Î，()12,,,n n b b b B b =×××Î，设i i i c b a =-()1,2,,i n =×××，因为i i a b £，所以0i i i c b a =-³，记()12,,,n c c c a =×××¢，则12n c c c +++L ()()()1122n n b a b a b a =-+-+-L ()()1212n n b b b a a a =++×××+-++×××+2n n n =-=，所以n A a ¢Î，并且有b a a =+¢，所以(),n T a b Î，所以n n S T Í．所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

一、填空题：（每空3分，共42分）1、已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则B A =2、不等式032≥+-x x 的解集为_____________（用区间表示） 3、已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P ＝4、已知全集U=R ，集合}065|{2≥--=x x x P ，那么U C P =5、已知集合A={1，3，2m+3}，B={3, 2m }，若A B ⊆，则实数m=_____6、设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =7、满足{1，2}M ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是8、已知R x ∈，命题“若52<<x ，则01072<+-x x ”的否命题是9、设0>x ，则13++x x 的最小值为 10、若关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为{x |－1＜x ＜2}，则关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集是11、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是12、若关于x 的不等式123222--≤+-a a x x 在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是。

13、设实数b a ,满足302=++b ab a ，且0,0>>b a ，那么ab1的最小值为 14．定义满足不等式(,0)x A B A R B -<∈>的实数x 的集合叫做A 的B 邻域。

若a b t +-（t 为正常数）的a b +邻域是一个关于原点对称的区间，则22a b +的最小值为二、选择题：（每题3分，共12分）15、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则( )（A ）M N =∅ （B ） M N M = （C ）M N M = （D ）M N R =16、下列命题中正确的是：（）（A ）若bc ac >，则b a >(B) 若a 2>b 2，则b a > （C ）若b a 11>，则b a < (D) 若b a <，则b a <17、设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件18、对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的上确界,若,,1a b R a b +∈+=且，则122a b--的上确界为（） A ．92 B ．92- C ．41 D ．4- 三、解答题：（6＋6＋8＋6＋8＋12分，共46分）19、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--≤++0862132x x x x20、记关于x 的不等式0111<++-x a 的解集为P ，不等式3|2|<+x 的解集为Q （1）若3a =，求P ；（2）若Q Q P = ，求正数a 的取值范围。

21、设集合},04|{2R x x x x A ∈=+=，},01)1(2|{22R x a x a x x B ∈=-+++=，（1）若A ∩B ＝A ∪B ，求实数a 的值；（2）若A ∩B= B ，求实数a 的取值范围22、若实数x 、y 、m 满足|x -m |>|y -m |，则称x 比y 远离m ．(1) 若x 2-1比3远离0，求x 的取值范围；(2) 对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 3+b 3比a 2b +ab 2远离223、某城市上年度电价为0.80元/千瓦时，年用电量为a 千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时之间，而居民用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时)，经测算，下调电价后，该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比，比例系数为0.2a .试问当地电价最低为多少时，可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%24、已知一元二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为)0,(c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.（1）当1a =，12c =时，求出不等式()0f x <的解；（2）求出不等式()0f x <的解(用,a c 表示)；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a 的取值范围；（4）若不等式0122≥+++-ac b km m 对所有[1,1]k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围四、附加题：（每题4分，共20分）25、定义集合运算：A ⊙B =｛z|z= xy(x+y)，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合}1,0{=A ，}3,2{=B ，则集合A ⊙B 的所有元素之和为26、关于不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为}2{-，则实数k 的取值范围是 27、设集合},02|{2R x a ax x x A ∈=+-=，},054|{2R x a x x x B ∈=++-=，若A 和B 中有且仅有一个是∅，则实数a 的取值范围是28、设集合{0,1,2,3,4,5}S =，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为集合A 的一个“孤立元素”.，那么集合S 中所有无“孤立元素”的4元子集有个29、设1(0,)2x ∈，则x x 2192-+的最小值为一．填空题：（共12小题，每小题3分）1. A={1},B={x|x ⊆A}，用列举法表示集合B 的结果为_________。

2. 已知集合A={(x,y)|y=x+3}，B={(x,y)|y=3x-1}，则A ∩B=________。

3. 写出x>1的一个必要非充分条件__________。

4. 不等式11x≤的解集为_____________。

（用区间表示） 5. 命题“已知x 、y ∈R ，如果x+y ≠2，那么x ≠0或y ≠2.”是_____命题。

（填“真”或“假”）6. 集合A={x|(a-1)x 2+3x-2=0}有且仅有两个子集，则a=_________。

7. 若不等式|ax+2|<6的解集为（-1，2），则实数a 等于_________。

8. 不等式24x x ->x 的解集是____________。

9. 已知a 2+b 2=1，则的最大值为___________。

10. Δ和各代表一个自然数，且满足1∆+9=1，则当这两个自然数的和取最小值时，Δ=____,=____ 11. 已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1>0}，若A ∪B=B ，则实数m 的取值范围是_________。

12. 如果关于x 的三个方程x 2+4ax-4a+3=0，x 2+(a-1)x+a 2=0，x 2+2ax-2a=0中，有且只有一个方程有实数解，则实数a 的取值范围是_______________。

二．选择题：（共4小题，每题3分）13. 设命题甲为“0<x<5”，命题乙为“|x-2|<3”，那么甲是乙的：（）（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分又非必要条件14. 下列命题中正确的是：（）（A ）若ac>bc ，则a>b (B) 若a 2>b 2，则a>b （C ）若b a 11>，则a<b (D) 若b a <，则a<b 15. 设x>y>0，则下列各式中正确的是：（）（A ）x>2x y +>y （B ）>2x y +>y （C ）x>2x y +> y > （D ）> y >2x y + 16. 下列每组中两个函数是同一函数的组数共有：（）（1）f(x)=x 2+1和f(v)=v 2+1（２）y =和y = （３）y=2x ，x ∈{0,1}和y=215166x x ++，x ∈{0,1} （４）y=1和y=x 0（５）y=y =（6）y=x 和y （A ）1组（B ）3组（C ）2组（D ）4组三．解答题：（共5小题，本大题要有必要的过程）17. 已知集合{}1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+>，且A B φ=，求实数a 的取值范围。

18. （本题8分）已知a 为非负实数，解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.19. （本题10分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1、a 2∈R ，a 1+a 2=1，求证：a 12+a 22≥12. 证明：构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2)2,f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+a 12+a 22 因为对一切x ∈R,恒有f(x)≥0成立，所以Δ=4-8(a 12+a 22)≤0,从而证得a 12+a 22≥12.（1）若 a 1、a 2、…、a n ∈R ，a 1+a 2+…+a n =1，请写出上述结论的推广形式；（2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

20. （本题12分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案相应获得第二次优惠：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。

例如：购买标价为600元的商品，则消费金额为480元，480∈[400,500),所以获得第二次优惠金额为60元，获得的优惠总额为：600×0.2+60=180（元）。

设购买商品的优惠率=购买商品获得的优惠总额商品的标价。

试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）设顾客购买标价为x 元（x ∈[250,1000]) 的商品获得的优惠总额为y 元,试建立y 关于x 的函数关系式；（3）对于标价在[625，800）（元）内的商品，顾客购买商品的标价的取值范围为多少时，可得到不小于13的优惠率？（取值范围用区间表示）21. （本题14分）已知关于x 的不等式kx 2-2x+6k<0，（k>0）（1）若不等式的解集为{x|2<x<3}，求实数k 的值；（2）若不等式对一切2<x<3都成立，求实数k 的取值范围；（3）若不等式的解集为集合{x|2<x<3}的子集，求实数k 的取值范围。