勾股定理的证明(比较全的证明方法)

∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBAFG ，
DN
也就是 a2+b2=c2．
F B
E
12
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刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：
勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各
从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》
时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个
定理称为“毕达哥拉斯定理”，以后就流传开了。（为了庆祝这一定理
的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做
“百牛定理”．）
A
3
走
进
数
学
史
A
4
勾股定理的证明
美妙的勾股定理
——数形结合之美
32
42
52
A
1
勾 股
勾股弦的定义
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为
"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形
较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，
斜边称为“弦”.
A
2
勾股定理的由来
走 进 数 学 史
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉
勾 看 关 砖 一
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股 能 ， 成 毕
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A
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理 们 直 朋 9
数学家毕达哥拉斯的发现：
A
B
探
索
C
勾
股 A、B、C的面积有什么关系？
定
SA+SB=SC
A
理10
设：直角三角形的三边长分别是a、b、c
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？ 返回
∴S矩形ADNM＝2S△ADC． 又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即
G
平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK．
H C
∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， K
b
a
∴△ADC≌△ABK．
A Mc
由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．
同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
所以它充满魅力，千百年来，人
们对它的证明趋之若骛，其中有
著名的数学家，也有业余数学爱
好者，有普通的老百姓，也有尊
贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简
单，更容易吸引人，才使它成百
次地反复被人炒作，反复被人论
证。有资料表明，关于勾股定理
的证明方法已有500余种，仅我
国清末数学家华蘅芳就提供了二
朱实 中黄实 b (b-a)2 a
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那么： c2 4 ab(ba)2 2
A
得： c2 =a2+ b2．
仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达
哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
A
7
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的．
的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4
（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事
实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的
话中，所以人们就把这个定理叫作"商高定理"。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五
世纪的人，比商高晚出生五百多年。希腊另一位数学家欧几
斯定理”。为什么一个定理有这么多名称呢？商高是公元前十一世
纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。
在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录
着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，
经隅五。“什么是”勾、股“呢？在中国古代，人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高那段话
I
令正方形ABCD为朱方，正方
形BEFG为青方．在BG间取一点H，
E
使AH=BG，裁下△ADH，移至
D
C
F
△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形
A
BH
G
DHFI．勾股定理由此得证．
A
返回
13
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
G
已知：如图，以在Rt△ABC中，
HFBiblioteka C∠ACB=90°，分别以a、b、c为 边向外作正方形．
K
b
a c
A
B
求证：a2 +b2=c2．
D
E
A
8
数
也角友
学
来三家 观角 作 相
故
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两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人 们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨 和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法
3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法
5．其他证法
A
5
勾股定理是几何学中的明珠，
C Aa c
b B
SA+SB=SC探
SA=a2 索 SB=b2 勾
SC=c2 股
A
a2+b2=c2
定 理11
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．
∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
十多种精彩的证法。
在这数百种证明方法中，有
的十分精彩，有的十分简洁，有
的因为证明者身份的特殊而非常
著名。
现在在网络上看到较多的是
16种,包括前面的6种,还有:
A
6
返回
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树．
也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？”