数学运算之数的整除性专题

数学运算之数的整除性专题

1、数的整除性质：

(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。

(2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

(2) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能该自然数整除。

(3) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。

(4) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。

(5) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。

(6) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

2、数的整除特征：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。

(1)1与0的特性： 1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数。

(2)若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

(3)若一个整数的数字和能被3（9）整除，则这个整数能被3（9）整除。

(4) 若一个整数的末尾两位数能被4（25）整除，则这个数能被4（25）整除。

(5)若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

(6)若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

(7)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

(8)若一个整数的末尾三位数能被8（125）整除，则这个数能被8（125）整除。

(9)若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

(10)若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。（不够减时依次加11直至够减为止）。11的倍数检验法也可用上述检查7的(割尾法)处理，过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。

(11)若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

(12)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除。

另法：将一个多位数从后往前三位一组进行分段。奇数段各三位数之和与偶数段各三位数之和的差若被7（11或13）整除，则原多位数也被7（11或13）整除。

(13)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

(14)若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

(15)若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

(16)若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

(17)若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。

例题1.(2007年中央第60题)

有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了( )公斤面包。

A.44

B.45

C.50

D.52

【解析】本题是整除运算题目。由题意可知，6箱食品共重102公斤，设卖出的一箱面包为x公斤，又由于剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，所以(102－x)应是3的倍数，并且(102－x)÷3应是其余5箱中一箱的重量或几箱重量的和。只有当x＝27时符合条件，此时共

有面包27＋(102－27)÷3＝52公斤。故选D。

例题2.(2006年中央(一类)第50题，(二类)第34题)

一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有( )。

A.5个

B.6个

C.7个

D.8个

【解析】本题要运用整除运算。根据“除以5余2”，可知该数的尾数为2或7；而根据“除以4余3”，可知其尾数只能为7，根据“除以9余7”，该数可以表示为9x＋7，其中x的范围为11至110；其中尾数为7的有9y＋7，其中y的范围为20至110，经检验可知，当y为30、50、70、90、110时，该三位数仍不能符合“除以4余3”的条件，即只有当y为20、40、60、80、100时，该三位数才满足三个条件，因此共有5个三位数。故选A。

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例题3：求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。

分析：由于要求被9整除，可只考虑数字和，又由于要求最小的，故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为9的倍数。

【解析】一个以5为首位数的六位数，要想使它最小，只可能是501234（各位数字均不相同）。但是501234的数字和5+0+1+2+3+4=15，并不是9的倍数，故只能将末位数字改为7，这时， 5+0+1+2+3+7=18