(PPT)(第七章)图及网络模型

例：多阶段的成本优化
(设备更新问题) 某公司使用一台设备，每年 年初，公司就要决定是购买新的设备还是继续 使用旧设备。如果购置新设备，就要支付一定 的购置费；若继续使用旧设备，则需支付一定 的维修费。请制定一个五年之内的设备更新计 划，使得五年内购置费和维修费总的支付费用 最少。
设备每年年初的价格表： 年份 1 2 3 4 年初 11 11 12 12 价格
计，使得线路总长度最短。 • 连接多个场所的管道网络设计（煤气、水）
最短路问题
• 最短链问题：在一个赋权的无向图中， 寻找指定两点之间的一条链，此链上所 有边的权数之和最小。
• 最短路问题：在一个赋权的有向图中，
寻找指定两点之间的一条路，此路上所
有弧的权数之和最小。
• 方法：Dijkstra标号法
V1
V2
V3
V4
V5
V6
• 在规定时间内，进入或流出公路系统的最大车 流量、供水（油）系统中的最大水（油）流量、 信息网络中的最大信息流量、生产流水线上的 最大加工能力，等等。
• 虽然知道系统中每段（弧）的通过能力（称容 量），但由于前后的配置关系，实际通过每段 的流量常常达不到容量值，所以需要了解系统 的实际通过能力（最大流量）
V2 (3，4)
V5
V1
V3
(2，3) V6 (4，4)
V7
V4
Thank you!
权表示“购置费 +使用中的维 V3 修费”
组成该图的点和
弧如右所示： V4 （从V1到V6
的路中找最短
的）
V5
终点I
V2 V3 V4 V5 V6 V3 V4 V5 V6 V4 V5 V6 V5 V6 V6
弧
权数(费用和)
e12
11+5
e13
11+5+6
e14
11+5+6+8
e15
11+5+6+8+11
使用不同时间的设备所需要的维修费：
5 使用 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 13 年数 内 内 内 内 内
年维 5 6 8 11 18 修费
点Vi表示“第i年 始点
年初购进新设 备”，则点的
V1
个数为V1、
V2、V3、V4、
V5
弧eij表示“第i年 年初购置的设 V2 备一直使用到 第j年年初”
比赛过戊）(V5)
e15
e54
甲(V1)
e14
e12
e13 乙(V2)e23
e34 丙(V3)
丁(V4)
例：人际关系(用点表示人，用弧表示谁认识谁的认识关系)
赵(V1) e12 孙(V2)
吴(V7)
e13 e32
e24 . 周(V5)
e45
e67
李(V4)
e65
钱(V3)
陈(V6)
基本术语
• 无向图(简称图) ，记为G（V，E） • 有向图(点和弧组成，弧有方向)，记为G（V，A） • 无向图中的链、圈 • 连通图 • 树：不存在圈的连通图 • 支撑树：树的顶点及其个数＝连通图的顶点及个数 • 有向图中的路
– 对于数值为F的发量，建立该网络的转运问题模型， 就可寻找到一个发量为F的最小费用流。
– 例P225
• 最小费用流问题=(给定发量的)转运问题
– 例P226
• 某石油公司拥有一个管道网络，使用这个网络 可以把石油从采地运送到一些销售点，这个网 络的一部分如图所示。由于管道的直径不同、 长短不一，它的各段管道(vi，vj)的容量cij (单 位：万加仑/小时)不一样，通过每段管道的单 位流量的费用bij (单位：百元/万加仑)也不一样。 (cij ，bij)已在图中标出。怎样运送才能运送最 多的石油并使得总的运送费用最小？
V4
• 最小支撑树如下，其权＝15
4
1
5 2
3 特点：
要求连通到每个顶点
某大学准备对其所属的7个学院办公室计 算机联网，这个网络的可能联通的途径如图所 示，每条边上的权数为这条路的长度，单位为 百米。请设计一个网络能联通7个学院办公室， 并且线路长度最短。
V2 1 V3 7
34
V1 3
V7 2
V4
3
2
5
22
3
163
7
进入
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
53
5
4
5
8 11
7
6
7
离开
可建立一个线性规划模型， 并用lindo软件求解
此网络的最大流量为14（千辆），不能处理高峰时期时每 小时15（千辆）的车流。交通规划者将不得不扩展网络系 统，否则将会出现严重的交通问题。
• 最小费用最大流问题=最大流问题+转运问题
– 先求一个网络的最大流量F(用最大流问题的软件程 序)
• 最小支撑树问题
– 寻找图中的一个支撑树，其权（构成树的所有边上 的权数之和，称为树的权）最小。
– 破圈法（也可用软件求解） 例：某工厂内联结六个车间的道路网如图所示，图中
每条边上的权数代表道路的长。如果沿道架设联结 六个车间的电话线网，怎样架设节省材料？
V3
5
6
1
7
V1
5
V2
2
V5 4
3
V6
4
网络规划问题
• 最小支撑树问题 • 最短路问题 • 网络最大流问题 • 最小费用流问题
将庞大复杂的工程系统和管理问题用图描述,可以 解决工程设计和管理决策的最优化问题.如,完成任 务的时间最少,距离最短,费用最省等等.
最小支撑树问题
• 赋权图
– 图中每条边上都赋予一个权数，该权数可代表很多 实际含义，如代表长短、时间、费用，等等
的数字表示通过这条单行线所需要的费用。
现在某人要从V1出发，通过这个交通网到
V8去，请找一条总费用最小的旅行路线。
（最短路问题）V5
V2
1
6
62 V1 3 V3 6
3 4 10
V8 4
12 V4
V7 4
10 V6
最短路问题的应用
• 行进的总路程最少 • 一序列活动的总成本最少 • 一序列活动的总时间最少
e16 11+5+6+8+11+18
e23
11+5
e24
11+5+6
e25
11+5+6+8
e26
11+5+6+8+11
e34
12+5
e35
12+5+6
e36
12+5+6+8
e45
12+5
e46
12+5+6
e56
13+5
五年总的支付费用为53，有两个最优方案： （1）V1，V3，V6即：在第1年、第3年各购置一台新设备 （2）V1，V4，V6即：在第1年、第4年各购置一台新设备
• 了解网络的实际通过能力，可以充分发挥网络 的设备能力，并且能明确（哪些路段是制约瓶 颈）如何改造网络以增大流量。
某城市的南北公路系统
美国某城市的南北公路系统，在高 峰时期车辆流动达到每小时15千辆。现 在根据一项公路保养计划，需暂时关闭 一些辅路，交通计划委员会已给出了通 过该市的替代路线网，每条街道的容量 （千辆/小时）如图表示，现想知道该替 代路线网能否满足要求？
特点： 联接指定的两顶点
V3
5
6
1
7
V1
5
V2
2
V5 4
3
V6
4
V4
某工厂内联结甲（V1）、乙（V6）两个 车间的道路网如上图所示，图中每条边上的权 数代表道路的长。如果沿道架设联结甲乙之间 的电话线（或光缆线），怎样架设节省材料？
（最短链问题）
甲(V1)
5
2
乙（V6） 4
下图所示的是单行线交通网，每弧旁
10
35
8
V6 4 V5
设计网络的线路 长度为19（百米）
最小支撑树问题的应用
• 电信网络（计算机网络、电话专用线网络、有 线电视网络，等等）的设计
• 运输网络的设计，使得网络中提供链接的部分 （如铁路、公路，等等）的总成本最小。
• 高压输电线路网络的设计 • 电器设备线路网络（如数字计算机系统）的设
第七章 图与网络模型
• 著名哥尼斯堡七桥问题:欧拉(1736).
A A
CD
C
D
B
• 中国邮递员问题：中国管梅B 谷（1962）
1
3
5
2
4
6
点和边组成的称之图
北京 e2
郑州 e3
武汉
例：铁路线状况
e1
天津
很多问题用图
表示简单明了
e4
济南 e5
青岛
e6
徐州
连云港
e9
e10
e7
南京 e8
上海
例：球队比赛状况（用点表示五个球队，用边表示两队之间