对有理数和无理数的认识
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本文对有理数和无理数（包括代数数和超越数）作了介绍与归纳，介绍了有理数和无理数的来源与类别，从这些定义和归类，读者应该对有理数和无理数有所了解。
参考文献：
《数.科学的语言》（美）-T.丹齐克著苏仲湘译
《几何原本》--欧几里得 兰纪正 朱恩宽 译
《数学》（英）高尔斯（Gowers，T.）著；刘熙译.——南京：译林出版社
自人类开始数学离不开人们生活，因此数与数学也是人类几千年来积累的精华之一，然而数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式。在大家对有关的数学内涵产生兴趣并开始有所领悟之前，很可能早已为这些术语、记号和公式搞得晕头转向甚至望而却步了。同样离不开必要的逻辑推理。推理若过分严密，很难引起学习者的兴趣；但若过于粗疏，语焉不详，则又易使人不得要领。因此许多人都说数学难呀。
对有理数和无理数的认识
摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数
一、有理数
1、有理数的由来
在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b）、自乘( )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ ），减法（a-b）、开方（ ）要在只在有限制的条件下成立。维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
B、算法封闭性，即两个有理数的加、减、乘、除的值为有理数。
3.相关问题
1、0既然是自然数又是整数，为何不能做除数（即分母）呢？
这个问题我们可以看作方程求X 0=a的解，大家都知道，人们在定义0时，认定a 0=0，由于X为任意值，因此当a不为0时，方程是不可能的，因此不存在任何一个有理数满足方程解。或者我们也可以这样理解， 1 0=0，2 0=0，得出0×1=0×2。两边除以零，得出0/0×1=0/0×2。化简，得：1=2（不可能），综上:0做除数就无意义了。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这就是“无理数”的由来。到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《几何原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
∴q、p不复可约（互质）矛盾 原假设不成立
∴ 为无理数。Baidu Nhomakorabea
这种证法和古典证法一样属于归谬法类型。
现在数学给无理数的定义为：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、 等。且无理数又分为代数无理数和超越数无理数（关于代数无理数和超越无理数的证明不再本文内容之内，不做详解）。
可得：
10x-x=1.1111……-0.1111……
9x=1
X=
（1）.把0.232323... 化成分数 。
设X=0.232323...
因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...
所以 X = 0.23 + 0.01X
解得：X = 23/99
（2.）把0.1234123412341234...化成分数 。
解：设X=0.1234123412341234...
因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234...
所以X = 0.1234 + 0.0001X
解得：X = 1234/9999
3、代数法
类型1：纯循环小数如何化为分数
例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数
代数数和超越数：代数数是代数与数论中的重要概念，指任何整系数多项式的复根。这即是说若x是一个代数数，那么必然存在整数那么必然存在整数 ， ……… (n>=1, )使得x是以下方程的根：
所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作A或 ，是复数域C的子域。
2、有理数的定义：数学上，有理数是一个整数a和一个非0整数b的比，如1/2，3/7等，通式为a/b(b 0)，又称为分数，0也是有理数。又因整数可以看作分母为一的分数，因此有理数是分数和整数的集合。有理数集可用大写符号Q代表。但Q并不表示有理数，Q表示有理数集。（注：有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
例1： 0.33……×10＝3.33……
0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……
(10-1) ×0.33……=3
即9×0.33……=3
那么0.33……=3/9=1/3
(2)、0.4747……×100＝47.4747……
0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……
公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不可公度的，例如边长为1的正方形与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥拉斯定理容易发现，它们之比并非是自然数之比。据说，由于希帕索斯的这一发现，触犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进大海。（注：“公度”是一个几何学概念，对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd(m，n为自然数)，那么称线段d为线段a和b的一个公度；并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段。）
2、循环小数化分数：(1)等比数列法：无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例1：0.222222222…
解:循环节为2，则0.2222…=
等比数列和为： =
取极限化简：
2、解方程法：设小数为X，若循环节位数为n，则有 ，求x化简。
例2：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x。
二、无理数
1、无理数的发现：毕达哥拉斯学派的信条是，世界万物都是可以用数来表示的。他们所称的数就是自然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。他们将这种数的理论应用于几何，认为，对于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它们的单位线段，并称此1两线段为可公度的。这种可公度性等价于“任何两条线段之比为有理数”。他们在几何推理中总是使用这条可公度性假定。
超越数是复数中除代数数以外的数不是上面代数方程的根的实数称为超越数，例如圆周率 ,自然对数的底e等， （简单的说能表示为一个代数方程的根的数，如根号下2就是x的平方减一等于零的一个根，所以它就是代数数，而不能表示为代数方程之根的无理数，就叫做超越数，如圆周率，自然对数的底等等。）的超越性就不再这里证明了。
欧几里得《几何原本》中提出的一种证明无理数的经典方法为：
证明: 是无理数。
证：假设 不是无理数
∴ 是有理数
令 = (p、q不复可约)(互为质数)
两边平方得：
2= 即：2=
通过变换得：
2 =
∴ 必为偶数
∴p必为偶数
令p=2r
则 =4r²
∴2 =4r²
化简得：
=2r²
∴ 必为偶数
∴q必为偶数
综上，q和p都是偶数
4、分数与无限循环小数之间的互化
1、分数化循环小数：循环小数分为纯循环(0.3333…)小数和混循环小数(0.2356111…)，如果有理数 不是一个有限十进位小数，那么通过不断地除法能表示一个十进位小数，过程中必然有一个非0的余数，否则小数是有限的，除的过程出现的余数将是1和p-1的整数，所以最多只能有p-1个余数，也就是只能除p次，之后出现的余数都会重复同样的出现，简单说就是用分子除分母，直到出现余数相同为止，比如 ， 等等。
有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。）
运算法则：遵守四则运算。
性质：A、有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是密集的，而整数集不是稠密的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。（希腊文称为 λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。）。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。因此在自然数域中算术运算是全可能的。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能
同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
解：0.228…
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=206/900
(100－1)×0.4747……=47
即99×0.4747……=47
那么 0.4747……=47/9
4、套公式法：
纯循环
用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。
混循环
例：把混循环小数0.228…化为分数：
=103/450；
公式
用9和0做分母，首先有一个循环节有几位数字就几个9，接着有几个没加入循环的数就加几个0，再用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子，比如0.43，3的循环，有一位数没加入循环，就在9后面加一个0做分母，再用43减4做分子，得 90分之39，0.145，5的循环就用9后面加2个0做分母，再用145减14做分子，得900分之131，0.549，49的循环，就 用99后面加1个0做分母，用549减5做分子，最后得990分之545，以此类推，能约分的要化简。方法还有很多，在这里就不一一介绍，总之只要是有数都能分数和小数都能互化。
参考文献：
《数.科学的语言》（美）-T.丹齐克著苏仲湘译
《几何原本》--欧几里得 兰纪正 朱恩宽 译
《数学》（英）高尔斯（Gowers，T.）著；刘熙译.——南京：译林出版社
自人类开始数学离不开人们生活，因此数与数学也是人类几千年来积累的精华之一，然而数学内涵的展现离不开众多的术语、记号和公式。在大家对有关的数学内涵产生兴趣并开始有所领悟之前，很可能早已为这些术语、记号和公式搞得晕头转向甚至望而却步了。同样离不开必要的逻辑推理。推理若过分严密，很难引起学习者的兴趣；但若过于粗疏，语焉不详，则又易使人不得要领。因此许多人都说数学难呀。
对有理数和无理数的认识
摘要：本文将对有理数和无理数的由来、概念及性质作一介绍，试图对数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关键词：有理数 无理数 代数无理数与超越无理数
一、有理数
1、有理数的由来
在远古时候人们的生活经历探索，由模型到符号的演变发展成现在数及其符号，算术运算和早期代数也随之发展起来，在这里不做详细说明(大家可以参考由［英国］ 蒂莫西·高尔斯的《数学史》译:刘熙文献)，今日的算术和维叶塔以前的算术的区别在于对“不可能”到可能“可能”态度的转变，17世纪以前的代数家赋予这个名词有绝对的意义，认定了自然数是一切算术运算的特有数域，他们把可能性或者说，限制了的可能性，视为这些运算的内在性质。也既是算术的直接运算乘法(ab)、加法（a+b）、自乘( )在自然数域中是全可能的，然而逆运算除法（ ），减法（a-b）、开方（ ）要在只在有限制的条件下成立。维塔娜以前的代数学家只满足于陈述这些事实，他们不能对这些问题做更深入的分析。
B、算法封闭性，即两个有理数的加、减、乘、除的值为有理数。
3.相关问题
1、0既然是自然数又是整数，为何不能做除数（即分母）呢？
这个问题我们可以看作方程求X 0=a的解，大家都知道，人们在定义0时，认定a 0=0，由于X为任意值，因此当a不为0时，方程是不可能的，因此不存在任何一个有理数满足方程解。或者我们也可以这样理解， 1 0=0，2 0=0，得出0×1=0×2。两边除以零，得出0/0×1=0/0×2。化简，得：1=2（不可能），综上:0做除数就无意义了。
不可通约的本质是什么？长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。 然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”——这就是“无理数”的由来。到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《几何原本》第５卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。
∴q、p不复可约（互质）矛盾 原假设不成立
∴ 为无理数。Baidu Nhomakorabea
这种证法和古典证法一样属于归谬法类型。
现在数学给无理数的定义为：无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、 等。且无理数又分为代数无理数和超越数无理数（关于代数无理数和超越无理数的证明不再本文内容之内，不做详解）。
可得：
10x-x=1.1111……-0.1111……
9x=1
X=
（1）.把0.232323... 化成分数 。
设X=0.232323...
因为0.232323... == 0.23 + 0.002323...
所以 X = 0.23 + 0.01X
解得：X = 23/99
（2.）把0.1234123412341234...化成分数 。
解：设X=0.1234123412341234...
因为0.1234123412341234... == 0.1234 + 0.000012341234...
所以X = 0.1234 + 0.0001X
解得：X = 1234/9999
3、代数法
类型1：纯循环小数如何化为分数
例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数
代数数和超越数：代数数是代数与数论中的重要概念，指任何整系数多项式的复根。这即是说若x是一个代数数，那么必然存在整数那么必然存在整数 ， ……… (n>=1, )使得x是以下方程的根：
所有代数数的集合构成一个域，称为代数数域（与定义为有理数域的有限扩张的代数数域同名，但不是同一个概念），记作A或 ，是复数域C的子域。
2、有理数的定义：数学上，有理数是一个整数a和一个非0整数b的比，如1/2，3/7等，通式为a/b(b 0)，又称为分数，0也是有理数。又因整数可以看作分母为一的分数，因此有理数是分数和整数的集合。有理数集可用大写符号Q代表。但Q并不表示有理数，Q表示有理数集。（注：有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。
例1： 0.33……×10＝3.33……
0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33……
(10-1) ×0.33……=3
即9×0.33……=3
那么0.33……=3/9=1/3
(2)、0.4747……×100＝47.4747……
0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747……
公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯发现存在某些线段之间是不可公度的，例如边长为1的正方形与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥拉斯定理容易发现，它们之比并非是自然数之比。据说，由于希帕索斯的这一发现，触犯了毕达哥拉斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进大海。（注：“公度”是一个几何学概念，对于两条线段a和b，如果存在线段d，使得a=md，b=nd(m，n为自然数)，那么称线段d为线段a和b的一个公度；并称线段a和b为可公度线段或可通约线段。如果对于线段a和b，这样的线段d不存在，那么称线段a和b为无公度线段或不可通约线段。）
2、循环小数化分数：(1)等比数列法：无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例1：0.222222222…
解:循环节为2，则0.2222…=
等比数列和为： =
取极限化简：
2、解方程法：设小数为X，若循环节位数为n，则有 ，求x化简。
例2：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x。
二、无理数
1、无理数的发现：毕达哥拉斯学派的信条是，世界万物都是可以用数来表示的。他们所称的数就是自然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。他们将这种数的理论应用于几何，认为，对于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它们的单位线段，并称此1两线段为可公度的。这种可公度性等价于“任何两条线段之比为有理数”。他们在几何推理中总是使用这条可公度性假定。
超越数是复数中除代数数以外的数不是上面代数方程的根的实数称为超越数，例如圆周率 ,自然对数的底e等， （简单的说能表示为一个代数方程的根的数，如根号下2就是x的平方减一等于零的一个根，所以它就是代数数，而不能表示为代数方程之根的无理数，就叫做超越数，如圆周率，自然对数的底等等。）的超越性就不再这里证明了。
欧几里得《几何原本》中提出的一种证明无理数的经典方法为：
证明: 是无理数。
证：假设 不是无理数
∴ 是有理数
令 = (p、q不复可约)(互为质数)
两边平方得：
2= 即：2=
通过变换得：
2 =
∴ 必为偶数
∴p必为偶数
令p=2r
则 =4r²
∴2 =4r²
化简得：
=2r²
∴ 必为偶数
∴q必为偶数
综上，q和p都是偶数
4、分数与无限循环小数之间的互化
1、分数化循环小数：循环小数分为纯循环(0.3333…)小数和混循环小数(0.2356111…)，如果有理数 不是一个有限十进位小数，那么通过不断地除法能表示一个十进位小数，过程中必然有一个非0的余数，否则小数是有限的，除的过程出现的余数将是1和p-1的整数，所以最多只能有p-1个余数，也就是只能除p次，之后出现的余数都会重复同样的出现，简单说就是用分子除分母，直到出现余数相同为止，比如 ， 等等。
有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。）
运算法则：遵守四则运算。
性质：A、有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是密集的，而整数集不是稠密的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。
那么问题来了，能否把把数域扩大使得算术逆运算也成立，然而对于减法，我们只要把负数和0加进去就可以了。对于除法，只要把正负分数加进去就使得除法也全可能。
因此由正负整数，正负分数和0组成的数域称为有理数域。（希腊文称为 λογος，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。）。
然而算术直接运算之所以全可能，是因为这些运算只不过是一系列重复运算，一步步深入到自然数中，然自然数我们先验假定为无限。若要除去这个假定，我们把算术域限于一个有限集合（比如1000以内自然数）因此998+456>1000、600 X 50>1000就变的没意义了，然而相对式子也就失去意义。或者限于奇数，对乘法还是全可能(奇数之积任为奇数)，然而加法就不成立了。因此在自然数域中算术运算是全可能的。
毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能
同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。
解：0.228…
=[（228/1000）+8/9000）]
=228/（900+100）+8/9000
=[（228/900）-（228/9000）]+（8/9000）
=（228/900）+[（8/9000）-（228/9000）]
=（228/900）-（22/900）
=（228-22）/900
=206/900
(100－1)×0.4747……=47
即99×0.4747……=47
那么 0.4747……=47/9
4、套公式法：
纯循环
用9做分母，有多少个循环数就几个9，比如0.3，3的循环就是9分之3，0.654，654的循环就是999分之654， 0.9，9的循环就是9分之9（1），以此类推。
混循环
例：把混循环小数0.228…化为分数：
=103/450；
公式
用9和0做分母，首先有一个循环节有几位数字就几个9，接着有几个没加入循环的数就加几个0，再用第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差做分子，比如0.43，3的循环，有一位数没加入循环，就在9后面加一个0做分母，再用43减4做分子，得 90分之39，0.145，5的循环就用9后面加2个0做分母，再用145减14做分子，得900分之131，0.549，49的循环，就 用99后面加1个0做分母，用549减5做分子，最后得990分之545，以此类推，能约分的要化简。方法还有很多，在这里就不一一介绍，总之只要是有数都能分数和小数都能互化。