奥数-等腰三角形和等边△-第十讲教师版

第十讲等腰三角形和等边三角形

基础知识

b等腰三角形的性质及推论：

（1）等腰三角形的两底角相等

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

（3）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。

2.等腰三角形的判定及推论：

（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等

（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等

（3）有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形

尤其要注意全等在等腰.等边三角形中的应用.

二.名校真题回放

1.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）如图，在'ABC中，4B = AC, 它的周长

为24,又AD丄BC于D, AABD的周长为20,则AD的长为多少？

解答：8

2.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）在等边三角形ABC中，D卫分别在边BCAC上, DC = AE, AD、BE交于点F •请你判断ZDACfUZABE的大小关系，并证明你的结论.

解答：ZDAC = ZABE

3.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）已知:如图'△ABC中，AB=AC,

D为AC上一点，ZDBC = -ZA•求证J AC丄BD 2

解答：利用三角形内角和•

4.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）已知△ ABC的三边4人C满足等式:

“2+2ah-2be = O,试说明△ ABC是等腰三角形.

解答5 (“ 一c)(« + C + 2h) = 0

5.（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片ABCD,AD//BC, ZBDC = 90。.将其沿对角线BD翻折后压平, 仙和BC'相交于点E,则图中的等腰三角形有

__________________ , _________________ （只写出两个正确结论）解答：“BED,△〃（：（？等等.

三、活题巧解

(一)等腰三角形的性质

例1.(竞赛选题)在A ABC 中，AB M AC, ZA=100° , BD 为ZB 的平分线，求证：BC=BD+ADo 证明：在BC 上截取

BE=BD,截取BF=BA,连接DE, DF

VAB=AC, ZA=100"八••ZC=40° . ZDBC=20° A ZDEB=80"

/. ZCDE=ZDEB-ZC=8O** -40° =40° ・•. ZCDE= ZC, :、DE=EC ①

XVAB=BF, ZABI>=ZFBD, BD=BD, A A ABD$^ A FBD ADA=DF ② 又VZDFC=180" -ZDFB=180" -ZA=80° , :.乙DEB=：ZDFC=8O" , ADE=OF ③ 由①©③的EC=AD /.BC=BE+EC=BD+AD

例2. (2002年上海市竞赛题)如图，AC.BD 相交于AC 平分ZDAB.且

AB = AE.AD = AC.有以下四个结论：(1) &C 丄BD ： (2) BC=DE ： (3) ZD 心

『DAB ；⑷"亚是等边三角形•其中正确的结论是什么?

(2) (3)

等腰 A ABC 中，AB 二AC, ZA=20。. D 是 AB 边上一点，AB=BC,连接 6 ZBDC=3O" i^AAED^ ABAC,连接 EC,贝!|ZAED=ZBAC 20", ZDAE=ZADE=ZB=ZACB=8(r

AZCAE=ZDAE-ZBAC=80° -20" =60° 又 VAE=AB=AC

A A ACE 是一个多边三角形，有AE 二EC=ED A ZDEC=ZAEC-ZAED=40°

AZEDC=- (180" -40° ) =70"

2

AZBDC=180" - (ZADE+ZEDC) =30°

例4.(第11届“希望杯”试题)如图，在△ ABC 中,

AC = 2,SC = 4,ZACB = 60% 将△4BC 折叠，使得点B 和点C

重合，折痕为DE,则△AEC 的面积是多少? 解答5 —Vs

3

解答: 例3 求证: 证明:

F E

D

C

B

A

A

D

D

B

例5 (竞赛选题)

A ABC 是等腰直角三角形，ZBAC=90* ,点D 是AABC 内一点，且ZDAC= ZDCA=150" 求证：BD 二BA 证明：以AD 为边在AAD

B 由作等边AAOE,连接BE,则

Z1=Z2=Z3=6(r , AE=ED 二AD VZDAC=15O",

A ZEAB=90" ・Z1・ZDAC=15O° . A ZDAC=ZEA

B XVDA=AE, AB=AC

A A EA

B 丝 A DAG A ZEBA=ZDCA=150" ••■ZBEA=180" -ZEBA ・ZEAB=150° ZBED=360。-ZBEA-ZAED=150" A ZBEA=ZBED 又 TBE=BE, AE=ED A A BEA 丝 A BED ABD^BA

例6・（1997年天津市竞赛题）如图，△ABC 是边长为1的等边三角形,

ZBDC = 120°、BD = CD,点 M,N 分别在 AB/C 上，且

ZMDN = 60。，连结MV,求证：△AMN 的周长等于2.

解答：延长/1

例7. （2000年无锡市竞赛题）在△ABC 中，AB = AC.过△ABC 某一顶点的直线可将△ ABC 分成 两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数.

解答，共有4种情况，其内角相应度数为：

183 540° 540。

(450,45^900),(36^36M08«),(36Vr,7r),(— — —

A

例8. （2002年泰州市中考题）如图，在△ABC 中，AB = AC. ZA = 36% BD 、CE B C

解答：8个

（二）等腰三角形的判定

分别为厶〃GZACB 的角平分线，且相交于F,则图中的等腰三角形有几个?