奥数-等腰三角形和等边△-第十讲教师版

第十讲等腰三角形和等边三角形
基础知识
b等腰三角形的性质及推论：
（1）等腰三角形的两底角相等
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
（3）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。

2.等腰三角形的判定及推论：
（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等
（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等
（3）有一个角为60。

的等腰三角形是等边三角形
尤其要注意全等在等腰.等边三角形中的应用.
二.名校真题回放
1.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）如图，在'ABC中，4B = AC, 它的周长
为24,又AD丄BC于D, AABD的周长为20,则AD的长为多少？
解答：8
2.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）在等边三角形ABC中，D卫分别在边BCAC上, DC = AE, AD、BE交于点F •请你判断ZDACfUZABE的大小关系，并证明你的结论.
解答：ZDAC = ZABE
3.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）已知:如图'△ABC中，AB=AC,
D为AC上一点，ZDBC = -ZA•求证J AC丄BD 2
解答：利用三角形内角和•
4.（北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷）已知△ ABC的三边4人C满足等式:
“2+2ah-2be = O,试说明△ ABC是等腰三角形.
解答5 (“ 一c)(« + C + 2h) = 0
5.（2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片ABCD,AD//BC, ZBDC = 90。

.将其沿对角线BD翻折后压平, 仙和BC'相交于点E,则图中的等腰三角形有
__________________ , _________________ （只写出两个正确结论）解答：“BED,△〃（：（？等等.
三、活题巧解
(一)等腰三角形的性质
例1.(竞赛选题)在A ABC 中，AB M AC, ZA=100° , BD 为ZB 的平分线，求证：BC=BD+ADo 证明：在BC 上截取
BE=BD,截取BF=BA,连接DE, DF
VAB=AC, ZA=100"八••ZC=40° . ZDBC=20° A ZDEB=80"
/. ZCDE=ZDEB-ZC=8O** -40° =40° ・•. ZCDE= ZC, :、DE=EC ①
XVAB=BF, ZABI>=ZFBD, BD=BD, A A ABD$^ A FBD ADA=DF ② 又VZDFC=180" -ZDFB=180" -ZA=80° , :.乙DEB=：ZDFC=8O" , ADE=OF ③ 由①©③的EC=AD /.BC=BE+EC=BD+AD
例2. (2002年上海市竞赛题)如图，AC.BD 相交于AC 平分ZDAB.且
AB = AE.AD = AC.有以下四个结论：(1) &C 丄BD ： (2) BC=DE ： (3) ZD 心
『DAB ；⑷"亚是等边三角形•其中正确的结论是什么?
(2) (3)
等腰 A ABC 中，AB 二AC, ZA=20。

. D 是 AB 边上一点，AB=BC,连接 6 ZBDC=3O" i^AAED^ ABAC,连接 EC,贝!|ZAED=ZBAC 20", ZDAE=ZADE=ZB=ZACB=8(r
AZCAE=ZDAE-ZBAC=80° -20" =60° 又 VAE=AB=AC
A A ACE 是一个多边三角形，有AE 二EC=ED A ZDEC=ZAEC-ZAED=40°
AZEDC=- (180" -40° ) =70"
2
AZBDC=180" - (ZADE+ZEDC) =30°
例4.(第11届“希望杯”试题)如图，在△ ABC 中,
AC = 2,SC = 4,ZACB = 60% 将△4BC 折叠，使得点B 和点C
重合，折痕为DE,则△AEC 的面积是多少? 解答5 —Vs
3
解答: 例3 求证: 证明:
F E
D
C
B
A
A
D
D
B
例5 (竞赛选题)
A ABC 是等腰直角三角形，ZBAC=90* ,点D 是AABC 内一点，且ZDAC= ZDCA=150" 求证：BD 二BA 证明：以AD 为边在AAD
B 由作等边AAOE,连接BE,则
Z1=Z2=Z3=6(r , AE=ED 二AD VZDAC=15O",
A ZEAB=90" ・Z1・ZDAC=15O° . A ZDAC=ZEA
B XVDA=AE, AB=AC
A A EA
B 丝 A DAG A ZEBA=ZDCA=150" ••■ZBEA=180" -ZEBA ・ZEAB=150° ZBED=360。

-ZBEA-ZAED=150" A ZBEA=ZBED 又 TBE=BE, AE=ED A A BEA 丝 A BED ABD^BA
例6・（1997年天津市竞赛题）如图，△ABC 是边长为1的等边三角形,
ZBDC = 120°、BD = CD,点 M,N 分别在 AB/C 上，且
ZMDN = 60。

，连结MV,求证：△AMN 的周长等于2.
解答：延长/1<?至£,快CE = BM,连结DE •先证△ BMD 辿 CED.再证△ MDN 空△EDN.
例7. （2000年无锡市竞赛题）在△ABC 中，AB = AC.过△ABC 某一顶点的直线可将△ ABC 分成 两个等腰三角形，试求△ABC 各内角的度数.
解答，共有4种情况，其内角相应度数为：
183 540° 540。

(450,45^900),(36^36M08«),(36Vr,7r),(— — —
A
例8. （2002年泰州市中考题）如图，在△ABC 中，AB = AC. ZA = 36% BD 、CE B C
解答：8个
（二）等腰三角形的判定
分别为厶〃GZACB 的角平分线，且相交于F,则图中的等腰三角形有几个?
例9.（第64届莫斯科数学竞赛题〉
如图，在AABC 中，作出它的角平分线AK,中线BL 和高CM* 是缚边三角形
证明：YA AMC 是直角三角形，L 是斜边AC 中的中点。

AAL=LC=ML 又 ML=LK=MK AAL=LC=LK
A A ACK 也是直角三角形 •••AK 丄 BC
・：AK 既是A ABC 的角平分线，又是它的高。

A AABC 是等腰三角形t AAB=AC
又在RtABMC 中，K 是BC 中点，ABC=2MK=2KL=AC AAB=BC=AC
•••A ABC 为等边三角形
例10.（1999年江苏省竞赛题）已知△4BC 是等边三角形，£是4C 延长线上的任意一点，△（：£>£：也是等边三角形，若M.N 分别畏线 段AD.BE 的中点，求证：ZiCMN 是等边三角形. 解答：先证4ACD 沁 BCE.再证△DCM 丝△ECN,得到
CM =CN 上 NCM =60°
例H- （1996年北京市竞赛题）三角形三边长“上,C 满足一・- + - =—-—,则三角形一定是（） a b C
“一o+c
解答：把原式恒等变形，得到（b-c ）（a-b ）（a+c ） = Q.故选D.
例12.（第3届“希望杯”试题）等腰三角形的周长为《 , 一腰的中线将周长分成5:3的两部分，则此三 角形的
底边长是多少？
A
一点，ZABD = 60。

，ZADB = 90。

-二 ZBDC ，则 AB 与 BD + CD 的大小关系如
/ \ \«
uV
B C
如果A KLM 是等边三角形，证明：A ABC 也
A.等边三角形
C •以C 为底边的尊腰三角形
B.以《为底边的等腰三角形
D.等腰三角形 解答：分情况讨论，两种情况里舍去一种，解得底边长为-“
6
例13・（2001年唐山市中考题）如图，在△ABC 中，AB = AC. D 为△ABC 外 何？
解答：延长仞至£,使DE = BD ・连结•得到AB^BD + CD
L
例14・（1999年天津市竞赛题）如图，△4BC中，AD是BC边上的中线，E
是仙上的一点，且BE = AC,延长BE交AQ于F, 求证：AF=EF
解答：延长ED至使DH = DE・连结CH.
例15.（第11届初二培训）如图，已知等边三角形AABC内有一点N, ND丄BC, NE丄AB, NF丄AC, D, E, F 都是重足，M是A ABC中异于N的另一点，若Pi=ND+NE=NF. P2=MD=ME=MF.即Pi与P2的大小关系是,解：如图，连结AN, BN, CN 69 A ABN, ABCN, AACN,则
S A ABC=S & ABX+S A BCN+S A ACN
设A ABC的边长AB=BC=CA=a,高为h
则-ah= -a*NE+-a •ND+-a*NF=>ND+NE+NF=h
2 2 2 2
同理• LLM作MD丄BG MF丄AC, ME'丄AB
可得s MA +ME' +MF* =h
又MDMMD，, MEMME，■ MF>MF* ,且其中至少有一个式子的等号不成
立.
A P I=ND+NE=NF<MD+ME+MF=P2四、练习
1.（第10届初二希望杯试题）如图，C是线段AB上，在AB 的同侧
作等边三角形△ ACM和ABCN,连结AN, BM.若Z MBN=38。

，则
ZANB=_。

解:由△ ACM与△ BCN均为等边三角形，知AM=CM=AC,CN=BN=BC,
在AACN与AMCB 中，AC二MC, CN=CB, ZCANMCT +ZMCN=Z MCB
所以△ ACN^AMCB, ZANC= ZMBG
因为ZMBNM8° ,所以ZMBC=60。

・38° =22° , ZANB=ZANC+
ZCNB=82"
2. （2005年银川市中考题）如图，以直角三角形ABC的两宜角边AB.BC为
一条边，分别作等边△ABE和等边△BCF,连接EF,EC•求证.（1）
EF = E6 (2) EB丄 CF. 解答：证明△ EBF辿 EBC
3. （2001年柳州市中考题）如图，在等边△ABC中，AE = CD.AD.BE相交于P 点,Bg丄AD于Q.求证：BP = 2PQ.
解答：证明'ABEg'CAD N
M
B C
A
C
F
A
E
Q
D C
A
4. （1998年南宁市竞赛题）如图，正三角形ABC中，分别是
AB.AC.BC的中点，M为RC上任意一点,ZXMSP为正三角形•求证:
RM = QS・解答：连接P&PR
5. （2001年沈阳市中考题）如图，ABCD是平行四边形，以AC为边长在
两侧各作一个正三角形ACP.ACQ.求证：BPDQ为平行四边形.
解答：\ADQ 沁 CBP、故DQ = BP,同理，BQ=DP
6.（第7届初二第2试）如图,P是尊边AABC中的-4'^,PA=2.PB=2A/3,
PC=4,则A ABC的边长是.
C 解：如图，将A BAP绕B点逆时针旋转60° ,则BA与BC重合，BP移到Bld
处，PA 移到MC 处，所以BM=BP> MC=PA, ZPBM-60"。

于是ABAM是等边三角形，PM=PB=2>/3 ,在AKCP 中，PC=4, MC=PA=2,
所以PC^=Ptf=MC\ 且PC=2MCo
可知△ PCM是直角三角形，且ZCMP=90° , ZCPM=30°
又A PBM 为等边三角形，ZBPM二60。

,:.乙BPC=90" .ABPC 边为RtA
•••BeBPJP* (275) 3化28BC=277
A A ABC的边长为20。

7•若AABC 的边长是a* b、c,且满足y+b*p^b*,则A ABC 是（）
（A）纯角三角形（B）直角三角形（C）等腰宜角三角形（D）等边三角形
答案D.
8. (2002年江苏省初二第二试)如图，在△ABC中，AC = BC,NACB = 90。

,
D是AC上一点，AE丄〃£＞于£,交AC于D, = 求证：BD
2
是ZABC的平分线.
解答：延长A E，BC相交于F・
五、难度系数
活题巧解
题号 1 2 3 4 5
星级★ ★★★★ ★★★ ★★★★ ★★★ ★★★题号 6 7 8 9 10
星级★ ★★★★ ★★★★ ★★ ★★★★ ★★题号11 12 13 14 15
星级★ ★★★★ ★★★ ★★★ ★★★ ★★★
题号 1 2 3 4
星级★ ★★★★ ★★★ ★★★ ★★★
题号 5 6 7 8
星级★ ★★★ ★★★★ ★★★ ★★。