地下水动力学(第一章_渗流理论基础-3-专)

H
2
y
2
W
s H
K t
承压水三维稳定流
非均质各向同性：
H H H K K K W 0 x x y y z z
H K K xx x x y
H K K xx x x y H H H K zz W s y z z t
yy
H
2
x
2

H
2
y
2

H
2
z
2
W
s H
K t
承压水二维非稳定流
非均质各向同性： 非均质各向异性： 均质各向同性：
p
因为水的压缩性很小， βp忽略不计， t
g
H t
代入前式，得
v x v y v z H 2 x y z x y z g n y z t x
v x v y v z x y z g n
n x y z x y z t
在连续性方程的右端项中，有三个变量，随压力p的 变化而变化。 三个变量随时间的变化转化成压力随时间的变化。
液体压缩后，质量不变。即密度ρ和体积V变化， 二者乘积不变。 dV d d(ρ V)= ρdV +Vdρ=0 得： V
非均质各向异性：
H K K xx x x y
yy
H t
0
，上述微
H K K K W 0 x x y y z z
H H K zz W 0 y z z
H H H H K x y z K K x y z s x y y z z t x
两边消去单元体体积Δx ΔyΔz，得：
H H H H K K K s x x y y z z t
H H H H K K K W s x x y y z z t
7. 稳定流：水位H不随时间变化，即 分方程的右端项等于零，即 非均质各向同性： H H
由水的压缩系数： 得： V V dp 所以，dρ=ρβdp 前面给出了含水层厚度Δz和孔隙度n随压力p的变 化关系： d(Δz)= Δzαdp ；dn=(1-n) αdp 式中：α为多孔介质压缩系数。 将三式代入连续方程右端项得：

1 dV
dV dp
z n n x y z n z nz x y t t t t p p p n z z 1 n n z x y t t t n
此式为非均质各向同性介质承压水流微分方程。 2. 对于各向异性介质：
vx K H
xx
x
;
vy K
H
yy
y
;
vz K
H
zz
z
非均质各向异性介质承压水流微分方程为：
H K K xx x x y
yy
H H H K zz s y z z t
假设条件： (1) 水流服从Darcy定律； (2) K不随ρ= ρ(p)的变化而变化； (3) μs和K也不受n变化的影响； (4) 含水层侧向无压缩，即Δx、 Δy为常量，只有 垂直方向Δz的压缩。 v v v

x
x

y
y

z
z
同理，可得到沿y轴和z轴方向流入和流出这个单元 体的液体质量差，分别为：
v y y x y z t

v z z
x y z t
在Δt时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：
v x v y v z x y z t y z x
1 v x v x 2 x x z y t
同理，通过a´b´c´d´面流出单元体的质量为：
1 v x vx x z y t 2 x
沿x轴方向流入和流出单元体的质量差为：
1 v x 1 v x vx x z y t v x x z y t 2 x 2 x v x x x y z t
在均衡单元体中，孔隙体积为n Δx Δy Δz，其内液 体质量为ρ n Δx Δy Δz， Δt时间内，单元体内液体 质量的变化为：
t 根据质量守恒定律，上二式应相等，因此，
v x v y v z n x y z t x y z t y z t x
均质各向同性：
H
2
x
2

H
2
y
2

H
2
z
2
W 0
二维流，去掉上式中左边第三项。
小结： 承压水三维非稳定流
非均质各向同性： 非均质各向异性： 均质各向同性：
H H H H K K K W s x x y y z z t
2
vx x y z vy vz x y z

H t
x y z
第二项ρ非常小，忽略不计，于是上式变为：
v x v y v z H 2 x y z g n x y z y z t x
§1—6 渗流的连续性 方程
在渗流区内以P点取一 无限小的平行六面体，其 边长分别为Δx、 Δy、 Δz， 并且和坐标轴平行，设P 点沿坐标轴的渗透速度分 量为vx、vy、vz，液体密 度为ρ，则P点处，单位 时间内通过垂直于坐标轴 方向单位面积的水流质量 分别为ρ vx、 ρ vy、 ρ vz。
那么，通过abcd面中点 单位面积的水流质量为： 用Taylor级数展开：
3. 对于均质各各向同性介质，K为常数，承压水流 微分方程为：
H
2
x
2

H
2
y
2

H
2
z
2

s H
K t
4. 地下水流为二维流时，非均质各向同性介质承 压水流微分方程为： H H H
K s K x x y y t

p t
x y z
于是连续性方程变为：
v x v y v z p n x y z x y z y z t x
将
p t
化为
H z
H t
：
，故有：p=γ（H-z）=ρg（H-z）
H 1 H 1 H H r 2 s 2 2 r r r r z K t
2 2
6. 有源汇项，用W表示。 源：在垂向上有水流入含水层称源。W为正。 汇：在垂向上有水流出含水层称汇。W为负。 有源汇项时，只需在上述方程中左边加W即可。 如各向同性介质：
v x v y v z H x y z x y z g n t x y z
根据Darcy定律： 1. 在各向同性介质中，有：
vx K H x ; vy K H y ; vz K H z
v x1
x P1 x , y, z 2
的单位时间
x , y, z 2
v x1 v x x


v x x vx x, y, z x 2
略去二阶导数以上的高次项，得Δt时间内由abcd面 流入单元体的质量为：
yy
非均质各向异性：
均质各向同性：
H H K zzwenku.baidu.comW 0 y z z
H
2
x
2

H
2
y
2

H
2
z
2
W 0
承压水二维稳定流
非均质各向同性： 非均质各向异性： 均质各向同性：
H H T W 0 T x x y y
因为
p t
p

g
p t
H t
Hg
H t
t
zg
t
g
H t
H z g
t
或：
g
p
t
p t
将dρ=ρβdp代入，得： p g H 即，
t 1 p t
g
H t
p
p t
两边乘含水层厚度M，得
H H H KM sM KM x x y y t
或
H H * H T T x x y y t
5. 柱坐标：如果能用柱坐标表示，则x = rcosθ、 2 2 2 y = rsinθ，代入 s H H H H 2 2 2 x y z K t 可化成式
n x y z t
消去Δt得
v x v y v z n x y z x y z y z t x
此式为渗流的连续性方程（研究地下水运动的基本方程）。
§1—7 承压水运动的基本微分方程
H H * H T W T x x y y t
H H * H T yy W T xx x x y y t
H
2
x
2
代入上式，得
H H H H K K K x y z g n x y z x y y z z t x
因为μs=ρg（α+nβ） 所以上式变为：