隶属函数及确定方法

隶属函数
正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。

隶属函数是对模糊概念的定量描述。

我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。

隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。

一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。

例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。

对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。

事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。

可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。

2.5.1 隶属函数的几种确定方法
这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。

1．模糊统计法
在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。

这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。

图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性
张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。

由于每个被试者对于“青年人”这
一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。

现选取0u=27岁，对“青年人”的隶属频率为
）
调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1） 用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。

78.027）＝（青年人μ
按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。

表2－5给出的即为将U 分组，每组以中值为代表计算隶属频率。

令隶属度为纵坐标，年岁为横坐标，连续描出的曲线便为隶属函数曲线。

采用同样办法，分别在武汉大学（抽样106人）、
西安工业学院（抽样93人）
进行模糊统计试验，得到“青年人”的隶属函数曲线如图2－5－2所示。

对“中年人”这一模糊概念也在上述三个单位进行模糊统计试验，得到隶属函数曲线见图2－5－3。

观察上述三组在为同地区得到的同一模糊的隶属函曲线，它们的形状大致相同，曲线下所围成的面积也大致相同。

如果调查的人足够多，也会出现像概率统计一样的稳定性，但须指出，模糊试验与随机统计试验不能等同。

上述的模糊统计试验，说明了隶属程度的客观意义，同时也表明了模糊统计试验法求取隶属函数是切实可行的。

这种方法的不足之处是工作量较大。

2.例证法
例证法是Zadeh 在1972年提出的，主要思想是从已知有限个A μ的值，来估计论域U
上的模糊子集A 的隶属函数。

例如论域U 是全体人类， A 是“高个子的人”
，显然A 是模糊子集。

为了确定A μ，可先给出一个高度h 值，然后选定几个语言真值(即一句话真的程度)中
的一个，来回答某人高度是否算“高”。

如语言真值分为“真的”，“大致真的”，“似真似假”，“大致假的”，“假的”。

然后，把这些语言真值分别用数字表示，分别为1，0.75，0.5，0.25和0。

对几个不同的高度1h 、2h …n h 都作为样本进行询问，就可以得到A 的隶属函数A μ的离散表示法。

3．专家经验法
据专家的实际经验，确定隶属函数的方法称专家经验法。

例如郭荣江等利用模糊数学总结著名中医关幼大夫的医疗经验，设计的《关幼波治疗肝病的计算机诊断程序》这一专家系统，就是采用此种方法确定隶属函数的，获得很好的效果。

设全体待诊病人为U ，令患有脾虚性迁延性肝炎的病人全体为模糊子集A ，A 的隶属函数为A μ。

从16种症状中判断病人u 是否患此种疾病，这16种症状分别用1621,,,a a a ⋅⋅⋅来表示（其中1a ：GPT 异常，2a ：3T 高，…，16a ：暖气）。

把每一症视为普通子集，则特征函数为
⎩⎨⎧=i
i ai a a u 无症状有症状01)(χ
由医学知识和专家临床经验，对每一症状在患有“脾虚性迁延性肝炎”中所起的作用各赋予一定的权系数1621,,,a a a ⋅⋅⋅。

规定A 的隶属函数为
16211621)()()()(1621
a a a u a u a u a u a a a A ++++++= χχχμ （2-5-2）
如病人0u ，对A 的隶属度为)(0u A μ如果取阈值为λμλ≥)(,0u A 时就断言此人患“脾虚
性迁延性肝炎”，否则不患此种病。

上述确定隶属函数的方法，主要是根据专家的实际经验，加上必要的数学处理而得到的，在许多情况下，经常是初步确定粗略的隶属函数，然后再通过“学习”和实践检验逐步修改和完善，而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。

2.5.2常用的隶属函数
定义：设A 为以实数R 为论域的模糊子集，其隶属函数为)(x A μ，如果对任意实数
b x a <<，都有
))(),(m in()(b a x A A A μμμ≥ （2-5-3）
则称A 为凸模糊子集。

性质1．凸模糊集的截集必是区间（此区间可以是无限的）；截集均为区间的模糊集必为凸模糊集。

此性质可作为凸模糊集的等价定义。

性质2．A 、B 是凸模糊集，则B A 也是凸模糊集。

除凸模糊集外，还有非凸模糊集，如图2-5-4中（1）与（2）分别凸模糊集和非凸模糊集。

由模糊集定义及其性质不难看出，凸模糊集实质上就是隶属函数具有单峰特性。

今后所用的模糊子集一般均指凸模糊集。

2．模糊分布
以实数域R 为论域时，称隶属函数为模糊分布。

常见的模糊分布有以下四种：
（1） 正态分布
这是最主要也是最常见的一种分布，表示为
0])(
exp[)(2>--=b b a x x μ
其分布曲线如图 2-5-5所示
（2）Γ型
⎪⎩⎪⎨⎧≥∙<=-0)(00)(x e x x x x
λννλν
μ 其中0,0>>νλ。

当λνλν==-x x
即,0时，隶属度为1，其分布曲线如图2-5-6所示。

（3）戒上型
[]⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-+=c x c x c x a x b
1)(11）（μ 其中0,0>>b a
，其分布曲线如图2-5-7所示。

当25,2,5
1===c b a 时，即为“年青”的隶属函数 （4）戒下型
[]⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+<=c x c x a c x x b )(11
0）（μ 其中0,0<>b a ，其分布曲线如图2-5-8所示。

当50,2,5
1=-==c b a 时，即为“年老”的隶属函数。

3．常用的隶属函数
隶属函数形式有多种，根据实际问题而具体确定或选用。

在实际应用中为方便起见，常采用梯形、三角形较多。

在后续篇章的模糊控制及应用部分中，将涉及多种隶属函数的形式，具体内容参见其他章节，这里不再详细给出。

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