定义新运算(含答案)
小学数学定义新运算典型例题
小学数学定义新运算典型例题1. 若AB表示A＋3B×A＋B,求57的值;2. 定义新运算为a△b＝a＋1÷b,求6△3△4的值;3.对于数a、b、c、d,规定,< a、b、c、d >＝2ab－c＋d,已知< 1、3、5、x >＝7,求x的值;4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算,“◎”为选择两数中较小数的运算;计算下式：7◎3& 5× 5◎3 & 75.如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算：3※2×5;小学数学定义新运算典型例题答案：例1 若AB表示A＋3B×A＋B,求57的值;分析 AB是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果,再计算A＋B的结果,最后两个结果求乘积;解由AB＝A＋3B×A＋B可知：57＝5＋3×7×5＋7＝5＋21×12＝26×12＝312例2 定义新运算为a△b＝a＋1÷b,求6△3△4的值;分析所求算式是两重运算,先计算括号,所得结果再计算;解由a△b＝a＋1÷b得,3△4＝3＋1÷4＝4÷4＝1；6△3△4＝6△1＝6＋1÷1＝7例3 对于数a、b、c、d,规定,< a、b、c、d >＝2ab－c＋d,已知< 1、3、5、x >＝7,求x的值;分析根据新定义的算式,列出关于x的等式,解出x即可;解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x,又根据已知< 1、3、5、x >＝7,故1＋x＝7,x＝6;例4 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算,“◎”为选择两数中较小数的运算;计算下式：7◎3& 5× 5◎3 & 7分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的,要先计算小括号里的,再计算中括号里的;解 7◎6& 5× 5◎3 & 9＝ 6 & 5 × 5◎9＝6×5＝30例5 如果1※2＝1＋112※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333计算：3※2×5;分析通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数,每个加数数位上的数字都由a组成,都由一个数位,依次增加到b个数位;解 5※3×5;＝5＋55＋555×5＝3075。
2024六年级专项训练定义新运算练习及答案解析
第11讲定义新运算第一关1个新运算符【知识点】定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．【例1】规定：a△b=3a-2b．已知x△（4△1）=7，求x△5。
【答案】17【例2】定义a⊕b=2a+b，求（3⊕4）⊕5。
【答案】25【例3】设a、b为自然数，定义a⊕b=4a+b+2，求3⊕2。
【答案】16【例4】定义：a⊕b=a+b+ab，则（2⊕3）⊕4的值是多少？【答案】59【例5】已知a@b=2×a+b，求99@1。
【答案】199【例6】定义：a☆b=a1b-，求2☆（3☆4）。
【答案】2【例7】A、B表示两个数，若规定A*B=3243A B-，求12*6。
【答案】5【例8】把“△”定义为一种运算符号，其意义为：a△b=ba，求2△1+3△1+6△1。
【答案】1【例9】定义：△（A，B，C，D）=A×4+B×3+C×2+D×1，那么，△（2，0，1，6）【答案】16【例10】对不为零的自然数a，b，c，规定新运算“☆”：☆（a，b，c）=a-b ca+b c÷⨯，求☆（1，2，3）。
【答案】1 21【例11】规定一种运算“～”，a～b表示a，b中较大的数减较小的数的差，例如6～3=6-3=3，2～5=5-2=3．试求：（9～4）+（1～8）×（2～6）。
【答案】33【例12】定义a*b=a×b+a-2b，若3*m=17，求m。
【答案】14【例13】已知a、b为自然数，a∨b=2a+b，a∨2a∨3a∨4a∨5a∨6a∨7a∨8a∨9a=3039，求a。
小学奥数 定义新运算 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
定义新运算教学目标定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨一定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
定义新运算附答案
定义新运算附答案定义新运算附答案我们学过的常⽤运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算⽅式不同，实际是对应法则不同.可见⼀种运算实际就是两个数与⼀个数的⼀种对应⽅法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有⼀个唯⼀确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这⼀讲中，我们定义了⼀些新的运算形式，它们与我们常⽤的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表⽰数，规定a△b＝3×a－2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：⽤运算符号前⾯的数的3倍减去符号后⾯的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例⼦可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第⼆步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例⼦可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第⼆步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例⼦可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕ b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕ 2，2 ⊕ 6；②求（1 ⊕ 2）⊕ 3，1 ⊕（2 ⊕ 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕ 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕ 6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕ 2）⊕ 3＝（1×2＋1＋2）⊕ 3＝5 ⊕ 3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕ 3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕ 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满⾜交换律：a ⊕ b＝a×b＋a＋bb ⊕ a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕ b＝b ⊕ a，因此“⊕”满⾜交换律.再看“⊕”是否满⾜结合律：（a ⊕ b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕ c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕ b）⊕ c＝a ⊕（b ⊕ c），因此“⊕”满⾜结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满⾜分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12；因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有⼀个数学运算符号“?”，使下列算式成⽴：2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25，求7?3＝？解：通过对2?4＝8，5?3＝13，3?5＝11，9?7＝25这⼏个算式的观察，找到规律： a ?b ＝2a ＋b ，因此7?3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表⽰两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、 n 、k 均为⾃然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采⽤分析法，从要求的问题⼊⼿，题⽬要求1△2）*3的值，⾸先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以⾸先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.⼜因为m 、n 均为⾃然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是⾃然数⽭盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去. 所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上⾯这⼀类定义新运算的问题中，关键的⼀条是：抓住定义这⼀点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代⼊数值.还有⼀个值得注意的问题是：定义⼀个新运算，这个新运算常常不满⾜加法、乘法所满⾜的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运⽤这些运算律来解题.课后习题m=1n =2m=2n =23（舍去）m=3 n =11.a*b 表⽰a 的3倍减去b 的21，例如： 1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算：①10*6；②7*（2*1）. 2.定义新运算为 a ⼀b ＝b1a +，①求2⼀（3⼀4）的值；②若x ⼀4＝1.35，则x ＝？ 3.有⼀个数学运算符号○，使下列算式成⽴： 21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“?”，对于任意两个整数a 、b ， a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ?b=a ×b －1，①计算4?[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值；②若x ⊕（x ?4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”， x △y=y×2x ×m y×x ×6+（其中m 是⼀个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ），若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成⽴，求a 的值.7.“*”表⽰⼀种运算符号，它的含义是： x*y=xy 1＋））（（A y 1x 1++，已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为⾃然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表⽰选择两数中较⼤数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表⽰选择两数中较⼩数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++&&=？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1） =10x +（1+2+3+?+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致⼒为企业和个⼈提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全⽹⼀站式需求。
定义新运算附答案
定义新运算附答案我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1、设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析：解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝3×3－2×2＝9－4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17－2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39－2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6－2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4－2×b＝12－2b，那么12－2b＝2，解出b＝5.例2、定义运算※为 a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35－12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35－12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3 解出x＝2.例3、定义新的运算a ⊕ b＝a×b＋a＋b.①求6 ⊕ 2，2 ⊕ 6；②求（1 ⊕ 2）⊕ 3，1 ⊕（2 ⊕ 3）；③这个运算有交换律和结合律吗？解：① 6 ⊕ 2＝6×2＋6＋2＝20，2 ⊕ 6＝2×6＋2＋6＝20.②（1 ⊕ 2）⊕ 3＝（1×2＋1＋2）⊕ 3＝5 ⊕ 3＝5×3＋5＋3＝231 ⊕（2 ⊕ 3）＝1 ⊕（2×3＋2＋3）＝1 ⊕ 11＝1×11＋1＋11＝23.③先看“⊕”是否满足交换律：a ⊕ b＝a×b＋a＋bb ⊕ a＝b×a＋b＋a＝a×b＋a＋b（普通加法与乘法的交换律）所以a ⊕ b＝b ⊕ a，因此“⊕”满足交换律.再看“⊕”是否满足结合律：（a ⊕ b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）⊕ c＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.a ⊕（b ⊕ c）＝a ⊕（b×c＋b＋c）＝a×（b×c＋b＋c）＋a＋b×c＋b＋c＝abc＋ab＋ac＋a＋bc＋b＋c＝abc＋ac＋bc＋ab＋a＋b＋c.（普通加法的交换律）所以（a ⊕ b）⊕ c＝a ⊕（b ⊕ c），因此“⊕”满足结合律.说明：“⊕”对于普通的加法不满足分配律，看反例：1 ⊕（2＋3）＝1 ⊕ 5＝1×5＋1＋5＝11；1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3＝1×2＋1＋2＋1×3＋1＋3＝5＋7＝12； 因此1 ⊕（2＋3）≠ 1 ⊕ 2＋1 ⊕ 3.例4、有一个数学运算符号“⊗”，使下列算式成立：2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25，求7⊗3＝？解：通过对2⊗4＝8，5⊗3＝13，3⊗5＝11，9⊗7＝25这几个算式的观察，找到规律： a ⊗b ＝2a ＋b ，因此7⊗3＝2×7＋3＝17.例5、x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、 n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值，k 值求出后，l △2的值也就计算出来了.我们设1△2=a ， (1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.解：因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4 =8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k ×9×4=36k有36k=64，解出k=971，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n =1，k=971 这组值应舍去. 所以m=l ，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.课后习题m=1n =2m=2n =23（舍去）m=3 n =11.a*b 表示a 的3倍减去b 的21，例如： 1*2=1×3－2×21=2，根据以上的规定，计算： ①10*6； ②7*（2*1）. 2.定义新运算为 a ㊀b ＝b1a +， ①求2㊀（3㊀4）的值； ② 若x ㊀4＝1.35，则x ＝？ 3.有一个数学运算符号○，使下列算式成立： 21○32=63，54○97=4511，65○71=426，求113○54的值.4.定义两种运算“⊕”、“⊗”，对于任意两个整数a 、b ， a ⊕b ＝a ＋b ＋1， a ⊗b=a ×b －1， ①计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊕5）]的值； ②若x ⊕（x ⊗4）=30，求x 的值.5.对于任意的整数x 、y ，定义新运算“△”， x △y=y×2x ×m y×x ×6+（其中m 是一个确定的整数），如果1△2=2，则2△9=？6.对于数a 、b 规定运算“▽”为a ▽b=（a ＋1）×（1－b ）， 若等式（a ▽a ）▽（a ＋1）=（a ＋1）▽（a ▽a ）成立，求a 的值.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是： x*y=xy 1＋））（（A y 1x 1++， 已知2*1=1×21＋））（（A 1121++=32，求1998*1999的值.8.a ※b=b÷a ba +，在x ※（5※1）=6中，求x 的值. 9.规定 a △b=a ＋（a ＋1）＋（a ＋2）＋…＋（a ＋b －1），（a 、b 均为自然数，b>a ）如果x △10=65，那么x=？10.我们规定：符号◇表示选择两数中较大数的运算，例如：5◇3=3◇5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：)25.2◇106237()9934△3.0()3323△625.0()2617◇6.0(++&&=？课后习题解答1.2.3.所以有5x-2=30，解出x=6.4左边：8.解：由于9.解：按照规定的运算：x△10=x +（x+1）+（x+2）+…+（x+10－1） =10x +（1+2+3+⋯+9）=10x + 45因此有10x + 45=65，解出x=2.欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
七年级定义新运算例题及答案
七年级定义新运算例题及答案在初中数学中，我们通常会学习从一些特定的数学概念以及运算法则来定义新的运算方式。
在七年级数学学习中，我们也要学习一些新的运算方式。
下面就让我们一起来看看七年级定义新运算例题及答案。
一、集合的新运算在七年级数学中，我们学习了集合的概念和有关的运算法则，并学会了两个关于集合的基本运算：并集和交集。
此外，我们还要学习新的运算：补集和差集。
1. 补集对于一个集合A，它在另一个集合B中的补集就是B中不包含A元素的所有元素所组成的集合。
用符号表示的话，可以表示成B-A。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4,5}，则B-A={4,5}。
2. 差集对于两个集合A和B，它们的差集就是属于A但不属于B的元素所组成的集合。
用符号表示的话，可以表示成A-B或A\B。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={2,3,4,5}，则A-B={1}或A\B={1}。
二、有理数的新运算在七年级数学中，我们学习了有理数的概念和有关的运算法则，并学会了加法、减法、乘法和除法运算。
此外，我们还要学习新的运算：相反数和绝对值。
1. 相反数对于一个有理数a，它的相反数是一个数-b，它们的和等于0。
用符号表示的话，可以表示成b=-a。
例如，2的相反数是-2，-1的相反数是1。
2. 绝对值对于一个有理数a，它的绝对值表示a到0的距离。
用符号表示的话，可以表示成|a|。
例如，|-3|=3，|2|=2。
三、平方根的新运算在七年级数学中，我们还要学习平方根的概念和有关的运算法则。
我们已知的运算有两种：平方和开方运算。
在这里，我们要再学一种运算：非负实数的平方根。
1. 非负实数的平方根对于一个非负实数a，它的平方根是一个数x，它的平方等于a。
用符号表示的话，可以表示成x=√a。
例如，√4=2，√9=3。
以上就是七年级定义新运算例题及答案的内容。
虽然这些运算看起来很简单，但是在实际运用中还是需要我们去理解和掌握。
只有深入了解这些新的运算方式，才能更好地理解数学中更复杂的知识点。
定义新运算题目及答案解析-小学奥数
专题定义新运算知识点1 直接运算型【基础训练】1、【★】设a，b都表示两个不同的数，规定：a△b=2×a＋3×b，表示a的2倍加上b的3倍的和.（1）求4△7的值.（2）求2△3的值.【答案】（1）29；（2）13【解析】（1）找到a与b对应的数，根据定义的新运算，将算式中的a与b换成对应的数，再进行计算，即a=4,b=7，4△7=2×4＋3×7=29；（2）方法同上，即a=2，b=3，2△3=2×2＋3×3=13.2、【★★】设a、b都表示两个不同的数，规定：a▽b=a×b－（a+b）.（1）求5▽6▽7的值.（2）求7▽（5▽4）的值.【答案】107；59【解析】（1）按照从左往右的顺序计算，①先算5▽6=5×6－（5+6）=30－11=19，②再算19▽7=19×7－（19+7）=133－26=107，所以5▽6▽7=107.（2）有括号的要先算括号里面的，①先算5▽4=5×4－（5+4）=20－9=11，②再算7▽11=7×11－（7+11）=77－18=59，所以7▽（5▽4）=59.3、【★★】x,y表示两个数,规定新运算“☆”及“○”如下:x☆y=2×x+3×y，x○y=6×x×y.（1）求10☆2的值.（2）求4○25的值.【答案】26；600【解析】（1）原式=2×10＋3×2=26；（2）原式=6×4×25=600【拓展提升】1、【★★★】规定：a□b=a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），其中a、b表示自然数.求1□100的值.【答案】5050【解析】1□100=1+2+3+…+100=（1+100）×100÷2=50502、【★★★】已知x、y是任意有理数.我们规定：x☆y=x＋y－1，x○y=x×y－2.（1）求10☆9.（2）求7○8.（3）求4○[（6☆8）☆（3○5）]的值.【答案】18；54；98【解析】（1）10☆9=10＋9－1=18；（2）7○8=7×8－2=54（3）先算小括号里面的6☆8和3○5，6☆8=6＋8－1=13，3○5=3×5－2=13.再计算中括号里面的13☆13=13＋13－1=25.最后计算4○25=4×25－2=98.知识点2 反解未知型【拓展提升】1、【★★★】设x、y都表示两个不同的数，规定：x□y=x×y+2A，已知3□4=16.（1）求常数A是多少？（2）求3□（4□5）【答案】2；76【解析】（1）建立方程，3×4+2A=16，解得A=2.（2）先算括号里面的，①4□5=4×5+2×2=20+4=24，②再算3□24=3×24+2×2=72+4=762、【★★★★】规定：()()()121a b a a a a b ∆=+++++++-，其中a 、b 表示自然数. 已知1465x ∆∆=（）,求x .【答案】x=2【解析】先求1△4=1+2+3+4=10，再算x △10=65，那么x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+…+（x+9）=65,即10x+45=65，解得x=2知识点3 总结规律型【拓展提升】1、【★★★】已知：13123*=⨯⨯，242345*=⨯⨯⨯，4545678*=⨯⨯⨯⨯，…（1）求33*的值.（2）求25*的值.【答案】60；7202、【★★★】已知：12111∇=+，23222222∇=++，444444444444∇=+++，……（1）求73∇的值 。
小学思维数学：定义新运算-带答案解析
定义新运算定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5 2×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二 定义新运算分类1.直接运算型2.反解未知数型3.观察规律型4.其他类型综合模块一、直接运算型【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +⨯+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312【答案】312【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】 （★★）定义运算“⊕”如下：()2a b a b ⊕=+÷（1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008（2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（1）2007⊕2009=(2007+2009)÷2＝2008；2006⊕2008=(2006+2008)÷2＝2007（2）1⊕5⊕9＝（1+5）÷2⊕9＝3⊕9＝（3+9）÷2＝61⊕（5⊕9）＝1⊕（5+9）÷2＝1⊕7＝（1+7）÷2＝4；【例2】 （★★★）n*b 表示n 的3倍减去b 的2倍，例如3*2＝3×3－2×2＝5.根据以上的规定，10*6应等于_____.分析：根据新运算“*”的规定：10*6＝10×3－6×2＝18.[巩固] 设a △b ＝a ×a －2×b ，那么，5△6＝______，5△2＝_____.分析：(1)5△6＝5×5－2×6＝13(2)5△2＝5×5－2×2＝21【例3】 （★★★）我们规定：a c b d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5. 求45 610的值.分析：45 610＝4×10－5×6＝40－30＝10[前铺]如果用|A,B|表示A 与B 中较大数与较小数之差，求：（1）|2+3，2×3|；（2）||3，5|，3|分析：（1）|2+3，2×3|=|5，6|=6-5=1（2）||3，5|，3|=|5-3，3|=|2，3|=3-2=1【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）设m 、n 是两个数，规定：m*n ＝4×n－(m ＋n)÷2，这里“×，＋，一，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“*”是新的运算符号. 计算：3*(4*6)＝ _____.分析：4*6＝4×6－（4＋6）÷2＝19，3*19＝4×19－（3＋19）÷2＝65.[巩固] 规定：a ▽b ＝（a ＋b ）÷2+2×a ，则3▽（6▽8）是多少？.分析：6▽8＝（6＋8）÷2+2×6＝19，3▽19＝（3＋19）÷2+2×3＝17，所以3▽（6▽8）＝17.【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝(a+b)÷2，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝(a+b-1)÷2.求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)；(2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析:（1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数， 所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以 1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001[巩固] 定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝(a+b)÷3，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝(a+b-1)÷3，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b ＝(a+b-2)÷3.求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891【例6】 （★★★北京市第十一届“迎春杯”赛）如果 3*2=3＋33=362*3=2＋22＋222=2461*4=1＋11＋111＋1111=1234那么4*5=( ).分析：4*5=4＋44＋444＋4444＋44444=49380[巩固]规定： 6*2=6＋66=72，2*3=2＋22＋222=246，1*4=1＋11＋111＋1111=1234.求7*5.分析：7*5=7+77+777+7777+77777=86415【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！；（2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！分析：（1）3！＝3×2×1＝6；4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！）＝7×（6！）＝7！[拓展] 对自然数m ，n （n ≥m ），规定m n P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）.例如：24P ＝4×3＝12.34P ＝4×3×2＝24.求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，.分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120.（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720.[总结] 这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二）反求未知数【例8】 （★★★★奥数网题库）假设A*B 表示A 的3倍减去B 的2倍，即A*B ＝3A －2B.已知w*(4*1)＝7，求w*4的值．分析：4*1＝3×4－2×1＝10，所以w*(4*1)＝w*10＝3×w －10×2＝7，所以w ＝9.那么w*4＝ 9*4＝3×9－4×2＝19.[前铺]对于数 a ， b ， c ， d ，规定〈a ， b ， c ，d 〉=2ab-c ＋d.已知〈1，3，5，x 〉=7，求x 的值.分析：＜1，3， 5，x ＞＝2×1×3-5＋x ＝1＋x=7，x=6【例9】（★★★★奥数网题库）对于两个数a、b，a△b表示a＋b－1.计算：（1）（7△8）△6（2）（6△A）△A＝84，求A.分析：（1）7△8＝7＋8－1＝14，14△6＝14＋6－1＝19；（2）6△A＝6＋A－1＝5＋A，（5＋A）△A＝5＋A＋A－1＝2×A＋4＝84，所以A＝40.[拓展]如果a△b表示(a-2)×b，例如3△4=(3-2)×4=4，那么当( a△2)△3=12时， a等于几？分析：（a△2）△3=［（a－2）×2］△3＝（2a－4）△3＝（2a-4-2）×3＝6a-18，由6a-18=12，解得a=5【例10】（★★★★第八届“祖冲之杯”数学邀请赛）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，A＝5[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837.老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同. 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ .分析: 由红毛族算式“8×8＝8 ”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8.由“9×3＝3”知“3”是0.“7”是5.于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”.[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A×B=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A×B=2008×4=8032[拓展]如果运算器输出的是下面的规律，“？”应填什么呢？分析：通过观察，15÷3=5=4+1，28÷7=4=3+1，60÷15=4=3+1，所以，第四列的？处应填（7+1）×8=64，第五列的？处应填：52÷13-1=4-1=31．（例1）a、b是自然数，规定：a△b＝a×5＋b÷3，求8△9的值.分析：8△9＝8×5＋9÷3＝432．a*b表示a的3倍减去b的一半，例如，1*2=1×3-2÷2=2，根据这个规定，计算：（1）10*6 （2）7*（2*4）.分析：10*6=10×3-6÷2=27，7*（2*4）=7*（2×3-4÷2）=7*4=7×3-4÷2=193．（例5）定：A※B＝B×B＋A，计算（2※3）※（4※1）的值.分析：2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36.4．（例4）如果a◇b＝a×b－（a＋b），已知（3◇4）◇x=19，求x的值.分析：3◇4＝3×4－（3＋4）＝5，5◇x＝19，5×x－（5＋x）＝19，4x-5=19，4x=24，x=6.5．（例12）右下图是一个运算器的示意图，A、B是输入的两上数据，C是输出的结果，右下表是输入A、B数据后，运算器输出C的对应值，请你据此判断，当输入A值是2008，输入B值是4时，运算器输出的C值是_____．分析：通过观察，A÷B×2=C ，所以当输入A值是2008，输入B值是4时，C=A÷B=2008÷4×2=1004。
小学六年级数学专题思维训练—定义新运算
小学六年级数学专题思维训练—定义新运算1.规定：如果A大于B，则【A-B】=A-B，如果A等于B，则【A-B】=0，如果A小于B，则【A-B】=B-A，根据上述规律计算：【4.1-1.3】+【2.3-5.6】+【3.2-2.3】=【答案】 6.2【分析】原式=（4.2-1.3）+（5.6-2.3）=6.22，对于正整数 A与B，规定A*B=A×（A+1)×（A+2)×……×（A+B+1)。
如果(X*3）*2=3660，那么X=【答案】3【分析】方法一：由题中所给的定义可知，B为多少，则有多少个乘数。
3660=60×61，即：60*2=3660，则X*3=60；60=3×4×5，即3*3=60，所以X=3方法二：可以将（X*3）看作一个整体Y，那么就是Y*2=3660，Y*2=Y（Y+1)=3660=60×61，所以Y=60，那么就有X*3=60,60=3×4×5，即3*3=60，所以X=3。
3.国际统一书号ISBN由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和书名，最后一个数字则作为核检之用，核检码可以根据前面9个数字按照一定的顺序算得。
如某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检验码的计算顺序是①7×10+1×9+0×8+7×7+1×6+7×5+5×4+4×3+3×2=207②207÷11=18 (9)③11-9=2，这里的2就是该书号的检验码。
依照上面的顺序，求书号ISBN7-303-07618-□的检验码。
【答案】2【分析】7×10+3×9+0×8+3×7+0×6+7×5+6×4+1×3+8×2=196；196除以11=17……9；11-9=2.4.若A 、B 、C 为任意正整数，定义： [A,B,C]=（A ×B+C,D)；（D,E ）-（F ，G ）=（D ×G-E ×F ）则[11,2,5]-[3,1,7]=( , ) 【答案】（289，35）【分析】[11,2,5]-[3,1,7]=(11×5+2.5)-（3×7+1.7）=（57,5）-（22,7）=（289,35）5.有ABCD 四种计算机装置，装置A ；将输入的数乘以5；装置B 将输入的数加上3；装置C 将输入的数除以4，装置D 将输入的数减去6，这些装置可以连接，如装置A 后面连接装置B ，就写成A*B ，输入4，结果就是23，输入装置B 后面连接A ，就写成B*A ，输入4，其结果是35①装置A*C*D 连接，输入19，结果是多少？②装置D*C*B*A 连接，输入什么数，结果是96？【答案】①471②5354 【分析】①19×5÷4-6=471 ② 设输入的数为X ，有[(X-6)÷4+3]×5=96,解得X=3354 6.规定A@B===+⨯++⨯2010@2009322@1)111，求，已知）（（X B A B A 【答案】404009924040099220111-2009120111-2010120101-20091120101200912010200912010@2009132221112112@1==+=+⨯++⨯===+⨯++⨯=）（）（，解得）（）（分析：由运算规则，X7.用A*B 表示A 和B 中较大的数除以较小的数所得的余数。
集合中的定义新运算(含答案)
集合中的定义新运算一、单选题(共10道，每道10分)1.设集合，，如果把b-a叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合2.若集合S满足对任意的，有，则称集合S为“闭集”，下列集合不是“闭集”的是( )A.自然数集B.整数集C.有理数集D.实数集答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合3.设和是两个集合，定义集合，如果，，那么( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合4.对于集合A，B，规定，则( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合5.定义，设集合，，则集合的所有元素之和为( )A.3B.0C.6D.-2答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合6.设集合，集合，定义，则的元素个数为( )A.4B.7C.10D.12答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合7.设集合，在上定义运算为：，其中，．那么满足条件的有序数对共有( )个．A.12B.8C.6D.4答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合8.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，则A的所有子集中，“孤立元”仅有1个的集合共有( )个．A.10B.11C.12D.13答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合9.集合A的n元子集是指A的含有n个元素的子集．已知集合中所有二元子集中两个元素的和的集合为，则集合的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合10.对于集合M，定义函数，对于两个集合M，N，定义集合．已知，，下列结论不正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：新定义集合。
小学数学《定义新运算》练习题(含答案)
小学数学《定义新运算》练习题（含答案）（一） 直接运算型【例1】（★★★奥数网题库）两个整数a 和b ，a 除以b 的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(269)4等于多少？（2）108（200819）分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4[前铺]定义运算“⊙”如下：2a ba b +⊕=． （1） 计算2007⊕2009，2006⊕2008 （2） 计算1⊕5⊕9，1⊕（5⊕9），分析：（教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）2007⊕2009＝200720092+＝2008；2006⊕2008＝200620082+＝2007（2）1⊕5⊕9＝152+⊕9＝3⊕9＝392+＝6 1⊕（5⊕9）＝1⊕592+＝1⊕7＝172+＝4；【例2】 （★★★奥数网题库）定义运算※为a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）， （1） 求5※7，7※5； （2） 求12※（3※4），（12※3）※4；（3） 这个运算“※”有交换律、结合律吗？分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.（2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.（3）由于a ※b ＝a ×b －（a ＋b ）；b ※a ＝b ×a －（b ＋a ）＝a ×b －（a ＋b ）（普通加法、乘法交换律）， 所以有a ※b ＝b ※a ，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律.[巩固]定义新的运算a b a b a b ⊕=⨯++，求： （1）62⊕，26⊕（2）(12)3⊕⊕，1(23)⊕⊕（3）这个运算有交换律吗？分析：（1）62⊕=6×2+6+2=20；26⊕=2×6+2+6=20（2）(12)3⊕⊕=（1×2+1+2）⊕3=5⊕3=5×3+5+3=23； 1(23)⊕⊕=1⊕（2×3+2+3）=1⊕11=1×11+1+11=23（3）由于a b a b a b ⊕=⨯++=×b a b a ++（普通加法、乘法交换律），所以a b b a ⊕=⊕，即满足交换律.[拓展]如果a 、b 、c 是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a ＋b ＝b ＋a ，（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：（a ，b ）*（c ，d ）＝（a ×c ＋b ×d ，a ×c －b ×d ）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律．分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律． 【例3】 （★★★奥数网题库）我们规定：a cb d ＝ad+bc ，求2516 4021的值． 分析：2516 4021＝25×21+40×16＝525+640＝1165[巩固]我们规定：a cb d ＝ad －bc ，例如：23 14＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求45610的值．分析：45610＝4×10－5×6＝40－30＝10【例4】 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛）规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ☆”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3☆5=3.请计算下式：[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)].分析：因为(70☆3)△5=3△5=5，5☆(3△7)=5☆7=5，所以[(70☆3)△5]×[ 5☆(3△7)]=5×5=25[巩固] 定义两种运算“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a 、b ，a ⊕b=a+b-1，a ⊗b=a ×b-1，计算：4[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）分析：⊕68=6+8-1=13，⊕35=3+5-1=7，137⊕=13+7-1=19，4⊗19=4×19-1=754[]⊗⊕⊕⊕（68）（35）=75【例5】 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是3的倍数，则a*b ＝a b3+，如果a ＋b 除以3余数为1，则a*b ＝a b-13+，如果a ＋b 除以3余数为2，则a*b＝a b-23+. 求：（2005*2006）*（2007*2008）分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=891…1，所以1337*1337=（1337+1337-1)÷3=891，所以（2005*2006）*（2007*2008）=891[巩固]定义“☆”的运算如下：对任何自然数a 、b ，如果a ＋b 是偶数，则a ☆b ＝a b2+，如果a ＋b 是奇数，则a ☆b ＝a b 12+-． 求：(1)(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)； (2)1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004．分析: （教师先告诉学生2a b+表示（a+b ）÷2） （1）因为1999＋2000＝3999是奇数，所以1999☆2000＝19992000119992+-=，2001＋2002＝4003是奇数，所以2001☆2002＝20012002120012+-=，1999＋2001＝4000是偶数，所以1999☆2001＝1999200120002+=，所以(1 999☆2 000)☆(2 001☆2 002)＝2000 （3） 因为2000＋2002＝4002是偶数，2000☆2002＝2000200220012+=，1998＋2001＝3999是奇数，所以1 998☆2001＝19982001119992+-=，1999＋2004＝4003是奇数，所以1999☆2 004＝19992004120012+-=，所以1 998☆(2 000☆2 002)☆2 004＝2001【例6】 （★★★★奥数网题库）对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）；[(1)(1)][(1)1]m m mn m nn n n m m m CP P =÷=⨯-⨯⨯-+÷⨯-⨯⨯．求：123456666666,,,,,C C C C C C分析：16C=（16P）÷（11P）=6÷1=6；26C=(6×5)÷（2×1）=15；36C=（6×5×4）÷（3×2×1）=20；46C=（6×5×4×3）÷（4×3×2×1）=15；56C=（6×5×4×3×2）÷（5×4×3×2×1）=6；66C=（66P）÷（66P）=1[前铺]对自然数m ，n （n ≥m ），规定mn P ＝n ×（n －1）×（n －2）×…×（n －m ＋1）．例如：24P ＝4×3＝12．34P ＝4×3×2＝24．求：（1）345555P P P ，，；（2）34566666P P P P ，，，．分析：（1）35P ＝5×4×3＝60，45P ＝5×4×3×2＝120，55P ＝5×4×3×2×1＝120（2）36P ＝6×5×4＝120，46P ＝6×5×4×3＝360，56P ＝6×5×4×3×2＝720，66P ＝6×5×4×3×2×1＝720．[总结]这类题型就是直接按照题目的要求进行运算，在运算的过程中特别要注意每个位置上对应的数字.（二） 反求未知数【例7】 （★★★★奥数网题库）定义新运算“※”如下：对任意自然数a ，b ，a ※b=5×a-3×b ，能否找到一个自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）？如果存在，求出自然数n ；如果不存在，说明理由.分析：5※6※n=（5×5-3×6）※n=7※n=5×7-3×n ；5※（6※n ）=5※（5×6-3×n ）=5※（30-3×n ）=5×5-3×（30-3×n ）=9×n-65，因为5※6※n=5※（6※n ），所以有35-3×n=9×n-65，即12×n=100，所以没有满意的自然数n ，使得5※6※n=5※（6※n ）【例8】（★★★★奥数网题库）对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：x △y=ymx yx 26+⋅⋅ (其中m 是一个确定的整数).如果1△2=2，则2△9=?分析：已知1△2=2，根据定义得 1△2=6121221224m m ⨯⨯==⨯+⨯+，于是有2×(m ＋4)=12，解出m=2.所以6295429==222911⨯⨯⨯+⨯[拓展]x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny ，x △y=kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析：我们要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值，通过（2*3）△4=64求出 k 的值.因为1*2=m ×1+n ×2=m+2n ，所以有m+2n=5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k=64，k 不是自然数， 所以m=l ，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.[总结] 这类题型给出的运算式中含有一个或多个未知数，我们不能直接根据运算式计算，首先，我们应该根据给出的运算等式将未知数求出来，再进行运算.（三）计算机程序语言【例9】 （★★★第九届“祖冲之杯”数学邀请赛）如下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是1999，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是_____．分析：观察表格可得：运算器输入的A 是被除数，B 是除数，输出的是余数因为1999÷9＝222……1，所以C ＝1．[前铺]下图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两上数据，C 是输出的结果，右下表是输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值，请你据此判断，当输入A 值是2008，输入B 值是4时，运算器输出的C 值是_____．分析：运算器输入的A是被除数，B是除数，输出的是商减去1，2008÷4＝502，502-1=501，所以C＝501．【例10】（★★★★奥数网题库）有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数.装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3.这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A·B，输入1后，经过A·B，输出3.(1)输入9，经过A·B·C·D，输出几？(2)经过B·D·A·C，输出的是100，输入的是几？分析：（1）输入9经过A装置以后结果是9＋5＝14，再经过B装置以后结果是14÷2＝7，经过C装置以后结果成为7－4＝3，最后经过D装置以后，最终输出结果等于3×3＝9．（2）最后经过装置C后结果是100，那么输入装置C的数字是100＋4＝104，那么输入A的数字是104－5＝99，输入D的数是99÷3＝33，输入B的数是33×2＝66．所以最开始输入的数是66．[拓展]例题中的装置，输入7，输出的还是7，用尽量少的装置应怎样连接？分析：C·D·A·B（四）其他常见类型【例11】（★★★★★南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛）王歌暑假去非洲旅游，到了一个古老部落，看到下面几个部落的算式：8×8＝8，9×9×9＝5，9×3＝3， (93＋8)×7＝837．导游告诉他，部落算术中所用的符号“＋、一、×、÷、( )、＝”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同．请你按古老部落的算术规则，完成下面算式：89×57＝______ ．分析: 由部落算式“8×8＝8”知“8”是1，“9×9×9＝5”可知“9”是2，“5”是8．由“9×3＝3”知“3”是0．继而可推得“7”是5．于是可知“89×57”是12×85＝1020即“8393”．[前铺]a、b、c代表一位数，规定a×a=a，b×b×b=c，b×d=d，问a+b+c+d=？分析：由a×a=a可知a=1，由b×b×b=c，可知b=2，c=8，由b×d=d可知，d=0，所以a+b+c+d=1+2+8+0=11【例12】（★★★★★奥数网题库）先阅读下面材料，再解答后面各题．现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分．有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中Q、W、E、…N、M这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个整数（见下表）：'(1263)32'17(12631)31'8(12632)3xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是正整数，，被整除是正整数，，被除余是正整数，，被除余 将明文转换成密文，如：，即R 变为L ； ，即A 变为S ．按上述方法将明文HAK 译为密文．分析：这是一道非常有意思的题目．明文HAK 对应16、11、18；16217233++=，即H 变为V ；1118123++=，即A 变为S ；1863=，即K 变为Y ，所以将明文HAK 译为VSY ． 1．（例2）规定：A ※B ＝B ×B ＋A ， （1）计算（2※3）※（4※1）， （2）这个运算有交换律吗？分析：（1）2※3＝3×3＋2＝11，4※1＝1×1＋4＝5，11※5＝5×5＋11＝36，所以最后结果（2※3）※（4※1）＝36．（2）因为B ※A ＝A ×A ＋B ≠ B ×B ＋A ，所以 这个运算不符合交换律 2．（例6）定义新运算“！”如下：对于认识自然数n ，n ！＝n ×（n －1）×（n －2）×……×3×2×1.（1） 求3！，4！，5！； （2） 证明：3×（6！）＋24×（5！）＝7！ 分析：（1）3！＝3×2×1＝6； 4！＝4×3×2×1＝24；5！＝5×4×3×2×1＝120；（2）证明：3×（6！）＋24×（5！）＝3×（6！）＋4×6×（5！）＝3×（6！）＋4×（6！） ＝7×（6！） ＝7！3．（例7）“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3＝2＋3＋4；7⊙2＝7＋8；3⊙5＝3＋4＋5＋6＋7，按此规则，如果n ⊙8＝68，那么n 的值是多少？分析：观察条件可知⊙前面一个数表示相加的开始一个数，⊙后面一个数表示连续相加的个数，所以n⊙8＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（n＋7）＝8×n＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝8×n＋28＝68，所以n＝5．4．（例8）对整数A、B、C，规定符号等于A×B＋B×C－C÷A,例如：＝3×5＋5×6－6÷3＝15＋30－2＝43，已知：＝28，那么A＝_______.分析：2A＋4A－4÷2＝28，即 6A＝30，所以A＝55．（例10）有A、B、C、D四种计算装置，装置A：将输入的数乘以5；装置B：将输入的数加3；装置c：将输入的数除以4；装置D：将输入的数减6.这些装置可以连结，如装置A后面连结装置B，写成A·B，输入4，结果是23；装置B后面连结装置A就写成B·A，输入4，结果是35.装置A·C·D连结，输入8，结果是多少？分析：输入8经过A装置以后，结果为8×5＝40，经过C装置以后，结果为40÷4＝10，经过D装置以后，结果成为10－6＝4．所以最终结果为4．。
中考体系-16.规律探索与定义新运算(最全,含答案)
规律探索与定义新运算一、规律探索1.图形的变化2.数字的变化3.与代数知识相结合4.与几何知识相结合5.综合问题二、定义新运算一、规律探索1.图形的变化1.【易】（初二数学期末）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）【答案】B2.【易】（2010深圳外国语初一上联合测）如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是（）A．B．C．D．【答案】B3.【易】（北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷）把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应为（）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓．【答案】C4. 【易】（2012届九年级第一模拟试题）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有________个小圆．【答案】465. 【易】（哈尔滨中考）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★【答案】206. 【易】(河南郑州市2009-2010年初一上期末)用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星个．【答案】1507. 【易】(2009-2010年辽宁沈阳崇文中学初一上期末)一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图所示），则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗．【答案】278. 【易】（密云区一模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ） A ．669 B ．670 C ．671 D ．672【答案】B9. 【易】（武汉二中广雅中学下学期期中七年级数学）如图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要钉上1根木条；使五边形木架不变形，至少要钉上2根木条，使六边形木架不变形，至少要钉上3根木条；……，若要使十边形木架不变形，至少要钉上________根木条．【答案】710. 【易】（2012深圳外国语初三月考）如图，用小棒摆下面的图形，图形⑴需要3根小棒，图形⑵需要7根小棒……照这样的规律继续摆下去，第个图形需要________根小棒（用含的代数式表示）．【答案】41n －11. 【易】（漳州）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n 个图形需要棋子________枚．（用含n 的代数式表示）【答案】31n12. 【易】（2011-2012太原市七年级第二次测评）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n 个图案由（ ）个基础图形组成（n 为正整数）nn (3)(2)(1)……【答案】31n +找规律发现基础图形的个数是4710，，，总结出第n 个图案中基础图形的个数是31n +13. 【易】（广州中考）如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________．【答案】15,25n +14. 【易】（2011深圳中学初一期末）如图是用棋子摆成的“T”字．⑴摆成第一个“T”字需要________个棋子，第二个需________个棋子．⑵按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要________个棋子，第n 个需________个棋子．⑶是否存在这样的情况，使得其中一个图形的棋子是另一个图形棋子的k 倍，其中2011k =．若存在，请指出来，若不存在，请说明理由．【答案】⑴5，8⑵32，32n +⑶存在．设一个图形的棋子数为32n +，另一个图形的棋子数为32m +，（n m ＞）20111340n m =+．15. 【易】（2010年北京西城区期末）下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n 个图形中★的个数为________．（n 为正整数）n 图7-① 图7-② 图7-③ 图7-④……【答案】3n16. 【易】（2011罗湖外国语初一下期中）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第个“口”字需用棋了（ ）A ．枚B ．枚C ．枚D ．枚【答案】A17. 【易】（2009-2010武汉洪山去初一下期末）则当输入的下面是用棋子摆成的“上”字：第1个“上”字第2个“上”字第3个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： ⑴第四、第五个“上”字分别需用________和________枚棋子； ⑵第n 个“上”字需用________枚棋子． 【答案】⑴18，22⑵42n +18. 【易】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了________个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了________个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是________（用含k 的式子表示）．【答案】18，36k -，236k S k -⋅ …第5个图形第4个图形第3个图形第2个图形第1个图形★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★n 4n ()44n -()44n +2n n =3n =5……n=419. 【易】（2012河南中招模拟试卷）用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是________cm （用含n 的代数式表示）．【答案】4n20. 【易】（2011-2012北京十四中初一下期中）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是________．【答案】4n21. 【易】（北京东直门七年级下期中）规律探索：连结图⑴中的三角形三边的中点得图⑵，再连结图⑵中间的三角形三边的中点得图，如此继续下去，那么在第n 个图形中共有多少个三角形？【答案】43n －22. 【易】（2011深圳中学初一上期中）用棋子摆出下列一组图形：⑴个图形棋子的枚数为________．⑶如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？ 【答案】⑴36n(1) (2) (3)第1次 第2次 第3次 第4次······⑶3223. 【易】（郑州一中教育集团2010-2011学年上期期中考试）为参加“第十届中国开封菊展”，某单位想在步行街设计一座三角形展台，要求园林工人把它的每条边上摆放相等盆数的盆栽小菊花（如图所示的每个小圆圈表示一盆小菊花）．如果每条边上摆两盆小菊花，共需要3盆小菊花；如果每条边上摆3盆小菊花，共需要6盆小菊花；……，按此要求摆放下去：⑴________．⑶请你帮园林工人参考一下，能否用2003盆小菊花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆小菊花的盆数；如果不能，请简要说明理由．【答案】⑴⑵⑶不能．令332003n -=，解得26683n =，n 不是整数．24. 【易】（通州二模）根据如图所示的⑴，⑵，⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）A ．3nB ．()31n n +C ．6nD ．()61n n +【答案】B25. 【易】（2011山西中考）如图是用相同长度的小棒摆戍的一组有规律的图案，图案⑴需要4根小棒，图案⑵需要10根小棒……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根(用含有n 的代数式表示)．……【答案】62n －26. 【易】（2010深圳外国语初一上联合测）用棋子按下列方式摆图案，依照此规律，第n 个图形比第()1n -个图形多________枚棋子．【答案】32n -27. 【易】（武汉二中初一下期中）某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图，第2次把第1次铺的完全围起来，如图，第3次把第2次铺的完全围起来，如图；…．依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数________．【答案】86n －根据图形得到一列数2、10、18、26、…，这一个列数，从第二项起，每一项与它前面紧邻的一项的差，都等于一个常数8． 第2个数=第一个数+（2﹣1）个8； 第3个数=第一个数+（3﹣1）个8； 第4个数=第一个数+（4﹣1）个8； …由此猜想：第n 个数=第一个数+()1n －个8； 即第n 个数=2+8×()1n －=86n －；一般规律：()11n a a n d =+－，其中1a 为首项（第一个）、n a 为这一列数的第n 个，d 为每相邻两个数的差．28. 【易】（南平中考）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第（11）个图形中小正方形的个数为________第2个第1个……A ．78B ．66C ．55D ．50【答案】B29. 【易】（2012贵州毕节中考）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有________个小正方形．【答案】10030. 【易】（2011深圳中学初一上期末）小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第2步），如图反映提前3步的田径赛案，当第10步结束后，组成图案的积木块数为________．【答案】380（规律为242n n －）31. 【易】（2010初一期末）探索规律图⑴是一个正方形，依次连结这个正方形各边中点得到图⑵，再依次连结图⑵中间小正方形各边的中点得到图⑶，按以上的方法继续下去……①第1步第2步第3步（3）（2）（1）②按上面的方法继续下去，小明说：第101个图形中有100个正方形；小颖说：第101个图形中有401个三角形．请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【答案】①小颖的说法错误，第101个图形中有400个三角形．32. 【易】（天津市河西区2010-2011学年度第一学期七年级期中质量调查数学试卷）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究问题在第n 个图中，共有白色瓷砖________块．【答案】2n n +33. 【易】（2010年初一下两部联考）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从右图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中符合这一规律的是（ ）A ．13310=+ B ．25916=+ C ．361521=+ D ．491831=+ 【答案】C34.【易】（徐州市中考）如图，每个图案都由若干个棋子摆成．依照此规律，第n 个图案中棋子的总个数可用含n 的代数式表示为________．【答案】2n n +4=1+39=3+616=6+10…第1第2第3第435.【易】（2011•达州）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆________个（用含n的代数式表示）．【答案】()12 n n+36.【易】（2009-2010年太原市七年级第二次测评）根据下列五个图形及对应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．【答案】21n n-+如果没有公共交点，那么一共是n条线段，每条线上n个点，现在n条线有一个公共交点，所以总点数为21n n-+．37.【易】（郑州外国语中学第三次质量检测数学卷）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是________．【答案】22n n+38.【易】（南山初一统考）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要21个三角形摆第n层图需要________个三角形．……第1个图第2个图第3个图第4个图【答案】21n n +－观察可得，第1层三角形的个数为1， 第2层三角形的个数为22213+=－， 第3层三角形的个数为33317+=－， 第四层图需要244113+=－个三角形， 摆第五层图需要255121+=－．那么摆第n 层图需要21n n +－个三角形．39. 【易】（怀柔区一模）观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1816248n ++++⋅⋅⋅+(n 是正整数)的结果为（ ）A ．()221n +B ．18n +C ．18(1)n +-D ．244n n +【答案】A40. 【易】（2012年青羊区初一下期末）下图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S =________．（用n 的代数式表示S ）【答案】()21n n +41. 【易】（2010年北京怀柔区期末）小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有6人参加，如果每两个人都握一次手，共握几次手？”小明通过努力得出了答案，同时为了解决的方法更具有一般性，小明设计了以下图表进行探究．n =1 n =2 n=3请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论． 【答案】()12n n -42. 【易】（郑州一中教育集团2010-2011学年上期期中考试）图中是一幅“苹果排列图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有________个苹果； 第n 行有________个苹果．（可用乘方形式表示）【答案】92，12n -43. 【易】（2010深圳外国语初一上联合测）在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法，如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7······照此规律，七层二叉树的结点总数为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．128【答案】C （规律为21n -）44. 【易】（福建三明市中考）如图，直线l 上有2个圆点A ，B ．我们进行如下操作：第1次操作，在A ，B 两圆点间插入一个圆点C ，这时直线l 上有（2＋1）个圆点；第2次操作，在A ，C 和C ，B 间再分别插入一个圆点，这时直线l 上有（3＋2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l 上有（5＋4）个圆点；…第n 次操作后，这时直线l 上有________个圆点．……三层二叉树二层二叉树一层二叉树【答案】21n +45. 【易】（2010年九年级第三次质量预测试题）观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有________个．【答案】14n -46.【中】（2012广西桂林中考）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是________．【答案】22n n ++47. 【中】（2011年天津市河北区初中毕业生学业考试模拟试卷（三））如图，第1个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，且312a =；第2个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，且420a =；…；依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为()3n a n ≥，则当3451111n a a a a ++++的结果是6702013时，n 的值为________．【解析】()1n a n n =+，则()111111n a n n n n ==++－， （第16题）l l l lA B A B C A B C 第1个图第2个图第3个图第4个图（第14题图）所以34511111131n a a a a n ++++=+－，则2012n =． 【答案】201248. 【中】（武汉）如图的图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第一个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依此提出，拼搭第8个图案需小木棒________根．【答案】8849. 【中】（2011-2012年铁二中初一下期中）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．【答案】18150. 【中】（荆州市中考）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n n ⨯的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D51. 【中】按照如图所示的式样画下去，则第15个图形有________个黑方块．【解析】由已知所画图形，可得：依次图形的方块数是：1，9，25，49，…又：1=129=3225=5249=72…左边乘方的底数依次是：1，3，5，7，…1=1+2×（1﹣1）3=1+2×（2﹣1）5=1+2×（3﹣1）7=1+2×（4﹣1）…那么第15项可表示为：1+2×（15﹣1）=29．所以第15个图形的方块数为：292．又从图形上得知，所以黑方块数为22914212+=个．【答案】42152.【中】（武汉二中广雅七年级下期末模拟试卷）如图，是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形，仔细观察图形可知：图⑴中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为1:3；图⑵中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为3:6；图⑶中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为6:10；···；那么按这样的规律铺设，第6个图形黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为________．【答案】3:453.【中】（2013年安徽省初中毕业学业考试数学）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图（1）所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2）、图（3），……．⑴猜想：在图（）中，特征点的个数为（用表示）⑵ 如图，将图（n ）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心1O 的坐标为()12x ，，则1x =________；图（2013）的对称中心的横坐标为___________【答案】⑴22；52n +⑵1x =；54. 【中】（2012年安徽省初中毕业学业考试数学）在由()1m n m n ⨯⨯＞个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，⑴当m 、n 互质（m 、n 除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：图(3)图(2)图(1)……图(n )x⑵猜想：当m 、n 互质时，在m n ⨯的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m 、n 的关系式是________（不需要证明）；⑶当m 、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立； 根据题意，画出当m 、n 不互质时，结论不成立的反例即可． 【答案】⑴如表：⑵1f m n =+－⑶m 、n 不互质时，上述结论不成立，例如2×4，如下图：55. 【中】（初二上题型训练一）如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个【答案】B56. 【中】（2011年南山二外初一下测试）观察下图，我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形．【答案】5557. 【中】（2011深圳外国语分校初一下期末）某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D58. 【中】(2009年初一上期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和、现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、…相应长方形的周长如下表所示：________，________若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形周长是________ 【答案】16x =，26y =，周长是17859. 【中】（2012黑龙江绥化中考）长为20，宽为a 的矩形纸片（1020a ＜＜），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；……第3个图第2个图第1个图如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当3n =时，a 的值为________．【答案】12或152．数字的变化60. 【易】（2010-2011太原市七年级第二次测评）下面的正方形中都填有4个数，这些数之间有一定的规律，根据此规律，m 的值是（ ）A ．38B ．52C ．66D ．74【答案】D本题考察类似于“行列式”的交叉相乘规律： 24084622268444810674m⨯-=⨯-=⨯-=⨯-==61. 【易】（武汉二中广雅中学2010-2011下学期期末七年级数学）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同规律，根据此规律，n 的值是（ ）A ．36B ．49C ．63D ．64【答案】B62. 【易】（2013年福建省泉州市初中毕业、升学考试）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是________，依次继续下去，第2013次输出的结果是_______．【答案】3；363. 【易】（2013年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试）观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n 个数是_______．12，34，78，1516，3132，【答案】212n n -64. 【易】(2013年山东日照初中学业考试)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是（ ）A ．M mn =B ．()1M n m =+C ．1M mn =+D ．()1M m n =+【答案】D65. 【易】（2013年南宁市初中毕业升学考试数学试卷）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，起球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为：A ．19B ．18C ．16D ．15【答案】C66. 【易】(山西省2013中考数学试卷)一组按规律排列的式子：2a ，43a ，65a ，87a ，…，则第n 个式子是__________（n 为正整数）．【答案】221na n -67. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）有若干个数，第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，···，第n 个数记为n a ．若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与…mnM 56353415321它前面那个数的差的倒数”．试计算：2a =________，3a =________，4a =________，6a =________．你发现这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算2004a 是多少？【答案】223a =，33a =，412a =-，63a =．规律：每三个数一循环 20043a =68. 【易】（2011深圳外国语分校初一上期中）读题填空：等边ABC △在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数字分别是0和1-，若△ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2012次后，点B 对应的数字为________．【答案】201169. 【易】（2011深圳育才二中初一上期中）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数70. 【易】（2011耀华实验初三四模）在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2010时对应的指头是________（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．【答案】无名指71. 【易】（杭州翠苑中学初一2011第一学期期中）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数12n =，计算211n +得1a ；第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算221n +得2a ； 第三步：算出2a 的各位数字之和得3n ，计算231n +得3a ； B…………以此类推则2011a =________． 【答案】12272. 【易】（石景山二模）有一列数1a ，2a ，3a ，，n a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2009a 为（ ） A ．2009B ．2C ．12D ．1-【答案】C73. 【易】（2011•南京）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为________． 【答案】4解：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束； ∴504=122÷⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为：9，21，33，45时， 所以一共有4次．74. 【中】（2011深圳外国语分校初一下期末）“抢30”游戏的规则是：第一个人先说“1”或“1、2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30谁就获胜，那么采取适当策略，其结果是（ ） A ．先报数者胜 B ．后报数者胜 C ．两者都可能胜 D ．很难预料 【答案】B为了抢到30，那就必须抢到27，这样无论对方叫“28”或“29”，你都获胜．游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的个数和对方合起来是三个，即对方报a ()12a ≤≤个数字，你就报()3a －个数．抢数游戏，它的本质是一个是否被“3”整除的问题．75. 【中】（辽宁省中考题）计算：1234531431103128318231244+=+=+=+=+=，，；，，…归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测200931+的个位数字是（ ）． A ．0 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C76. 【易】（2011年初一上期中）观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，······根据上述算式中的规律，你认为302的个位数字是________． 【答案】477. 【易】（2010深圳外国语初一下期末）已知122=，224=，328=，，则20112的末位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】D78. 【易】（2010深圳外国语分校初一下期中）已知122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，……结合计算估计一下：()()()()()24322121212121-++++的个位数字是________．【答案】579. 【易】（郑州四中2010-2011学年下期初三年级第五次月考）观察算式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，836561=，···通过观察，用你所发现的规律确定32011的个位数字是（ ） A ．3 B ．9 C ．7 D ．1 【答案】C80. 【易】（2010-2011武汉青山区初一上期末）己知：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024…以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6…，按照上面的研究方法确定20062007+20072006的个位数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C81. 【易】（2011深圳中学初一上期中）QQ 空间一个展示自我和沟通交流的网络平台，它既是网络日记本，又可以上传图片、视频等，QQ 空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级，当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系，现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490······，若某用户的空间积分达到1000，则他的等级是（ ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】B解：第10级到第11级，12级，13级，14级积分分别增加的值是70，90，110，130，15级增加150，16级增加170，17级增加190，18级增加210，则15级积分是640，16级积分是810，17级积分是1000，18级积分是1210， 所以他的等级是17级．82. 【易】（眉山市中考）一组按规律排列的多项式：，，，，···，其中第10个式子是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B83. 【易】（初一下期中）观察下列单项式：、、、、…，按此规律写出第13个单项式是________． 【答案】84. 【易】（石景山一模）一组按规律排列的式子：3579234,,,,x x x x y y y y--（0xy ≠），其中第6个式子是________，第n 个式子是________（n 为正整数）．【答案】136x y-，211(1)n n n xy ++-85. 【易】（怀柔一模）一组按规律排列的式子：52a b ，84a b -，118a b ，1416a b-，……（0ab ≠），其中第6个式子是________，第n 个式子是________（n 为正整数）．【答案】2064a b -；()32121n n n a b ++-⋅或()32121n n n ab+--⋅86. 【易】（2010年门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：2a -，52a ，83a -，114a ，…，()0a ≠，则第n 个式子是________（n 为正整数）． 【答案】87. 【易】（门头沟初二上期末）一组按规律排列的分式：3b a ，522b a-，733b a ，944b a-，…（0b ≠），其中第8个分式是________，第n 个分式是________（n 为正整数）．a b +23a b -35a b +47a b -1019a b +1019a b -1017a b -1021a b -23x 38x 415x 524x 14195x 31(1)n na n--。
定义新运算（精选编写）
定义新运算 例1.定义两种新运算：a※b＝2×a＋b，a◇b＝a－3×b.已知x、y使得（x◇y）※1＝377.04，x◇（y※1）＝172.84，那么x－y＝ . [答疑编号0518380101] 【答案】196.14 【解答】根据符号的定义得x◇y=（377.04－1）÷2＝188.02， x◇（y※1）＝x－3×（y※1）＝x－6×y－3＝172.84， 于是可列方程组，解得，那么x－y＝196.14。
例2.定义a◎b表示a′b的整数部分，例如3.5◎1.5表示3.5′1.5＝5.25的整数部分，等于5. （1）计算：98◎π＝ . （2）计算：199◎π＋199◎（4－π）＝ . [答疑编号0518380102] 【答案】（1）307 （2）795 【解答】（1）98π=100×π－2×π≈314.159－6.283，所以，整数部分是307. （2）199×4=796，题中两个部分分别取整，所以整数的和小于796， 又由于每个式子舍去的部分都是小于1的。
所以，整数的和大于794。
因此计算的结果是795。
例3.对于两个不相等的正整数，定义a☆b表示a、b中较小数的3倍减去较大数，例如4☆7＝4′3－7＝5. （1）计算：197☆98＝ ； （2）如果a☆17＝22，那么a的所有可能值是 . [答疑编号0518380103] 【答案】（1）97 （2）13，29 【解答】（1）197☆98＝98×3－197=（100－2）×3－（200－3）=97 （2）当a＜17时，3a－17=22，得到a=13； 当a＞17时，3×17－a= 22，得到a=29。
例4.规定A#表示A′2，A△表示A′3－1，例如4#＝8，5△＝14.已知可以将#和△分别填入到两个括号中，并且在方框内填入相同的自然数，可以使两个等式都成立，那么横线上应该填的数是多少？ □（）－9＝200 □（）＋9＝ [答疑编号0518380104] 【答案】149 【解答】当第一个式子，括号内填井号时，不成立。
(完整版)小学奥数新定义运算习题及答案
4. 设 x, y 为两个不同的数 , 规定 x □ y ( x y) 4 . 求
a □16=10 中 a 的值 .
5. 规定 a
b
ab . 求 2 10 10 的值 .
ab
6. P, Q 表示两个数 , P ※Q = P Q , 如 3※4= 3 4 =3.5. 求
2
2
4※(6 ※8); 如果 x ※(6 ※8)=6, 那么 x ?
4
=1984-31 =1953
4. 24.
因为 a □16=10 即( a +16) ÷4=10
a +16=40
a =40-16 a =24
3 5. 1 .
7
从左到右依次计算 .
2 10 10
2 10
=
10
2 10
2 =1 10
3
2 1 10 =3
2 1 10
3
3 =1
7
6. 5.5.
4 ※(6 ※8)
7. 定义新运算 x ⊕ y x 1 . 求 3⊕(2 ⊕4) 的值 . y
8. 有一个数学运算符号 “? ”, 使下列算式成立 :4 ? 8=16，
10? 6=26，6? 10=22，18? 14=50. 求 7? 3=?
9. “▽”表示一种新运算 , 它表示 : x y 1
1
.
xy (x 1)( y 8)
所以 , a ? b = a ×2+ b
7 ? 3=7×2+3 =14+3 =17
67
9.
.
780
1
1
3▽5=
3 5 (3 1) (5 8)
11
=
15 52
定义新运算
定义新运算例1.定义两种新运算：a※b＝2×a＋b，a◇b＝a－3×b.已知x、y使得（x◇y）※1＝377.04，x◇（y※1）＝172.84，那么x－y＝.[答疑编号0518380101]【答案】196.14【解答】根据符号的定义得x◇y=（377.04－1）÷2＝188.02，x◇（y※1）＝x－3×（y※1）＝x－6×y－3＝172.84，于是可列方程组，解得，那么x－y＝196.14。
例2.定义a◎b表示a′b的整数部分，例如3.5◎1.5表示3.5′1.5＝5.25的整数部分，等于5.（1）计算：98◎π＝.（2）计算：199◎π＋199◎（4－π）＝.[答疑编号0518380102]【答案】（1）307 （2）795【解答】（1）98π=100×π－2×π≈314.159－6.283，所以，整数部分是307.（2）199×4=796，题中两个部分分别取整，所以整数的和小于796，又由于每个式子舍去的部分都是小于1的。
所以，整数的和大于794。
因此计算的结果是795。
例3.对于两个不相等的正整数，定义a☆b表示a、b中较小数的3倍减去较大数，例如4☆7＝4′3－7＝5.（1）计算：197☆98＝；（2）如果a☆17＝22，那么a的所有可能值是.[答疑编号0518380103]【答案】（1）97 （2）13，29【解答】（1）197☆98＝98×3－197=（100－2）×3－（200－3）=97（2）当a＜17时，3a－17=22，得到a=13；当a＞17时，3×17－a= 22，得到a=29。
例4.规定A#表示A′2，A△表示A′3－1，例如4#＝8，5△＝14.已知可以将#和△分别填入到两个括号中，并且在方框内填入相同的自然数，可以使两个等式都成立，那么横线上应该填的数是多少？□（）－9＝200□（）＋9＝[答疑编号0518380104]【答案】149【解答】当第一个式子，括号内填井号时，不成立。
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七年级奥赛练习题:定义新运算
班级 姓名
规定新的代数运算是一类较新颖的数学问题，它是以近世代数为背景的。
近年来，多次出现在国内外的数学竞赛题中。
解这类问题的关键在于认识新运算的含义。
在计算时严格遵照规定的法则代入数值。
值得注意的是，这样规定的新运算未必满足通常的结合律及交换律。
一、填空题:
1．对任意有理数A 、B ，规定A*B=
2B A +，则1*9= 。
2．A ～B=1
++⨯B A B A ，则2002～2003= 。
3．“*”表示一个运算符号，它的一个意思是：a*b=
ab b a 22-，则5* (3*2)= 。
4．对于正有理数，运算“*”定义为a*b=
b a ab +，则4* (4*4)= 。
5．规定f(a)=a 2＋2a ＋3, 则f(2)= 。
6．定义a △b=b a ＋ab ，则4△50= 。
7．若规定运算a*b=2(a ＋b)，则(a*b)*2= 。
8．若规定A △B=3A ＋4B ，则(4△5)△6= ，若7△B=45，则B= 。
9．对有理数a 、b ，规定a*b=ab －a －b ＋1，如果(x*x)*2=0，则 。
10．如果定义运算“*”，使得3*2=32＋42=25，4*3=42＋52＋62=77，则6*5= 。
二、解答题:
11．“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=xy 1＋)
)(1(1A y x ++。
已知2*3=3
1，求2002*2003。
12． a 、b 为有理数，当a ≥b 时，a*b=b a ，当a ＜b 时，a*b=b －a 。
若2*x=36,求x 的值。
13．x 是实数，﹤x ﹥表示不超过x 的素数的个数，如﹤5﹥=3，即不超过5的素数有2，3，5三个。
求﹤﹤19﹥×﹤9﹥＋﹤1﹥﹥的值。
14．对于有理数x 、y 定义一种运算“*”，规定x*y=ax ＋by －cxy ，其中a ，b ，c 为已知数，等式右边是加、减、乘法运算，又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x(m ≠0)。
试求m 的值。
答案
一、填空题:
1．5 2．1001 3．1029 4．3
4 5．11 6．6250200 7．4a ＋4b ＋4 8．120，6
9．0或2 10．62＋72＋82＋92＋102=330
二、解答题:
11．由2*3=321⨯＋)3(31A +⨯=31，得A=－1，所以2002*2003=2005003
1 12．分情况讨论，当x ≥2时，由2*x=x 2=36，得到x=6；当x ＜2时，由x*x=x －2=36，得
到x=38（舍去）。
所以x 的值为6。
13．﹤19﹥=8, ﹤9﹥=4, ﹤1﹥=0,﹤19﹥×﹤9﹥＋﹤1﹥=8×4＋0=32, ﹤32﹥=11。
14．由已知x*m=x(m ≠0)，可令x=0，所以有0*m=bm=0。
∵m ≠0，∴b=0。
所以x*y=ax ＋－cxy 。
再由1*2=3，2*3=4，得到a －2c=3，2a －6b=4，解得a=5，c=1。
所以x*y=5x －xy 。
再令x=1，得1*m=1，得5－m=1，于是m=4。