材料力学 第06章 弯曲变形

M x
EI
平面曲线的曲率数学计算：
r
q F
O w
1 w
r x (1 w2 )3/2
x 小变形条件下， (1 w2 ) 1
x
dx q
y M
M w f (x)
M 0, w 0
O
x
w M (x)
EI z
y
M
挠曲线近似微分方程
M
w f (x)
M 0, w 0
O
x
w M (x) EI z
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6.1 弯曲变形的实例 梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的
弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。
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6.1 弯曲变形的实例
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6.1 弯曲变形的实例
第六章 弯曲变形 Chapter 6 Bending Deflection
第六章 弯曲变形
6.1 弯曲变形的实例 6.2 挠曲线的微分方程 6.3 积分法求梁的位移 6.4* 奇异函数法求梁的位移 6.5 叠加法求梁的位移 6.6 简单超静定梁 6.7 提高弯曲刚度的一些措施
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6.1 弯曲变形的实例
F
y
b
C
B
x2 l
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6.4*奇异函数法求梁的位移
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6.4 奇异函数法求梁的位移
挠曲线方程是分段函数，当梁上载荷比较复杂时，若用积分法 求梁的位移，每段会出现2个积分常数，n 段梁就有 2n 个积分常数， 计算将非常繁琐。利用奇异函数法，可使计算得到简化。
D2
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6.3 积分法求梁的位移
【例6-1】 解
利用边界条件和连续条件确定四个积分常数
AC段
EIq1
Fb 2l
x12
C1
y
F
a
b
CB段
EIw1
Fb 6l
x13
C1x1
D1
A
E Iq 2
Fb 2l
x22
F 2
(x2
a)2
C
FA
2
EI
C
x1 x2 l
B
x
FB
EIw2
Fb 6l
x23
F 6
(x2
转角q
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6.2 挠曲线的微分方程
y
dq
r
q F
O w
x
dx q
规定挠度 w 向上为正，
转角q 逆时针为正。
挠曲线方程
x
w f x
截面转角q 就是轴 y 与挠曲线法线的夹角，小变形条件下
转角方程 q tanq w f x
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6.2 挠曲线的微分方程
y
dq
弯矩与曲率的关系：
1
rx
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6.2 挠曲线的微分方程
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6.2 挠曲线的微分方程
y
dq
r
q F
O w
x
dx q
取变形前的梁轴线为轴x， 垂直向上的轴为轴 y
平面xy为梁的纵向对称面
对称弯曲的情况下，变形后 梁的轴线将成为平面xy内的一条 x 曲线，称为挠曲线。
横截面形心在 y 方向的位移
挠度 w
横截面对其原来位置转过的角度
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6.3 积分法求梁的位移
连续条件
在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等(挠曲线 是光滑连续曲线)。若梁分为n 段积分，则要出现2n 个待定常 数，总可找到2n 个相应的边界条件或连续条件将其确定。
F
w |x1a w |x2 0
A
B
l
a
b
x1 x2
q |x1a q |x2 0
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6.3 积分法求梁的位移
【例6-1】 弯曲刚度为EI的简支梁如图所示，在截面C处受一集中力F作
用。求梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度。
y
F
a
b
A
EI
C
B
x
x1 x2 l
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6.3 积分法求梁的位移
【例6-1】 解
y
F
（1）求约束反力
A
a EI
b
C
B
x
Fb FA l
FB
Fa l
x1
a)3
C2 x2
D2
边界条件: x1 0 wA 0
x l wB 0
代入以上各式
连续条件: q1 |x1a q2 |x2 a
w1 |x1a w2 |x2 a
求得积分常数
D1 D2 0
C1
C2
Fb (l 2 6l
b2 )
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6.3 积分法求梁的位移
【例6-1】 解
AC段
EIq1
Fb 6l
(3x12
b2
l2)
EIw1
Fb 6l
x13
(b2
l 2 )x1
y A
FA
F
a
b
EI
C
B
x
x1
x2
FB
l
CB段
EIq 2
Fb 6l
(3x12
b2
l2)
3l b
(x2
a)
2
EI
w2
Fb 6l
( x22
b2
l 2 )x2
l b
(x2
a)
3
求最大挠度 最大挠度位于 w 0
此时
FA
x2
l
（2）列出弯矩方程
FB
AC段
M1
Fb l
x1
(0 x1 a)
CB段
M2
Fb l
x2
F ( x2
a)
(a x2 l)
（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故 应对AC和CB分别计算
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6.3 积分法求梁的位移 【例6-1】 解
（3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C点处分段，故
b
EI
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
x
x1
x2
FB
l
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6.3 积分法求梁的位移
讨论
(3) 跨中挠度
若
ab
wl
2
Fb(3l 2 4b2 ) 48EI
若集中力作用于跨中，则
wmax
wl
2
Fl3 48EI
若取极端情形，力F接近于右端支座
y A
FA
a EI
F b
C
x1 x2 l
b0 w0
B
x
FB
此时 x0
l2 b2 l
应对AC和CB分别计算
AC段
EIw1
Fb l
x1
y
F
a
b
A
EI
C
B
x
EIq1
Fb 2l
x12
C1
x1
FA
x2
FB
EIw1
Fb 6l
x13
C1x1
D1
l
CB段
EIw2
Fb l
x2
F ( x2
a)
E Iq 2
Fb 2l
x22
F 2
(x2
a)2
C2
EIw2
Fb 6l
x23
F 6
(x2
a)3
C2 x2
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6.3 积分法求梁的位移
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6.3 积分法求梁的位移
梁的挠曲线近似微分方程
w M (x) EI z
对上式进行一次积分,可得到转角方程
q w
M dx C EI
再进行一次积分,可得到挠曲线方程
w
M EI
dx
Cx
D
C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确定其值。
3
3
wm a x
Fbl 2 9 3EI
而跨中挠度
Fbl2
wl
2
16EI
若用跨度中点挠度代替最大挠度，引起的误差仅为2.6%
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6.3 积分法求梁的位移
讨论
(4) 本题解答中若取 x2 的原点为 右支座（即选择左手坐标系）， 则数字计算要简单些。
y A
FA
F
a
b
EI
C
B
x
x1
x2
FB
l
xA
a EI
x0
l2 b2 3
代入
得
wm a x
w1
|x1 x0
Fb 27EIl
3 l2 b2 3
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6.3 积分法求梁的位移
讨论
y
(1) 在CB段内积分时，对含有(x2
－a)的项不展开，以(x2－a)为自
A
变量进行积分，可使确定积分常
数的工作得到简化。
FA
(2) 结果为负，表示挠度方向向下。
F
a