2.3 函数的奇偶性

§2.3 函数的奇偶性

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则

f (－1)等于

( )

A ．3

B ．1

C ．－1

D ．－3

2．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}等于 ( )

A ．{x |x <－2或x >4}

B ．{x |x <0或x >4}

C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2}

3．已知f (x ) (x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于

( )

A.1

2

B ．1

C.32

D ．2

4．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是

( )

A ．(－∞，2)

B ．(－2,2)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(2，＋∞)

5． f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解 的个数至少是

( )

A ．1

B ．4

C ．3

D ．2 6．函数y ＝1－x ＋x －1是

( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

二、填空题(每小题6分，共24分)

7．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (2)＝________. 8．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －

x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．

9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋5)＝－f (x )＋2，且当x ∈(0,5)时，f (x )＝x ，则f (2 011) 的值为________．

10．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于

f (x )的判断： ①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称；

③f(x)在[0,1]上是增函数；

④f(x)在[1,2]上是减函数；

⑤f(2)＝f(0)．

其中正确的序号是________．三、解答题(共40分)

11．(13分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，若a、b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有f(a)＋f(b) a＋b

>0.判断函数f(x)在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．

12.(13分)已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)若f(－3)＝a，用a表示f(12)．

13．(14分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1

时，f(x)＝1

2x，求使f(x)＝－

1

2在[0,2 009]上的所有x的个数．

答案

1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6.D

7．0 8．－1 9．1 10．①②⑤

11．解f(x)在[－1,1]上是增函数．证明如下：任取x1、x2∈[－1,1]，且x1

则－x2∈[－1,1]．又f(x)是奇函数，

则f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)

＝f(x1)＋f(－x2)

x1＋(－x2)

·(x1－x2)．

据已知f(x1)＋f(－x2)

x1＋(－x2)

>0，x1－x2<0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴f(x)在[－1,1]上是增函数．

12．(1)证明显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称．在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令y＝－x，

得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0，

得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，

∴f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数．

(2)解由f(－3)＝a，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(x)是奇函数，

得f(12)＝2f(6)＝4f(3)＝－4f(－3)＝－4a.

13．解当0≤x≤1时，f(x)＝1

2x，

设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，

∴f(－x)＝1

2(－x)＝－

1

2x.

∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－1

2x，即f(x)＝

1

2x.

故f(x)＝1

2x (－1≤x≤1)．

又设1

∴f(x－2)＝1

2(x－2)．

又∵f(x－2)＝－f(2－x)＝－f((－x)＋2) ＝－[－f(－x)]＝－f(x)，

∴－f (x )＝1

2(x －2)，

∴f (x )＝－1

2

(x －2) (1

∴f (x )＝⎩⎨⎧

1

2

x (－1≤x ≤1)，－1

2(x －2) (1

由f (x )＝－1

2，解得x ＝－1.

又∵f (x ＋2)＝－f (x )，

∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (x )＝－1

2的所有x ＝4n －1 (n ∈Z)．

令0≤4n －1≤2 009，则14≤n ≤1 005

2，

又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 (n ∈Z)， ∴在[0,2 009]上共有502个x 使f (x )＝－1

2

.