高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选
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2．2.2 双曲线的简单几何性质
[提出问题]
已知双曲线C 1的方程：x 29－y 2
16
＝1.
问题1：双曲线C 1中的三个参数a ，b ，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.
问题2：试画出双曲线C 1的草图？ 提示：如图所示：
问题3：观察双曲线C 1的图象，曲线与x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x 轴有交点，有对称性． [导入新知]
1．双曲线的几何性质
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [化解疑难]
对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞
0，b ＞0)，得x 2a 2＝1＋y 2b
2≥1，∴x 2≥a 2
，∴|x |≥a ，即x ≤－a 或x ≥a .
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
(4)对称性：由双曲线的方程x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，若P (x ，y )是双曲线上任意一点，
则P 1(－x ，y )，P 2(x ，－y )均在双曲线上，因P 与P 1，P 2分别关于y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．
[例1] 渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 2
4＝1，
∴a 2
＝9，b 2
＝4， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝
133
，
渐近线方程为y ＝±2
3x .
[类题通法]
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，
b 的对应值，利用
c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何
性质．
[活学活用]
求双曲线9x 2
－16y 2
＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
解：把方程9x 2
－16y 2
＋144＝0化为标准方程为
y 2
9
－
x 2
16
＝1.
由此可知，实半轴长a ＝3； 虚半轴长b ＝4；
c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，
焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；
离心率e ＝c a ＝5
3
；
渐近线方程为y ＝±a b x ＝±3
4
x .
双曲线的草图如图．
[例(1)虚轴长为12，离心率为5
4
；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±3
2x .
[解] (1)设双曲线的标准方程为
x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，
c a ＝54
且c 2＝a 2＋b 2
，
∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2
36＝1.
(2)设以y ＝±3
2
x 为渐近线的双曲线方程为
x 24
－y 2
9
＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2
＝4λ， ∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝9
4.
当λ＜0时，a 2
＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 2
4＝1.
[类题通法]
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2
＝a 2
＋b 2
及e ＝c
a
列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝
λ(λ≠0)．
[活学活用]
分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝
103
. (3)与双曲线x 2
－2y 2
＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．
解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2
＋b 2
＝c 2
， 得b 2
＝1.
故双曲线C 的标准方程为x 2
3－y 2
＝1.
(2)由e 2
＝109，得c 2
a 2＝10
9
，
设a 2
＝9k (k ＞0)，