第3章 可线性化的非线性回归模型

(3-14)
(393.1) (82.9) R2 = 0.998, T = 17, (19902006) 因为解释变量是时间 t，所以回归系数 0.1589 近似测量的是中国税收的年增长率， 即 19902006 年中国税收的年平均增长率近似是 15.89%。 式（3-14）的 EViews 9 估计命令： log(TAX) c @trend(1989)
(3-20) (3-21) (3-22)
其中 a= 0, b=1 为待估回归系数，ut 是随机误差项。只要 ut 满足第 1 章给出的假定 条件，那么，就可以对式（3-22）采用 OLS 法估计回归系数。
图 3-9
人均食品支出 yt 与可支配收入 xt 散点图
图 3-10
Lnyt 和 LnLnxt 散点图
进一步观察 Lnyt 和 LnLn xt 的散点图，如图 3-10。Lnyt 和 LnLn xt 存在满意的 线性关系，同时，不存在异方差（第 5 章介绍） 。所以讨论建立模型时，应该建立 关于 Lnyt 和 Lnxt 的对数函数模型。 首先用数据估计模型。得回归结果如下， （-61.7） （137.3） R2 = 0.97, T= 588 式（3-19）的 EViews 9 估计命令： Log(y) c log(log(x))
yt* = a* + b xt* + ut
变量yt* 和xt* 之间已成线性关系。幂函数模型也称作全对数模型。
案例：柯布-道格拉斯生产函数是怎样产生的。Murray-book 第 5 章 (file: cobbdouglas) 1928 年，阿默斯特学院的查尔斯柯布和芝加哥大学的保罗道格拉斯利用 1899 至 1922 年 的美国数据共同研究了生产理论，尽管道格拉斯后来成为参议员，但他得以成名的还是柯 布-道格拉斯生产函数：产出= (劳动)β1(资本)β2。取对数，重新写为 ln(产出) = ln () + β1 ln(劳动) + β2 ln(资本) ln(产出) = -0.1773 + 0.8073 ln(劳动) + 0.2331 ln(资本) (-0.4)
5000 Y
9.0 8.5 (Ln(y)
4000
8.0
3000
7.5 7.0 6.5
2000
1000
6.0
X 0 0 4000 8000 12000 16000 20000
Ln(Ln(x) 5.5 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30
bxt ut
, (b < 0)
Lnyt = Lna + bxt (3-9) 令 Lnyt = yt*, 0 =Lna, 1=b，则 yt* = 0 + 1 xt (3-10) 变量 yt* 和 xt 已变换成为线性关系。把上式表示成回归模型的形式， Lnyt = Lna + bxt + ut (3-11) 即 yt* = 0 + 1 xt + ut 其中0 = Lna, 1= b 为待估回归系数，ut 表示随机误差项。只要 ut 满足第 1 章给出 的假定条件，那么，就可以对式（3-11）采用 OLS 法估计回归参数。
第 3 章 可线性化的非线性回归模型 第 1、2 章介绍了线性回归模型。实际中经济变量之间也可能存在非线性回归 关系。非线性回归模型可以分为两类，一类是可线性化的非线性回归模型，一类是 不可线性化的非线性回归模型。本章重点讨论可线性化的非线性回归模型，即通过 适当的变换，把非线性回归模型转化为线性回归模型，然后利用线性回归模型的估 计与检验方法进行处理。共介绍 7 种典型的可线性化的非线性回归模型。对于那些 不可线性化的非线性回归模型，例如
3.1 可线性化的 7 种非线性函数 3.1.1 幂函数模型
(b > 1)
(b = -1)
(b < -1)
(0<b <1)
(0 > b > -1)
yt axt b e ut
b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得
Lnyt = Lna + b Lnxt + ut
令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 则上式表示为
yt a0 a1 xt 1 ut yt a0 e1xt ut
本章不做讨论，但介绍 EViews 估计命令。也就是说，利用软件，同样可以完成对 这类模型的估计与检验。
这一节介绍 7 种可线性化的非线性函数。其中包括幂函数、指数函数、对数函 数、双曲线函数、多项式函数、生长曲线函数（Logistic） 、龚伯斯（Gompertz）曲 线函数。在讨论如何把这些非线性函数转化为线性函数的同时，举例介绍应用。
其中 a = 0，b = 1 为待估回归系数，ut 表示随机误差项。只要 ut 满足第 1 章给出 的假定条件，那么，就可以对式(3-17)采用 OLS 法估计回归系数。
6 Y 5 4 5 3 4 2 3 1 0 X -1 25 50 75 100 125 150 175 200 1 25 50 75 100 125 150 175 200 2 X 6 7 Y
2
OUTPUT
280
280
240
240
OUTPUT
200
200
160
160
(5.6)
(3.7)
120
120
R =0.96, DW=1.52, T=24, (18991922) β1+ β2=1 的检验结果是 p=0.66，接受原假设，为规模报酬不变型。
80 LABOR
80
80 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 CAPITAL
例 3-2 （数据见 EViews、STATA 文件：li 3-2）中国税收（Tax）增长的定量分析 19902006 年中国税收（Taxt，亿元）数据见表 3-2。中国税收序列图和对数的 中国税收序列图见图 3-5 和 3-6。 中国税收序列对时间呈指数函数变化特征 （图 3-5） 。 对中国税收取对数后与时间呈线性函数变化特征（图 3-6） 。
x t 1 y t Lnyt y t / y t y t 1y t 1 = = = = Lnxt 1 x t 1 / x t 1 y t x t 1 x t 1 1x t 1
柯布（C.W.Cobb） 道格拉斯(PaulH.Douglas)
可见弹性系数是两个变量的变化率的比。注意，弹性系数是一个无量纲参数， 所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。以1 为例，1 = 边际系数是弹性系数的一个分量。
第 3 章 可线性化的非线性回归模型
张晓峒
南开大学数量经济研究所教授、所长 中国数量经济学会副理事长 zhangnk710@126.com
第 3 章 可线性化的非线性模型
3.1 可线性化的 7 种非线性函数 3.2 可线性化的非线性模型综合案例 3.3 可线性化的非线性模型一览表
file:li-3-1 file:li-3-2 file:li-3-3 file:li-3-4 file:li-3-5 file:li-3-6 file:li-3-7 file:case 3-Hale Waihona Puke Baidu file:case 3-2 file:case 3-3
y t xt 1
例 3-1 （数据见 EViews、STATA 文件：li 3-1） 台湾 19581972 年农业生产总值（yt） ，劳动力投入（xt1） ，资本投入（xt2）数 据见表 3-1。应用柯布−道格拉斯生产函数模型评价台湾农业生产效率。用样本得估 计模型如下，
Lnyt = -3.4 + 1.50 Lnxt1 + 0.49 Lnxt2
图 3-7
yt = a + b Lnxt + ut , (b > 0)
图 3-8
yt = a + b Lnxt + ut , (b < 0)
例 3-3 （数据见 EViews、STATA 文件：li 3-3） 中国城镇居民家庭人均食品支出与可支配收入的关系。 19852005 年 28 个省级地区 城镇居民人均食品支出（yt）与可支配收入（xt）散点图如图 3-9。

(-1.4) (2.78) 还原后得，
ˆ t = 0.713 xt11.50 xt20.49 y
(4.80)
R2 = 0.89, T = 15 (3-8)
因为 1.50 + 0.49 = 1.99，所以，此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本 投入都增加 1%时，产出增加近 2%。
10.4 LOG(Y) 10.2
8 Y 7 6 5 4 3 2 1 0 25 50 75 100 125 150 175 X 200 0.0 X -0.2 25 50 75 100 125 150 175 200 0.6 0.8 1.0 Y
0.4
0.2
图 3-3
yt = ae
bxt ut
, (b > 0)
图 3-4
yt = ae
3.1.3 对数函数模型 对数函数定义如下：
yt = a + b Ln xt
(3-15)
令 xt* = Lnxt，0 = a，1 = b，则式（3-15）改写为 yt = a + b xt* = 0+ 1 xt* (3-16)
变量 yt 和 xt*，即 yt 和 Lnxt 已变换成为线性关系。把上式表示为回归模型形式， yt = 0+ 1 xt* + ut = 0+ 1 Lnxt + ut (3-17)
40,000 TAX
10.0 10.5 LOG(TAX)
30,000
9.5
20,000
9.0 8.5
10,000
8.0
T 0 0 4 8 12 16 20
7.5 0 4 8 12 16
T 20
图 3-5

中国税收序列图
图 3-6
对数的中国税收序列图
尝试建立半对数模型，
LnTAXt = 7.7166 + 0.1589 t
Lnyt = - 5.8117 + 6.2072 LnLnxt

（3-19）
3.1.4 双曲线函数模型 双曲线函数定义如下： yt = a + b/xt xt 和 yt 的关系是非线性的。令 xt* = 1/xt，0= a，1= b，得 yt = a + b xt* =0+ 1 xt* 上式已变换成线性函数。把上式表达为回归模型形式， yt = 0+ 1 xt* + ut = 0+ 1 1/xt + ut
100 120 140 160 180 200 220
5.6 5.4
LOG(OUTPUT) LOG(OUTPUT)
5.6 5.4 5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.4
5.2 5.0 4.8 4.6 4.4 4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.2
LOG(LABOR)
LOG(CAPITAL)
Cobb-Douglas生产函数（二元幂函数）
Q = k L C 1- 其中 Q 表示产量；L 表示劳动力投入量；C 表示资本投入量； k 是常数；0 < < 1。更习惯的表达形式是 yt = 0 xt1 1 xt 2 2 e ut 上式两边同取对数，得： Lnyt = Ln0 + 1 Lnxt 1 + 2 Lnxt 2 + ut 取 yt* = Lnyt, 0* = Ln 0, xt 1* = Ln xt 1, xt 2* = Ln xt 2，有 yt*= 0* + 1 xt 1* + 2 xt 2* + ut 上式为线性模型。用 OLS 法估计后，再返回到原模型。 对于对数线性模型，Lny = Ln0 + 1 Lnxt1 + 2 Lnxt2 + ut ，1 和2 称作弹性系数。
10.4 LOG(Y) 10.2
10.0
10.0
9.8 LOG(X1) 9.6 5.58 5.60 5.62 5.64 5.66 5.68 5.70 5.72 5.74
9.8 LOG(X2) 9.6 9.6 9.8 10.0 10.2 10.4 10.6 10.8
3.1.2 指数函数模型 指数函数定义如下： yt aebxt b>0 和 b<0 两种情形的函数曲线以及散点图分别见图 3-3 和 3-4。xt 和 yt 呈指数函 数关系，是非线性的。对上式等号两侧同取自然对数，得