第2章母函数与递推关系
组合数学(引论)
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
递推关系与母函数法
递推关系与母函数法1.2 递推关系Hanoi塔问题：这是组合数学中的著名问题。
n个圆盘依其半径大小，从下而上套在柱A上，如图1.1所示。
每次只允许取一个转移到柱B或柱C上，而且不允许大盘放在小盘上方。
若要求把柱A上的n个盘转移到柱C上，请设计一种方法，并估计要移动几个盘次，现在只有A，B，C三根柱子可供使用。
设a,b,c是3个塔座。
开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。
各圆盘从小到大编号为1,2,…,n,现要求将塔座a 上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。
在移动圆盘时应遵守以下移动规则：规则1：每次只能移动1个圆盘；规则2：任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；规则3：在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。
图1.1Hanoi塔是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，即估计工作量。
这一问题有典型的意义，第一步先解决算法问题，即如何完成n个盘的搬动，进一步还要对算法作出复杂性分析，即对要作多少盘次的搬动进行估计。
算法设计：n=时，第一步先把最上面一个圆盘套在柱B上；第二步把第二个圆盘转2移到柱C上；最后再把柱B上的一个圆盘转移到柱C上，到此转移完毕。
假定1n-个盘子的转移算法已经确定。
对于一般n个圆盘的问题，先把上面的1n-个圆盘转称到柱B上，再把最后一上圆盘转移到柱C上，然后把柱B上的1n-个圆盘转移到柱C上，转移完毕。
上述的算法是递归的连用。
2n=时，第一步便利用n=时已给出了算法；3算法把上面两个圆盘移到柱B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上的两个圆盘转移到柱C上，4,5,,n= 以此类推。
图1.1形象地给出4n=的转移过程。
void hanoi (int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi (n-1, a, c, b); move (a,b);hanoi (n-1, c, b, a); } }算法分析：令n h 表示n 个圆盘所需要的转移盘次。
二章六节非线性递推关系举例
8. S(n,n 1) C(n,2)
把n个有标志的球放进n-1个相同的盒子中， 因为必须保证每个盒子中都有球，因此只有1个 盒子中有2个球，问题就是求两个球的组合数， 因此有C(n,2)种方案。
15
2.14.1 司特林(Stirling)数
9. S(n,n 2 ) C(n,3) 3C(n,4)
可分为空m-1盒，m-2盒，…，空1盒，都不空。
S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,m),n≥m S(n,1)+S(n,2)+…+S(n,n),n≤m。
22
2.14.1 司特林(Stirling)数
5、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，允许空盒，方案数情况？
有C(m+n-1,n)。
6、n个相同的球放到m个不相同的盒 子里，不允许空盒，方案数情况？
例如：1,2,3,4分成两两2组的方案。 {(1,2),(3,4)},{(1,3),(2,4)},{(1,4),(2,3)}
16
2.14.1 司特林(Stirling)数
定理2.15 第二类司特林数满足下面的递推关系：
S(n,m) mS(n 1,m) S(n 1,m 1), n 1,m 1
证明：设有n个有区别的球b1,b2,…,bn,对于其 中的某一个球bi, 根据bi的情况分为两类：
1、 bi独占一盒，其方案为S(n-1,m-1) 个球放2到、mb个i不盒独子占，一不盒允，许这空相盒当，于共先有将S剩(n下-1,的m)n种-1 不同方案，
bi球不然独后占将一b盒i球的放方进案其数中为一m盒S，(n共-1,有m)m种选择方式。
6. S(n,2 ) 2n1 1; 7. S(n,3 ) 1 (3n1 1) 2n1;
《母函数与递推关系》PPT课件
ak
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 8k1 2
9 10k1 2
验证：a1=8,a2=73
15
§2.2 递推关系
例三：从n个元素a1,a2,….an中取r个进行允许重
复的组合。假定允许重复的组合数用 C(n表, r)
示，其结果可能有以下两种情况。
1）不出现某特定元素设为a1，其组合数 为 C(，n 相1, r当) 于排除a1后从a2,….an 中取r个做 允许重复的组合。
h(1) 1, h(2) 2h(1) 1, h(3) 2h(2) 1,
(1 2x)H ( x) x x2 x3 x /(1 x)
H (x)
x
(1 2x)(1 x)
8
1
H (x) h(k )xk
x
g(x)=1+x+x2+x3+x4+... =
k 1
(1 x)(1 2x)
(1 x)Gn ( x) Gn1( x) 0
系数(1-x)不是常数。但
G1(x) C(1,0) C(1,1)x C(1,2)x2
1 x x2 1
Gn
( x)
1
1
x
Gn1( x)
1 1x (1 x)2
Gn2
(x)
1 (1- x)n-1
G1 ( x)
1 (1- x)n
17
(1 x) 1 x ( 1) x2
尾数不是为5的：9an-1
尾数为5的，前n-1位有奇数个5：bn1 9 10n2 an1
an 9an1 9 10n2 an1
an 8an1 9 10n2 ,
a1 8
x2 : a2 8a1 9 x3 : a3 8a2 90
2010第二章mycI_递推关系_264901883
(2-1-2)式等号的两端对x求导，另x=1可得：
C(n,1) + 2C(n,2) + 3C(n,3) +⋯+ nC(n, n) = n2n−1 (2 -1- 5)
还可以类似地推出一些等式，但通过上 面一些例子已可见函数(1+x)n 在研究序列 C(n,0),C(n,1),…C(n,n)的关系时所起的作 用。对其他序列也有同样的结果。
组合数学
第二章 母函数与递推关系
1
2.1 母函数
• 简单例子：两个色子掷出6点，有多少种选法？ • 要使两个色子掷出6点，第一个色子除了6以外的 都可选，这有5种选法，一旦第一个选定，第二个 色子就只有一种可能的选法，按乘法法则有5*1=5 种。 • 我们也可以从另一角度来看，出现1，5有两种选 法，出现2，4也有两种选法，而出现3，3只有一 种选法，这些选法互斥且穷尽了出现6点的一切可 能的选法，按加法法则，共有2+2+1=5种不同选法 。
若令a1=a2= …=an=1， 1 x2项系数每一个组合都贡献1，其值为C(n,2) x3项系数每一个组合都贡献1，其值为C(n,3) … 故有：
(1+ x) =1+ C(n,1)x + C(n,2)x +⋯+ C(n, n)x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn 2
n
(2 -1- 2)
6
§2.1 母函数 另一方面：
∵ (1+ x) (1+ x) = (1+ x)
= x−m[C(m + n,0) + C(m+ n,1)x + C(m+ n,2)x2 +⋯+ C(m+ n, m+ n)xm+n
最新组合数学习题答案(1-4章全)
第1章 排列与组合1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。
满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。
满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。
1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。
（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。
将女生插入，有5!种方案。
故按乘法原理，有：7!×58C ×5!=33868800(种)方案。
(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有mn C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。
递推关系与母函数 - 哈尔滨工程大学智能信息处理研究中心
n r
' n ' n ' n B m B m ... B m r 成立，则称 1 1 2 2 r
是递推关系式1的通解，其中：B1’ , B2’ ,…, Br’是任意常数
9
无重特征根
定理：设m1,…,mr是递推关系式1的r个互不相 等的特征根，则：
a n B 1 m B 2 m ... B r m
智能信息处理研究中心（RCIIP）
递推关系与母函数
潘海为
1
递推关系的建立
例6 10个数字(0~9)和4个运算符(+,-,,) 组成 14个元素，求由其中的n个元素构成的排列组 成的算术表达式的个数（含除数为0的情况）
an = 10an-1+ 40an-2 a1 =10，a2=120
若e(n) = 0，称其为齐次递推关系式 若e(n)≠0，称其为非齐次递推关系式 当ci(n)=ci时（i =1,2,…,r）称为常系数递推关 系
4
常系数齐次线性递推关系a n1 c2 a n 2 ... cr a n r 0 其中： cr 0
其中： n r , cr 0
当e(n) = 0时，齐次递推关系式的情况 当e(n)≠0时，非齐次递推关系式的情况
16
定理
r 阶线性常系数非齐次递推关系的通解an是： 该非齐次递推关系的一个特解 a n ，加上其相 应的齐次递推关系的通解 a n 即
*
ana
* n
an
17
非齐次递推关系
18
非齐次递推关系
求解过程
求齐次递推关系的通解 求非齐次递推关系的特解 列出非齐次递推关系的通解形式 根据初始条件确定待定系数
母函数与求解递推关系
母函数与求解递推关系组合数学⽤的最多的⼯具要算母函数，究竟什么是母函数呢，先看(1+a1x)(1+a2x)⋯(1+a n x)=1+(a1+a2+⋯a n)x+(a1a2+a1a3+⋯a n−1a n)x2+⋯+a1a2⋯a n x n..x1项系数：a1+a2+⋯a n;x2项系数：a1a2+a1a3+⋯a n−1a n；⋯x n项系数：a1a2⋯a n即x k项系数：a1,a2,⋯,a n取k个组合的全体之和，k=1,2,⋯,n.令a1=a2=⋯=a n=1，即得(1+x)n=1+C(n,1)x+C(n,2)x2+⋯+C(n,n)x n另⼀⽅⾯(1+x)m(1+x)n=(1+x)m+n故$$(1+x)m(1+x)n=C(m,0)+C(m,1)+⋯+C(m,m)x m×C(n,0)+C(n,1)x+⋯+C(n,n)x n=C(m+n,0)+C(m+n,1)+⋯+C(m+n,m+n)x m+n$$⽐较上⾯等式得常系数，C(m,0)C(n,k)+C(m,1)C(n,k−1)+⋯+C(m,k)C(n,0)=C(m+n,k),k=0,1,2,⋯,minm,n这样就证明了这个等式，当然也可⽤组合意义证明。
可见 (1+x)n=1+C(n,1)x+C(n,2)x2+⋯+C(n,n)x n在研究序列C(n,0),C(n,1),⋯,C(n,n)时起作⽤.为此引进母函数得概念.定义对于序列C0,C1,C2⋯构造⼀函数G(x)=C0+C1x+C2X2+⋯称G(x)为序列C0,C1,C2⋯的母函数.例如(1+x)n称为序列C(n,0),C(n,1),⋯,C(n,n)的母函数，序列长度可能是有限的，也可能是⽆限的。
若已知序列可求得母函数，反之若求得母函数，序列也随之确定，因此，序列和对应的母函数是⼀⼀对应的。
现利⽤母函数求递推关系的解，⽤汉诺塔做例⼦.H(n)=2H(n−1)+1,H(1)=1补充定义H0=0，并作如下步骤的形式化演算：x:H1=2H0+1x2:H2=2H1+1x3:H3=2H2+1+⋯G(x)=2x[H0+H1x+H2x2+⋯]+[x+x2+x3+⋯]等式两边分别为H0+H1x+H2x2+⋯=2x∞∑k=0H k x k+∞∑k=1x kx+x2+x3+⋯=x[1+x+x2+⋯]=x 1−x所以得G(x)=2xG(x)+x 1−xG(x)=x(1−x)(1−2x)序列H k的母函数已求得，后⾯是设法从G(x)求序列H k.令Processing math: 100%x(1−x)(1−2x)=A1−2x+B1−x解⽅程得A=1,B=−1所以G(x)=11−2x−11−x=(1+2x+22x2+⋯)−(1+x+x2+⋯)因此H n=2n−1,n=1,2,⋯上⾯利⽤母函数求递推关系的序列，构建序列和母函数有座桥：11−x=1+x+x2+⋯。
母函数与递推关系
归纳法 计算这个数列前几项:
1, 3, 7, 15, 31, … 看起来有点象
hn=2n-1, n=1,2,… 根据递归关系(3.3)用归纳法即可证之.
8
例2 (Fibonacci问题): Fibonacci数列是递推关系的又一典型
问题, 数列的本身有着许多应用. (1) 问题的提出：假定初生的一对雌雄兔
14
母函数把数列的所有成员用一种非常 巧妙的方法联系在一起, 虽然这样做并 不一定能得到数列的简单公式, 可是也 许能够给出一个幂级数和的简单公式, 展开这个和函数, 所得到的幂级数的系 数就是我们所要找的数列.
比如我们学习到的Fibonacci 数列, 它 满足一个递归关系
Fn+1=Fn+Fn-1 (n>2; F1=F2=1).
《图论与组合优化》
第四讲
母函数与递归关系
1
例1(Hanoi塔问题)：n个圆盘依其半径大 小, 从下而上套在柱A上, 如图3.1所示. 每次只允许取一个转移到柱B或C上, 而且不允许大盘放在小盘上方. 若要求 把A上的n个盘转移到C柱上. 请设计一 种方法, 并估计要移动几个盘次. 现在 只有A, B, C三根柱子可供使用.
子, 从出生的第2个月之后每个月都可 以生出另外一对雌雄兔. 如果第1个月 只有一对初生的雌雄兔子, 问n个月之 后共有多少对兔子？
9
1月 2月 3月 4月
10
(2) 求递推关系: 设满n个月时兔子对数 为Fn, 其中当月新生兔数目设为Nn对. 第n-1个月留下的兔子数目设为Qn对. Fn= Nn+ Qn.
6
(2) 算法分析：令hn表示n个圆盘所需要 的转移次数. 根据算法先把前面n-1个 盘子转移到B上; 然后把第n个盘子转 移到C上; 最后再一次将B上的n-1个盘 子转到C上.
组合数学第二章母函数与递推关系习题解答
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不 相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k ) 。 （a）求 f (n, k ) 的递推关系。 （b）用归纳法求 f (n, k ) 。
（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且 k) 不相邻的k个数的方案数为 g (n,，利用 求 f (n, k ) 。g (n, k ) 解：...
（b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fm n 2 Fm n 6 Fm n 10 Fm n 1 当n是奇数， Fm n 2 当n是偶数。 m n 2. （d）证明( Fm , Fn ) F( m , n ) , (m, n) 为m,n
100
解：...
23. 求
Sn Sn
解：...
k 0 n
k (k 1),
n
Sn
k 0
k (k 2),
n
k 0
k (k 1)(k 2).
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
解：...
1 AB : AD (1 5) 作 C1B1 使得 2 AB1C1D 是一正方形。试证矩形 B1C1CD 和 ABCD 相似。试证继续这过程可得
递归与母函数
= [C(m+ n,0) + C(m+ n,1)x ++ C(m+ n, m+ n)xm+n
比较等号两端项对应系数, 比较等号两端项对应系数,可得一等式 C(m + n, r) = C(m,0)C(n, r) +
C(m,1)C(n, r 1) ++ C(m, r)C(n,0)
相关公式
令r=n,则, ,
解的分析
从x4的系数可知,这8个元素中取4个组合,其组合数为 10.这10个组合可从下面展开式中得到
2 3 2 2 3 (1+ x1 + x1 + x1 )(1+ x2 + x2 )(1+ x3 + x3 + x3 ) 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 = [1+ (x1 + x2 ) + (x1 + x1x2 + x2 ) + (x1 + x1 x2 + x1x2 ) + (x1 x2 + x1 x2 ) + x1 x2 ] 2 3 (1+ x3 + x3 + x3 )
母函数
x2项的系数 1a2+a1a3+…+ an-1an 中所有的项包括 个 项的系数a 中所有的项包括n个 元素a 两个组合的全体 元素 1 , a2 , …,an中取两个组合的全体;同理项系 中取两个组合的全体; 数包含了从n个元素 个元素a 中取3个元素组合 数包含了从 个元素 1 , a2 , …,an 中取 个元素组合 的全体.以此类推. 的全体.以此类推. 若令a 项系数a 若令 1=a2= …=an=1,在 x2项系数 1a2+a1a3+…+ an1 中每一个组合有1个贡献,其他各项以此类推. 1an中每一个组合有1个贡献,其他各项以此类推. 故有: 故有:
组合数学 第2章 母函数
第二章 母函数及其应用问题：对于不尽相异元素的部分排列和组合，用第一章的方法是比较麻烦的（参见表2.0.1）。
新方法：母函数方法，问题将显得容易多了。
其次，在求解递推关系的解、整数分拆以及证明组合恒等式时，母函数方法是一种非常重要的手段。
母函数方法的基本思想是把离散的数列同多项式或幂级数一一对应起来，从而把离散数列间的结合关系转化为多项式或幂级数之间的运算。
2.1 母 函 数（一）母函数（1）定义定义2.1.1 对于数列{}n a ，称无穷级数()∑∞=≡0n nnxax G 为该数列的（普通型）母函数，简称普母函数或母函数。
（2）例例2.1.1 有限数列C (n ,r )，r ＝0,1,2, …,n 的普母函数是()nx +1。
例2.1.2 无限数列{1，1，…，1，…}的普母函数是+++++=-nxx x x2111（3）说明● n a 可以为有限个或无限个； ● 数列{}n a 与母函数一一对应，即给定数列便得知它的母函数；反之，求得母函数则数列也随之而定；例如，无限数列{0，1，1，…，1，…}的普母函数是 +++++n x x x 20＝xx -1● 这里将母函数只看作一个形式函数，目的是利用其有关运算性质完成计数问题，故不考虑“收敛问题”，而且始终认为它是可“逐项微分”和“逐项积分”的。
（4）常用母函数（二）组合问题（1）组合的母函数定理2.1.1 组合的母函数：设{}m m e n e n e n S ⋅⋅⋅=,,,2211 ,且n 1＋ n 2＋…＋ n m ＝n ，则S 的r 可重组合的母函数为()x G ＝∏∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mi n j ji x 10＝∑=n r r r x a 0 (2.1.1) 其中，r 可重组合数为rx 之系数r a ，r ＝0,1,2, …,n .定理2.1.1的最大优点在于：● 将无重组合与重复组合统一起来处理；● 使处理可重组合的枚举问题变得非常简单。
母函数与递推关系
例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
aan1
an1 1,
2an2 a2 2
母函数与递推关系
利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中 经常用到，举例说明如下：
例一. Hanoi Tower（河内塔）问题：n个圆盘 依其半径大小，从下而上套在A柱上，如下图 示。每次只允许取一个移到柱B或C上，而且不 允许大盘放在小盘上方。若要求把柱A上的n个 盘移到C柱上请设计一种方法来，并估计要移动 几个盘次。现在只有A、B、C三根柱子可用。
A
B
C
母函数与递推关系
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计 算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。
算法：n = 2时 第第最到一二后此步步把转先把B移把上下完最的面毕上圆的面盘一的移个一到圆个C盘上圆移盘到套C上在B上
1
(1 x)(1 x)2
1 4
2
(1
x)2
1 1
x
1 1
x
母函数与递推关系
由 1
xn两边求导数得
1 x n0
1
(1 x)2
nxn1
n1
(n 1)xn
n1
于是
f
(x)
1 4
2 n0
(n
1)x n
n0
xn
n0
(1)n
x
n
2n 3 (1)n xn
n0
4
母函数与递推关系
1 4x 8x2 11x3 11x4 8x5 4x6 x7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为
f ( x) [1 x x2 ][1 x2 ( x2 )2 ( x2 )3 ]
组合数学第二章母函数与递推关系习题解答剖析
II 当n为奇数时
由I的讨论知， ar 比ar3 多了a+b-c=1
的三角形。
而这种三角形可知
a b n1 2
当 n 1 能被2整除时，这种三角形有 n 1
个2
2
当 n 1 不能被2整除时，这种三角形有
2 n 1 个
2
n1
an
an3
n (1) 4
2
(2)
n1
n1
an
an3
[ n (1) 8
x10系数即为所求。
4. 题目 解：A、B、C、D组成的全排列数为
P (1 x x2 )4 1! 2!
e4x
出现A后，其后续字母必为A、B、C、D
中的一个，其概率相等。
P
(1
x
)3
[1
3
x
(
3 4
x)2
]
1!
4
2!
e3x
3x
e4
15 x
e4
AB至少出现一次的排列为
P
P
P
e4x
特征方程为 x2 x 1 0
x1
1 2
5,
x2
1 2
5
设 Ax1n Bx2n
代入得
A
B
5 5
3
10 3
5 5
10
an
53 10
5 (1 2
5)n 5 3 10
5 (1 2
5)n
20. 题目 解：
设所求为 an
则 an (n 1)an1 (n 1)an2
21. 题目 解：
x
2
1 x 6
ln(G ( x))
ln
母函数与递推关系
2 3 4 5 6 7
母函数与递推关系
例 求用1元和2元的钞票支付n元的不同方式数。 解：设所求不同方式数为an,则由题设可得{an}的 母函数为 f ( x ) [1 x x 2 ][1 x 2 ( x 2 )2 ( x 2 )3 ] 1 1 1 x 1 x2 1 (1 x )(1 x ) 2
1 2
1 (a b c ) x ( a ab ac b bc c ) x
2 3 2 2 2 2 2 2 2
( a a b ab a c ac abc b b c bc c ) x ...
3 2 2 3 3
母函数与递推关系
母函数与递推关系
算法复杂度为：
h(n) 2h(n 1) 1, h(1) 1
2 3
(*)
H ( x ) h(1) x h(2) x h(3) x ,(**) H(x)是序列 h(1), h(2), h(3), 的母函数。给
定了序列，对应的母函数也确定了。反过来也 一样，求得了母函数，对应的序列也就可得而 知了。当然，利用递推关系(*)式也可以依次求 得 h(2), h(3), ，这样的连锁反应关系，叫做递 推关系。
所以
5 4 1 an , n 1, 2,... 4
n n
母函数与递推关系
§2 递推关系
定义：设(a0,a1,…,an,…)是一个序列，把该序列 中 an 与它前面几个ai(0≤i<n)关联起来的方程称 为递推关系。序列中的一些已知条件称为初始 条件。 例如
an an1 nan2 , an 3an1 n 1
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4 2 6 24 6
24
k 5 k ( k 5 )( k 4 ) 6 24 k 24 x x x x k! k 0 k 0 k
2
k
a0 (a0 a1 ) x (a0 a1 a2 ) x
k k k
(a0 a1 a2 ak ) x k
a0 x a1 x x ak x x k
k 0 k 0
2
k 0
A( x ) a0 a1 x a2 x ak x x k 0 1 x
l l 1 l 2
) / x
l l 1
( A( x) a0 a1 x a2 x al 1 x ) / x
2
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l
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2.2 母函数的性质
性质3 若 bk ai，则
i 0
k
B( x ) bk x
k 0
A( x ) B( x ) 1 x
2 n
n1
C (n,1) 2 2 C (n,2) x n 2C (n, n) x n1 n(1 x ) n1 n(n 1) x (1 x ) n2 C (n,1) 2 2 C (n,2) n 2C (n, n) n2 n1 n(n 1)2 n2 n(n 1)2 n2
22
2.2 母函数的性质
性质5 若 bk kak ，则 B( x ) xA( x ) 证
d k A ( x) ak x dx k 0 d k ak x kak x k 1 k 0 dx k 1
k k 0 k 0
第2章 母函数与递推关系
2.1 母函数的引入
母函数是求解计数问题的一个强有力的工具。 其中心思想是：将一个有限或无限序列
a0 , a1 , a2 ,, an ,
与一个函数项级数 G ( x ) anun ( x ) n 0 联系起来，使得我们可以通过用解析的方法研究 G(x)来得到序列 a0 , a1 , a2 ,, an , 的一些性质。
l l 1
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2.2 母函数的性质
性质2 若 bk ak l ，则
k B( x ) A( x ) k a x 0 k
l 1
xl
证
B( x) b0 b1 x b2 x 2 bl 1 x l 1 bl x l bl 1 x l 1 al al 1 x al 2 x 2 (al x al 1 x al 2 x
n
例 序列 C (n,0), C (n,1),...,C (n, n) 的母函数为
C (n,0) C (n,1) x C (n, n) x (1 x)
n
n
例 序列 1,1,…,1,…的母函数为
1 1 x x 1 x
n
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3
2.1 母函数的引入
bk ak l , k l
l B ( x ) x A( x) 则
B( x) b0 b1 x b2 x 2 bl 1 x l 1 bl x l bl 1 x l 1
0 0 0 a0 x a1 x l l x (a0 a1 x ) x A( x)
若我们已知某个序列的母函数，通常可通过对母函 数的操作得到该序列的一些重要性质。
例 对等式
C (n,0) C (n,1) x C (n, n (n,2) x nC (n, n) x n1 n(1 x)n1
最常用的函数项级数：
G ( x ) an x n
n 0
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xn G ( x ) an n! n 0
2
2.1 母函数的引入
定义2.1 对于序列 a0 , a1 ,, an , ，称函数
G( x) a0 a1 x an x 为序列 a0 , a1 ,, an , 的母函数。
A( x ) (1 rx )(1 wx )(1 yx)
1 (r w y) x (rw ry wy ) x (rwy ) x
2
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3
6
2.1 母函数的引入
若只对组合方案的个数感兴趣, 则置 r w y 1 可得组合方案的个数的母函数 2 3 A( x) (1 x)(1 x)(1 x) 1 3 x 3 x x 一般n个不同的元素的组合个数的母函数为
xA( x ) kak x bk x k B( x )
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2.2 母函数的性质
ak 1 x 性质6 若 bk ，则 B( x ) 0 A( x )dx 。 k 1 x
(1 x) C (n,0) C (n,1) x C (n, n) x
n
n
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2.1 母函数的引入
当元素允许重复时,上面的结果可直接推广
例2.2 有红球两只，白、黄球各一只，试求有多少 种不同的组合方案？ 解 所求组合方案的母函数为
A( x) (1 rx r x )(1 wx)(1 yx)
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2.2 母函数的性质
几个常见的母函数： (1) (2)
1 2 n 1 x x x 1 x
1 1 1 2 (1 x ) 1 x 1 x (1 x x 2 x n )(1 x x 2 x n ) 1 2 x 3 x (n 1) x
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2.2 母函数的性质
(1 x )
n
n k k ( x ) k 0
n( n 1)( n k 1) ( x )k k! k 0
n( n 1)( n k 1) k x k! k 0
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2.2 母函数的性质
得
k 5 24 ak 0,当k 24时，ak , k 24 k 24
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2.1 母函数的引入
定理1.2 在n个不同的元素中取r个进行组合， C (n r 1, r ) 若允许重复，则组合数为 。
k
A(1) x a0 x x ak 1 x x k
k k k k 0 k 0 k 0
A(1) a0 x a1 x ak 1 x x k
2 k
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A(1) xA( x )
1 x
k 0
1 3 x 4 x2 3 x3 x4
所求组合方案数为：1+3+4+3+1=12
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2.1 母函数的引入
例2.3 某单位有8位男同志，5位女同志。现要组织 一个由偶数个男同志和数目不少于两个的女同志组 成的小组，试求有多少种组成方式？ 解 所求组成方式数序列的母函数为
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2.1 母函数的引入
通常序列 a0 , a1 ,, an , 与某个问题序列 P0 , P1 ,, Pn ,
的计数问题相对应，若已知序列的母函数，则可确 定该序列，从而可以解决相应的计数问题。
例 有红、白、黄球各一只，试求有多少种不同的 组合方案？
解 所求组合方案的母函数为
k k
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2.2 母函数的性质
性质4 若
ak 收敛， bk ai ，则 k 0
i k
A(1) xA( x ) B( x ) 1 x
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2.2 母函数的性质
B( x ) bk x k
k 0
A(1) ( A(1) a0 ) x ( A(1) a0 a1 ) x 2 ( A(1) a0 a1 ak 1 ) x
C ( x) 3 4 5 2 4 5 ,3 ) x C ( 5 ,4 ) x C ( 5 , 5 ) x8 ) (1 2 8 x 7 0 x 5 2 2 (81 C (8,2)9 x C (8,8) x )(C (5,2) x C (5,5) x ) 0 x 3 5 02 x 4 6 8 2 3 4 5 (1 28 x 70 x 28 x x )(10 x 10 x 5 x x )
2 n
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2.2 母函数的性质
(3)
1 (1 x ) n n(n 1) 2 n(n 1)(n k 1) k 1 nx x x 2! k!
(4) 牛顿二项式公式：
k (1 x ) ( x ) k k 0
再令x=1便得
C (n,1) 2C (n,2) nC (n, n) n2