向量减法运算及其几何意义(教学设计)

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向量减法运算及其几何意义,向量的数乘运算及其几何意义教案

向量减法运算及其⼏何意义,向量的数乘运算及其⼏何意义教案§2.2.2向量减法运算及其⼏何意义⼀．知识点梳理1．⽤“相反向量”定义向量的减法：1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、⽅向相反的向量记作 -a2?规定：零向量的相反向量仍是零向量，且-(-a ) = a 。

任⼀向量与它的相反向量的和是零向量即a + (-a ) = 0。

如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法2．⽤加法的逆运算定义向量的减法：若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b3减法的三⾓形法则：在平⾯内取⼀点O ，作OA = a , OB = b , 那么连接两个向量的终点并指向被减向量⽅向的向量就是两个向量的差向量. 即a - b 可以表⽰为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1?AB 表⽰a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数.4.向量减法运算的记忆⼝决：共起点，连终点，⽅向指向被减数（⽅向由后指前）5.向量减法与向量加法的⽐较：（1）加法：⾸尾相连，从头指尾（前向量的头指向后向量的尾）（2）减法：共起点，连终点，⽅向指向被减数 6.向量减法的字母公式：CB AC AB =-⼆．例题讲解例1.已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d解：在平⾯上取⼀点O ，作OA = a , OB = b , OC = c , OD = d ,作BA, DC, 则BA= a-b, DC= c-d例2.已知，在平⾏四边形ABCD中，aAD=，⽤a，b表⽰向量AC、AB=，bDB解：由平⾏四边形法则得： D CAC= a + b,DB= ADAB- = a-b bA aB 例3.若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是( )A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C点评:此题可直接应⽤重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.三．课堂练习1. 如下图所⽰，已知⼀点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于( )A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c解析:如图5,点O到平⾏四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B2 判断题:(1)若⾮零向量a与b的⽅向相同或相反,则a+b的⽅向必与a、b之⼀的⽅向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是⼀个三⾓形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.解:(1)a与b⽅向相同,则a+b的⽅向与a和b⽅向都相同;若a与b⽅向相反,则有可能a与b互为相反向量,此时a+b=0的⽅向不确定,说与a、b之⼀⽅向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,⽽此时构不成三⾓形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表⽰以a和b为邻边的平⾏四边形的两条对⾓线的长,其⼤⼩不定.当a 、b 为⾮零向量共线时,同向则有|a +b |>|a -b |,异向则有|a +b |<|a -b |; 当a 、b 中有零向量时,|a +b |=|a -b |. 综上所述,只有(2)正确.四.内容⼩结本节我们学习的内容如下： 1.相反向量的概念 2.向量减法的定义 3.向量减法的运算法则§2.2.2向量的数乘运算及其⼏何意义教学⽬标：1.向量的数乘运算的概念 2.向量的数乘运算法则 3.向量的数乘运算的⼏何意义 4.平⾯向量基本定理教学重点：1.向量的数乘运算法则 2.向量的数乘运算的⼏何意义教学难点：平⾯向量基本定理的理解与运⽤⼀．知识点梳理1.向量的数乘运算定义：规定⼀个实数λ与向量a 的积是⼀个向量，这种运算叫做向量的数乘运算记作λa. 它的长度和⽅向规定如下：（1）|λa|=|λ||a|. （2）0λ>时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0λ<时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；特别地，当0λ=或0a = 时，0λa =.2.运算律：设a 、b为任意向量，λ、µ为任意实数，则有：（1）()λµa λa µa +=+ ；（2）()()λµa λµa = ；（3）()λa b λa λb +=+.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。

向量减法及其几何意义教案

向量减法及其几何意义教案教学目标：1. 理解向量减法的概念及其几何意义。

2. 学会用坐标表示两个向量的减法运算。

3. 掌握向量减法的性质和运算法则。

教学内容：第一章：向量减法概念1.1 向量减法的定义：两个向量a和b，它们的减法运算定义为a b，表示从向量b的起点出发，到达向量a终点的向量。

1.2 向量减法的几何意义：向量减法表示从向量b的起点出发，到达向量a终点的向量。

第二章：坐标表示2.1 二维空间中的向量减法：设向量a = (x1, y1)，向量b = (x2, y2)，则向量a b = (x1 x2, y1 y2)。

2.2 三维空间中的向量减法：设向量a = (x1, y1, z1)，向量b = (x2, y2, z2)，则向量a b = (x1 x2, y1 y2, z1 z2)。

第三章：向量减法的性质3.1 交换律：对于任意两个向量a和b，有a b = b a。

3.2 结合律：对于任意三个向量a、b和c，有(a b) c = a (b + c)。

第四章：向量减法的运算法则4.1 分配律：对于任意向量a、b和实数λ，有λ(a b) = λa λb。

4.2 反向量：对于任意向量a，存在其反向量-a，使得a + (-a) = 0。

第五章：应用举例5.1 利用向量减法求解几何问题：举例：在平面直角坐标系中，已知向量A = (3, 4)，向量B = (1, 2)，求向量A B。

5.2 利用向量减法求解物理问题：举例：一个物体在t = 0时刻的速度向量为V0 = (10, 0)，在t = 2s时刻的速度向量为V2 = (8, 6)，求物体在t = 2s时刻的加速度向量。

教学评价：通过本章学习，学生应能理解向量减法的概念及其几何意义，会用坐标表示两个向量的减法运算，掌握向量减法的性质和运算法则，并能应用于实际问题中。

第六章：向量减法的图像表示6.1 利用坐标轴绘制向量：通过在坐标轴上绘制向量的起点和终点，可以直观地表示向量减法的几何意义。

向量的减法运算(教学设计)

6.2.2向量的减法运算一、内容和内容解析内容：向量的减法运算．内容解析：本节课先引出相反向量，再类比实数的减法运算，通过相反向量将减法运算转化为加法运算，体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.借助相反向量理解向量减法运算的几何意义，掌握平面向量减法运算及运算规则，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量减法运算及运算规则，并理解其几何意义.（2）理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.目标解析：（1）学生能类比数的减法定义向量的减法，能画图表示两个向量减法的结果．能依据向量减法的定义，并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.（2）研究平面向量的减法运算时，借助与数的运算的类比，如借助与数的运算的类比，定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.基于上述分析，本节课的教学重点定为：向量减法的运算法则及其几何意义.三、教学问题诊断分析1.教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的，学生在做减法运算时，会有一定的困难．解决方案：将减法转化为加法，通过图形刻画其几何意义辅助理解.基于上述情况，本节课的教学难点定为：对向量减法运算法则的理解．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路，因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.五、教学过程与设计类比实数x的相反数对于向量a，你能定义-吗？它有哪些a()-=+-,即减去一a b a b个向量相当于加上这个向量的相反向量.已知向量a和b，教师动手实践理解几何意义a b-的几何意义是什么？[问题4] 能否概括向量减法的作图步骤？[问题5]若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？学生3：动手实践，小组交流，代表展示：如图1，设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB，由向量减法的定义知，()a b a b OA OD OC-=+-=+=．在四边形OCAB中，,OB CA OB CA=，所以OCAB是平行四边形．所以BA OC a b==-．教师4：提出问题4：学生4：如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．教师5：我们也可以通过：“作平移，共起点，两尾连，指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.教师6：提出问题5学生5：如图所示，设OA=a,OB=b,则OC＝a+b，BA＝ab.因为四边形OACB是平行四边形，所以让学生明确向量减法的几何意义．在理解向量减法几何意义的基础上，通过口诀辅助记忆.通过探究让[问题6] 若a，b是不共线的向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义是什么？|a+b|＝OC，|ab|＝BA，分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长.教师7：提出问题6学生6：(1)当向量a,b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|；(2)当向量a,b共线且同向时，前一个等号成立；当向量a,b共线且反向时，后一个等号成立.学生理解向量的减法法则，培养数学抽象的核心素养.巩固法则综合应用例1.(1)在△ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－bD．b－a(2)如图所示，O为△ABC内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，求作向量b＋c－a.教师8：展示例题1．学生7：（1）选B，AB→＝CB→－CA→＝－a－b＝－a＋(－b)．学生8：(2)以OB→，OC→为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，则OD→＝OB→＋OC→＝b＋c，AD→＝OD→－OA→＝b＋c－a.理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．例2.(1)向量MN →可以写成：①MO →＋ON →；②MO →－ON →；③OM →－ON →；④ON →－OM →. 其中正确的是________(填序号).(2)化简：①BA →＋OD →－OA →－BC →；②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →).3.向量加减法的应用例3.如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →.[课堂练习] 1. 化简下列式子： (1)NQ →－PQ →－NM →－MP →； (2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →).教师9：展示例题2．学生9：①MO →＋ON →＝MN →；②MO →－ON →＝－OM →－ON →＝－(OM →＋ON →)≠MN →；③OM →－ON →＝NM →；④ON →－OM →＝MN →，故填①④.学生10：①BA →＋OD →－OA →－BC →＝(BA →－BC →)＋(OD →－OA →)＝CA →＋AD →＝CD →.②(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)＝AC →＋BA →－OC →＋OB →＝AC →＋CO →＋OB →＋BA →＝AB →＋BA →＝0.教师10：展示例题3．学生11：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ，故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c .教师11：布置课堂练习1、2．学生12：完成课堂练习，并订正答案．1. (1)原式＝NP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝NP →－NP →＝0. (2)原式＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法．2.如图所示，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB →； (2)用b ，c 表示DB →； (3)用a ，b ，e 表示EC →； (4)用c ，d 表示EC →.DB →)＝CB →＋BC →＝0.2. (1)DB →＝DE →＋EA →＋AB →＝d ＋e ＋a ＝a ＋d ＋e .(2)DB →＝CB →－CD →＝－BC →－CD →＝－b －c . (3)EC →＝EA →＋AB →＋BC →＝a ＋b ＋e . (4)EC →＝－CE →＝－(CD →＋DE →)＝－c －d .课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．课堂小结[问题7] 通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( )A.MP →B.NP →C.0D.MN →2.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，若|AD →－AB →|＝|BC →－BA →|，教师12：提出问题7．学生13：思考.学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：1.C 2.B 3.AB →4.2师生共同回顾总结:引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习:。

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案一、教学目标1. 让学生理解向量的减法运算概念，掌握向量减法的运算规则。

2. 让学生掌握向量减法的几何意义，能够运用向量减法解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 向量的减法定义：已知两个向量a和b，则向量a减去向量b，记作a-b，其结果是一个向量。

2. 向量减法的运算规则：(1) 交换律：a-b = b-a(2) 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)(3) 分配律：a-(b+c) = (a-b)-c3. 向量减法的几何意义：(1) 表示起点相同，终点不同的两个向量之间的“差”。

(2) 表示从一个向量的终点返回到起点的“反向向量”。

三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的减法定义、运算规则及几何意义。

2. 教学难点：向量减法的运算规则及几何意义的理解和应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。

2. 采用案例分析法，分析实际问题中的向量减法运算。

3. 采用练习法，让学生通过练习巩固向量减法的知识和技能。

五、教学步骤1. 导入新课：回顾向量的基本概念，引导学生思考向量的减法运算。

2. 讲解向量的减法定义、运算规则及几何意义。

3. 分析实际问题，运用向量减法解决问题。

4. 布置练习题，让学生巩固向量减法的知识和技能。

5. 总结本节课的主要内容和知识点，强调向量减法的重要性和应用价值。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对向量减法概念、运算规则及几何意义的理解和掌握情况。

2. 练习题：布置课后练习题，评估学生对向量减法的应用能力。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中的沟通能力和解决问题的能力。

七、教学拓展1. 向量加法与减法的关系：引导学生思考向量加法与减法之间的联系和区别。

2. 向量减法在实际问题中的应用：举例说明向量减法在物理学、工程学等领域的应用。

3. 向量减法的进一步研究：引导学生探讨向量减法的性质和规律，提高学生的研究能力。

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向量减法运算及其几何意义教学设计教学课题简介学科数学教学题目向量减法运算及其几何意义教材普通高中课程标准实验教科书（必修4）一、教学目标1、知识与技能知道相反向量的定义；理解记住向量减法法则及其几何意义；能够用向量减法法则及其几何意义求两向量的差.2、过程与方法通过回顾向量运算与实数运算之间的联系分析归纳相反向量的的定义和向量的减法运算；通过联系向量加法的作图方法观察并归纳向量减法的作图方法和要点，体会向量减法的几何意义.3、情感态度与价值观通过阐述向量减法与数量减法的联系，培养学生类比的数学思想方法；由向量减法向加法的转化，让学生懂得从已知到未知这一转化思想；由作图了解向量减法的几何意义，培养学生作图能力，并从中体会数形结合的数学思想.二、教学重点和难点1．重点：向量减法法则及其几何意义．2．难点：向量减法法则及其作图方法；向量减法几何意义的应用．三、教学方法：互动探究式授课通过引导让学生自主探究，合作交流，体验学习过程中涉及的转化和数形结合的数学思想，类比、观察、分析、归纳等数学方法．四、教学使用工具多媒体教学五、课堂教学过程设计（一）内容引入类比数量加法的意义，我们联系实际了解了向量加法，并学习了向量加法法则和作图方法，那么你能否同样与数量减法相比较得到向量减法法则和其几何意义呢？这就是本节课将要探讨和学习的主要内容．（二）、师生交流温故知新1 回顾、类比、得新知——相反向量问题1你是否还记得刚进初中时学习有理数减法时的减法法则？你能否由此联系思考向量减法的减法法则呢？我们知道，在数量中，减去一个数等于加上这个数的相反数，如果向量减法可以相应的也转化为向量的的加法，那么向量减法对于我们而言就不再是问题了！向量的减法法则，类比一下，可以说，减去一个向量，等于加上什么呢？其实，数有相反数，在向量中，与相反数对应，有“相反向量”这个概念．相反向量：我们规定，与a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作-a.容易知道，将某一方向反转两次，仍然回到原来的方向，故a 与-a 互为相反向量，即-（-a ）=a.（小思考：如果用大写字母表示的有向线段表示向量，如AB ，不画图，你能否直接写出它的一个相反向量？）与数量类似，我们对相反向量有以下结论：（1）我们规定：零向量的相反向量仍是零向量．（2）任一向量与其相反向量的和是零向量．即a +(-a )=(-a )+a =0（3）若a 、b 互为相反向量，则a =-b ,b =-a ,a +b =02 重点讲解向量减法有了相反向量这一概念，我们很容易类比得到向量减法法则：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即a -b =a +(-b )．(小思考：+=-AB CD AB ?)由此，我们将向量减法转化为我们已经学习过的向量加法，那么，你能否结合相反向量和向量加法作图法则画出任意给定的两个向量a 、b 的差a -b?BA OA BO BO OA =(-b)+a =b -a =+=+由此，我们可以观察得到a -b 的作图方法：已知向量a 、b ,在平面内任取一点O ，作OA=a ,OB=b ,则BA=a -b.要点：1.两向量的起点在同一位置；2.差的指向是从被减向量的终点指向减向量的终点．向量减法作图方法：给定两个向量a 、b ，试作图求出a -b . 分析：由运算法则可知：a -b =a +(-b ) a o A -b B a a +(-b ) b bB a o A a -b3 例题讲解巩固知识例1 如图， ABCD 中，AB=a ,AD=b ，你能用a 、b 表示向量AB,CD 吗？解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a +b ;同样，由向量的减法知 DB=AB-AD=a -b思考：联系向量的书写方法，不经过画图，你能否直接写出下列算式的结果？书本87页，练习2：AB-AD=_ BA-BC=_ BC-BA=_ OD-OA=_ OA-OB=_例2解：(1) (AB+MB)+(-OB-OM) =AB+MB+BO+OM=AB+BO+OM+MB=AB(2) AB-AD-DC=DB-DC=CB(3) (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD=AB+CD+CA+BD=AB+BD+DC+CA=0四、课堂小结1.相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a.2.向量减法：减去一个向量等于加上这向量的相反向量a-b=a+(-b)．3向量减法作图要点：两个向量的起点重合；由被减向量的终点指减向量的终点.五、练习练笔巩固新知书本第87页练习1、3《赢在课堂》第40页，例2、迁移与应用课后思考：联系向量加法中，a+b 的大小和方向与a 、b 的关系，尝试归纳总结a-b 的大小和方向与a 、b 的关系．六、板书设计D B C A ab 化简：(1) (AB+MB)+(-OB-OM);(2) AB-AD-DC;(3) (AB-CD)-(AC-BD).§2.2.2向量减法运算及其几何意义1.相反向量：我们规定，与a 长度相等方向 3.向量减法作图要点：相反的向量叫做a 的相反向量， ①两个向量的起点重合；记作-a. ②由被减向量的终点指减向量的终点.2.向量减法：减去一个向量等于加上这向量的相反向量a-b=a+(-b)．.a o A -b B a a +(-b ) b b B a o A a -b。

教学设计3：2.2.2 向量减法运算及其几何意义

2.2.2 向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．三维目标1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．重点难点教学重点：向量的减法运算及其几何意义．教学难点：对向量减法定义的理解．课时安排：1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．推进新课新知探究提出问题①向量是否有减法？②向量进行减法运算，必须先引进一个什么样的新概念？③如何理解向量的减法？④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则，那么，向量的减法是否也有类似的法则？活动：数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义？引导学生思考，相反向量有哪些性质？由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a 和－a 互为相反向量．于是－(－a )＝a .我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 所以，如果a 、b 是互为相反的向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0. (1)平行四边形法则如图1，设向量AB →＝b ，AC →＝a ，则AD →＝－b ，由向量减法的定义，知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .图1又b ＋BC →＝a ，所以BC →＝a －b .由此，我们得到a －b 的作图方法． (2)三角形法则如图2，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义．图2讨论结果：①向量也有减法运算．②定义向量减法运算之前，应先引进相反向量．与数x 的相反数是－x 类似，我们规定，与a 长度相等，方向相反的量，叫做a 的相反向量，记作－a .③向量减法的定义．我们定义a －b ＝a ＋(－b )，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．规定：零向量的相反向量是零向量．④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．提出问题①上图中，如果从a 的终点到b 的终点作向量，那么所得向量是什么？ ②改变上图中向量a 、b 的方向使a ∥b ，怎样作出a －b 呢？讨论结果：①AB →＝b －a . ②略．应用示例例1 如图3(1)，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .图3活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．作法：如图3(2)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d . 则BA →＝a －b ，DC →＝c －d . 变式训练在ABCD 中，下列结论错误的是( ) A.AB →＝DC → B.AD →＋AB →＝AC → C.AB →－AD →＝BD → D.AD →－BC →＝0【解析】A 显然正确，由平行四边形法则可知B 正确，C 中，AB →－AD →＝BD →错误，D 中，AD →－BC →＝AD →＋DA →＝0正确．【答案】C例2 如图4，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示向量AC →、DB →吗？图4活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC →＝a ＋b ，同样，由向量的减法，知DB →＝AB →－AD →＝a －b . 变式训练1．已知一点O 到ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，则向量OD →等于( ) A ．a ＋b ＋c B ．a －b ＋c C.a ＋b －c D ．a －b －c解析：如图5，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别是a 、b 、c ，结合图形有OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋OC →－OB →＝a －b ＋c .图5答案：B2．若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ ②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b|＝|a －b|?③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC →、DB →恰为平行四边形的对角线且AB ＝a ，AD ＝b .图6由平行四边形法则，得AC →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . 由此问题就可转换为：①当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)②当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线相等？(a 、b 互相垂直) ③当边AB 、AD 满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|、|b|相等) ④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟. 例3 判断题：(1)若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a ＋b 的方向必与a 、b 之一的方向相同． (2)△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0.(3)若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A 、B 、C 三点是一个三角形的三顶点． (4)|a ＋b|≥|a －b |.活动：根据向量的加、减法及其几何意义．解：(1)a 与b 方向相同，则a ＋b 的方向与a 和b 方向都相同；若a 与b 方向相反，则有可能a 与b 互为相反向量，此时a ＋b ＝0的方向不确定，说与a 、b 之一方向相同不妥．(2)由向量加法法则AB →＋BC →＝AC →，AC →与CA →是互为相反向量，所以有上述结论． (3)因为当A 、B 、C 三点共线时也有AB →＋BC →＋AC →＝0，而此时构不成三角形．(4)当a 与b 不共线时，|a ＋b|与|a －b|分别表示以a 和b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定．当a 、b 为非零向量共线时，同向则有|a ＋b|>|a －b|，异向则有|a ＋b|<|a －b |；当a 、b 中有零向量时，|a ＋b|＝|a －b |. 综上所述，只有(2)正确．例4 若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[3,8] B ．(3,8) C ．[3,13] D ．(3,13) 【解析】BC →＝AC →－AB →.(1)当AB →、AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3； (2)当AB →、AC →反向时，|BC →|＝8＋5＝13； (3)当AB →、AC →不共线时，3<|BC →|<13. 综上，可知3≤|BC →|≤13. 【答案】C点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b |求解. 变式训练已知a 、b 、c 是三个非零向量，且两两不共线，顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a ＋b ＋c ＝0.证明：已知a ≠0，b ≠0，c ≠0，且两两不共线， (1)必要性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则由假设CA →＝c ，另一方面a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →. 由于CA →与AC →是一对相反向量， ∴有AC →＋CA →＝0，故有a ＋b ＋c ＝0.(2)充分性：作AB →＝a ，BC →＝b ，则AC →＝a ＋b ，又由条件a ＋b ＋c ＝0， ∴AC →＋c ＝0.等式两边同加CA →，得CA →＋AC →＋c ＝CA →＋0.∴c ＝CA →，故顺次将向量a 、b 、c 的终点和始点相连接成一三角形.知能训练课本本节练习课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．作业课本习题2.2 A 组6、7、8.设计感想1．向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a 、b 的差，即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a －b 的箭头方向要指向a ，如果指向b 则表示b －a ，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．。

《向量减法运算及其几何意义》教案5.doc

例：在四边形中，CB + BA + BA =§2. 2.2向量的减法运算及其几何意义教学目标:1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向景，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.E3 x - fi 1. / f, I rt MZ ，I —1 in授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律:解：CB + BA + BA = CB + BA + AD = CD. D A D 二、提出课题：向量的减法1. 用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反1何量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作-a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.-（-a ） = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.，+ （-a ） = 0如果&、力互为相反向量，则a = -b, b = -a, a ♦ b = 0（3）向量减法的定义:向量-加上的1相反向量，叫做』与3的差.即：a - b = a （-方）求两个向量差的运算叫做向量的减法.2. 用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算:若b ♦ x = a,则x 叫做a 与方的差，记作a - b3. 求作差向量：已知向量a 、b,求作向量（a-A ） +8=B + （-6） +b=a+O=* （）a-b作法：在平面内取一点o,T b / 作 OA = a, AB 二 b, 『b “ __________ , _____ . 尸 70 B A B 0 BA b —. a-ba-b~b B 2 ）若 a//b, 如何作出a-b ? 三、例题:例一、（P9 7 例三）已知向量&、 b 、C\ ", 求作向量a-力、c-d.解：在平面上取一点0,作 OA= a, OB = OC = c, OD = d. 例二、平行四边形ABC 。

222向量减法运算及其几何意义教学设计

2．2．2向量减法运算及其几何意义（教学设计）[教学目标]一、知识与能力：1．掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。

2.向量的加法与减法互为逆运算。

二、过程与方法：1．经历向量减法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；2．体会数形结合的数学思想方法.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．教学重点：向量减法定义的理解。

教学难点：向量减法的意义．教学过程：一、复习回顾1、向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：2、在四边形中，CB BA AD++=.二、师生互动，新课讲解：1、用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0如果a、b互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.2、用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b3、求作差向量：已知向量a、b，求作向量a b∵(a b) + b = a + (b) + b = a + 0 = a作法：在平面内取一点O，作= a，= b则= a b即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数A BD CO abBaba b2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b )显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4、探究：１）如果从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是 b a.２）若a ∥b ，如何作出ab ？例题选讲：例1(课本P86例3)已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量ab 、cd .解：在平面上取一点O ，作= a ， = b ， = c ， = d ，作，，则= a b ， = cd变式训练1：判断下列等式是否成立：(1)a+b=b+a ( ) (2)a-b=b-a ( ) (3)0-a=a ( ) (4)-(-a)=a ( ) (5)a+(-a)=0 ()例2（课本P86例4）平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量AC 、DB .O ABa B’b bBa + (b )a bD CABCbad cDOab AABBB’Oab a a bbOAOBab a bBAOb解：由平行四边形法则得：= a + b ， = - = a b变式训练2：（1）当a ， b 满足什么条件时，a +b 与a b 垂直？（|a | = |b |）（2）当a ， b 满足什么条件时，|a +b | = |a b |？（a ， b 互相垂直）（3）a +b 与ab 可能是相等向量吗？（不可能，∵课堂练习（课本P87练习NO ：1；2；3）例3：化简：（1）++；（2）++；（3）-+--。

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案第一章：向量减法运算的概念引入1.1 向量的定义与表示方法介绍向量的基本概念，说明向量是既有大小，又有方向的量。

展示向量的表示方法，如用箭头表示，以及用坐标表示。

1.2 向量的减法定义解释向量减法的概念，即一个向量减去另一个向量的运算。

通过图示和实例说明向量减法的结果是一个向量，其大小和方向与原来两个向量的差有关。

第二章：向量减法的几何意义2.1 向量减法的几何图形表示通过图形（如三角形和平行四边形）展示向量减法的几何意义。

解释向量减法可以看作是从一个向量的起点到另一个向量的终点的位移。

2.2 向量减法与向量加法的联系说明向量减法可以看作是向量加法的逆运算。

通过实例和图示展示向量减法与向量加法之间的关系。

第三章：向量减法的坐标运算3.1 二维和三维空间中的向量减法介绍在二维和三维空间中进行向量减法的坐标运算。

给出二维空间中向量减法的坐标表示公式，并解释其实际应用。

3.2 向量减法的坐标运算规则介绍向量减法的坐标运算规则，如交换减数和被减数的位置，结果不变。

通过实例和练习题让学生熟悉向量减法的坐标运算。

第四章：向量减法的应用4.1 向量减法在几何中的应用介绍向量减法在几何问题中的应用，如计算线段长度、夹角和距离等。

通过图示和实例说明向量减法在几何问题中的重要性。

4.2 向量减法在物理中的应用介绍向量减法在物理学中的应用，如计算物体的速度变化和加速度等。

通过实例和练习题让学生了解向量减法在物理问题中的作用。

第五章：向量减法的练习与巩固5.1 向量减法的练习题提供一些关于向量减法的练习题，包括填空题、选择题和解答题等。

让学生通过练习题巩固对向量减法的理解和掌握。

5.2 向量减法的巩固练习提供一些综合性的练习题，让学生应用向量减法解决实际问题。

通过练习题帮助学生巩固对向量减法的理解和应用能力。

第六章：向量减法的性质与运算规则6.1 向量减法的性质介绍向量减法的几个基本性质，如交换律、结合律和分配律等。

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案第一章：向量减法运算的概念引入1.1 教学目标让学生了解向量减法的概念。

让学生理解向量减法在几何中的意义。

1.2 教学重点与难点向量减法的定义及其表示方法。

向量减法与向量加法的关系。

1.3 教学方法通过图形演示，让学生直观地理解向量减法。

通过例题，让学生掌握向量减法的运算规则。

1.4 教学内容向量减法的定义：向量减法可以看作是向量加法的逆运算，表示为a b，其中a、b是已知向量。

向量减法的表示方法：在坐标表示中，向量减法可以表示为a b = (a1 b1, a2 b2)。

向量减法与向量加法的关系：a b = -(b a)。

第二章：向量减法的几何意义2.1 教学目标让学生了解向量减法在几何中的意义。

让学生掌握利用向量减法解决几何问题的方法。

2.2 教学重点与难点向量减法在几何中的意义。

利用向量减法解决几何问题的方法。

2.3 教学方法通过图形演示，让学生直观地理解向量减法在几何中的意义。

通过例题，让学生掌握利用向量减法解决几何问题的方法。

2.4 教学内容向量减法在几何中的意义：向量减法可以表示为从点A到点B的位移向量减去从点B到点A的位移向量，即表示为从点A到点A的位移向量，即零向量。

利用向量减法解决几何问题的方法：通过向量减法，可以将复杂的几何问题转化为向量运算问题，从而更方便地求解。

第三章：向量减法的坐标运算3.1 教学目标让学生掌握向量减法的坐标运算规则。

让学生能够利用坐标运算求解向量减法问题。

3.2 教学重点与难点向量减法的坐标运算规则。

利用坐标运算求解向量减法问题。

3.3 教学方法通过例题，让学生掌握向量减法的坐标运算规则。

通过练习题，让学生巩固利用坐标运算求解向量减法问题的能力。

3.4 教学内容向量减法的坐标运算规则：在坐标表示中，向量减法可以表示为a b = (a1 b1, a2b2)。

利用坐标运算求解向量减法问题：通过坐标运算，可以求解两个向量的差，即求解向量a减去向量b的结果。

2.2.2向量的减法运算及其几何意义学案

2.2.2向量的减法运算及其几何意义学习目标1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； .学习过程一、课前准备P87）复习：求作两个向量和的方法有法则和法则. 二、新课导学※ 探索新知探究：向量减法——三角形法则问题1：我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？ 1、相反向量：与a r 的向量，叫做a r 的相反向量，记作a -r .零向量的相反向量仍是 . 问题2：任一向量a r 与其相反向量a -r 的和是什么？如果a r 、b r 是互为相反的向量，那么a =r ， b =r ，a b +=r r .1、向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+v v a b 是互为相反的向量，那么v a =____________，v b =____________，+v v a b =____________。

问题3：请同学们利用相反向量的概念，思考()a b +-r r 的作图方法.3、已知v a ，v b ，在平面内任取一点O ，作==u u v v u u v v ,OA a OB b ，则__________=-v v a b ，即-v v a b 可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量v a 的终点到v b 的终点作向量，那么所得向量是________。

这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.※ 例1、阅读并讨论P86例3和例4ABCD 中，下列结论中错误的是( ) A. AB →＝DC → B. AD →＋AB →＝AC→ C. AB →－AD →＝BD → D. AD →＋CB→＝例2、在△ABC 中，O 是重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，化简下列两式： ⑴CB CE BA -+u u u r u u u r u u u r ；⑵OE OA EA -+u u u r u u u r u u u r .变式：化简AB FE DC ++u u u r u u u r u u u r .三、小结反思1、向量减法的含义；2、求两向量的差； -起点，终点和指向。

3向量的减法运算及其几何意义

课题向量的减法运算及其几何意义课型新授课课时 1课时学习目标1.了解相反向量的概念；2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物间可以相互转化的辩证思想.教学过程与内容随堂手记自主学习1．相反向量 2.向量的减法合作探究例1.已知向量a 、b ，求作向量a - ba aab a b b b(1) （2） (3) (4)定义如果两个向量长度，而方向那么称这两个向量是相反向量规定零向量的相反向量仍是性质1()______0_____a --=-=（）(2)()_____()______a a a a +-=-+= (3),____,____,___a b a b a b ==+=如果互为相反的向量,那么定义a －b ＝，即减去一个向量相当于加上这个向量的_________作法在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则向量a －b ＝_____.如图所示口诀结论：练习：1.若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)2.已知|a |＝7，|b |＝2，且a ∥b ，则|a －b |＝________. 例2.填空_____;______;______;AB AD BA BC BC BA -=-=-=______;______.OD OA OA OB -=-=结论：练习：1.化简AB →＋DA →－DB →－BC →－CA →的结果是________．2．化简以下各式：结果为零向量的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 ①AB →＋BC →＋CA →； ②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →； ④NQ →＋QP →＋MN →－MP →. 例3.平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ，用a 、b 表示向量AC 、DB .变式一：当a ，b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？变式二：当a ，b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？变式三：a +b 与a -b 可能是相等向量吗？练习.已知向量b a ,满足：5,3=-=+=b a b a a ，求b 例4.如图，在正六边形ABCDEF 中，O 为中心，若OA →＝a ，OE →＝b ，(1)用向量a 、b 表示向量OB 、EA 、OC 、OD 、BD 和AC .(2)若该正六边形边长为1，求|a+b|，|a -b| .A BD C练习：如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求OD →.巩固提高1.如图，已知向量a 、b 、c 不共线，求作向量a ＋b －c .2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →3．已知OA →＝a ，OB →＝b ，|OA →|＝5，|OB →|＝12，∠AOB ＝90°，则|a －b |＝_____.( )A ．7B ．17C ．13D ．84.O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设OA =a ， OB =b ， OC =c ， OD =d ，则（） A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =05．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＝PC →，下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在△ABC 的外部6．已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA →－OC →＋CD →相等的向量有________．①CF →；②AD →；③DA →；④BE →；⑤CE →＋BC →；⑥CA →－CD →；⑦AB →＋AE →.7.已知非零向量b a ,方向相同，下列说法：①b a -与b a +共线；②b a -与a 同向；③课后反思b a -与b a ,中模较大的向量同向；④b a -可能与b 不平行，其中正确的序号为__________ 8.化简：SP PS QP OP ++-=________OM BC BO MB AB ++++)()(=___________9.在边长为1的正方形ABCD 中，设a AB =，b BC =，c AC =，则c b a ++=_______,c b a +-=________,a b c --=________10.如图所示，解答下列各题：(1)用a 、d 、e 表示DB →；(2)用b 、c 表示DB →； (3)用a 、b 、e 表示EC →；(4)用c 、d 表示EC →.11．已知非零向量a 、b 满足|a |＝7＋1，|b |＝7－1，且|a －b |＝4，求|a ＋b |的值．（课外探究）1.已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，求|a ＋b |的值． 2.已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且)()(OA OC OA OB OC OB -+-=- 则ABC ∆的形状是__________。

高中数学-向量减法运算及其几何意义-教学设计

《向量的减法运算及几何意义》的教学设计教学目标知识目标：1.掌握相反向量的概念及其在向量减法中的作用2.掌握向量的减法，会作两个向量的差向量，并理解其几何意义3.会求两个向量的差能力目标：培养学生的类比思想、数形结合思想及化归思想情感目标：通过引导学生自主探索，培养学生的自学能力，激发学生学习热情，提高学生的学习积极性及主动性教学重点和难点教学重点：向量减法的运算和几何意义教学难点：减法运算时差向量方向的确定教学方法及教学手段教学方法：类比法、探究法、讲练结合教学手段：采用多媒体与学案相结合，提高课堂的利用率。

教学过程【自学探究】（一）回顾旧知通过提问，复习上节课所学内容（三角形法则：首尾相接连端点。

四边形法则：起点相同连对角及向量加法法则） 1．已知→a ，→b 求作→a +→b(用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？)引出疑问——加与减是对立统一的两个方面，既然向量可以相加，那么，两个向量可以相减呢设计意图：通过对上节课所学知识的复习，为本节课的学习打下基础。

并自然引出本节课所研究的内容。

（二）引入新课问题1（1）某人从A 点向正东方向前进10m 到B 点，再从B 点向正西方向前进10m ，则这个人的位移是多少？（2）作出下列向量，请回答它们之间有何关系?→a 表示向东走10km,→b 表示向南走5km,→c 表示向西走10km,→d 表示向北走5km总结：（1）利用向量的加法解释这个人的位移是多少？（2）?d c 有何关系与有何关系？与→→→→b a(3)相反向量的定义是→a 的相反向量表示为 →0的相反向量是。

引出相反向量的定义：与→a 长度相同、方向相反的向量.记作 -→a规定：零向量的相反向量仍是零向量.1、若向量 →a ,→b 是互为相反向量,那么 →a 与→b 满足什么关系 2、 – （ – →a ) = ________设计意图：与实际生活相联系，让学生体会数学在实际生活中的重要地位。

6.2.2向量的减法运算教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

2. 向量的减法运算性质：
- 交换律：a-b = b-a
- 结合律：(a-b)-c = a-(b-c)
- 分配律：(a+b)-c = a-c+b-c
3. 向量的减法几何意义：
- 从一点到另一点的位移向量的相反向量
4. 向量的减法运算的应用：
- 解决实际问题，如物理学中的速度变化、几何中的向量差等。
板书设计应条理清楚、重点突出、简洁明了，以便于学生理解和记忆。同时，板书设计应具有艺术性和趣味性，以激发学生的学习兴趣和主动性。例如，可以使用不同颜色或符号来区分不同的知识点，或者使用图形来表示向量的减法运算。通过这样的设计，学生可以更容易地理解和记住向量减法的基本概念和运算性质，并能够将它们应用于解决实际问题。
6.2.2 向量的减法运算教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、教学内容
本节课的教学内容来自于2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册，第6.2.2节“向量的减法运算”。本节课主要讲解向量的减法运算概念、法则及其几何意义。内容包括：
这些知识点是本节课的核心内容，也是学生需要重点理解和掌握的。通过对比加法运算，学生可以更好地理解减法运算的性质和应用。同时，通过大量的练习题，学生可以加深对向量减法运算的理解，并能够熟练地运用它来解决实际问题。
七、板书设计
1. 向量的减法定义：
- 三角形法则：a-b = c
- 平行四边形法则：a-b = d
我也意识到，课堂上的互动和讨论不够充分。学生们在课堂上大多时候是被动接受的，缺乏主动思考和交流的机会。这对于他们的数学思维能力和创新能力的培养是不利的。我需要在未来的教学中，更多地设计一些小组讨论和互动环节，激发他们的思考，培养他们的合作交流能力。

〖2021年整理〗《向量的减法运算及其几何意义》优秀教案

向量减法运算及其几何意义（名师：沈家俊）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握向量的减法运算及其几何意义，会根据向量减法的法则的几何意义进行代数与图形之间的转换，在数学抽象与具象的转化过程中体会数形结合的思想（二）学习目标1．理解相反向量的概念，通过类比实数的运算理解向量减法的定义，并掌握作两个向量的差向量的方法，体会类比的数学思想．2．掌握向量减法的几何意义并明确向量加减法的内在联系，体会转化、数形结合的数学思想方法3．通过学习使学生经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题，提高分析实际问题的能力，增强数学应用意识（三）学习重点1．向量减法运算的定义．2．向量减法运算的三角形法则与平行四边形法则．3．差向量的作法．（四）学习难点1．向量减法运算的定义的理解．2．向量减法的运用．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第96页至第97页，填空：①与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为-a，零向量的相反向量是零向量②向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a-b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法③向量减法的几何意义是a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量（a,b起点相同）（2）写一写：--a=a,a-a=a-a=02．预习自测（1）下列等式中正确的个数是（）①a-0=a；②ba=ab；③--a=a；④a-a=0；⑤a-b=a-b答案：D解析：【知识点】向量的减法运算【解题过程】①②③④⑤均正确点拨：明确向量减法的定义（2）在△ABC中，a,b则等于（）b-bb答案：D解析：【知识点】向量减法法则【解题过程】AB AC BC=-=b-a=-ab点拨：明确向量减法法则（3）非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是=n=-nC|m|=|n|D方向相反答案：A解析：【知识点】相反向量的概念【解题过程】非零向量m与n是相反向量，则长度相等，方向相反，则有m=-n，|m|=|n| 点拨：明确相反向量的概念（4）设a表示向西走10m,b表示向北走m,则a-b表示（）A南偏西30°走2021B北偏西30°走2021C南偏东30°走2021D北偏东30°走2021【知识点】向量减法运算的三角形法则【数学思想】数形结合思想【解题过程】作出差向量a-b，由图知，a-b表示南偏西30°走2021点拨：作两个向量的差向量要注意起点要重合、箭头指向的是被减向量的终点答案：A二课堂设计1．知识回顾（1）向量加法的概念：已知向量a,b在平面内任取一点A,作a,b,则向量叫做a与b的和,记作ab,即：ab=+AB BC AC（2）向量加法的三角形法则与平行四边形法则：（3）向量加法的运算律：①交换律：ab=ba ②结合律：abc=abc2．问题探究探究一向量减法的定义★●活动①结合生活实例，归纳提炼相反向量的概念我们知道，在实数运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数类比相反数，我们在学习向量减法时，是否也有这样的相反的向量呢？生活情境一：一架飞机由重庆到北京,再由北京返回重庆,飞机的两次位移分别是什么？生活情境二：在物理学中我们学习过作用力与反作用力的概念，是如何定义的呢？两个情境中涉及的两个量，具有怎样的关系呢？大小相等，方向相反满足这样特点的两个向量，我们就把它称作相反向量a的相反向量怎样用数学符号表示？-a【设计意图】问题从类比减法运算方法的提出，为学生研究向量减法运算提供了思考方法，同时从生活、物理学情境引入新知可以激发学生的学习兴趣教学过程中，相反向量的定义由学生自己发现并总结●活动②用相反向量定义向量的减法思考1：-a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？- -a=a规定：零向量的相反向量仍是零向量思考2：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数据此原理，向量a-b可以怎样理解？定义：a-b＝a-b并强调：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量【设计意图】遵循数学研究问题的一般规律，即用已知的相反向量定义来探究未知，让学生自己发现问题并解决问题●活动③用加法的逆运算定义向量的减法我们知道，实数的减法是加法的逆运算，即如果实数a,b,,满足b=a,那么叫做a与b的差，记=a-b,类似的，向量的减法运算该如何定义？对于向量a，b，c，若ac＝b，则c=b－a，c叫做a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法【设计意图】通过类比实数的减法运算得到向量减法的定义，体现了数学学习中由已知探索未知的转化过程探究二向量减法的几何意义★▲●活动①向量减法运算的三角形法则思考1：如果向量a与b同向，如何作出向量a－b？思考2：如果向量a与b反向，如何作出向量a－b？思考3：设向量a与b不共线，设=a, =b,探究：如何作出a-b？差向量a-b的“箭头”指向有何特点？根据结论能否直接求a-b-=如图,作=a, =b,则a-b表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，a-b=OA OB BA作两个向量的差时，需要三个步骤：①将两个向量平移，使它们的起点重合；②将两个向量的终点相连；③差向量指向被减向量概括为：作平移，共起点，两尾连，指被减【设计意图】从研究两向量共线时的几何意义到不共线的情况，让学生体会从特殊到到一般、分类讨论的数学思想●活动②向量减法的平行四边形法则如图，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，知＝a＋－b＝a－b又b＋＝a，所以错误!()()()().AB DB BC DC AB BC DB DC AC CB AB ++-=++-=+=+AB BC CA ++OA OC BO CO ++AB AC BD CD -+-+-NQ QP MN MP ++=+AB BC CA AC CA +=+=()()OA OC BO CO CO OA BO OC CA BC BA +++++=+==AB AC BD CD CB BC -+-+=+-=NQ QP MN MP NP PN ++=|+|||AB AD AB AD =-|+|||AB AD AB AD =-||||AC DB =A B B A⇒⇒且||=||AC BD AB AD ⇔⇔⊥⇔,,,BD BC BE CD CE 及=CD AE ==BC AC AB -==BE AE AB -==CE AE AC -=BD BC CD =+=BD ==CD BA ==+OD OC CD PA PB -BM AM -AM BM -AM BM +PA PB -+=BA BM MA BM AM =-+=+OA OC OB OD =OA OB OD OC --=BA CD ∴=AB BC +,n =-AB BC ,若m ,n 的长度恰好相等，则有（）、B 、C 三点必在同一直线上B △ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶点C △ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D △ABC 必为等腰直角三角形答案：C ．解析：【知识点】向量加减法的几何意义【数学思想】数形结合思想【解题过程】m ==AB BC AC +，n =-AB BC ，如图，延长CB 至D,使得BD =CB,则：n =-=++AB BC AB CB AB BD AD == ，因|m |=|n |,则：||||AC AD =，∴△ABC 是等腰三角形,且点B 为底边DC 的中点,则△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形点拨：利用m ,n 的几何意义求解4如图，向量=a , =b , =c ,则向量可以表示为（）b -ccca -c答案：C解析：【知识点】向量加减法运算与向量的表示．【数学思想】数形结合思想【解题过程】∵=CB AB AC -=a -b , ∴=BD CD CB -=c -a -b =bc -a点拨：熟练掌握向量加减法的运算法则,b 满足|a |=8,|b |=12，则|ab |的最小值为______，|a -b |的最大值为_______答案：4；2021解析：【知识点】向量加减的三角形不等式．【数学思想】数形结合思想【解题过程】根据向量加减的三角形不等式得：| |a |-|b | |≤|a ±b |≤|a ||b |，∴4≤|a ±b |≤2021|ab |最小值是4，|a -b |最大值是2021点拨：利用向量加减的三角形不等式．能力型师生共研6．如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，＝a ，＝b ，＝c ，试求：1|a ＋b ＋c |；2|a －b ＋c |答案：（1）；（2）2解析：【知识点】向量加减法法则【数学思想】数形结合思想【解题过程】 1由已知得a ＋b ＝＋＝，又∵＝c ，∴延长AC 到E ，使||||CE AC =则a ＋b ＋c ＝，且||=22AE ∴|a ＋b ＋c |＝2作＝，连接CF ，则+=DB BF DF ，而=DB AB AD -＝a －＝a －b ，∴a －b ＋c ＝+=DB BF DF 且||=2DF ，∴|a －b ＋c |＝2点拨：掌握向量加减法法则．7若＝a ＋b ，＝a －b①当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？②当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |？③当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？④a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？答案：①|a |＝|b |；②a 、b 互相垂直；③|a |、|b |相等；④不可能，因为对角线方向不同解析：【知识点】向量加减法的平行四边形法则【数学思想】数形结合思想【解题过程】如图，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线且＝a，＝b由平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b由此问题就可转换为：①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？|a|＝|b|②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？a、b互相垂直③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？|a|、|b|相等④a＋b与a－b可能是相等向量吗？不可能，因为对角线方向不同点拨：利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题探究型多维突破8．如图，O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，⊙O为△ABC的外接圆，且()=++，OH m OA OB OC则m=_______答案：1．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】化归思想．【解题过程】作直径BD,连接DA,DC,有OB OD=-,DA⊥AB,DC⊥BC,CH⊥AB,故CH∥DA,AH∥DC,则四边形ABCD是平行四边形，进而AH DC=-=+,则=又DC OC OD OC OB=+=+=++∴m=1OH OA AH OA DC OA OB OC点拨：通过添加辅助线将用OA OB OC,,表示出来自助餐1．化简：()()AC BO OA DC DO OB ++---答案：0解析：【知识点】向量减法的定义【数学思想】化归思想【解题过程】()()()AC BO OA DC DO OB AC BA DC DO OB BC DC DBBD DB ++---=+-++=-+=+=0点拨：利用向量加减法法则化简2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是（）A ．－＝0B ．AD BA AC -=C ．AB AD BD -=D ．AD CB +=0答案：C ．解析：【知识点】向量加减法运算．【数学思想】化归思想．【解题过程】∵＝，∴－＝0，A 正确；∵AD BA AD AB AC -=+=,B 正确；∵AB AD AB DA DB -=+=，C 错误；∵,AD BC AD CB =∴=-,AD CB ∴+=0，D 正确．点拨：掌握向量加减法的运算．3．已知m ,n 满足|m |=2,|n |=3,|m -n |=,则|mn |=______答案：3．解析：【知识点】向量加减法的几何意义【数学思想】数形结合思想【解题过程】由平行四边形的对角线与边的关系及|m -n |与|mn |为以m ,n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,得|m -n |2|mn |2=2|m |22|n |2=26,又|m -n |=,故|mn |2=26-17=9,故|mn |=3点拨：利用向量加减法几何意义及平行四边形对角线与边的关系求解,b ,c 是任意三个向量，求证:|a -b -c |≥||a |-|b |-|c ||答案：见解题过程解析：【知识点】向量加减的三角形不等式【数学思想】转化思想【解题过程】证明：|a -b -c |≥||a -b |-|c ||,又∵|a -b |≥||a |-|b ||,∴|a -b -c |≥||a |-|b |-|c || 点拨：利用向量加减的三角形不等式证明,B,C 是不共线的三点，O 是△ABC 内一点，若OA OB OC ++=0，求证：O 是△ABC 的重心答案：见解题过程．解析：【知识点】向量加减法的运用．【数学思想】数形结合思想【解题过程】由于OA OB OC ++=0, ∴()OA OB OC =-+,即OB OC +是与方向相反且长度相等的向量如图所示,以OB,OC 为相邻的两边作□BOCD,则OD OB OC =+,∴OD OA =-在□BOCD 中,设BC 与OD 相交于点E,则,BE EC OE ED ==,∴AE 是△ABC 的BC 边上的中线，且||2||OA OE =同理,可证BO,CO 分别在△ABC 的AC,AB 边的中线上, ∴点O 是△ABC 的重心,得证点拨：将条件OA OB OC ++=0进行变形转化。

高中数学向量减法教案

高中数学向量减法教案
教学目标：
1. 了解向量减法的定义与性质；
2. 熟练掌握向量减法的运算方法；
3. 能够解决相关的数学问题。

教学重点：
1. 向量减法的定义；
2. 向量减法的运算方法。

教学难点：
1. 理解向量减法的几何意义；
2. 运用向量减法解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备课件、黑板、白板笔等教学工具；
2. 学生准备笔记本、铅笔等学习工具。

教学步骤：
一、导入：通过引导学生回顾前几节课的知识，复习向量的定义和向量的加法，激发学生对本节课内容的学习兴趣。

二、讲解：介绍向量减法的定义和性质，引导学生理解向量减法的几何意义，并演示向量减法的运算方法。

三、练习：让学生进行相关的练习，包括计算向量的减法并求解具体的数学问题。

四、拓展：引导学生思考向量减法在实际生活中的应用，并提出相关问题，让学生运用向量减法解决实际问题。

五、总结：对本节课的内容进行总结，强调向量减法的重点及运用方法，帮助学生加深对向量减法的理解。

六、作业：布置相关的作业，让学生巩固向量减法的知识点，并在下节课前完成作业。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握向量减法的定义与性质，熟练运用向量减法的运算方法，并能够解决相关的数学问题。

同时，应该能够加深对向量减法的理解，提高解决实际问题的能力。

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案

《向量的减法运算及其几何意义》参考教案一、教学目标1. 让学生理解向量减法的概念，掌握向量减法的运算规则。

2. 让学生掌握向量减法的几何意义，能够运用向量减法解决实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学内容1. 向量减法的定义：已知两个向量a 和b，则向量a-b 定义为从向量b 的起点出发，到达向量a 的终点的向量。

2. 向量减法的运算规则：向量a-b 等于向量a 加上向量-b，即a-b = a+(-b)。

3. 向量减法的几何意义：向量减法可以理解为将向量b 反转，与向量a 相加，得到的和向量从向量b 的起点指向向量a 的终点。

三、教学重点与难点1. 教学重点：向量减法的概念、运算规则及其几何意义。

2. 教学难点：向量减法的几何意义的理解和运用。

四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解向量减法的概念和运算规则。

2. 采用几何画图法，直观展示向量减法的几何意义。

3. 采用练习法，让学生通过实际例题和练习题，巩固向量减法的知识和技能。

五、教学准备1. 教师准备PPT，内容包括向量减法的概念、运算规则及其几何意义。

2. 准备黑板、粉笔，用于板书和画图。

3. 准备练习题，用于课后巩固所学知识。

教案编写仅供参考，具体实施时可根据实际情况进行调整。

六、教学过程1. 导入：回顾向量的概念和性质，引导学生思考向量减法的意义。

2. 新课讲解：a) 讲解向量减法的定义，通过PPT展示实例，让学生理解向量减法的概念。

b) 讲解向量减法的运算规则，引导学生发现减法与加法的联系。

c) 讲解向量减法的几何意义，通过PPT展示图形，让学生直观理解向量减法的几何意义。

3. 课堂练习：布置练习题，让学生运用向量减法解决问题，巩固所学知识。

七、课后作业1. 完成练习题，巩固向量减法的知识和技能。

2. 思考向量减法在实际问题中的应用，如物理中的速度变化、几何中的图形变换等。

八、教学反思1. 反思本节课的教学效果，观察学生对向量减法的掌握程度。

高中数学《向量减法运算及其几何意义》教案

高中数学《向量减法运算及其几何意义》教案
一、教学目标
【知识与技能】
借助向量加法运算及相反向量的概念，理解向量减法运算的定义和几何意义。

【过程与方法】
通过将向量减法运算转化为向量加法运算的计算过程，体会向量加、减法的内在联系，渗透转化的数学思想。

【情感、态度与价值观】
在探究向量减法运算定义及几何意义的过程中，养成良好的学习习惯和严谨的思维方式。

二、教学重难点
【重点】向量减法运算的定义及几何意义。

【难点】向量减法几何意义的理解。

三、教学过程
（一）导入新课
回忆向量加法运算法则。

再回忆实数运算中，减去一个数相当于什么?
引题：向量的减法是否也有类似的法则?
引出《向量减法运算及其几何意义》。

（二）探索新知。