厄米算符本征函数的正交性.ppt
§3.2厄米算符(讲稿)
§ 3.2 厄米算符设Aˆ为厄米算符，其本征问题的解可分为分立谱和连续谱两种情况。
分立谱：)()(ˆx a x A nn n ΦΦ=， ,3,2,1=n 例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符，本征值问题的解为 nn n E H ψψ=ˆ )sin(2)(,3,2,1,22222a xn ax n n maE n n πψπ===⎰=an n dx x x 0*1)()(ψψ连续谱：)()(ˆx x A λλΦλΦ= 例如动量是厄米算符，本征值问题的解为)()(ˆx p x pp p x ΦΦ= +∞<<∞-p )exp(21)(px i x pπΦ=)()()(*p p dx x x p p '-=⎰∞∞-'δΦΦ一、厄米算符的本征值为实数以连续谱为例证明λλΦλΦ=A ˆ 因Aˆ为厄米算符，则 ),ˆ()ˆ,(λλλλΦΦΦΦA A = ),(),(*λλλλΦΦλΦΦλ=λλ=* 二、厄米算符的本征波函数正交分立谱：0),(=n m ΦΦ，当n m ≠； 连续谱：0),(='λλΦΦ，当λλ'≠．以连续谱为例证明λλΦλΦ=A ˆ 因Aˆ为厄米算符，则),ˆ()ˆ,(λλλλΦΦΦΦ''=A A),(),(λλλλΦΦλΦΦλ''='所以0),(='λλΦΦ，当 λλ'≠．如果把本征波函数归一化或归格化到δ函数，那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系分立谱：}{n Φ⎪⎩⎪⎨⎧∞+∞-≠===⎰=nm n m dx x x n m n m n m ,0,1,)()(),(*δΦΦΦΦ连续谱： }{λΦ)()()(),(*λλδΦΦΦΦλλλλ'-=⎰='∞+∞-'dx x x三 、本征波函数构成完备集合 1、分立谱情况可以证明：对于分立谱情况，厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。
厄米算符本征函数的正交性
3.4 厄米算符本征函数的正交性 力学量算符本征值，本征函数,厄米算符 现讨论厄米算符的本征函数的基本性质，正交性 动量算符的本征函数pψ本征值为p32*1()(2)()i p rp p p r ce c d p p ψπψψτδ⋅'=='=-⎰*0p p p pd ψψτ''≠=⎰属于动量算符不同本征值的两个本征函数,p p ψψ'相互正交 厄米算符的特点：本征函数正交 证明：设力学量算符ˆF， 本征值 123,,,n λλλλ 本征函数 123,,,n φφφφ取属于不同本征值的任意两个本征波函数波函数k l λλ≠因为k lλλ≠所以 *0k l d φφτ=⎰以上证明过程对分立谱，连续谱都成立但注意：对分立谱k λ组成分立谱，波函数k φ已归一*1k kd φφτ=⎰由以上两式*k lkl d φφτδ=⎰ 其中1,0,kl k l k l δ=⎧=⎨≠⎩对连续谱λ 组成分立谱，波函数λφ归一为δ函数*()d λλφφτδλλ''=-⎰满足以上两式的函数系，称为正交归一系。
以上无简并情况简并情况---〉同一本征值对应多个波函数（状态）如力学量算符ˆF的一个本征值n λ是f度简并此处多讲！一般来说以上这些函数在满足本征方程外，还有更大的自由，所以并不一定相互正交 但我们总可以用个2f 常数,,1,2,,ij A i j f=把以上f个函数ni φ线性组合成f个新函数ni ψ相互正交上结论能否成立，关键是能否找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ满足正交归一即*n j n j j j d ψψτδ''=⎰即f 个新函数n i ψ相互组合，共有22(1)222ff f f f C -==-个类似以上的方程且''0j j j j δ≠=由归一性*11,2,,n j n j d j fψψτ==⎰ 共f个找到2f 个常数i j A ，使组成的新函数n i ψ 满足正交归一受限制方程数2222222ff f f N f f C f -=+=+=+ 系数i j A 有2f 个 ，大于方程的个数N ，所以总可以找到2f 个系数i j A 组成f个新函数n i ψ满足正交性且新函数是力学量ˆF的本征函数，本征值为n λ 即例：力学量算符ˆF某本征值λ2度简并本征函数1,2φφ本征值为λ设正交归一的波函数11111222211222c c c c ϕφφϕφφ=+=+由正交归一***1211220,1,1d d d ϕϕτϕϕτϕϕτ===⎰⎰⎰已作过的几个厄米算符的本征函数线性谐振子，能量算符222(1)(),2a x n n n n n n N eH ax E ψω-+== 角动量ˆzL20,0,1,2,()()im m m m mm e m m ϕππφφϕφϕδ''==±±=⎰角动量平方22,(,)(cos ),(1),(21)m im lm lm l L Y N P e l l l ϕθϕθ=++ 氢原子能量22222121212222222222s R s rZe H r r Ze H rM μμμ=-∇-∇----∇∇=- 内部运动能量波函数 3.5 算符与力学的关系 力学量 算符表示算符 厄米算符本征值方程 本征值、本征函数如果算符 F 表示力学量 F ，那么体系处于算符F 的本征态φ时，力学量F 有确定的值，这个值就是算符F 在φ态的本征值λ一般情况，体系并不在本征函数所描述的态上，而是一个任意的态ψ上 ？有确定值吗？ 测量该力学量得什么？ 波函数能给出给力学量的什么信息？态的叠加 假设体系处于1()r ψ，测量某力学量A,得1a假设体系处于2()r ψ，测量某力学量A,得2a则1122c c ψψψ=+也是体系的可能状态 （c 为任意复数）称1122c c ψψψ=+是 1()r ψ 和2()r ψ的叠加态在该态上测量力学量A 有时出现1a 有时出现2a出现的几率分别为 21c 22c力学量A 的平均值是：数学上已知证明 如ˆF是满足一定条件的厄米算符，它的正交归一本征函数nφ对应本值n λ，则任一函数可按n φ展开 式中ic 与x 无关，本征函数n φ的这种性质称完全性，即组成完全系其他例子：矢量表示r xi y j zk =++函数的级数展开00()0vs v f b b νρρ∞+==≠∑函数的三角函数展开()sin()n n f x A nx ∞==∑系数n c 如何求？***()m m n n nn m n n mn mnnx dx c dxc dx c c φψφφφφδ====∑⎰⎰∑∑⎰即*()m m c x dx φψ=⎰系数n c 的平方和等于 1 系数n c 物理意义？ 数学上n c 时含有n φ的大小物理上含有量子态份额的多少，2nc 是测量力学量ˆF得nλ的几率力学量与算符关系的一个基本假定表示力学量的算符ˆF都是厄米算符，它们的本征函数n φ组成完全系，当体系处于波函数()x ψ所描写的状态时，测量力学量F 所得的数值，必定是算符ˆF的本征值之一，测得的几率是2nc .正确性，由整个理论与实验结果符合而得到验证 由以上假定，力学量平均值2*n nnF c F F dx λψψ→==∑⎰证明*********2**()()()()m m n n mnm n m n m n m n n mnmnm n n m n m n n mnmnmnn n nF dx c F c dxc c F dx c c dx c c dx c c c FF x dx F x dxψψφφφφφλφλφφλδλψψψψ========∑∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑∑⎰∑⎰⎰对含连续谱情况 ()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰其中*()()c x x dx λλφψ=⎰由22*()()11nnx x dx cc d λψψλ=→+=∑⎰⎰对连续部分对含连续谱情况下2c d λλ是什么意义 是测力学量F 得值在范围d λλλ→+内的几率 平均值22n nn n nF c F c d λλλ=→=∑⎰*F Fdx ψψ=⎰有分立，连续22*n n n nF c c d F dx λλλψψ=+=∑⎰⎰例：求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布分析基态1001()r a r eψ-=给出了随 r 的分积布,几率密度2100ψ按动量算符的本征函数展开，系数cλ 即为动量分布其中动量本征函数321()(2)i p r p r eψπ⋅=微元2sin d r drd d τθθϕ=orxyzpθ2322cos 2302201cos 23cos 12211sin (2)1sin (2)12cos (2)or i p r a p r ipr a r r ipr a r o c er drd d eer d d dra eer drd a ππθθϕθθθθϕπθθϕππθπ--⋅-∞-===-∞--===⋅==-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰2323232222202[]/[](2)(2)2[](2)r i i pr pr a r o ri i pr pr a o r air ee epr dra a i reeedr a p a pπππ-∞-=-∞-==⋅--=-=⎡⎤+⎣⎦⎰⎰0032011()()320002[](2)2[00]11(2)()()ri i pr pr a r i i p r p r a a r r i ree e dra pi ee dr dri i a pp p a a ππ-∞-=-+--∞∞===-=--+-+--⎰⎰⎰0011()()0322200032220002[]11(2)()()211[]11(2)()()ii p r p r a a r i e e i i a p p p a a i i i a p p p a a ππ-+--∞=-=++--=++-322200000203222000222000322222003220003222222222000211[](2)()()2()11[]()()(2)2()()()()(2)2()4(2)()()(2)i ia p ia p a p a a i a ia p ia p a p i a ia p ia p a p a pi a i a p a a p a p a p πππππ+=++-+=++---+=+-==++()p c p 是p p=的函数，动量的几率密度352422228()o p a p c a p ωπ==⎡⎤+⎣⎦当氢原子处基态时，电子动量的绝对值在范围p p dp →+内的几率积分时利用公式224(1)32x dx x π∞=+⎰。
高二物理竞赛课件：厄米算符本征函数的正交性
（一）厄密算符的平均值
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。
证： F d * Fˆ
逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。
d (Fˆ )*
证：
根据假定在任意态下有：
[ d * Fˆ ]*
F*
F F* 即
d * Fˆ d (Fˆ )*
则有 k k l d l kld
即
k l d 0
无论 Fˆ 的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。
① 分立谱：假定本征函数
k 已归一化： k l d 1
k l d
kl
1，当k l时， 0，当k l时。
② 连续谱：本征函数 k
可归一化1 * Fˆ 1]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
左式=右式 d 1 * Fˆ 1 | c |2 d 2 * Fˆ 2 c * d 2 * Fˆ 1 c d 1 * Fˆ 2
[ d 1 * Fˆ 1]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
②平均值为实数的算符必为厄米算符。
③厄米算符的本征值必为实数。
当
p
p
时，
对于动量的本征函数归一化为
p
(r
)
p
(r)d
0
我们说：属于动量算符不同本征值的两个本征函数 p 和 p 相互正交。
一、定义
一般地，如果两个函数 1 和 2
12d 0
满足关系式
式中积分是对变量变化的全部区域进行的，则称 1 和 2 相互正交。
3.5厄密算符本征函数的正交性
ˆ )* d * d ( F k k l k l ˆ )d * d * (F
k
l
l
k
l
厄密算符定义:
* ˆ ˆ )* d ( F ) d ( F k l k l * * k k l d l k l d * 即 : (k l ) k l d 0 * k l : k l d 0
|m|
im
0
2
0
Y Y
* lm l m
sin d d ll mm
4/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
§3.5 厄密算符本征函数的正交性
(4),氢原子的本征函数组成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
函数系φk或φλ构成正交归一系. [例](1),线性谐振子能量本征函数构成正交归一系
n ( x) Nne
Nn Nn e
2 x2
1 2 x2 2
H n ( x)
H n ( x) H n ( x)dx nn
3/9
第三章 量子力学中的力学量
Quantum mechanics
第三章 量子力学中的力学量
8/9
Quantum mechanics
本章目录
§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation
厄米算符的本征值与本征函数
可把常数记为An，把状态记为ψn，于是得：
Aˆψ n = Anψ n
(1)
其中An,ψn分别称为算符Â的本征值和相应的本征态，式(1)即算符Â的本征方程。 定理 II：厄米算符的本征值必为实。（证明）
3. 量子力学中的力学量用线性厄米算符表示
1). 表示力学量的算符必为线性算符；
2). 表示力学量的算符必为厄密算符。
∫ ∫ 组成正交归一系：
π 0
2π 0
Ylm*Biblioteka (θ,ϕ)Yl′m
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ ll′
(8)
(7)和(8)可合写为
∫ ∫π 0
2π 0
Ylm*
(θ
,
ϕ
)Yl′m′
(θ
,
ϕ
)
sin
θdθdϕ
=
δ δll′ mm′
(9)
4
把(3)与(4)式合写为
∫ψ m*ψ ndτ = δmn
②. 连续谱正交归一条件表示为：
∫ψ λ*ψ λ′dτ = δ (λ − λ′)
③. 正交归一系 满足上式的函数系ψn或ψλ称为正交归一（函数）系
5. 简并情况 如果Â的本征值An是fn度简并的，则属于本征值An的本征态有fn个：ψnα，α=1,2,…, fn
§3.5 厄米算符的本征值与本征函数
1. 厄米算符的平均值 定理 I：体系任何状态ψ下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明） 逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明） 推论：设 Â 为厄米算符，则在任意态ψ之下
∫ ∫ A2 = dτψ * Aˆ 2ψ = dτ ( Aˆψ )* Aˆψ ≥ 0
高二物理竞赛课件：厄密算符本征函数的正交性
ll
3.5-17
两式合并得
0
2
0
Ylm
, Ylm
, sindd
ll mm
（3）氢原子波函数
nlmr, , Rnl rYlm ,
组成正交归一系
3.5-18
r0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r, ,
r 2 sindrdd
nn
跟3.5-18合并
r0
a03
代入得
cp
2
1 2a0
3 2
2
00
1
e
r a0
e
i
pr
cos
r
2
d
rdd
c
os
1
2
2a0
3 2
1
e
r a0
e
i
pr
cos
r
2
drd
cos
0 1
c p
p
2i 2a0
3 2
re
r a0
(e
i
pr
e
i
pr
)dr
0
2a0 32 a02 p2 2
2
此式仅与p的大小有关，与其方向无关。动量几率密度为
f
f
Fˆ nj Aji Fˆni n A ji ni n nj
i 1
i 1
举例：(1) 线性谐振子能量本征函数
n ( x) N ne 2x2 / 2 H n ( x)
组成正交归一系
Nn Nn
e 2x2
/
2
Hn
(
x ) H n
(
x)dx
nn
3.5-14
H(三章2讲)算符本征函数系【优质PPT】
第三章：量子力学中的力学量
第二讲：算符本征函数系
一、所有力学量算符都是线性厄密算符
Aˆ
(c11
c2 2 )
c（1 Aˆ 1） c（2 Aˆ
）
2
Ψ*Aˆ dτ= (Aˆ Ψ)* dτ
(, Aˆ ) (Aˆ , )
二、（厄密）算符对易式
0, 称 为 不 对 易
4. 知道体系初始时刻的态函数及其所处的力场，通过解薛定 谔方程即可确定以后各时刻的体系的态函数。
作业：1.
２.证明 厄米算符本征函数的正交归一性。 ３. 试述波函数是Hilbert空间的一个矢量
正因为如此，我们常称波函数为态矢量！
tips:若本征函数本来是归一的，可以把正交与归一合并
本征分立谱：
n * nd 1
m * nd 0
定义：mn＝1， m n
0, m n
即：
m
* nd
mn
( m , n ) mn
三、厄密算符的本征方程
定义：
Aˆ a
如上式，若厄密算符作用于一波函数，结果等于一个常数乘以 这个波函数，则称这个方程为厄密算符的本征方程。
并称a 是Aˆ 的本征值， 为属于a 的本征函数，
测量公设：在任意态下对力学量A进行测量，其测量值必是 相应于算符Aˆ 的本征值{an}之一 ；当体系处于算符A的某一本 征态 n 时，则每次测量值是完全确定的，即为an
cnn n
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
封闭性：
(n (x ''),n (x ')) (x '' x ')
厄米算符的本征值与本征函数详解演示文稿
三、厄米算符的本征值与本征函数(5)
2、几个定理（1）
定理1：厄米算符的本征值必为实数。
设 Aˆ 为厄米算符， n 和 An 为该算符的本征态与本
征值，即：Aˆ n An n
【证明】：设 A 为 Aˆ 在本征态 m 下的平均值，即：
A
* m
Aˆ
md
3r
四、角动量的本征值与本征函数（1）
n
( Aˆ *
* m
)d
3r
n A~ˆ
* m
d
3r
* m
Aˆ
n
d
3r
* m
An
n
d
3r
An
m* nd 3r
即：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
An
m* nd 3r
已证明：
n
(
Aˆ *
* m
)d
3r
Am
m* nd 3r
Am m* nd 3r An m* nd 3r
即( Am An ) m* nd 3r 0, Am An ,
*[( Aˆ A) ][( Aˆ A) ]* d 3r ( Aˆ A) 2 d 3r 0
( Aˆ A) 0, 或者Aˆ 常数
改记为： Aˆ n An n
三、厄米算符的本征值与本征函数(3)
1、本征函数（本征态）和本征值（2）
Aˆ n An n
n 0,1,2,3,
定Aˆ理和：厄(r)米，算若符Aˆ＋的平Aˆ均，值即为Aˆ 实 A~数ˆ * 。
则
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系分析
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
(Fˆm )*nd m * Fˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
若m≠Fn， 则必有：
m *nd 0
[证毕]
1. 分立谱正 交归一条 件分别为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
c * d 2 * Fˆ 1 c d1 * Fˆ 2
式右 d (Fˆ )* d (Fˆ [ 1 c 2 ]) *[ 1 c 2 ] d (Fˆ 1 )* 1 | c |2 d (Fˆ 2 )* 2
c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
[ d1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 )* 1 c d (Fˆ 1 )* 2
Fˆni Fnni
i 1,2,, f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
二式相减得： d2 * Fˆ1 d (Fˆ 2 )*1
所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。
（二）厄密算符的本征方程
（1）涨落
(F )2 (Fˆ F )2 *(Fˆ F )2d
证明：
Fˆ 因为是厄密算符 F 必为实数 因而 Fˆ F 也是厄密算符
根据定理 I
F d n * Fˆ n Fn d n * n Fn
. 厄米算符不同本征值对应的本征态正交
厄米算符不同本征值对应的本征态正交在量子力学中，厄米算符是一类非常重要的算符，它们具有许多重要的性质，其中之一就是不同本征值对应的本征态是正交的。
本文将围绕这一重要的性质展开讨论，并从浅入深地探究其背后的原理和意义。
1. 什么是厄米算符？在量子力学中，厄米算符是指其对应的物理量是可观测的，即可以通过实验进行测量的算符。
厄米算符在量子力学中扮演着非常重要的角色，它们的本征值和本征态有着许多重要的性质，其中就包括本征态正交的性质。
2. 厄米算符不同本征值对应的本征态为何正交？要解释厄米算符不同本征值对应的本征态正交的性质，我们可以从厄米算符的性质和本征态的定义入手进行说明。
由于厄米算符是可观测的物理量对应的算符，不同本征值对应的本征态在物理意义上代表了对应物理量的不同测量结果。
而正交性意味着不同测量结果所对应的本征态在彼此之间是相互垂直的，这也与物理上的实验结果相符。
3. 正交性的物理意义和实际应用厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的物理意义在于，在进行量子力学的测量时，不同的测量结果是相互独立的，彼此之间不会相互干扰，这也为量子力学的实验结果提供了坚实的基础。
另外，正交性的性质也在量子力学的计算和求解中扮演着非常重要的角色，它为我们提供了在物理问题求解中的便利性和简化性。
4. 个人观点和理解作为一名研究量子力学多年的学者，我对厄米算符不同本征值对应的本征态正交性的深刻理解和应用经验使我深信这一性质的重要性。
正交性不仅为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在理论计算和物理问题求解中起到了非常重要的作用，这一性质对于深入理解量子力学的重要意义不言而喻。
总结回顾本文围绕厄米算符不同本征值对应的本征态正交这一重要性质展开了讨论，从厄米算符的定义和不同本征值本征态的物理意义入手，逐步深入探究了正交性的原理和意义。
正交性为量子力学实验结果提供了坚实的基础，也在量子力学的计算和求解中起到了非常重要的作用。
个人作为一名资深学者对于这一性质深刻的理解和应用经验更是加深了我对其重要性的认识。
第12讲厄米算符的本征值和本征函数、算符与力学量的关系
d
d
1
ˆ d ( F ˆ ) * d * F *F 2 2 1 ˆ 1 ) * 2 d ( F 2 ˆ 1
ˆ d ( F ˆ ) * ] [ d ( F ˆ ) * d * F ˆ ] [ d 1 * F 2 1 2 2 1 2 1
（四）实例
（1）动量本征函数组成正交归一系 （2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
2. L2本征函数
（4）氢原子波函数组成正交归一系
§6 算符与力学量的关系
（一）力学量的可能值
（1） 力学量算符本征函数组成完备系
（2） 力学量的可能值和相应几率
i 1 i 1
Fn nj
因为
j , j 1,2, , f
f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
算符 F 本征值 Fn简并的本质是： 当 Fn 确定后还不能唯一的确定状 态，要想唯一的确定状态还得寻找 另外一个或几个力学量算符，F 算 符与这些算符两两对易，其本征值 与 Fn 一起共同确定状态。
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
n * n d 1 m * n d 0
m
* nd 0
[证毕]
m
* n d mn
2. 连续谱正 交归一条 件表示为：
* d ( )
1. ψ nj是本征值Fn的本征函数。
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。 为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
11厄米算符的本征问题坐标算符和动量算符.ppt
* n * n n
a n a n*
二、厄米算符本征函数的正交性
仍以断续谱为例，即
ˆ A n ann
n 1 , 2 , 3 ,
1．讨论无简并的情况
定理：厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。 ˆ ˆ ( x ) a ( x ) 证明： A A ( x ) a ( x ) a a m m m
0
( r )( r ) d ( rr )
* r m mn
m n
二、动量算符
分离变量 有
( r ) ( x ) ( y ) ( z )
p p x p y p z
ˆ p ( r p ( r ) p ) p
p ˆ x px ( x) p x px ( x) ˆ y p y ( y) p y p y ( y) p ˆ z pz ( z ) p z pz ( z ) p
在量子力学中，坐标算符和动量算符是两个较为特殊的算符， 它们的本征值皆可连续取值，且本征波函数不能归一化，只能规格 化为 函数。
一、坐标算符
ˆ x满足的本征方程为 以一维问题为例，坐标算符 x
x ( x ) x ( x ) x 0 x 0 0
x ( , ) 0
因为 所以 规格化
n n n
m
n
一方面
另一方面
所以
* * ˆ d A a d m n n mn * * * ˆ ˆ ) A d ( A d a m m nd m n n m * * a d a d n n mn m m
此外( c ) ( c c ) d 1
§3.2厄米算符（讲稿）
§ 3.2 厄米算符设Aˆ为厄米算符，其本征问题的解可分为分立谱和连续谱两种情况。
分立谱：)()(ˆx a x A nn n ΦΦ=， ,3,2,1=n 例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符，本征值问题的解为 nn n E H ψψ=ˆ )sin(2)(,3,2,1,22222axn a x n n maEn nπψπ===⎰=an n dx x x 0*1)()(ψψ连续谱：)()(ˆx x AλλΦλΦ=例如动量是厄米算符，本征值问题的解为)()(ˆx p x pp px ΦΦ=+∞<<∞-p )exp(21)(px i x pπΦ=)()()(*p p dx x x pp '-=⎰∞∞-'δΦΦ一、厄米算符的本征值为实数 以连续谱为例证明λλΦλΦ=A ˆ 因Aˆ为厄米算符，则 ),ˆ()ˆ,(λλλλΦΦΦΦA A= ),(),(*λλλλΦΦλΦΦλ=λλ=* 二、厄米算符的本征波函数正交分立谱：0),(=n m ΦΦ，当n m ≠； 连续谱：0),(='λλΦΦ，当λλ'≠．以连续谱为例证明λλΦλΦ=Aˆ因Aˆ为厄米算符，则),ˆ()ˆ,(λλλλΦΦΦΦ''=A A),(),(λλλλΦΦλΦΦλ''='所以),(='λλΦΦ，当 λλ'≠．如果把本征波函数归一化或归格化到δ函数，那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系分立谱：}{n Φ ⎪⎩⎪⎨⎧∞+∞-≠===⎰=nm n m dx x x nm n mn m ,0,1,)()(),(*δΦΦΦΦ连续谱： }{λΦ)()()(),(*λλδΦΦΦΦλλλλ'-=⎰='∞+∞-'dx x x三 、本征波函数构成完备集合 1、分立谱情况可以证明：对于分立谱情况，厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。
厄密算符本征函数的正交课件
m
mm
(18)
3.角动量平方算符Lµ2z 的本征函数，属于本征
值 l l 1h2：
Ylm , Nlm Pl m cos eim
(19)
0
2 0
Ylm
,
Ylm
,
sin
d
d
ll
(20)
（20）缔合Legendre函数正交性：
2 Nlm Nlm Pl m Plm sin d d ll
而球谐函数：
r2 sin drd d nn
(22)
三个量子数均不同：
0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r,,
r2 sin drd d nnllmm
(23)
四、简并态函数的正交性
当 Fµ 的本征值 n 是 f 度简并：n : n1,n2 ,n3 ,L nf
一般而言 ni 不正交，但可用 f 2 个常数将 f 个函数重新
新分类，可组合消除简并。
如nlm r,, 对 En 简并，但对 Hµ,lµ2,lµz 则不简
并，归一化为 nn ll mm 。
0
Y 2
0 lm
,
Ylm
,
sin d d llmm
(21)
4.氢原子波函数，算符：
Hµ h2 2
2
es2 r
h2
2
1 r2
r
r
2
r
lµ2
2r2
es2 r
nlm r,, Rnl rYlm ,
n不同:
0
0
2
0 nlm
r, , nlm
r, ,
(1)
当 pv pv :
pv , pv 0
厄米算符的本征函数具有正交性
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数， 它们仍属于本征值 Fn 且满足正交归一化条件。
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
f
nj
Ajini
i 1
可以满足正交归一化条件：
j 1,2,, f
ff
nj * njd
引言
• 一切力学量均可用算符表示？ • 本章学习的主要问题是： • 1、算符的定义 • 2、算符的运算 • 3、QM与MA中的算符的区别 • 4、算符的本征值问题 • 5、算符随时间的变化 • 6、其它问题
本章是量子力学的基础
• 一个基本概念：厄米算符（作用与性质）
• 二个基本假定：力学量用算符表示；
[x , pˆ ] i
不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [Ô,Û] = - [Û,Ô] 2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê] 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê] 4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
可以证明: (Ô Â )+ = Â + Ô +
(Ô Â Û...)+ = ... Û+ Â + Ô +
~ Oˆ Oˆ *
(12) 厄密算符 返回
1. 定义:
满足下列*
或 Oˆ Oˆ
2. 性质
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
n0
设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛
则可定义算符 Û 的函数 F(Û)为:
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（2）分立谱、连续谱正交归一表示式 1. 分立谱正交归一条件分别为：
可合并为：
n *nd 1
m *nd 0
m *nd mn
(3.5-9） (3.5-10）
2. 连续谱正 交归一条 件表示为
*d ( )
(3.5-11）
满足上式的函数系φn或φλ称为正交归一（函数）系。
简并情况
上面证明厄密算符本征函数的正交 性时，曾假设 这些本征函数属于不 同本征值，即非简并情况。
2. 满足正交归一条件的 f 个新函数ψn j 可以组成。
1. ψnj是本征值Fn的本征函数。
f
Fˆ nj Fˆ Ajini
i 1
f
Aji Fˆni
i1 f
Fn
Ajini
i 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Fn nj
2. 满足正交归一条件的f个新函数ψnj可以组成。
为此只需证明线性 叠加系数 Aji 的个 数 f 2 大于或等于 正交归一条件方程 个数即可。
f
nj
Ajini
i 1
j 1,2,, f
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i1 i1
j, j 1,2,, f
因为 f2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 ≥ 0，
证明
由这 f 个φn i 线性组合成 f 个新函数 ψn j
f
nj Ajini i1
j 1,2,, f
可以满足正交归一化条件：
(3.5-12）
ff
nj * njd
Aji Aji ni *nid jj
i 1 i1
j, j 1,2,, f
(3.5-13）
证明分如下 两步进行
1. Ψnj 是本征值 Fn 的本征函数。
2．厄米算符本征函数是正交的
分二步证明，先证属不同本征值的本征函数相互 正交，再证属同一本征值的不同本征函数也可弄 成相互正交。
a.属不同本征值的本征函数相互正交。
设Φ1、Φ2、…是厄米算符的本征函数，它们对应的本征值
为λ1、λ2、…，则有
(3.5-2）
证明：
*kld 0
已知
Fˆk kk
(3.5-3）
所以，方程个数少于待定系数 Aji 的个数，因而，我们有多种可能来确 定这 f 2 个系数使上式成立。f 个新函数Ψnj 的确是算符 F 对应于本 征值的正交归一化的本征函数。
综合上述讨论可得如下结论： 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化 的，所以以后凡是提到厄密算符的 都是正交归一化的，即组成正交归一系。
实例
（1）动量本征函数组成正交归一系
* p
(r
)
p (r )d
(p
p)
（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
n (x) Nn e2x2 /2 Hn ( x)
Nn Nn
e 2x2
Hn
(
x) H n
(
x)dx
nn
（3）角动量本征函数组成正交归一系
1. Lz 本征函数
m ()
1 eim
§3.5 厄米算符本征函数的正交性
已知表示力学量的算符都是厄米算符。厄米算符有二 个重要的性质： a.厄米算符本征值是实数； b.厄米算符本征函数是正交的。
本节来介绍厄米算符第二个性质。 1．什么叫二个函数Ψ1、Ψ2的正交？
若
1*2d 0
(3.5.1）
（积分是对变量变化的全部区域进行），则称Ψ1、 Ψ2相互正交。
2
2. L2本征函数
2 0
m*md
mm
Ylm(,) NlmPl m (cos)eim m 0, 1, 2, , l
2 0
0
Ylm* ( ,)Ylm ( ,) sin d d ll mm
（4）氢原子波函数组成正交归一系
nlm (r, , ) Rnl (r)Ylm ( , )
0
如果 F 的本征值λn是f度简并的，则对应λn 有f个本征函数： 满足本征方程： φn1 ,φn2 , ..., φnf
Fˆni nni
i 1, 2, , f
一般说来，这些函数 并不一定正交。
但是
可以证明由这 f 个函数可以线性组合成 f 个独立的新函数,它们仍属于本征值λn 且满足正交归一化条件。
0
2 0
* nlm
(r
,
,
)
nlm
(r,
,
)r
2
sin
d
d
nn llmm
Fˆl ll
(3.5-4）
并且
k l
(3.5-5）
由厄米算符的定义
*k Fˆld l (Fˆk )*ld
左边 右边
所以，
* k
Fˆ
l
d
l
*k l d
(Fˆk )*ld k *kld
(k l ) *kld 0
，（∵λk≠λl）
得，
*kld 0
这就是我们所要证明的.
(3.5.8）