【KS5U首发】广东省2012年广州二模数学(理科)试题word版缺答案

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2012广州市二模(理科)

试卷类型：A2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2012．4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，复数1z a =+i ,22z =-i ,且12z z =，则实数a 的值为 A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．±2或02．设集合()}{()}{,26,,324,A x y x y B x y x y =+==+=满足()C A B ⊆ 的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知双曲线221x m y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ．4 B ．14C ．14-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为 25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405. 已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是 A ．m l ⊥，//l α，//l β B ．m l ⊥，l αβ= ，m α⊂ C ．//m l ，m α⊥，l β⊥ D ．//m l ，l β⊥，m α⊂6．下列说法正确的是 A ．函数()1f x x=在其定义域上是减函数B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“x ∃∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∀∈R ，21x x ++D ．给定命题p 、q ，若p q ∧是真命题，则p ⌝是假命题7．阅读图1的程序框图, 该程序运行后输出的k 的值为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知实数,a b 满足22430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(),a b ϕ，则(),a b ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题） 9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收入家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是 .10．6⎛⎝展开式中的常数项是（用数字作答）.11. 已知不等式21x ->的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等,则a b +的值为 .12．在平行四边形A B C D 中, 点E 是A D 的中点, BE 与A C 相交于点F ,若(,E F m A B n A D m n =+∈ R ), 则mn的值为 .13. 已知点P 是直角坐标平面xOy 上的一个动点，OP =（点O 为坐标原点），点()1,0M -，则cos O P M ∠的取值范围是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形(ABC 顶点A ,,B C 按顺时针方向排列)的顶点,A B 的极坐标分别为72,,2,66ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则顶点C 的极坐标图3BA图2A 为 .15．（几何证明选讲选做题）如图2，A B 是圆O 的直径，延长A B 至C ，使2B C O B =，C D 是圆O 的切线，切点为D ，连接A D ，B D ，则AD BD的值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,03f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，11,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1) 求A 和ω的值; (2) 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且4sin 5α=, 求()f α的值.17．（本小题满分12分）如图3，,A B 两点之间有6条网线连接，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4. 从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ.(1) 当6ξ≥时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (2) 求ξ的分布列和数学期望.18.（本小题满分14分）.某建筑物的上半部分是多面体M N A B C D -, 下半部分是长方体1111ABC D A B C D -（如图4）. 该建筑物的正视图和侧视图如图5, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成. （1）求直线A M 与平面1111A B C D 所成角的正弦值；（2）求二面角A M N C --的余弦值；图4NM D CBA B 1C 1D 1A1图5侧（左）视图正（主）视图（3）求该建筑物的体积.19．（本小题满分14分）已知对称中心为坐标原点的椭圆1C 与抛物线22:4C x y =有一个相同的焦点1F ，直线:2l y x m =+与抛物线2C 只有一个公共点. （1）求直线l 的方程；（2）若椭圆1C 经过直线l 上的点P ，当椭圆1C 的的离心率取得最大值时，求椭圆1C 的方程及点P 的坐标.20．（本小题满分14分）已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，a ∈R .（1）求函数()f x 的单调区间;（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 的极值大于0？若存在，,求a 的取值范围；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且112f ⎛⎫=⎪⎝⎭，对任意(),1,1x y ∈-，都有 ()()1x yfx fy f xy⎛⎫--=⎪-⎝⎭，数列{}n a 满足11221,(21n n n a a a n a +==∈+N *). (1) 证明函数()f x 是奇函数; (2) 求数列(){}n f a 的通项公式; (3) 令12(nn a a a A n n+++=∈ N *), 证明:当2n ≥时,1112nni i i i n a A ==--<∑∑.2012年广州市普通高中毕业班综合测试（二）一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 9．60 10．160- 11．1- 12．2- 13．,12⎤⎥⎣⎦ 14．23π⎛⎫⎪⎝⎭15说明：第14题的答案可以是22(3k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两角差的正弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解:∵函数()f x 的图象的最高点坐标为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2A =. … 1分依题意,得函数()f x 的周期11521212T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴22T πω==.…… 3分 (2)解:由(1)得()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. …………… 4分∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且4sin 5α=,∴3cos 5α==. ………… 5分∴24sin 22sin cos 25ααα==, 27cos 212sin 25αα=-=-.……… 9分∴()2sin 23f παα⎛⎫=-⎪⎝⎭2sin 2cos cos 2sin 33ππαα⎛⎫=- ⎪⎝⎭……… 11分25=…………… 12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解: 从6条网线中随机任取三条网线共有3620C =种情况. …………… 1分∵1141236++=++=, ∴()1122361164C C P C ξ+===. ……… 2分∵1242237++=++=, ∴()1122361174C C P Cξ+===. ……… 3分∵1342248++=++=, ∴()123613820C P C ξ+===.………… 4分∵2349++=, ∴()12361910C P Cξ===. …………… 5分∴P ()()()()()66789P P P P ξξξξξ≥==+=+=+= 113134420104=+++=.答: 线路信息畅通的概率为34. …………… 6分(2)解:ξ的取值为4,5,6,7,8,9. …………… 7分∵1124++=, ∴()12361410C P C ξ===. …………… 8分∵1131225++=++=, ∴()123613520C P C ξ+===. ………… 9分∴ξ的的分布列为:…………… 10分∴1311314567891020442010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯6.5=.…… 12分18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)Q 1P 1Q PO N M DCBAB 1C 1D 1A 1解法1：（1）作M O ⊥平面A B C D ，垂足为O ，连接A O ，则M A O ∠是直线A M 与平面A B C D 所成的角. …………… 1分由于平面A B C D //平面1111A B C D ，故M A O ∠是直线A M 与平面1111A B C D 所成的角. …………… 2分作M P AB ⊥，垂足为P ，连接P O ，∵A B ⊂平面A B C D ，∴M O A B ⊥. ∵,MO MP M MO =⊂ 平面M O P ，M P ⊂平面M O P ，∴AB ⊥平面M O P . …………… 3分由题意知1,MO PO AP ===12,4AD AA ==，在R t △P O M中，PM == 在R t △A P M中，AM ==在R t △A O M中，sin 3M O M A O A M∠===，∴直线A M 与平面1111A B C D3. …………… 5分（2）延长P O 交C D 于点Q ，连接MQ ，由（1）知AB ⊥平面M O P ∵MQ ⊂平面M O P ， ∴AB ⊥MQ . ∵//M N A B ，∴,MN MP MN MQ ⊥⊥. …………… 6分∴PMQ ∠是二面角A M N C --的平面角. …………… 7分在△PMQ中，2M Q M P PQ ===，∵2224M P M Q PQ +==，∴90PM Q ︒∠=. ∴二面角A M N C --的余弦值为0. …………… 9分（3）作1//N P M P 交A B 于点1P ，作1//NQ M Q 交C D 于点1Q ，11由题意知多面体M N A B C D -可分割为两个等体积的四棱锥M APQD -和11N P BC Q -和一个直三棱柱11M PQ N P Q -.四棱锥M APQD -的体积为113V A P A D M O =1212133=⨯⨯⨯=， ………… 10分直三棱柱11M PQ N P Q -的体积为2112222V M P M Q M N ==⨯= ，…11分∴多面体M N A B C D -的体积为122V V V =+2102233=⨯+=. …………… 12分长方体1111ABC D A B C D -的体积为3142432V AB BC AA ==⨯⨯= . ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. …………… 14分解法2：（1）以点D 为原点，D A 所在直线为x 轴，D C 所在直线为y 轴，1D D 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -（如图），作M O ⊥平面A B C D ，垂足为O ，作O P A B ⊥，垂足为P ，依题意知1M O O P A P ===，12,4AD AA ==, 则()()0,0,0,2,0,0,D A ()()1,1,1,1,3,1M N ，()12,0,4A -. …………… 1分 ∴()1,1,1AM =-. …………… 2分∵1A A ⊥平面1111A B C D ，∴平面1111A B C D 的一个法向量为()10,0,4AA =-.……… 3分设直线A M 与平面1111A B C D 所成角为θ，则sin θ=11AM AA AM AA =3=. …………… 4∴直线A M 与平面1111A B C D3.………… 5分（2）由(1)知()()0,2,0,1,1,1MN DM ==,设平面A B N M 的法向量为1n (),,x y z =，由1n 0MN = ，1n 0AM = ，得0,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y ==.∴平面A B N M 的一个法向量为1n ()1,0,1=.…… 6分设平面C D M N 的法向量为2n (),,x y z =，由2n 0DM = ，2n 0MN =，得0,20.x y z y ++=⎧⎨=⎩令1x =，则1,0z y =-=.∴平面C D M N 的一个法向量为2n ()1,0,1=-. …………… 7分 ∵1n 2n ()110110=⨯++⨯-=，∴平面A B N M ⊥平面C D M N .∴二面角A M N C --的余弦值为0. ……… 9分（3）如图将多面体M N A B C D -补成一个直三棱柱1AD Q BC Q -，依题意知1111AQ DQ BQ CQ M Q NQ ======，2AD =,14AA =,多面体M N A B C D -的体积等于直三棱柱1AD Q BC Q -的体积减去两个等体积的三棱锥M ADQ -和1N BC Q -的体积.∵2224AQ D Q AD +==，∴90AQD ︒∠=.∴直三棱柱1AD Q BC Q -的体积为1114422V AQ D Q AB ==⨯= ，三棱锥M ADQ -的体积为2V =11111132323A Q D Q M Q =⨯⨯=.∴多面体M N A B C D -的体积为V =122102433V V -=-=. ………… 12分长方体1111ABC D A B C D -的体积为3142432V AB C D AA ==⨯⨯= . ……… 13分 ∴建筑物的体积为31063V V +=. ……………… 14分19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) （1）解法1：由22,4y x m x y=+⎧⎨=⎩消去y ，得2840x x m --=. …………… 1分∵直线l 与抛物线2C 只有一个公共点， ∴28440m ∆=+⨯=，解得4m =-.… 3分∴直线l 的方程为24y x =-. …………… 4分解法2：设直线l 与抛物线2C 的公共点坐标为()00,x y ，由214y x =，得'12y x =， ∴直线l 的斜率0'012x x k y x ===. ………… 1分依题意得0122x =，解得04x =. …………… 2分把04x =代入抛物线2C 的方程，得04y = ∴424m =⨯+，解得4m =- ∴直线l 的方程为24y x =-. （2）解法1：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为(1F 设点()10,1F 关于直线l 的对称点为('10,F x 则0000121,12 4.22y x y x -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⨯-⎪⎩…………… 7分解得004,1.x y =⎧⎨=-⎩ ∴点()'14,1F - ∴直线l 与直线'12:1F F y =-的交点为0P 由椭圆的定义及平面几何知识得：椭圆1C 的长轴长'1212a PF PF PF =+= 其中当点P 与点0P ∴2a ≥. ∴112e a =≤. 故当2a =此时椭圆1C 的方程为22143yx+=，点P 2⎝⎭解法2：∵抛物线2C 的焦点为()10,1F ，依题意知椭圆1C 的两个焦点的坐标为()()120,1,0,1F F -. …………… 5分设椭圆1C 的方程为()2222111y xa aa +=>-， …………… 6分由222224,11y x y xaa =-⎧⎪⎨+=⎪-⎩消去y ，得()()()()22222541611160a x a x a a ---+--=.（*） …………… 7分由()()()()222221614541160a a a a ⎡⎤∆=-----≥⎣⎦， …………… 8分得425200a a -≥. 解得24a ≥. ∴2a ≥. ………… 10分 ∴112e a =≤. …………… 11分当2a =时，m ax 12e =，此时椭圆1C 的方程为22143yx+=. …………… 12分把2a =代入方程（*），解得32x =，1y =-. …………… 13分∴点P 的坐标为3,12⎛⎫-⎪⎝⎭. …………… 14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识, 考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）解：函数()f x 的定义域为()0,+∞. …………… 1分()2111ax x f x ax xx--'=-+=-. …………… 2分① 当0a =时，()1x f x x+'=，∵0,x > ∴()'0fx >∴ 函数()f x 单调递增区间为()0,+∞. …………… 3分② 当0a ≠时，令()0f x '=得210ax x x---=，∵0,x >∴210ax x --=. ∴14a ∆=+.（ⅰ）当0∆≤，即14a ≤-时，得210ax x --≤，故()0f x '≥，∴ 函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞. …………… 4分（ⅱ）当0∆>，即14a >-时，方程210ax x --=的两个实根分别为12x a=22x a=. …………… 5分若104a -<<，则120,0x x <<，此时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '>.∴函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞， …………… 6分若0a >，则120,0x x <>，此时，当()20,x x ∈时，()0f x '>，当()2,x x ∈+∞时，()0,f x '<∴函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎝⎭，单调递减区间为2a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭. …………… 7分综上所述，当0a >时，函数()fx 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭；当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间. ………… 8分（2）解：由(1)得当0a ≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，故函数()f x 无极值；…………… 9分当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为2a ⎛⎝⎭，单调递减区间为2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；则()f x 有极大值，其值为222221()ln 2f x x ax x =-+，其中22x a=. … 10分而22210ax x --=，即2221ax x =+，∴2221()ln 2x f x x -=+. …………… 11分设函数1()ln (0)2x h x x x -=+>，则'11()02h x x=+>， …………… 12分则1()ln 2x h x x -=+在()0,+∞上为增函数.又(1)0h =，则()0h x >等价于1x >. ∴2()f x =221ln 2x x -+0>等价于21x >. …………… 13分即在0a >时，方程210ax x --=的大根大于1，设2()1x ax x ϕ=--，由于()x ϕ的图象是开口向上的抛物线，且经过点(0,1)-，对称轴102x a=>，则只需(1)0ϕ<，即110a --<，解得2a <，而0a >，故实数a 的取值范围为()0,2. ……………… 14分说明:若采用下面的方法求出实数a 的取值范围的同样给1分.1.由于111222aaa+=+=+()0,+∞是减函数，而12a=时，2a =12a>的解集为()0,2，从而实数a 的取值范围为()0,2．2.直接解不等式12a>，而0a >，通过分类讨论得出实数a 的取值范围为()0,2.21. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：由于对任意(),1,1x y ∈-，都有()()1x y f x fy f xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭，令0x y ==，得()()()00000100f f f f -⎛⎫-==⎪-⨯⎝⎭解得()00f =. …… 1分令0x =，得()()()0010y f fy f f y y ⎛⎫--==- ⎪-⨯⎝⎭，∵()00f =， ∴()()0f y f y -=-，即()()f y f y -=-. …… 2分∴函数()f x 是奇函数. …………… 3分（2）解：先用数学归纳法证明01n a <<.① 当1n =时，112a =，得101a <<, 结论成立.② 假设n k =时, 结论成立, 即01k a <<, 当1n k =+时, 由于01k a <<, 12201k k ka a a+=>+,又12222121k k k kka a a a a a +=<==+.∴101k a +<<.即1n k =+时, 结论也成立.由①②知对任意n ∈N *, 01n a <<. …………… 4分求数列(){}n f a 的通项公式提供下面两种方法. 法1:()()()12211n n n n n n n a a a f a f f a a a +⎛⎫--⎛⎫== ⎪⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭()()n n f a f a =--.…………… 5分 ∵函数()f x 是奇函数，∴()()n n f a f a -=-.∴()1n f a +()2n f a =. …… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫==⎪⎝⎭，公比为2的等比数列. ∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分法2: ∵()()1111n n n n n n a a f a f a f a a +++⎛⎫--= ⎪-⎝⎭…………… 5分22221211nnnnna a a f a a ⎛⎫- ⎪+ ⎪= ⎪-⎪+⎝⎭321n n n a a f a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭ =()n f a , ∴()1n f a +()2n f a =. …………… 6分 ∴数列(){}n f a 是首项为()1112f a f ⎛⎫==⎪⎝⎭，公比为2的等比数列.∴数列(){}n f a 的通项公式为()12n n f a -=. …………… 7分（3）证法1：由（2）知01n a <<，∵1221n n n n na a a a a+-=-+()22101n nna a a-=>+，∴1n n a a +>. …………… 8分∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴10(,2n m a a n m <-<∈N *,且)n m >. …………… 9分当2k ≥且k ∈ N *时,12kk k k a a a a A a k+++-=-()()()121k k k k a a a a a a k--+-++-=…………… 10分12k k-<1122k=-12<. 102k k a A <-<. ……… 12分∵110a A -=,∴当2n ≥时,11102nni i i i n a A ==-<-<∑∑. …… 13分∴当2n ≥时,1112nnii i i n a A ==--<∑∑. …………… 14分证法2：由（2）知01n a <<，∵1221n n n n na a a a a+-=-+()22101n nn a a a-=>+，∴1n n a a +>. ∴111,1(22n a a n =<<∈N *，且2)n ≥ ∴1(,2n m a a n m -<∈N *). …………… 9分下面用数学归纳法证明不等式1112nni i i i n a A ==--<∑∑成立.①当2n =时，左边1212121122a a a a a a a +⎛⎫=+-+=- ⎪⎝⎭111222<⨯<=右边. ∴2n =时，不等式成立. …………… 10分②假设(2,n k k k =≥∈N *)时，不等式成立，即1112kki i i i k a A ==--<∑∑，则1n k =+时，左边=1111k k i i i i a A ++==-∑∑1211111k kk i k i i i a a a a a A k ++==+++=+--+∑∑ …………… 11分()()1121111k kk k i i i i k a a a a a A k +==+-+++⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑()()()111211111k ki i k k k ki i a A a a a aa a k +++==≤-+-+-++-+∑∑………… 12分()111211121k k k kk aa a a a a k +++-<+-+-++-+1111121222k k -⎛⎫<++++ ⎪+⎝⎭ 11212k k k -=+⨯+ ()1112221k k -=+-+ 1122k -<+()112k +-==右边. ∴1n k =+时，不等式也成立.由①②知，当2n ≥时,1112nni i i i n a A ==--<∑∑成立. …………… 14分证法3：由（2）知()011,2,3,,k a k n <<= ，故对11k n ≤≤-，有110,0knii i i k ak a n k ==+<<<<-∑∑. …………… 8分由于对任意0,0x y >>，有{}max ,x y x y -<，其中{}m ax ,x y 表示x 与y 的较大值. 于是对11k n ≤≤-，有11111knn k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=--⎪⎝⎭∑∑ 11111nki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑11111m ax ,nki i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ ()111m ax ,n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1(1,2,3,,1)k k n n=-=- . …………… 11分故111nnnii n i i i i aA nA A ===-=-∑∑∑()()()121n n n n A A A A A A -=-+-++- …… 12分121n n nn A A A A A A -≤-+-++- 121111n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ … 13分()()12311n n n++++-=--()()121n n n n-=--12n -=. …… 14分。

2012年广州二模试题及答案(word整理版)

广东省广州市2012届高三毕业班4月综合测试（二）语文本试卷共8页，24小题，满分150分。

考试用时l50分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、本大题4小题，每题3分，共12分。

1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是A．狡黠．(xiá) 盥．洗(huàn) 肖．像(xiào) 铩．羽而归(shā)B．木讷．(nà) 收讫．(qì) 塞．责(sâ) 栉．风沐雨(zhì)C．桎梏．(kù) 整饬．(chì) 辟．邪(bì) 岿．然不动(guī)D．哂．笑(shěn) 聒．噪(guō) 挑．灯(tiǎo) 怏．怏不乐（yàng）2．依次填入下列句中横线处的词语，最恰当的一组是①各级政府机关要按照国务院的决策，大力推进资源节约和循环利用工作，进一步传播节约理念，促进全社会转变生产方式和消费方式。

②美国罔顾钓鱼岛是中国固有领土的历史事实，抛出“《日美安保条约》适用于钓鱼岛”的言论，这一言论彻底暴露了其霸权主义的本质。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（某某卷）A数学（理科）本试卷共21题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

锥体的体积公式为13V sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，则复数56ii-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2．设集合U ={1,2,3,4,5,6}， M ={1,2,4 } 则U C M =A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC = A ．（-2,-4） B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是A ．ln(2)y x =+B ．1y x =-+C ．y=12x⎛⎫⎪⎝⎭D ．1y x x =+5．已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则z =3x +y 的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1-6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B.45π C.57π D.81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.49 B. 13 C. 29 D. 198.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12 B.1 C. 32 D. 52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）9.不等式21x x +-≤的解集为_____。

2012年广东高考理科数学(全解析)逐题详解(纯净WORD)

正视图侧视图俯视图第6题图.2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）逐题详解一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2012年12月26日星期三1．设i 为虚数单位,则复数56i i-=( )A.65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --【解析】D ；()5656566511i ii i i i--+===----,故选D ．2．设集合{1,23,4,5,6}U =，,{1,2,4}M =,则M U =ð( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6}【解析】C ；送分题,直接考察补集的概念,{}M 3,5,6U =ð,故选C ．3．若向量(2,3)B A = ,(4,7)C A = ,则BC =( )A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【解析】A ；考察向量的运算法则,()()()2,34,72,4BC BA AC =+=+--=--,故选A ． 4．下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．1(2xy =D ．1y x x=+【解析】A ；函数ln(2)y x =+的图像可由函数ln y x =的图像向左平移2个单位得到,显然满足题意.5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为( ) A ．12 B ．11 C ．3 D ．1- 【解析】B ；画出可行域如图所示,将“三角”区域的角点代入比较可知,当3,2x y ==时,3z x y =+取得最大值为11. 6．某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 【解析】C ；三视图对应的实物图为“上部分为圆锥,下部分为圆柱”的几何体,易得圆锥的高为4,所以2213435573V πππ=⋅⋅⋅+⋅⋅=.7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其中个位数为0的概率是( ) A ．49B ．13C ．29D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβαβββ⋅=⋅ .若平面向量,a b 满足0a b ≥> ,a 与b的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b和b a都在集合|2nn Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则a b = ( ) A ．12B ．1C ．32D ．52【解析】C ；因为||cos cos 1||b a b b a a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a = ,||12cos ||b a θ= ,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=> ,所以12a b <<,故有32a b = ,选C .【另解】C ；1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 122θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥> ,所以123,1k k ==,于是32a b = ,选C .二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________．【解析】1,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；“|2|||x x +-”的几何意义为“点x 到2-和0的距离之差”,画出数轴,先找出临界“|2|||1x x +-=的解为12x =-”,然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10．261()x x+的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）【解析】20；通项()621231661rrrr rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233r -=得 3r =,此时对应系数为3620C =.11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =【解析】21n -；设公差为()0d d >,依题意可得()21214d d +=+-, 解得2d =(2-舍去),所以21n a n =-.12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．【解析】21y x =+；求导得231y x '=-,1|2x y ='=,由直线的点斜式方程得()321y x -=-,整理得21y x =+.13．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为____．【解析】8；第一次循环得2,4,2s i k ===;第二次循环得4s =,6,3i k ==;第三次循环得第17题图B.第15题图AC PO8,8,4s i k ===,此时不满足8i <,输出8s =.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中x O y 中,曲线1C 和曲线2C 的参数方程分别为⎩⎨⎧==t y t x （t 为参数）和⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数),则曲线1C 和曲线2C 的交点坐标为 .【解析】()1,1；对应的普通方程分别为y =222x y +=,联立得交点坐标为()1,1.15. (几何证明选做题)如图,圆O 的半径为1,,,A B C 是圆上三点,且满足︒=∠30ABC ,过点A 作圆O 的切线与O C 的延长线交于点P ,则PA = ．,OA AC ,易得60,30AOC CAP ∠=︒∠=︒,在直角三角形O A P 中,根据题中的数量关系易得PA =.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+(其中R x ∈>,0ω)的最小正周期为π10．(Ⅰ) 求ω的值；(Ⅱ) 设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56(535f πα+=-,516(5)617f πβ-=,求cos()αβ+的值．【解析】(Ⅰ)由210ππω=得15ω=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知1()2cos()56f x x π=+,由56516(5,(535617f f ππαβ+=--=得3sin 5α=,8cos 17β=.又,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以4cos 5α=,15sin 17β=,所以324513cos()cos cos sin sin 858585αβαβαβ+=-=-=-17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[)[)40,50,50,60,[)[)60,70,70,80,[)[]80,90,90,100.(Ⅰ) 求图中x 的值;(Ⅱ) 从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望．【解析】(Ⅰ) 由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯= 解得0.018x =.(Ⅱ)成绩不低于80分的学生人数有()500.0180.0061012⨯+⨯=人. 成绩在90分以上（含90分）的人数有500.006103⨯⨯=人.P ABCDE第18题图随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且 ()292126011C P Cξ===,()11392129122C C P Cξ===,()232121222C P Cξ===,所以ξ的分布列为ξ的数学期望0121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=. 18．（本小题满分13分）如图所示,在四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 为矩形,P A ⊥平面A B C D ,点E 在线段P C上,P C ⊥平面BD E ．(Ⅰ) 证明:B D ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若1PA =,2AD =,求二面角B P C A --的正切值．【解析】(Ⅰ)因为P A ⊥平面A B C D ,BD ⊂平面A B C D , 所以PA BD ⊥,又P C ⊥平面BD E ,BD ⊂平面BD E ,所以PC BD ⊥,因为PA PC P = ,所以B D ⊥平面PAC .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知B D ⊥平面PAC ,所以B D A C ⊥,又底面A B C D 为矩形,从而底面A B C D 为正方形,设AC BD O = ,连结O E ,则,,OE PC BO PC ⊥⊥所以B E O ∠为二面角B P C A --的平面角, 在R t P A C ∆中,由等面积法可得112233PA AC O E PC ⋅=⋅==,又BO =在R t B O E ∆中,tan 3B O B E O O E∠==所以二面角B P C A --的正切值为3．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足11221n n n S a ++=-+,*n N ∈,且123,5,a a a +成等差数列.(Ⅰ) 求1a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211132na a a ++⋅⋅⋅+<.【解析】(Ⅰ)因为11221n n n S a ++=-+,当1n =时,1223S a =-,即2123a a -=,当2n =时,2327S a =-,即321227a a a --=,又()21325a a a +=+联立上述三个式子可得11a =. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知25a =当2n ≥时,由11221n n n S a ++=-+得1221n n n S a -=-+,两式相减整理得132nn n a a +=-,即11312222n n n n a a ++=⋅+,即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭,又2121311222a a ⎛⎫+=⋅+ ⎪⎝⎭, 所以12nn a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为首项为113122a +=,公比为32的等比数列, 所以133312222n nnn a -⎛⎫⎛⎫+=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以32n n n a =-. (Ⅲ) 当1n =时,11312a =<显然成立,当2n =时,121113152a a +=+<显然成立.当3n ≥时,32(12)2n n n n n a =-=+-12211122222n n n nn n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-122111222n n n n nC C C --=+⋅+⋅++⋅ 2222(1)n C n n >⋅=-又因为2522(21)a =>⨯⨯-,所以2(1),2n a n n n >-≥, 所以11111()2(1)21na n n n n<=---所以12311111111111131(1)1(1)2234122na a a a n nn++++<+-+-++-=+-<- .20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3．(Ⅰ) 求椭圆C 的方程(Ⅱ) 在椭圆C 上,是否存在点(,)M m n ,使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点,A B ,且O AB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的O AB ∆的面积；若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)依题意2223c e c a a==⇒=,所以222213b ac a =-=,设(,)P x y 是椭圆C 上任意一点,则22221x y ab+=,所以222222(1)3y x a a y b=-=-,所以||PQ ===当1y =-时,||PQ3=,可得a =所以1,b c ==故椭圆C 的方程为2213xy +=.(Ⅱ)[韦达定理法]因为(,)M m n 在椭圆C 上,所以2213mn +=,2233m n =-,设11(,)A x y ,22(,)B x y由2211m x ny x y +=⎧⎨+=⎩，得2222()210m n x m x n +-+-=所以22222222244()(1)4(1)8(1)0m m n n n m n n n ∆=-+-=+-=->,可得21n <，由韦达定理得12222m x x m n+=+,212221nx x m n-=+所以2212121212222111()1mx mx m x x m x x my y n n n m n---++-=⋅==+所以||AB ====设原点O 到直线A B 的距离为h ,则h =所以1||2O AB S AB h ∆=⋅=设221t m n=+,由201n <<,得22232(1,3)m n n +=-∈,所以,1(,1)3t ∈O AB S ∆==1(,1)3t ∈所以,当12t =时,OAB S ∆面积最大,且最大为12,此时，点M 的坐标为22⎛ ⎪⎝⎭或22⎛- ⎪⎝⎭或,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛-- ⎪⎝⎭. [垂径定理切入]因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以2213mn +=,2233m n =-,圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离d =直线l 被圆O 所截的弦长为||AB ==所以1||2O AB S AB d ∆=⋅=,接下来做法同上.21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>,D A B = . (Ⅰ) 求集合D (用区间表示）；(Ⅱ) 求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．【解析】(Ⅰ)由方程223(1)60x a x a -++=得判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--因为1a <,所以30a -< 当113a <<时,0∆<,此时B R =,所以()0,D A ==+∞；当13a =时,0∆=,此时{|1}B x x =≠,所以(0,1)(1,)D =+∞ ；当13a <时,0∆>,设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <,则 14x =,24x =,12{|}B x x x x x =<>或当103a <<时,123(1)02x x a +=+>,1230x x a =>,所以120,0x x >>此时,12(,)(,)D x x x =+∞)44=+∞当0a ≤时,1230x x a =≤,所以120,0x x ≤>此时,2(,))4D x =+∞=+∞.综上,1(0,),133(1)3(1)1(0,(),0443),04a a a D a a ⎧+∞<<⎪⎪⎪+-++=+∞<≤⎨⎪⎪+∞≤⎪⎩(Ⅱ) 2()66(1)66(1)()f x x a x a x x a '=-++=--,1a <所以函数()f x 在区间[,1]a 上为减函数,在区间(,]a -∞和[1,)+∞上为增函数当113a <<时,因为()0,D =+∞,所以()f x 在D 内的极值点为,1a ；当13a =时,(0,1)(1,)D =+∞ ,所以()f x 在D 内有极大值点13a =；当103a <<时,)44D =+∞由103a <<,很容易得到144a <<<（可以用作差法，也可以用分析法）,所以()f x 在D 内有极大值点a ；当0a ≤时,)4D =+∞由0a ≤,14>,此时()f x 在,内没有极值点.综上,当113a <<时,极值点为,1a ；当103a <≤时,极值点为a ；当0a ≤时,无极值点.。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷(理科)

数学广东卷(理科)一、选择题1．设i 为虚数单位，则复数5－6ii ＝( )A ．6＋5iB ．6－5iC ．－6＋5iD ．－6－5i2．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，则∁U M ＝( ) A ．U B ．{1,3,5} C ．{3,5,6} D ．{2,4,6} 3．若向量＝( )A ．(－2，－4)B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(－6，－10)4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝(12)x D ．y ＝x ＋1x5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－16．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13C.29D.198．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a|≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈(0，π4)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b ＝( )A.12 B ．1 C.32 D.52二、填空题(一)必做题(9～13题)9．不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．10．(x 2＋1x )6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)11．已知递增的等差数列|a n |满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.12．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．13．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为________．(二)选做题(14～15题)14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝ty ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．15．如图，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC ＝30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则P A ＝________.三、解答题16．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos(α＋β)的值．17．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中x 的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .图5(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求二面角B －PC －A 的正切值．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．21．设a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B . (1)求集合D (用区间表示)；(2)求函数f (x )＝2x 3－3(1＋a )x 2＋6ax 在D 内的极值点．答案数学广东卷(理科)一、选择题1．解析：5－6ii ＝－5i －6＝－6－5i.答案：D2．解析：由于U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,2,4}，从而∁U M ＝{3,5,6}．答案：C 3．答案：A4．解析：选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．答案：A 5．解析：如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时， z取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝2，此时，z ＝y ＋3x ＝11.答案：B6．解析：由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，因此，体积为V ＝π×32×5＋13×π×32×52－32＝57π.答案：C7．解析：由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 15C 14＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 15C 15＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C 15×1＝5个．于是，所求概率为545＝19. 答案：D8．解析：由定义α∘β＝α·ββ2可得b ∘a ＝a·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |，由|a |≥|b |>0，及θ∈(0，π4)得0<|b |cos θ|a |<1，从而|b |cos θ|a |＝12，即|a |＝2|b |cos θ. a ∘b ＝a ·b b 2＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝2cos 2 θ，因为θ∈(0，π4)，所以22<cos θ<1，所以12<cos 2 θ<1，所以1<2 cos 2 θ<2.又a ∘b ∈{n2|n ∈Z }，故a ∘b ＝2cos 2 θ＝32.答案：C 二、填空题(一)必做题(9～13题)9．解析：若x ≥0，则x ＋2－x ≤1，无解；若－2≤x <0，则x ＋2＋x ≤1，得－2≤x ≤－12；若x <－2，则－(x ＋2)＋x ≤1，得x <－2.综合上述，得不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为{x |x ≤－12}答案：{x |x ≤－12}10．解析：由(x 2＋1x )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r (1x )r ＝C r 6x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36＝6×5×41×2×3＝20. 答案：2011．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 3＝(a 1＋d )2－4，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝±2.由于等差数列{a n }是递增的等差数列，因此⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 答案：2n －112．解析：曲线方程为y ＝x 3－x ＋3，则y ′＝3x 2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y ′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋113．解析：逐步运行程序框图即可．开始时n ＝8，i ＝2，k ＝1，s ＝1. 因i ＝2<8，故s ＝1×1×2＝2，i ＝2＋2＝4，k ＝1＋1＝2；因i ＝4<8，故s ＝12×2×4＝4，i ＝4＋2＝6，k ＝2＋1＝3；因i ＝6<8，故s ＝13×4×6＝8，i ＝6＋2＝8，k ＝3＋1＝4，退出循环．故输出的s 的值为8. 答案：8(二)选做题(14～15题)14．解析：由⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝ t ，得y ＝x ，又由⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝2.由⎩⎨⎧ y ＝x ，x 2＋y 2＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即曲线C 1与C 2的交点坐标为(1,1)．答案：(1,1) 15．解析：如图，连接OA .由∠ABC ＝30°，得∠AOC ＝60°，在直角三角形AOP 中，OA ＝1，于是P A ＝OA tan 60°＝ 3.答案： 3三、解答题16．解：(1)∵f (x )＝2cos(ωx ＋π6)，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2π，∴ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos(15x ＋π6)，而α，β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，∴2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝－65，2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝1617，即cos(α＋π2)＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.17．解：(1)由题意得：10x ＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18，所以x ＝0.018.(2)∵成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，ξ的可能值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 29C 212＝611，p (ξ＝1)＝C 19C 13C 212＝922，P (ξ＝2)＝C 23C 212＝122，∴ξ的分布列为∴Eξ＝0×611＋1×922＋2×122＝12.18．解：(1)证明：∵PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ， ∴PC ⊥BD .又∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD ，∵PC ∩P A ＝P ，∴BD ⊥平面P AC .(2)如右图设AC ∩BD ＝O ，连接OE .∵PC ⊥平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PC ⊥BE ，PC ⊥OE ，∴∠BEO 为二面角B －PC －A 的平面角， ∵BD ⊥平面P AC ，∴BO ⊥OE ，即∠BOE ＝90°，故tan ∠BEO ＝OB OE.又BD ⊥平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥AC . 由四边形ABCD 为长方形知它也是正方形，由AD ＝2得BD ＝AC ＝22，在Rt △P AC 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝3.∵△OEC ∽△P AC ，∴OC PC ＝OE P A ，即OC OE ＝PCP A ＝3，又tan ∠BEO ＝OB OE ＝OCOE ＝3，∴二面角B －PC －A 的正切值为3.19．解：(1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减得a n ＋1－3a n ＝2n ，则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32(a n2n －1＋2)．又a 120＋2＝3，知{a n 2n －1＋2}是首项为3，公比为32的等比数列， ∴a n 2n 1＋2＝3(32)n －1，即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式， ∴a n ＝3n －2n .(3)证明：由(2)得1a n ＝13n －2n ＝1(2＋1)n －2n ＝1C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋1<1n ·2n －1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋122＋(12)22＋…＋(12)n －12＝1＋12(1－12n －1)<32. 20．解：(1)由e ＝c a＝a 2－b 2a 2＝23，得a ＝3b ，椭圆C ：x 23b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋3y 2＝3b 2，设P (x ，y )为C 上任意一点，则|PQ |＝x 2＋(y －2)2＝－2(y ＋1)2＋3b 2＋6，－b ≤y ≤b ，若b <1，则－b >－1，当y ＝－b 时，|PQ |max ＝－2(－b ＋1)2＋3b 2＋6＝3，又b >0，得b ＝1(舍去)，若b ≥1，则－b ≤－1，当y ＝－1时，|PQ |max ＝－2(－1＋1)2＋3b 2＋6＝3，得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)法一：假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤ 3.由题意可得S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时取等号，这时△AOB 为等腰直角三角形，此时圆心(0,0)到直线mx ＋ny ＝1的距离为22，则1m 2＋n 2＝22，得m 2＋n 2＝2，又m 23＋n 2＝1，解得m 2＝32，n 2＝12，即存在点M 的坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)，(－62，－22) 满足题意，且△AOB 的最大面积为12.法二：假设存在这样的点M (m ，n )满足题意，则有m 23＋n 2＝1，即n 2＝1－m 23，－3≤m ≤3，又设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝1，x 2＋y 2＝1，消去y 得(m 2＋n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0，①把n 2＝1－m 23代入①整理得(3＋2m 2)x 2－6mx ＋m 2＝0，则Δ＝8m 2(3－m 2)≥0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝6m3＋2m 2，x 1x 2＝m23＋2m 2，②而S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取得最大值12，此时＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1y 2＝1－mx 1n ·1－mx 2n ＝3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2，所以x 1x 2＋3－3m (x 1＋x 2)＋3m 2x 1x 23－m 2＝0，即3－3m (x 1＋x 2)＋(3＋2m 2)·x 1x 2＝0，把②代入上式整理得2m 4－9m 2＋9＝0，解得m 2＝32或m 2＝3(舍去)，所以m ＝±62，n ＝±1－m 23＝±22，所以M 点的坐标为(62，22)，(62，－22)，(－62，22)， (－62，－22)，使得S △AOB 取得最大值12. 21．解：(1)2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0的判别式Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9(a －3)·(a －13)，而a <1，A ＝{x ∈R |x >0}，①当Δ>0时，得a <13或a >3，即a <13，由2x 2－3(1＋a )x ＋6a ＝0，解得x 1＝3(1＋a )－3(a －3)(a －13)4，x 2＝3(1＋a )＋3 (a －3)(a －13)4，若x 1<0，即1＋a < (a －3)(a －13)，得a <0，若x 2<0，即(1＋a )＋(a －3)(a －13)<0，无解，所以当a <0时，x 1<0<x 2，B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，D ＝A ∩B ＝(x 2，＋∞)，当a ＝0时，0＝x 1<x 2，B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，D ＝A ∩B ＝(x 2，＋∞)，当0<a <13时，0<x 1<x 2，B ＝(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，D ＝A ∩B ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)；②当Δ＝0时，得a ＝13，由x 2－2x ＋1＝0，得x ＝1，此时B ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)，D＝A ∩B ＝(0,1)∪(1，＋∞)；③当Δ<0时，得13<a <1，B ＝R ，D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)．综上所述：当a ≤0时，D ＝(3(1＋a )＋3(a －3)(a －13)4，＋∞)；当0<a <13时，D ＝(0，3(1＋a )－3(a －3)(a －13)4)∪(3(1＋a )＋3 (a －3)(a －13)4，＋∞)；当a ＝13时，D ＝(0,1)∪(1，＋∞)；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． (2)f ′(x )＝6x 2－6(1＋a )x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，a <1，令f ′(x )＝0得x ＝a 或x ＝1，当x <a 或x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当a <x <1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． ①当a ≤0时，D ＝(x 2，＋∞)，因为x 2>1，所以此时f (x )在D ＝(x 2＋∞)上无极值点； ②当0<a <13时，D ＝(0，x 1)∪(x 2，＋∞)，x 1＝3(1＋a )－3 (a －3)(a －13)4，x 2＝3(1＋a )＋3(a －3)(a －13)4，由f (0)＝0，f (a )＝2a 3－3(1＋a )a 2＋6a 2＝a 2(3－a )>0，f (1)＝2－3(1＋a )＋6a ＝3a －1<0，再由f (x )的单调性可得0<a <x 1<1<x 2，此时f (x )在D 上只存在一个极大值点x ＝a ；③当a ＝13时，f (x )在D ＝(0,1)∪(1，＋∞)上只存在一个极大值点x ＝13； ④当13<a <1时，f (x )在D ＝(0，＋∞)上存在一个极大值点x ＝a 和极小值点x ＝1. 综上所述，当a ≤0时，f (x )在D 上无极值点；当0<a ≤13时，f (x )在D 上存在一个极大值点x ＝a ；当13<a <1时，f (x )在D 上存在一个极大值点x ＝a 和极小值点x ＝1.。

2012年高考理科数学广东卷及答案

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-=（）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC =（）A .(2,4)--B .(2,4)C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ. 若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.（一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______. 10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8, 则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）数学试卷第7页（共21页）数学试卷第8页（共21页）数学试卷第9页（共21页）2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】()2,4BC BA AC BA CA =+=-=--．【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--BC AC AB =-能求出结果．4.【答案】A借助于图像可知：当3x =，2y =时，max 11z =．||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以4cos Z ，所以cos θ2223||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =，则||cos 33322||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集。

2012年广东卷(理科数学)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（广东卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，则复数56ii-=A.65i +B.65i -C.65i -+D.65i -- 2.设集合{}1,2,3,4,5,6U =,，{}1,2,4M =，则U C M =A.UB.{}1,3,5C.{}3,5,6D.{}2,4,63.若向量(23)BA =u u u r ，，(4,)CA =u u u r7，则BC =u u u r A.(2,4)-- B.(3,4) C.(6,10) D.(6,10)-- 4.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A.ln(2)y x =+B.y =1()2x y = D.1y x x=+5.已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．1- 6,某几何体的三视图如图1A ．12π B.45π C.57π D.81π正视图侧视图俯视图7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.49 B.13 C.29 D.198.对任意两个非零的平面向量αu r 和βu r ，定义αβαβββ⋅=⋅u r u ru r u r u r u r o .若平面向量a r ，b r 满足0a b ≥>r r ，a r 与b r 的夹角(0,)4πθ∈，且a b ⋅r r 和b b ⋅r r 都在集合{}2nn N ∈中，则a b =r r oA ．12 B.1 C.32 D.52二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）9.不等式21x x +-≤的解集为 .10.261()x x+的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = . 12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .13.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 .（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=o ，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α，[0,]2πβ∈，56(5)35f πα+=-，516(5)617f πβ-=，求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]. （Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点EPx在线段PC 上，PC ⊥平面BDE . （Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n N *∈，且1a ，25a +，3a 成等差数列. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式. （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<L . 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A ，B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，{}223(1)60B x R x a x a =∈-++>，D A B =I （Ⅰ）求集合D （用区间表示）（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点.BACDPE。

2012年高考理科数学广东卷-答案

所以，即，
所以椭圆的方程为：，设椭圆上的一动点，，
则．
①若，当时，，解得；
②若，；
综合①②，，所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）假设在椭圆上，存在点满足题意，则，在中，，，所以当时，有最大值，此时，点到直线的距离，即，，，
所以在椭圆上存在点，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，最大值为．
体积．
【提示】由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项．
【考点】由三视图求几何体的体积
7.【答案】D
【解析】设个位数与十位数分别为，则，，，，，，，，，所以，分别为一奇一偶；
【考点】排列与组合及其应用
8.【答案】C
【解析】设，，，．
因为，所以，所以或或或，
因为，所以，即，则，，
因为，所以，所以只能取，，
则．
【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即可．
【考点】集合的含义，平面向量的数量积的运算
所以为的数学期望为．
【提示】（Ⅰ）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；
（Ⅱ）不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人，则随机变量的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．
【考点】分布列与期望
18.【答案】（Ⅰ）因为平面，平面，
【考点】函数单调性的判断

广东省2012年广州二模数学(理科)试题word版缺答案

试卷类型：B2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)2012．4本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前。

考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．学+科+一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12|z ||z |=，则实数a 的值为A ．2B ．-2C ．2或-2D ．±2或0 Zxxk2．设集合A={(x ，y)|2x+y=6}，B={(x ，y)|3x+2y=4}，满足C ⊆(A B)的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是A ． 4B ．14C ．14- D ．-4 4．已知等差数列{n a }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A ．10B ．20C ．30D ．405．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ⊥的是A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥βB ．m l ⊥，αβ，m α⊂C ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥D ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂6．下列说法正确的是学&科&网Z&X&X&K]A ．函数1f (x )x=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“210x R,x x ∃∈++>”的否定是“210x R,x x ∀∈++<”D ．给定命题P 、q ，若P ∧q 是真命题，则⌝P 是假命题7．阅读图l 的程序框图，该程序运行后输出的A 的值为A ．5B ．6C ．7D ．88．已知实数a ，b 满足22430a b a +-+=，函数1f (x )a s i n x b c o s x =++的最大值记为(a ,b )ϕ，则(a,b )ϕ的最小值为A ．1B ．2C 1D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．(一)必做题(9～13题)9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是。

广东省六校2012届高三第二次联考试题(数学理)

广东省六校2012届高三第二次联考试题（数学理）一、选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合},1|{2R x x y y M ∈-==，}2|{2x y x N -==，则=N M （）A. ),1[+∞-B. ]2,1[-C. ),2[+∞D. ∅2．已知命题“012,2<++∈∃ax x x R ”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．)1,(--∞B ．),1(+∞C ．),1()1,(+∞--∞D ．（—1，1）3．如图，正方形ABCD 的顶点2(0,)2A ，2(,0)2B ，顶点CD 、位于第一象限，直线:(02)l x t t =≤≤将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为()f t ，则函数()s f t =的图象大致是（）4．已知120201,cos 15sin 15M x dx N -==-⎰,则 ( )A. M N <B. M N >C. M N =D. 以上都有可能 5．右图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5[,]66ππ-上的图象。

为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（）（ A ）A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变6.若函数1(),(2)2f x x x x =+>-在x n =处有最小值，则n =( ) ADB CxyOlABCD3题图5题图A ．12+ B.13+ C.4 D.37．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x 单调递减，若数列{}n a 是等差数列，且30a <，则()()()()()12345f a f a f a f a f a ++++的值（） A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正可负8. 若函数()21,xf x a b c =-<<且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是( )A ．0,0,0a b c <<<B ．0,0,0a b c <≥>C ．22ac -< D ．222a c +<二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分）9、若3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α= ； 10．已知,0,0x y xy x y +=>>则x y +的最小值是； 11．定义运算法则如下：1112322,lg lg a b a ba b a b -⊕=+⊗=-；若1824125M =⊕ 1,225N =⊗，则M ＋N ＝； 12．设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=13. 设曲线1()n y x n +=∈*N 在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则201212012220122011log log log x x x +++ 的值为； 14、如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科)解析版

试卷类型：A 2012 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
求得 d 2 ，又{an} 递增，则 d 2 。
所以 an = 2n 1．
12．(2012 广东理)曲线 y x3 x 3 在点（1,3）处的切线
方程为
．
答： 2x y 1 0 ．
解析：y 3x 2 1，k y |x1 2 ，所以，曲线 y x3 x 3 在点（1,3）处的切线方程为 y 3 2(x 1) ，即 2x y 1 0
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4
32
5
57
7．(2012 广东理)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任选一个，其中个位数为 0 的概
率是（）
A． 4 9
B． 1 3
C． 2 9
D． 1 9
解析：（D）．两位数共有 90 个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有 45 个，而其
中个位数为 0 的有 5 个，是 10,30,50,70,90。所以，所求事件的概率为 5 1 45 9

[高考数学] 2012年广东高考(理科)数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A 卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，则复数56ii-=A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U=A ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}3．若向量(2,3)BA =，(4,7)CA =，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B 1y x =-+C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．198．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且αβ和βα都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b =A ．12B ．10πC ．32D ．52二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式|2|||1x x +-≤的解集为___________．10．261()x x +的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________． 12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________． 13．执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy 中，曲线C 1和曲线C 2的参数方程分别为{x =t |（t 为参数）和{x =√2cos θ|（θ为参数），则曲线C 1和曲线C 2的交点坐标为． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A ，B ，C 是圆上三点，且满足∠ABC =30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交与点P ，则PA= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．A B CPO图316．（本小题满分12分）已知函数f(x)=2cos (ωx +π6)（其中ω>0,x ∈R ）的最小正周期为10π．（1）求ω的值；（2）设α,β∈[0,π2],f(5α+5π3)=−65,f(5β−5π6)=1617，求cos (α+β)的值．17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x 的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ．（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值．19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N ∈，且123,5,a a a +成等差数列．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<．20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率23e =，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的方程（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．）21．（本小题满分14分）设1a <，集合2{0},{23(1)60}A x R xB x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B =．（1）求集合D （用区间表示）；（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点．2012广东高考数学（理科）参考答案选择题答案：1-8： DCAAB CDC 填空题答案：9. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 10. 20 11. 21n - 12. 21y x =+13. 8 14. ()1,115.解答题 16. （1）15ω=（2）代入得62cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭3sin 5α⇒=162cos 17β=8cos 17β⇒=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴415cos ,sin 517αβ==∴()4831513cos cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-17.（1）由300.006100.01100.054101x ⨯+⨯+⨯+=得0.018x =（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量ξ的可能取值有0,1,2()292126011C P C ξ===()11932129122C C P C ξ===()232121222C P C ξ===∴ 69110121122222E ξ=⨯+⨯+⨯=18.（1）∵ PA ABCD ⊥平面∴ PA BD ⊥∵ PC BDE ⊥平面 ∴ PC BD ⊥ ∴ BD PAC ⊥平面（2）设AC 与BD 交点为O ，连OE∵ PC BDE ⊥平面∴ PC OE ⊥ 又∵ BO PAC ⊥平面 ∴ PC BO ⊥ ∴ PC BOE ⊥平面∴ PC BE ⊥∴ BEO ∠为二面角B PC A --的平面角∵ BD PAC ⊥平面 ∴ BD AC ⊥∴ ABCD 四边形为正方形 ∴BO =在PAC ∆中，13OE PA OE OC AC=⇒=⇒=∴tan 3BOBEO OE∠==∴ 二面角B PC A --的平面角的正切值为3 19.（1）在11221n n n S a ++=-+中令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+解得11a = （2）由11221n n n S a ++=-+212221n n n S a +++=-+得 12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N *+=+∈对成立∴()11+232n n n n a a ++=+∴ 23nnn a += ∴ 32n nn a =-（3）（法一）∵()()123211323233232...23n n n n n n n n a -----=-=-+⨯+⨯++≥∴ 1113n n a -≤∴21123111311111113...1...1333213n n n a a a a -⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++≤++++=<-（法二）∵1111322322n n n n n na a ++++=->⨯-=∴ 11112n na a +<⋅当2n ≥时，321112a a <⋅431112a a <⋅541112a a <⋅ (1)1112n n a a -<⋅累乘得： 221112n n a a -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭∴212311111111173...1...5252552n n a a a a -⎛⎫+++≤++⨯++⨯<<⎪⎝⎭20.（1）由e =223a b =，椭圆方程为22233x y b+=椭圆上的点到点Q 的距离d ==)b y b =-≤≤当①1b -≤-即1b≥,max 3d ==得1b =当②1b ->-即1b<,max 3d ==得1b =（舍）∴ 1b =∴ 椭圆方程为2213x y +=（2）11sin sin 22AOB S OA OB AOB AOB ∆=⋅∠=∠当90AOB ∠=，AOB S∆取最大值12，点O 到直线l距离d ==∴222m n +=又∵2213m n +=解得：2231,22m n ==所以点M的坐标为⎛⎛ ⎝⎝或或或AOB ∆的面积为1221. （1）记()()()223161h x x a x a a =-++<()()()291483139a a a a ∆=+-=--1当0∆<，即113a <<，()0,D =+∞2 当103a<≤，D ⎛⎫=⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭3当0a ≤，D ⎫=+∞⎪⎪⎭（2）由()()266160=1f x x a x a x a '=-++=得，得① 当113a <<，()D f x a 在内有一个极大值点，有一个极小值点12当103a <≤，∵()()12316=310h a a a =-++-≤()()222316=30h a a a a a a a =-++->∴ 1,D a D ∉∈∴()D f x a在内有一个极大值点3 当0a ≤，则a D ∉又∵()()12316=310h a a a =-++-<∴()D f x 在内有无极值点。

2012年广东省高考理科数学试题及参考答案+试题分析(高清word版)

2．设集合U {1,23,4,5,6}=，，M {1,2,4}=则M U =ðA ．UB ．{1,3,5}C ．{3,5,6}D ．{2,4,6}解：选C3．若向量(2,3)BA = ，(4,7)CA = ，则BC =A ．(2,4)--B ．(3,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--解：BC =BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4)，选A 4．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是A ． ln(2)y x =+B 1y x =-+C ． 1()2xy =D ． 1y x x=+解：B 、C 为减函数，D 为双钩函数，双钩函数在(0,)+∞上先减后增，选A 分析：前4题难度都不大，掌握概念和基本方法就可以拿到分。

5．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为A ．12B ．11C ．3D ．-1解：可行域如图：所3z x y =+的最大值为3*3+2=11，选B6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A ．12π B ．45π C ．57π D ．81π解：根据三视图可知，该几何体上部分为圆锥，下部分为圆柱，选C7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 A ．49 B ．13 C ．29 D ．19解：个位数为0且“个位+十位=奇数”的两位数是10 30 50 70 90 共5个若十位数为奇数，则个位数为偶数，共有C （5，1）*C （5，1）=25 若十位数为偶数，则个位数为奇数，共有C （4，1）*C （5，1）=20 5/（25+20）=1/9选D分析：5-7题难度中等，考察的方法较简单，计算量比前4题大些。

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试卷类型：B
2012年广州市普通高中毕业班综合测试(二)
数学(理科)
2012．4
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：
1．答卷前。

考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢
笔或签字笔将自己所在的市、县／区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题
目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
一、选择题：本大题共8小题。

每小题5分．满分40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知i 为虚数单位，复数1z a i =+，22z i =-，且12|z ||z |=，则实数a 的值为 A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．±2或0
2．设集合A={(x ，y)|2x+y=6}，B={(x ，y)|3x+2y=4}，满足C ⊆(A B)的集合C 的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知双曲线221x my +=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是 A ． 4 B ．
14
C ．14
-
D ．-4
4．已知等差数列{n a }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为 A ．10 B ．20 C ．30 D ．40
5．已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，在下列条件中，可得出αβ
⊥
的是
A ．m l ⊥，l ∥α，l ∥β
B ．m l ⊥，αβ ，m α⊂
C ．m ∥l ，m α⊥，l β⊥
D ．m ∥l ，l β⊥，m α⊂ 6．下列说法正确的是 A ．函数1f (x )x
=
在其定义域上是减函数
B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C ．命题“210x R ,x x ∃∈++>”的否定是“210x R ,x x ∀∈++<”
D ．给定命题P 、q ，若P ∧q 是真命题，则⌝P 是假命题
7．阅读图l 的程序框图，该程序运行后输出的A 的值为
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8．已知实数a ，b 满足22430a b a +-+=，函数
1f (x )
a s i n x
b c o s x =++的最大值记为(a ,b )ϕ，则
(a ,b )ϕ的最小值为
A ．1
B ．2
C 31
D ．3
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)
9．某社区有600个家庭，其中高收入家庭150户，中等收入家庭360户，低收人家庭90户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为l00的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是。

10．(
)6展开式中的常数项是 (用数字作答)。

11．已知不等式2|x |->1的解集与不等式20x ax b ++>的解集相等，则a b +的值为。

12．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 与AC 相交于点F ，若
EF m AB n AD(m ,n R )=+∈ ，则
m n
的值为。

13．已知点P 是直角坐标平面xO y 上的一个动点|O P |=(点O 为坐标原点)，点
M(-1，0)，则cos ∠OPM 的取值范围是。

(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)
14．(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若等边三角形ABC(顶点A ，B ，C 按顺时针方向排列)的顶点A ，B 的极坐标分别为
(2，
6
π
)，(2，
76
π)，则顶点C 的极坐标为。

15．(几何证明选讲选做题)如图2，AB 是圆O 的直径，延长AB 至C ，使BC=2OB ，CD 是圆O 的切线，切点为D ，连接AD ，BD ，则面
A D
B D
的值
为．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．(本小题满分12分) 已知函数003
f (x )A sin(x )(A ,)π
ωω=->>在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为（512
π，2）（1112
π，-2）。

(1)求A 和ω的值； (2)已知α∈(0，
2
π
)，且45
sin α=
，求f ()α的值．
17．(本小题满分l2分)
如图3，A ，B 两点之间有6条网线连接，每条
网线能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4．从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量，设这三条网线通过的最大信息量之和为ξ． (1)当ξ≥6时，则保证线路信息畅通，求线路信息畅通的概率；
(2)求ξ的分布列和数学期望．
18．(本小题满分l4分)
某建筑物的上半部分是多面体MN —ABCD ，下半部分是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1(如图4)．该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图5，其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成． (1)求直线AM 与平面A ，B ，C ，D ，所成角的正弦值； (2)求二面角A —MN —C 的余弦值；
(3)求该建筑物的体积．
19．(本小题满分14分)
已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：24x y =有一个相同的焦点F 1，直线l ：2y x m =+与抛物线C 2只有一个公共点．
(1)求直线l 的方程；
(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．
20．(本小题满分l4分) 已知函数2
12
f (x )ln x ax x ,a R.=-
+∈
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )的极值大于0?若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由． 21．(本小题满分l4分)
已知函数f (x )的定义域为(-1，1)，且112
f (
)=，对任意11x ,y (,)∈-，都有
1x y f (x )f (y )f (
)xy
--=-，数列{n
a }满足112
212
1*
n n n
a a ,a (n N ).a +=
=
∈+
(1)证明函数f (x )是奇函数；
(2)求数列{n f (a )}的通项公式；（3）令12*
n
n a a ...a A (n N )n
+++=
∈，证明：当2n ≥时，11
1
12
n
n
i i i n |a A |==--
<
∑∑。