函数中常见-“恒成立问题”-的解决办法(老师版)

常见 “恒成立问题” 的解决办法
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立问题．这类问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．因此也成为历年高考的一个热点．下面本人就高考中常出现的恒成立问题谈一谈自己的解法． 一 变量分离法
变量分离法主要通过两个基本思想解决“恒成立问题”
思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在
例1．已知函数f (x )＝2x －1
2|x |若不等式2t f (2t )+m f (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的
取值范围
解：本题可通过变量分离来解决． 当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022
t
t
t
t t m -
+-≥ 即24(21)(21)t t m -≥--，2210t
->∵，2(21)t m ≥-+∴
[1,2]t ∈∵，2(21)[17,5]t -+∈--∴
故m 的取值范围是[5,)-+∞
例2．设，其中a 为实数，n 为
任意给定的自然数，且
，如果
当时有意义，求a 的取值范围．
解：本题即为对于
，有
恒成立．
这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得
，对于
恒成立．
构造函数
，则问题转化为求函数
在上的值域，由于函数
在
上
是单调增函数，
则在
上为单调增函数．于是有的最大值为
，从
而可得
．
如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取
合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值． 三 构造函数法 1、一次函数型
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷．给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于
)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有
)(0)(<<n f m f
例5．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2
+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.
解：原不等式转化为(x-1)a+x 2
-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,
设f(a)= (x-1)a+x 2
-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：
⎩⎨
⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0
10
3422
x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)
此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可. 2、二次函数型
若二次函数y=ax 2
+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00<∆>且a ；若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解． 例6． 若函数1
2
)1()1()(22++
-+-=
a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围. 分析：该题就转化为被开方数01
2
)1()1(2
2
≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.
解：依题意，当时，
R x ∈01
2
)1()1(2
2≥++-+-a x a x a 恒成立， 所以 ①当,1,
01,
01{,0122
=≠+=-=-a a a a 时，即当
此时.1,011
2
)1()1(2
2
=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当0
1
2
)1(4)1(,
01{
012
2
22≤+---=∆>-≠-a a a a a 有,91,
09101
{
2
2≤<⇒≤+->a a a a
综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a
例7.已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.
分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.
解：2
2()324a a f x x a ⎛
⎫=+--+ ⎪⎝
⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .
⑴当22a -
<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 7
3
a ∴≤ 又4a > a ∴不存在.
⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2
()()3024a a g a f a ==-
-+≥ 62a ∴-≤≤ 又
44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ ⑶当22
a
->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==
+≥ 7a ∴≥- 又4a <-
74a ∴-≤<- 综上所述，72a -≤≤.
对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例6），而对于二次函数在某一
区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题（如例7）． 五 换元引参法
例9.对于所有实数x ，不等式恒成立，
求a 的取值范围． 解：因为
的值随着参数a 的变化而变化，若设
， 则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式
恒成立”．
这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t 的不等式组：
． 解得
，即有
，易得
．
通过换元引参，把把问题变成熟悉的二次函数问题，使问题迎刃而解． 六 变更主元法 例10.若对于
，方程
都有实根，求实根的范围．
解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m 为主元，则
，
由原方程知，得 又，即
解之得或．
利用变更主元法解决恒成立问题，应先把主元变更，然后结合两者之间的关系，得出正确答案.。