辗转相除法与裴蜀定理

二、辗转相除法与裴蜀定理

4、辗转相除法与裴蜀定理

定义对于整数a，b，若 a b, 则称 a 是 b 的约数; 而 b 是 a 的倍数.

定义对于不全为零的整数a i(i 1,2,L ,n)，若 a a i对i 1,2,L ,n都成立, 则称a是a1,a2,L a n的公约数.

定义对于非零整数a i(i 1,2,L ,n)，若a i a对i 1,2,L ,n都成立, 则称a是a1,a2,L a n的公倍数. 定义

整数a i(i 1,2,L ,n) 的公约数中，最大的一个，称为整数a i(i 1,2,L ,n) 的最大公约数，记作(a1,a2,L

a n).

整数a i(i 1,2,L ,n) 的公倍数中，最小的一个，称为整数a i(i 1,2,L ,n) 的最小公倍数，

记作[ a1,a2,L a n].

定义若(a, b) =1,则称a, b 互质或互素. 显然有下列性质：

性质 1 (a, b) = (b, a) = (a, -b) = (- a, -b) ；

性质 2 ab = (a, b) [a, b] , 特别地当a>0, b>0 时，ab = (a, b) [a, b] .

下面我们介绍辗转相除法与裴蜀定理定理若 a = qb+r ，则(a, b) = (b, r) . 注：本定理也可写成：

(a, b) = ( a bq , b), 就是说，在计算(a, b)时，可用 b 的任意整数倍数bq 去减 a.

下面我们介绍辗转相除法，对于给定的整数a, b (b>0) ，我们反复运用带余除法就有：

a = q1

b + b1 , 0 b 1 < b，如b1 0，则我们继续 b = q2b1+ b2 , 0 b 2 < b1，如b2 0，则我们继

续b1 = q3 b2+b3 , 0 b 3 < b2，如b3 0，则我们继续⋯

我们知道，由于小于 b 的自然数是有限的，因此上述过程不可能无穷下去，在有限步之后，应有余数等于零，设在第n+1 步余数为零，于是

b n – 2 = q n – 1 b n – 1 + b n , 0 b n < b n –1

b n – 1 = q n b n + 0 上述过程称为辗转相除法，显然(a, b) = (b, b1) = (b1, b2)= (b2, b3)

=⋯= (b n – 1 , b n ) = b n . 由于(a, b) = (a, - b ) ，从上述过程可以看到，辗转相除法是求两个整数最大公约数的一个很好的方法。

将上述前n 个式子联立方程组，消去b1,b2, ⋯, b n – 1 , 则可得到：u a + v b = b n ，其中u, v都是只与q1, q2, ⋯,q n – 1 有关的整数.

设(a, b) = d，则u a + v b = d .于是我们有以下定理：定理若ab 0, 设(a, b) = d，则存在整数u, v，使得u a + v b = d . [注]定理中的u, v 不唯一.

裴蜀定理(a, b) = 1 的充要条件是存在整数u, v 使得u a + v b =1. 并且若ab>0，则可以选择u>0，v< 0 或u<0 ，而v>0 .

证明：必要性显然，下面证明充分性.

对于整数a, b，存在整数u, v 使得u a + v b =1 ，我们设(a, b) = d，则 d a, d b，于是 d 1，又 d 1，所以 d = 1，即(a, b) = 1.

若ab>0，则a,b 同号，所以要使u a + v b =1 成立，u, v 必须异号，所以u>0 ，v< 0 或u<0，而v>0. 综上所述，裴蜀定理成立.

5．最大公约数与最小公倍数的性质

性质 1 若(a, b) =1, 且 a bc，则 a c；

性质 2 若(a, b) =1, 则(a, bc) = (a, c)；

性质 3 若(a i, b j) =1, i 1,2,L m, j 1,2,L n,则(a1a2L a m, b1b2 L b n) 1

性质 4 若(a, b) =1, 且n, m 是非负整数，则(a n, b m) = 1；

性质 5 若m a, m b，则m (a, b) ；

性质 6 设正整数a, b 的质因数分解式如下 a = p11 p22p k k，b = p11p22p k k, 其中

例 6设正整数 n 的质因数分解式为 n= p 1 1 p 2 2 p k k

，其中 i (i=1,2, ⋯ , k)都是非负整数 , 求 n 的 正约数个数 (n)。

例 7 设正整数 n 的正约数个数为 (n) ，所有这样的约数的和为 (n), 所有这样的约数的积为 (n), 求证：

(n)

(n)

(1) (n) = n 2 ；(2) (n) 2 n ；(3) (n)

n .

(n)

［想一想］ 设正整数 n 的质因数分解式为 n= p 1 1

p 2

2

p k k ，其中 i (i=1,2, ⋯ , k)都是正整数，则 n 的所

有正因数的和为 (n)如何计算 .

i

、 性质 性质

i (i=1,2, ⋯ , k) 都是非负整数，记 t i =min( i , i ),s i =max( i , (a, b)

= p 1

t 1

p 2t 2 p k t k

；[a, b] = (ma,mb) =|m|( a,b)；

[ma,mb]=|m|[ a,b] 。 ab i ), i=1,2, ⋯ , k, s

1 s

2

p 1 1

p 2 2

则有

s

k

p k k

性质 (

(a,b),(a,b)) 1

若 p 为素数，则 (p,a)

p, p|a 1,p a

6、最小非负余数 两个 4k+3 形式

的数的乘积 一个平方数被

一个平方数被 一个平方数被 一个平方数被 性质 性质 性质 性质 性质 1 2 3 4 5 4 除， 8 除， 3

从上述性质我们容易知道：对任意整

数 3

y 3 9k 3,9k 4,9k

定是 4k+1 形式的数； 所得的最小非负余数只可能是 所得的最小非负余数只可能是 所得的最小非负余数只可能是 所得的最小非负余数只可能是 x, y ，有 5,9k 6.

例1 对任意整数 x, y, 证

明： 22

(1) 8 x 2 y 2 2; (3)

22 xy 若 3 xy ，则

x 2

2

n ;

(2) (4) 例2设a 2 是给定的正整数，

其中整数 * 我们称 n k 0, 0

k

r k a

a 1,i k1 r k 1

a

r

i

例3 例4 例5 0， 0， 0， 0， 2

y

1；

4； 1； 1，8；

4k 3; x 2

若 2 xy ，则 x 2 n 2,则 6 | xy .

22 若 x y

那么任一正整数 k

n r k a

0,1,2,L ,k,r k 0

r 1a r 0为 n 的 a 进制表示 .

设 p 是素数， i p |C i

p ,i 1,2,L 对任意

正整数 a, 若(a, p)

=1，则 p |a

证明：

(1) (2) (3)

,p 1。

p

p |a p

a p1 1。

设 k 是正整数，证明： k k k

(1) (a ,b ) (a,b) ;

(2) 设 a, b 是正整数， (a, b) =1， ab = c k ,

设 p 是素数， (a, b) = p ，求 (a 2, b), (a 3,b)， 2

n ；

2

y 2

8k 3,8k 6,8k 7 ;

n 必可唯一表示为

r k 1a k 1 L r 1a r 0

则 a = (a, c)k , b = (b, k)k .

(a

2, b 3)所可能取的值 .