信号与系统 第二章答案

λ 2 + 2λ + 1 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
h (t ) = C1e −2t + C2 e t ε (t )
对上式求一阶、二阶导数，得
(
)
h ' (t ) = − 2C1e −2t + C 2e t ε (t ) + C1e −2t + C2 e t δ (t )
(
)
(
t
)
h '' (t ) = 4C1e −2 t + C2 e t ε (t ) + − 2C1e −2t + C 2e t δ (t ) + − 2C1e − 2t
67
2-4
已知某 LTI 系统的微分方程模型为
y ' ' (t ) + y' (t ) − 2 y (t ) = f (t )
（1）用两种方法（微分方程法和卷积积分法）求该系统的阶跃响应 g (t ) ； （2）求系统对输入 f (t ) = e − 2t cos 3t ε (t ) 的零状态响应。 【知识点窍】本题考察 ＬＴＩ 系统的微分方程的单位冲激响应和单位阶跃响应，及其关系；零状 态响应的卷积求解法。 【逻辑推理】求阶跃响应时可采取两种方法：直接求解微分方程零状态条件下的阶跃响应，或 利用冲激响应积分。 零状态响应通过求取系统的冲激响应与激励函数相卷积得到。 解： （1）方法一：微分方程法 由微分方程得特征根为
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
C1 = 1 − C 1 + C 2 = 0
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
C1 = 1, C2 = 1
y zi (t ) = e −t (cos t + sin t )
（3）由原微分方程可得其特征方程为
2-2 已知描述系统的微分方程如下： （1） y ' ' (t ) + 3 y ' (t ) + 2 y (t ) = 0 （2） y ' ' (t ) + 2 y' (t ) + 2 y (t ) = 0 （3） y ' ' (t ) + 2 y' (t ) + y (t ) = 0 当初始条件为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为
λ 3 + 3λ 2 + 2λ = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1 = 0, λ2 = −1, λ3 = −2 yh (t ) = C1 + C2e − t + C3e −2t
由初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 ，则有：
C1 + C 2 + C 3 = 1 − C2 − 2C3 = 1 C + 4C = 1 2 3
由初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 ，则有：
C1 + C 3 = 1 − C1 + C 2 = 1 C − 2C = 1 1 2
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
C1 = −3, C 2 = −2, C3 = 4
y zi (t ) = −3e − t − 2te − t + 4
⑼
再将⑴式代入⑼式中，得到 i 2 (t ) 的微分方程为：
2
d 2i 2 (t ) di 2 (t ) de(t ) + 3 + 2i 2 (t ) = 2 dt dt dt
⑽
对⑹式求一阶导，得到：
di (t ) di (t ) du (t ) de(t ) = 4 1 +2 2 + c dt dt dt dt di (t ) de(t ) = 4 1 + 6i1 (t ) + 2i2 (t ) dt dt
根据 KVL，有：
e(t ) = u R1 (t ) + u 0 (t ) = 2i1 (t ) + u 0 (t )
对⒀式求一阶导和二阶导，得到：
⒀
di (t ) du (t ) de(t ) =2 1 + 0 dt dt dt
d 2e(t ) d 2i1 (t ) d 2u0 (t ) = 2 + dt 2 dt 2 dt 2
⒀式子 × 2＋⒁式 × 3＋⒂式 × 2，消去 i1 (t ) ，整理后得到 u 0 (t ) 的微分方程为：
⒁
⒂
d 2u 0 (t ) du 0 (t ) d 2 e(t ) de (t ) 2 + 3 + 2 u ( t ) = +3 + 2e(t ) 0 2 2 dt dt dt dt
)
g '' (t ) = 4C1e −2t + C2 e t ε (t ) + − 2C1e −2t + C 2e t δ (t ) + − 2C1e − 2t
(
(
( + C e )δ (t ) + C e
t 2
)
)
− 2t

1
1 + C 2e t − δ ' (t ) 2
将阶跃响应 g (t ) 及其一阶、二阶导数代入原方程，得：
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
A1 = 2, A2 = −1
y zi (t ) = 2e − t − e −2 t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 2 + 2λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1, 2 = −1 ± i
y h (t ) = e −t (C1 cos t + C2 sin t )
68
得
1 = 0 2 − 2C 1 + C 2 = 0 C1 + C 2 −
1 1 , C2 = 。将其代入得阶跃响应 h (t ) 6 3
则得系数 C1 =
1 − 2t 1 t 1 g (t ) = e + e − ε (t ) 3 2 6
方法二：卷积积分法 由微分方程求得特征根，进而可得冲激响应形式为
1 1 ε (t ) + − 3C1e −2 t + 3C 2et − δ (t ) + C1e− 2t + C 2e t − δ ' (t ) = ε (t ) 2 2
利用单位冲激函数的性质，得：
1 1 − 2t t − 3C1e + 3C2 e − δ (t ) = −3C1 + 3C 2 − = 0 2 2 1 1 − 2t t C1e + C 2 e − δ ' (t ) = C1 + C 2 − δ ' (t ) − (− 2C1 + C2 )δ (t ) = 0 2 2
C1 = 1, C2 = 1
y zi (t ) = e − t + te − t
2-3 已知描述系统的微分方程如下： （1） y ' ' ' (t ) + 3 y ' ' (t ) + 2 y' (t ) = 0
66
（2） y ' ' ' (t ) + 2 y ' ' (t ) + y ' (t ) = 0 当初始状态为 y (0 ) = y ' (0 ) = y ' ' ' (0 ) = 1 时，求零输入响应。 【知识点窍】本题考察常系数微分方程经典解法。 【逻辑推理】利用系统的特征方程，求出齐次解，代入初始状态求解。 解： （1）由原微分方程可得其特征方程为
２．２ 教材习题同步解析
2-1 列写图 2.1 所示中 i1 (t ), i 2 (t ), u0 (t ) 的微分方程。 【 知识点窍】 本题考察 系统方程的基尔霍夫定 律。 【逻辑推理】对任一点有 KCL ：
∑ i(t ) = 0
对任一回路有 KVL：
∑ u (t ) = 0
图 2.1
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第二章 连续时间系统的时域分析
２．１ Biblioteka Baidu学习重点
1、 建立系统的数学模型—— 时间系统进行时域分析。 2、 学会应用经典时域分析法求解微分方程。 3、 深刻理解系统的零状态响应为 y zs (t ) ，零输入响应为 y zi (t ) ，以及全响应， 会根据微分方程的特征根与已知系统的初始条件求解。 4、 深刻理解系统的冲激响应 h (t ) 以及阶跃响应 g (t ) 的意义，掌握其求解方法。 5、掌握卷积积分的定义、 性质和运算， 会应用卷积积分法求线性时不变系统的零状 态响应 y zs (t ) 。 6、 利用 MATLAB 进行 LTI 连续系统的时域分析 微分方程，描述系统激励 f (t ) 与响应 y (t ) 的关系，对连续
⑺
对⑺式求一阶导，有：
de(t ) d 2 i 2 (t ) di (t ) du (t ) =2 +2 2 + c 2 dt dt dt dt de(t ) d 2 i2 (t ) di (t ) =2 + 2 2 + 2i1 (t ) + 2i 2 (t ) 2 dt dt dt
⑻
将⑸式代入⑻式中，有：
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) di 2 (t ) = 4 + 6 + 2 dt 2 dt 2 dt dt
将⑴式、⑸式代入⑽式中，得到：
⑾
对⑾式求导，得到：
⑿
再将⑴式代入⑿式中，得到 i1 (t ) 的微分方程为：
64
d 2e (t ) d 2i1 (t ) di1 (t ) = 4 + 6 + 4i1 (t ) dt 2 dt 2 dt
解：因 u R1 = u L ，根据 VCR, 有 :
Ri1 (t ) = L 2i1 (t ) =
根据 KVL： 根据 VCR：
di 2 (t ) dt
⑴
即
di 2 (t ) dt
e(t ) = u R1 (t ) + u R 2 (t ) + u c (t )
⑵ ⑶ ⑷ ⑸
u R1 (t ) = R1i1(t ) = 2i1(t ) u R 2 (t ) = R2 (i1 (t ) + i2 (t )) = 2i1 (t ) + 2i2 (t )
ic (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) = C duc (t ) 1 duc (t ) = dt 2 dt
⑶式和⑷式代入⑵式中，有：
e(t ) = 4i1 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t )
将⑴式代入⑹式中，得到：
⑹
e(t ) = 2
di 2 (t ) + 2i 2 (t ) + u c (t ) dt
(− 3C1 + 3C2 )δ (t ) + (C1 + C2 )δ ' (t ) − (− 2C1 + C 2 )δ (t ) = δ (t )
由联立方程可得 故系统的零输入响应为：
C1 = 3, C 2 = −3, C3 = 1
y zi (t ) = 3 − 3e − t + e −2t
（2）由原微分方程可得其特征方程为
λ 3 + 2λ 2 + λ = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1 = 0, λ2, 3 = −1
y h (t ) = C1e −t + C2 te− t + C3
(
(
( + C e )δ (t ) + (C e
2 1
)
−2 t
+ C2 e t δ ' (t )
)
)
将冲激响应 h (t ) 及其一阶、二阶导数代入原方程，即
(− 3C e
1
−2t
+ 3C2 e t δ (t) + C1e −2t + C2 e t δ ' (t ) = δ (t )
)
(
)
利用单位冲激函数的性质，得：
λ 2 + 3λ + 2 = 0
可解得特征根为 微分方程齐次解为
λ1 = −1, λ2 = −2
y h (t ) = A1e − t + A2 e − 2t
由初始状态为 y (0 ) = 1, y ' (0 ) = 0 ，则有：
A1 + A2 = 1 − A1 − 2 A2 = 0
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λ1 = −2, λ2 = 1
由此可得阶跃响应形式为 对上式求一阶、二阶导数，得
1 − 2t t g (t ) = C1e + C2 e − ε (t ) 2
g (t ) = − 2C1e
'
(
− 2t
1 t −2 t t + C2 e ε (t ) + C1e + C2 e − δ (t ) 2