六年级下册数学试题-13讲 几何模型(无答案)全国通用

DEEBCB C图⑴图⑵a三、蝴蝶定理A DS 1 OS 2 S 4任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ① S 1 : S 2 = S 4 : S 3 或者 S 1 ⨯ S 3 = S 2 ⨯ S 4 S ② AO : OC = (S ): (S ) 3+ S + S 1 2 4 3CB蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系； 另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． bD梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：A S 1 O ① S : S = a 2 : b 21 3 S 4S 2② S : S : S : S = a 2: b 2: ab : ab ； 1 3 2 4 ③ S 的对应份数为(a + b )2．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．S 3B C第十三讲 几何模型教学目标：1.熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨：A B一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图 S 1 : S 2 = a : b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S △ACD = S △BCD ； 反之，如果 S △ACD = S △BCD ，则可知直线 AB 平行于CD ．S 1 S 2 C Dab④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之如图在△ABC 中， D , E 分别是 AB , AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)， = (AB ⨯ AC ) : (AD ⨯ AE )则 S △ABC : S △ADE DAA四、相似模型(平行线分线段成比例)相交线段 AD 和 AE 被平行线段 BC 和 DE 所截，得到的三角形 ABC 和 ADE 形状完全相似．所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例．这种关系称为“相似”，相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．（左边是金字塔模型，右边是沙漏模型）(一)金字塔模型(二) 沙漏模型AE GDAD AE DE AG A===ABACBCAFD E G BB F CAB 2S ∆ABC = 相似三角形面积之比等于对应边长之比的平方： .AD 2 S ∆ADE在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角五、燕尾定理在三角形 ABC 中， AE ， BF ， CD 相交于同一点G ，那么 S ∆ABG : S ∆ACG = BE : EC ．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABG 和∆ACG 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径AS ∆ABG :S ∆AGC =S ∆BGE :S ∆CGE =BE :EC F DS :S =S :S =AF :FC ∆AGB ∆CGB ∆AGF ∆CGF G S ∆AGC :S ∆BGC =S ∆AGD :S ∆BGD =AD :DBBEC知识要点三角形面积公式： S = 1a ⋅ h2梯形面积： S = 1 a + b ）⨯ h（ 2平行四边形面积： S = a ⋅ h模块一等积变形【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形；⑵ 4 个面积相等的三角形；⑶6 个面积相等的三角形．【例2】如图，BD 长12 厘米，DC 长4 厘米，B、C 和D 在同一条直线上．⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？AB CD3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4 厘米，BC 的长是3 厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米．【例A EB FCD【巩固】(2009 年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．【例4】如图，长方形ABCD 的面积是56 平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．AB5】长方形ABCD 的面积为36 cm2 ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【例A H DE GB F C【例6】如图，把大、中、小三个正方形拼在一起，它们面积分别是10 平方厘米，8 平方厘米和5 平方厘米，连接AG 、GH 、AE ，求阴影部分的面积。

板块二任意四边形模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：DA S1OS 4S 2S 3B CS1:S2=S4:S3或者S1⨯S3=S2⨯S4②AO:OC=(S1+S2):(S4+S3)①【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD 分成四个部分，△AOB 面积为1 平方千米，△BOC 面积为2 平方千米，△COD 的面积为3 平方千米，公园由陆地面积是6．92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？CBOA D板块三 梯形模型的应用梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：a A DS 1 OS 3S 2 S 4CBb① S : S = a 2 : b 21 3 ② S : S : S : S = a2 : b 2 : ab : ab ；1 32 4 ② S 的对应份数为(a + b )2．梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)2】如图， S 2 = 2 ， S 3 = 4 ，求梯形的面积．【例 【例 3】梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点O ，已知梯形上底为 2，且三角形 ABO 的面积等于三角形 BOC 面积的 2 ，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比． 3【例 4】 (华杯赛)如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于O 点，已知 AO = 1 ，并且三角形ABD 的面积 = 3 ，那么OC 的长是多少？三角形CBD 的面积 5BACO D板块三 燕尾定理：【例 1】如图，三角形 ABC 的面积是1 ， E 是 AC 的中点， 点 D 在 BC 上，且 BD : DC =1: 2 ， AD 与BE 交于点 F ．则四边形 DFEC 的面积等于 ．AA3 3 F 1 2DE 3 EFBC B CD【巩固】如图，已知 BD = DC ， EC = 2AE ，三角形 ABC 的面积是30 ，求阴影部分面积.家庭作业【作业 1】如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ AG : GC =？【作业 2】南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD 的AB 平行于CD ，对角线AC ，BD 交于O ，已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25 平方厘米与35 平方厘米，那么梯形ABCD 的面积是平方厘米．A B2535OD C【作业 3】如图，三角形ABC 的面积是200 cm2 ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且AE : EC = 3: 5 ,BD : DC = 2 : 3 ，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．AEFCBD【作业4】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是．DGCF【作业5】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．B Array EC。