第六章 主应力法及其应用

ui 几何方程 物理方程
ij (ui )
平衡+边界 ( ui)
ij
物理方程
ij
应力法
ij
以满足平衡条件的应力诸分量 ij
物理方程
为未知量，经过物理方程得到应
力表示的应变诸分量 ij 再利用
ij ( ij )
几何方程的积分应变求位移ui时，
要求积分为单值，即积分只依赖 协调方程+边界条件
于积分路线，必须使被积函数满
1 2
( u j xi
ui xj
)
r
d 3 dur i 2 i
（3）物理方程
弹性
ij
1 2G
Siijj
'
1 2
E
m ij
塑性 增量理论
弹塑性 dij
增量理论
d Sij
'
1 2G
dSiij
'
1 2
E
d
m ij
dij Sij ' d
全量理论
eiijj
'
3 i
2
Siijj
'
i
（4）边界条件
物体外表面为S，Sd和St分别表 示位移和外力
c1 =0,c2
2
h
xy
2
h
y
(4)
xy 2
y h
xy 0
x
代入 平衡 方程
x
x
2
h
0
y
0
得
y
（5）
积分得
x
2
h
x
1(y)
（6）
y 2 (x)
代入屈服准则式（2）得
2
h
x
1(y)
2 (x)
2
K 2 4 2 y2
h2
2 (x)
2
h
x
1 ( y)
2
K2
4 2
h2
y2
上式左式为X的函数，右式为Y的函数，令等于常数C
物理 6
3
塑性条 1
1
件(曲服)
连续条 6
2
件
总计 22
11
未知数 15
8
在边界条件
r uu
ur T T
下求解
1D 1 1 1 1
2
6 3
ui , ij , ij
4、基本解法
位移法
以位移为未知量，经过几何方程和 物理方程，得到一位移表示的应力 诸分量。然后带入平衡方程，得到 位移表示的平衡方程。在边界条件 下，从平衡方程解出连续且单值的 位移。再按几何方程求出 ij ，此 时将自动满足协调方程。进而按物 理方程求出 ij ，此时 ij 将满足平 衡方程。
h
a
x y 2
K2
2 xy
(2)
（2）代入（1）得
2 2
K2
2 xy
xy
2 xy
x 2
2 xy
y2
(3)
xy 与x无关，且仅为Y的函数时，才可解
2 xy
2 2
K2
2 xy
0
x 2
xy
2 xy 0
y 2
积分得 xy c1 c2 y
当y=0时， xy =0
y 1 h xy
2
得源自文库
将问题简化成平面问题或轴对称问题。
根据金属的流动趋向和所选取的坐标系，对变形体 截取包括接触面在内的基元体或基元板块，切面上 的正应力假定为主应力，且均匀分布。
不考虑剪应力对材料屈服方程的影响。
x y 2K
x y
平面应变镦粗型的变形力
对称，取一半作为对象
设 mK 设长度为l
Px xlh x d x lh 2ldx 0
r uu
ur T T
位移给定值 外力给定值
（5）补充方程
| 1 3 | s 屈服准则 s
连续方程
2 xy
xy
1 2
(
2 x
y2
2 y
x2
)
有3+3个
方程 （ zx + xy - yz ） 2 x
x y z x yz
塑性变形体积不变
m
0,
d
m
0
3、求解
3D
2D
平衡 3
2
几何 6
3
足全微分条件；对几何方程求积 分的全微分条件就是变形协调方
ij
程。为保证此条件成立，应将以 应力表示的应变诸分量带入协调
方程，结合边界条件解出 ，再ij
物理方程
ij
按物理方程求相应的应变分量，
此时利用几何方程积分，即可得
几何方程
到单值的位移分量ui。
ui
5、主应力法的基本方法（切块法）
实质是将应力平衡微分方程和屈服方程联立求解。
4 h ……(6)
σx+dσx h
镦粗
方向
σy τ
σye
σx
金属流动方向
τ x
xe
σy dx
σye
x
平行砧板间平面应变镦粗及垂 直应力σy的分布图形
平衡微分方程和塑性条件联立求解 的数学解析法（附加内容）
对一般空间问题，在3个平衡微分方程和一个 塑性条件（屈服准则），4个方程求6个未知 数 ij ，静不定问题。
解：
平衡方程只分析第一象限
x
x
xy
y
0
xy
x
y
y
0
对1式和2式 分别对Y和X 微分得
2
x
xy
2 xy
y 2
0
1式减2式得
2
xy
x 2
y
xy
0
2 x y
xy
2 xy
x 2
2 xy
y2
(1)
屈服条件 Mises条件
x
y
2
4
2 xy
4K2
4 3
2 s
p
eij Sij
2 (x)
c
2
h
x
1(y) c 2
K 2 4 2 y2
最后得
y
2mK h
( xe
x)
ye……(3)
单位面积平均变形力为
p
P F
1 xe
xe
ydx
0
2mKxe h
ye
工件外端为自由表面
……(4)
xe 0, ye 2K
当工件宽度为b高度为h时
由（3）
得 y
2K
1
m h
(b 2
x) ……(5)
由（4） p 2K (1 m b )
得
对于平面问题， 2个平衡微分方程和1个塑
性条件，求3个未知数 x , y, xy
当边界上的剪应力为零或只与一个坐标轴有关时， 才有解。
例题 矩形板镦粗
h
p y
x
a
已知： 长l、宽a、高为h，l>>a 接触面上的剪应力
为 ，沿l方向应变为0 。平面变形问题。
假设：变形无畸变（出现鼓形）， xy 与x无关
利用6个应力应变关系和6个变形连续方程和一 个塑性条件（屈服准则） ，共得13个方程， 求13个未知数， ij ij, 但此方程组无法求解。
对于轴对称问题，2个平衡微分方程和1个塑性条件， 再利用4个应力应变关系式和2个变形连续方程，共 得9个方程和9个未知数，但只有在边界上剪应力只 与一个坐标轴有关时才有解。
第六章 主应力法及其应用
6.1 解析法的求解思路
1、基本假设 （1） 连续的，宏观的 （2） 确定的
描述方程+边界条件 求定解 2、描述方程，基本方程 平衡方程 几何方程 物理方程 屈服准则 边界条件 连续方程 塑性变形体积不变
（1）平衡方程
ij 0 i. j x.y.z
xi
（2）几何方程
ij
d x
2mK h
dx
屈服方程为
……(1)
σy
y x 2K; d y d x ……(2)
联解(1)(2)得
当x xe时,
y
y ye
2mK h
xc
所以c
ye
2mK h
xe
σx+dσx h
镦粗
方向
σy τ
σye
σx
金属流动方向
τ x
xe
σy dx
σye
x
平行砧板间平面应变镦粗及垂 直应力σy的分布图形