导数的应用(二) 最大值与最小值
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导数的应用（二） 最大值与最小值
一. 教学内容
导数的应用（二） 最大值与最小值
一般地，在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 在],[b a 上必有最大值与最小值；在开区间
),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值，例如
x x f 1
)(=
在),0(∞+内的图象连
续，但无最大值和最小值。
设函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，求)(x f 在],[b a 上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求)(x f 在),(b a 内的极值；
（2）将)(x f 的各极值与)(a f ，)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
【典型例题】
[例1] 求函数522
4+-=x x y 在区间]2,2[-上的最大值与最小值。
解：x x y 443
-='，令0='y ，有0443
=-x x 1,0,1-=x
当x 变化时，y '，y 的变化情况如下表：
从上表可知，函数522
4
+-=x x y 在区间]2,2[-上最大值为13，最小值为4，利用此表可画出函数的图象如下：
[例2] 已知
ax x f =)(解：依题意0≠a )4(3123)(2-=-='x ax ax ax x f
令0)(='x f 解得0=x 或4=x
（1）当0>a 时，由⎩⎨
⎧≤≤->'210
)(x x f 解得01<≤-x
令0)(<'x f ，解得20≤ 由)(x f 连续，则当0=x 时，)(x f 有最大 值，即3)0(==b f ，又由 b a f b a f +-=>+-=-16)2(7)1(，则)2(f 为最小值，故229316=⇒-=+-a a